§ 18. Сила упругости. Закон Гука

Физика, 7 класс. Учебник: Кронгарт Б.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 5: Взаимодействие тел. Страницы 95–100.

Чему научишься

• Объяснять, откуда берётся сила упругости и куда она направлена.
• Формулировать закон Гука и считать силу по формуле $F_{\text{упр}}=kx$.
• Понимать физический смысл жёсткости и её единицу — Н/м.
• Читать график зависимости силы упругости от удлинения.
• Объяснять, как устроен динамометр, и решать задачи на пружины.

Разминка

• Что происходит с резиновым жгутом, если его растянуть, а потом отпустить? Он сжимается обратно. Это упругая деформация.
• Почему он сжимается? Потому что при растяжении в нём возникает сила, которая тянет его назад.
• Какой буквой и в каких единицах обозначают силу? $F$, в ньютонах (Н).
• Чему равна сила тяжести груза массой $m$? $F=mg$. В задачах берём $g=10,\text{Н/кг}$.

💡 Любая пружина в ручке, в кровати, в замке или в амортизаторе машины работает благодаря одной идее: деформированное тело «хочет» вернуться в прежнюю форму и давит назад.

Разбираемся

Сила, которая возвращает

Когда тело деформируется упруго, в нём возникает сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение. Её называют силой упругости и обозначают $\vec{F}_{\text{упр}}$.

📌 Сила упругости возникает всегда, когда тело деформировано, и направлена противоположно деформации: растянули вправо, сила тянет влево.

Опыт с пружинным стержнем

Возьмём пружину длиной $l_0$ в недеформированном состоянии и потянем её силой $\vec{F}$. Пружина удлинится на $\Delta l=l-l_0$. Мы тянем на себя, а пружина тянет назад силой упругости.

Растянем вдвое сильнее, то есть $2\Delta l$, и сила упругости тоже станет вдвое больше. Продолжим: втрое растянули, втрое выросла сила. Значит, сила упругости прямо пропорциональна удлинению: $F_{\text{упр}}\sim\Delta l$.

Закон Гука

Английский учёный Роберт Гук (1635–1703) изучил это экспериментально и записал закон:

$F_{\text{упр}}=-k\Delta l$

Знак «минус» показывает, что вектор силы направлен против деформации. Удлинение $\Delta l$ часто обозначают буквой $x$, и тогда для модуля силы пишем проще:

$F_{\text{упр}}=kx$

📌 Жёсткость $k$ показывает, какая сила нужна, чтобы растянуть пружину на 1 м. Чем больше $k$, тем «тугая» пружина. Она зависит от формы, размеров и материала тела.

⚠️ Частая ошибка. Подставляют удлинение в сантиметрах или миллиметрах, а жёсткость в Н/м. Перед подстановкой переводи: $4,\text{см}=0{,}04,\text{м}$, $50,\text{мм}=0{,}05,\text{м}$. И помни: $1,\text{кН/м}=1000,\text{Н/м}$.

🌟 Закон Гука работает не для всех материалов и только при малых деформациях. Растяни пружину слишком сильно, и она останется вытянутой, а закон перестанет выполняться.

График: прямая линия

Если по опытным данным построить график зависимости $F_{\text{упр}}$ от $x$, получится прямая, выходящая из начала координат. Такая зависимость называется линейной. Вот пример для пружины с $k=100,\text{Н/м}$.

Чем круче идёт прямая, тем жёстче пружина. Пружины разной жёсткости при растяжении на одну и ту же длину дают разные силы.

Динамометр: пружина, которая меряет силу

Раз сила упругости пропорциональна удлинению, пружину можно превратить в прибор для измерения силы. Он называется динамометром (по-гречески «силомер»).

Школьный динамометр: пластмассовый корпус, внутри стальная пружина с указателем и крючком, снаружи шкала от 0 до 4 Н. Нулевая отметка — положение стрелки нерастянутой пружины. Подвешиваем грузы 100 г, 200 г, 300 г: удлинение пружины растёт во столько же раз, во сколько растёт сила.

• Пружину берут разной жёсткости, поэтому бывают динамометры на разные пределы измерения.
• Динамометры на несколько килоньютонов измеряют силу тяги (например, у трактора или локомотива). В них стоит очень жёсткая пружина.
• Силомеры для кисти руки, которыми меряют силу сжатия кулака, работают так же.
• Бывают также ртутные, гидравлические и электрические динамометры.

🌟 Идея у всех одна: деформацию пружины превращают в число на шкале.

👨‍👩‍👧 Родителю. Если дома есть безмен или кухонные пружинные весы, покажите ребёнку, как стрелка уходит вниз при увеличении груза. Расспросите: «Во сколько раз изменится удлинение, если масса груза увеличится вдвое?» Правильный ответ: тоже вдвое.

