§ 1. Запись натуральных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 1: Натуральные числа и нуль. Страницы 6–11.

Чему научишься

• Объяснять, что такое натуральный ряд и почему у него нет конца.
• Отличать чётные цифры и числа от нечётных — с одного взгляда.
• Читать и записывать большие числа по классам.
• Раскладывать число на разрядные слагаемые, даже если вместо цифр стоят буквы.

Разминка

Это первый урок, так что вспомним начальную школу. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Какое число идёт сразу после 999? 1000. Добавили единицу — и число стало четырёхзначным.
• Какое число стоит перед 5000? 4999.
• Сколько будет $4 \cdot 1000 + 7 \cdot 10 + 3$? 4000 + 70 + 3 = 4073. Сотен нет — на их месте нуль.
• Сколько цифр в записи числа «один миллион»? Семь: 1 000 000.

💡 Заметил? В числе 4073 нуль «держит место» для сотен. Без него получилось бы 473 — совсем другое число.

Разбираемся

Числа, которыми считают

Ты пересчитываешь мячи в спортзале: один, два, три… Такие числа называют натуральными. Если выписать их по порядку — 1, 2, 3, 4, 5, … — получится натуральный ряд.

У натурального ряда есть начало — число 1. А конца нет: за каждым числом идёт следующее, на 1 больше. Даже за миллиардом идёт «миллиард и один».

📌 Нуль — не натуральное число. Нулём предметы не считают.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите ребёнка: «Какое самое большое натуральное число?» Хороший ответ: «Такого нет — к любому можно прибавить 1».

Чётные и нечётные

Для записи чисел хватает десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 — чётные, а 1, 3, 5, 7, 9 — нечётные.

С числами ещё проще: смотрим только на последнюю цифру. Число 3 578 чётное, потому что оканчивается на 8. А 1 000 001 нечётное — на конце 1.

⚠️ Частая ошибка. Смотрят на первую цифру: «2 345 начинается с 2, значит чётное». Нет! Решает только последняя цифра. 2 345 — нечётное.

Разряды и классы

Цифры в числе стоят на своих местах — разрядах. Считаем справа: единицы, десятки, сотни. Эти три разряда вместе — класс единиц. Следующие три — класс тысяч, потом класс миллионов, миллиардов.

Возьмём число 105 246 783 009. Нажми на цифры и посмотри, что каждая значит.

Читаем: «сто пять миллиардов двести сорок шесть миллионов семьсот восемьдесят три тысячи девять». Слово «единиц» в конце не говорим.

Число из кирпичиков

Любое число можно разобрать на разрядные слагаемые. Например, в 5307 есть 5 тысяч, 3 сотни, 0 десятков и 7 единиц:

$5307 = 5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7$.

А если вместо цифр стоят буквы, над числом ставят черту: $\overline{3cd8}$. Черта значит: «это одно число, а не произведение букв». Раскладываем так же: $\overline{3cd8} = 3 \cdot 1000 + c \cdot 100 + d \cdot 10 + 8$.

🌟 Наши цифры называют арабскими, хотя придумали их в Индии ещё в III веке до н. э. В Европу они попали через арабские страны. А у римлян были свои знаки: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Если меньший знак стоит перед большим — его вычитают: IV = 4. Если после — прибавляют: VI = 6.

🌟 Римскими цифрами до сих пор пишут века. Древний город Бозок, руины которого нашли в 1999 году в 15 км от Астаны, основали в VIII веке, а расцвёл он в X—XI веках.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какое число в натуральном ряду идёт после числа $n$? А перед ним? После — $n + 1$. Перед — $n - 1$. Но у числа 1 предыдущего натурального нет.
• Как называют знаки для записи чисел? Цифрами.
• Какая цифра не может стоять в старшем разряде? Нуль. Число 0573 никто не пишет — это просто 573.
• Есть ли самое большое натуральное число? Нет. К любому числу можно прибавить 1 и получить ещё большее.
• Сумма двух чисел чётная. Какие это числа? Либо оба чётные, либо оба нечётные: 4 + 6 = 10, 3 + 5 = 8.
• Произведение двух чисел чётное. Какие это числа? Хотя бы одно из них чётное: 3 · 4 = 12.
• Сумма нечётная? Одно число чётное, другое нечётное: 4 + 7 = 11.
• Произведение нечётное? Оба числа нечётные: 3 · 7 = 21.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1

Выпиши цифрами числа из рассказа про Дворец мира и согласия в Астане: открыт в сентябре две тысячи шестого года, высота шестьдесят два метра