Разбираем задачу

Груз массой $1{,}4,\text{кг}$ растягивает пружину на $4,\text{см}$. Каким станет удлинение, если подвесить ещё один груз массой $2{,}45,\text{кг}$?

Заметь, что ни $k$, ни $g$ считать не пришлось. Удлинение просто пропорционально общей массе.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какие силы называются упругими? Силы, которые возникают при упругой деформации тела и стремятся вернуть его в прежнее состояние.
• Как возникают силы упругости? При деформации тела. Чем больше деформация, тем больше сила; направлена она против деформации.
• Сформулируйте закон Гука. Сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна удлинению тела: $F_{\text{упр}}=-k\Delta l$, или по модулю $F_{\text{упр}}=kx$.
• Каков физический смысл жёсткости? Жёсткость $k$ показывает, какая сила упругости возникает при удлинении на 1 м; она характеризует упругие свойства тела и зависит от формы, размеров и материала. Единица — Н/м.
• Каково назначение динамометра? Измерять силу.
• Как устроен школьный динамометр? Пластмассовый корпус со шкалой 0–4 Н, внутри стальная пружина с указателем и крючком. Нулевая отметка — положение стрелки нерастянутой пружины; чем больше сила, тем больше удлинение пружины.
• Девочка вылепила из пластилина фигурку белочки. Какой вид деформации наблюдается? Пластическая: пластилин не возвращает форму, поэтому фигурка остаётся.

Решаем упражнения

Для расчётов берём $g=10,\text{Н/кг}$, как в ответах задач.

Экспериментируйте

№ 1

«Экспериментируйте». В кабинете физики есть наборы грузов по 100 г и пружины. Закрепи пружину на дощечке и проградуируй прибор: подвешивай грузы по 100 г, 200 г, 300 г и т. д. К дощечке приклей лист белой бумаги и отметь на нём 0 Н, 1 Н, 2 Н и т. д. Расстояние между отметками 0 и 1, 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 раздели на 10 равных частей (деления по 0,1 Н). Сделай самодельный динамометр и сравни со школьным.

Как думать. Масса 100 г создаёт силу тяжести $F=mg=0{,}1\cdot10=1,\text{Н}$. Значит, каждый груз по 100 г прибавляет ровно 1 Н.

Решение.

1. Закрепи пружину вертикально на дощечке с крючком внизу. Рядом приклей бумагу и поставь отметку, где остановился указатель без груза: это 0 Н.
2. Подвесь один груз 100 г (1 Н), дождись, когда он успокоится, и отметь положение указателя: 1 Н.
3. Подвешивай по очереди 200 г, 300 г, 400 г, отмечай 2 Н, 3 Н, 4 Н.
4. Расстояния между отметками одинаковы, потому что удлинение пропорционально силе. Раздели каждое на 10 частей: цена деления 0,1 Н.
5. Проверь прибор: подвесь предмет известной массы, например, пакет молока (1 кг $\approx$ 10 Н, для этого нужна жёсткая пружина) или пенал, и сравни показание со школьным динамометром.

Ответ: шкала самодельного динамометра равномерная (расстояния между 0, 1, 2, 3, 4 Н равны); показания совпадают со школьным динамометром с небольшой погрешностью.

🧪 Опыт безопасен, но следи, чтобы груз не упал на ногу. Для тяжёлых грузов проси помощи взрослых.

Объясните

№ 2

«Объясните». Каков принцип действия динамометра?

Как думать. Вспомни закон Гука: сила прямо пропорциональна удлинению.

Пример ответа. Внутри динамометра есть стальная пружина. Когда к крючку прикладывают силу, пружина растягивается, и тем сильнее, чем больше сила (по закону Гука $F=kx$). Указатель движется вдоль шкалы, которая проградуирована в ньютонах, поэтому по положению указателя считывают силу. Динамометр работает, пока деформация пружины упругая и невелика.

Ответ: действие динамометра основано на пропорциональности удлинения пружины приложенной силе: чем больше сила, тем больше удлинение, и по нему отсчитывают силу.

Анализируйте

№ 3

«Анализируйте». Изобрази графически зависимость силы упругости, возникающей в пружине жёсткостью 40 Н/м, от величины абсолютной деформации.

Как думать. Формула $F=kx=40x$. Это прямая, выходящая из начала координат. Нужны две-три точки. Удлинение переведём в метры.

Решение. Составим таблицу:

Откладываем по горизонтали удлинение, по вертикали силу, отмечаем точки и проводим через них прямую линию из начала координат.

Ответ: график — прямая линия, выходящая из начала координат: $F=40x$; при $x=10$ см сила равна 4 Н.

Исследуйте

№ 4

«Исследуйте». Результаты опыта по зависимости длины резинового жгута от модуля растягивающей силы даны в таблице 1: длина $l$ = 0,8 м; 0,9 м; 1,0 м; 1,1 м; 1,15 м, сила $F$ = 0 Н; 1 Н; 2 Н; 3 Н; 4 Н. Какова жёсткость жгута на линейном участке?

Как думать. Длина без нагрузки 0,8 м (при $F=0$). Удлинение $x=l-0{,}8$. Смотрим, пока сила растёт на одну и ту же величину при одном и том же удлинении.

Решение.

1. Удлинения: 0; 0,1 м; 0,2 м; 0,3 м; 0,35 м.
2. На участке от 0,8 м до 1,1 м каждые 0,1 м удлинения дают +1 Н. Здесь зависимость линейная.
3. При $l=1{,}15$ м сила 4 Н, удлинение 0,35 м. Отношение $\frac{4}{0{,}35}\approx11{,}4$ Н/м, это уже отличается от 10 Н/м: жгут вышел за линейный участок, закон Гука нарушился.
4. Жёсткость на линейном участке: $k=\frac{F}{x}=\frac{3,\text{Н}}{0{,}3,\text{м}}=10,\text{Н/м}$.

На графике видно, что до 30 см линия прямая, а потом её наклон меняется.

Ответ: $k=10$ Н/м.

Решите

№ 5

«Решите», задача 1. Используя график (рис. 18.7), определи жёсткость пружины.

Как думать. На графике по горизонтали сила $F$ в ньютонах, по вертикали удлинение $x$ в миллиметрах. Жёсткость — это $k=\frac{\Delta F}{\Delta x}$. Берём две точки на прямой, переводим мм в м. Начало прямой не лежит на нуле, поэтому используем разность между двумя точками.

Решение.

1. Возьмём две точки по засечкам: при $F_1=2$ Н и $F_2=6$ Н удлинение изменяется на $\Delta x=8$ мм $=0{,}008$ м, то есть на 2 клетки вертикальной шкалы по 4 мм.
2. $\Delta F=6-2=4,\text{Н}$.
3. $k=\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{4,\text{Н}}{0{,}008,\text{м}}=500,\text{Н/м}$.

Ответ: 500 Н/м.

№ 6

«Решите», задача 2. Под действием какой силы пружина жёсткостью 1 кН/м сжалась на 4 см?

Как думать. Закон Гука работает и для сжатия: $F=kx$. Переведи единицы в СИ.

Дано: $k=1,\text{кН/м}=1000,\text{Н/м}$; $x=4,\text{см}=0{,}04,\text{м}$. Найти: $F$.

Решение. $F=kx=1000,\text{Н/м}\cdot0{,}04,\text{м}=40,\text{Н}$.

Ответ: 40 Н.

№ 7

«Решите», задача 3. Найди жёсткость пружины, которая под действием силы 3 Н удлинилась на 6 см.

Как думать. Выразим жёсткость: $k=\frac{F}{x}$.

Дано: $F=3,\text{Н}$; $x=6,\text{см}=0{,}06,\text{м}$. Найти: $k$.

Решение. $k=\frac{F}{x}=\frac{3,\text{Н}}{0{,}06,\text{м}}=50,\text{Н/м}$.

Ответ: 50 Н/м.

№ 8

«Решите», задача 4. Какова жёсткость пружины, если груз массой 10 кг растягивает пружину на 10 см?

Как думать. Груз висит спокойно, значит, сила упругости равна силе тяжести: $kx=mg$.

Дано: $m=10,\text{кг}$; $x=10,\text{см}=0{,}1,\text{м}$; $g=10,\text{Н/кг}$. Найти: $k$.

Решение.

1. $F=mg=10\cdot10=100,\text{Н}$.
2. $k=\frac{F}{x}=\frac{100,\text{Н}}{0{,}1,\text{м}}=1000,\text{Н/м}=1,\text{кН/м}$.

Ответ: 1 кН/м.

№ 9

«Решите», задача 5. Груз какой массы нужно подвесить к пружине жёсткостью 1,2 кН/м, чтобы растянуть её на 2 см?

Как думать. Сначала находим силу упругости, она равна весу груза, потом массу: $m=\frac{F}{g}$.

Дано: $k=1{,}2,\text{кН/м}=1200,\text{Н/м}$; $x=2,\text{см}=0{,}02,\text{м}$; $g=10,\text{Н/кг}$. Найти: $m$.

Решение.

1. $F=kx=1200\cdot0{,}02=24,\text{Н}$.
2. $m=\frac{F}{g}=\frac{24}{10}=2{,}4,\text{кг}$.

Ответ: 2,4 кг.

№ 10

«Решите», задача 6. Груз массой 3 кг растягивает пружину на 4 см. Каким должен быть груз, который растянет пружину ещё на 8 см?

Как думать. «Ещё на 8 см» означает, что всего пружина растянется на $4+8=12$ см. Значит, удлинение выросло в $12:4=3$ раза, и сила (а с ней масса груза) тоже в 3 раза.

Дано: $m_1=3,\text{кг}$; $x_1=4,\text{см}$; $x_2=4+8=12,\text{см}$. Найти: $m_2$.

Решение.

1. $kx_1=m_1g$ и $kx_2=m_2g$. Делим одно на другое: $\frac{x_2}{x_1}=\frac{m_2}{m_1}$.
2. $m_2=m_1\cdot\frac{x_2}{x_1}=3,\text{кг}\cdot\frac{12}{4}=9,\text{кг}$.
3. Это общая масса подвешенного груза. Если груз в 3 кг уже висит, нужно добавить ещё $9-3=6$ кг.

Ответ: 9 кг (общая масса груза; к уже висящим 3 кг надо добавить 6 кг).

№ 11

«Решите», задача 7. Пружинным динамометром равномерно поднимают груз массой $m=2$ кг. Определи модуль удлинения пружины динамометра, если её жёсткость $k=1000$ Н/м.

Как думать. Равномерный подъём означает, что сила упругости равна силе тяжести груза: $kx=mg$.

Дано: $m=2,\text{кг}$; $k=1000,\text{Н/м}$; $g=10,\text{Н/кг}$. Найти: $x$.

Решение.

1. $F=mg=2\cdot10=20,\text{Н}$.
2. $x=\frac{F}{k}=\frac{20,\text{Н}}{1000,\text{Н/м}}=0{,}02,\text{м}=2,\text{см}$.

Ответ: 2 см.

№ 12

«Решите», задача 8. Пружина жёсткостью 300 Н/м растянулась на 50 мм. Какова масса груза, способного производить такую деформацию?

Как думать. Переведи 50 мм в метры. Сила упругости равна силе тяжести: $kx=mg$.

Дано: $k=300,\text{Н/м}$; $x=50,\text{мм}=0{,}05,\text{м}$; $g=10,\text{Н/кг}$. Найти: $m$.

Решение.

1. $F=kx=300\cdot0{,}05=15,\text{Н}$.
2. $m=\frac{F}{g}=\frac{15}{10}=1{,}5,\text{кг}$.

Ответ: 1,5 кг.

№ 13

⭐ «Решите», задача 9 (задача повышенной сложности: хорошо, что пробуешь!). Если к пружине подвесить груз массой 3 кг, то она удлиняется на 1,5 см. Каким станет удлинение, если к ней довесить груз массой 4 кг?

Как думать. «Довесить» значит, что общая масса станет $3+4=7$ кг. Удлинение пропорционально массе.

Дано: $m_1=3,\text{кг}$; $x_1=1{,}5,\text{см}$; $m_2=4,\text{кг}$ (добавили). Найти: $x$.

Решение.

1. Общая масса: $M=m_1+m_2=3+4=7,\text{кг}$.
2. $\frac{x}{x_1}=\frac{M}{m_1}$, откуда $x=x_1\cdot\frac{M}{m_1}=1{,}5,\text{см}\cdot\frac{7}{3}=3{,}5,\text{см}$.

Ответ: 3,5 см.

№ 14

⭐ «Решите», задача 10 (задача повышенной сложности). Если к пружине подвесить груз массой 20 кг, то длина пружины будет 12 см, а если подвесить груз $m=50$ кг, то длина составит 15 см. Какова первоначальная длина пружины?

Как думать. Удлинение $x=l-l_0$, где $l_0$ неизвестно. Но разность длин равна разности удлинений, а её можно связать с разностью масс.

Дано: $m_1=20,\text{кг}$, $l_1=12,\text{см}$; $m_2=50,\text{кг}$, $l_2=15,\text{см}$. Найти: $l_0$.

Решение.

1. Разность масс: $50-20=30,\text{кг}$. Разность длин: $15-12=3,\text{см}$. Значит, каждые 30 кг дают 3 см, то есть 10 кг — это 1 см.
2. Груз 20 кг растягивает пружину на $20:10=2,\text{см}$.
3. $l_0=l_1-x_1=12-2=10,\text{см}$.
4. Проверка: 50 кг растягивают на 5 см, и $10+5=15$ см ✓.

Ответ: 10 см.

Шпаргалка

• Единицы в СИ: сантиметры и миллиметры переводи в метры, килоньютоны в ньютоны.
• Закон Гука верен только для упругих тел и малых деформаций.
• Если известны две ситуации с одной пружиной, жёсткость и $g$ сокращаются: $\frac{x_2}{x_1}=\frac{m_2}{m_1}$.
• В расчётах берём $g=10,\text{Н/кг}$.

Мини-тест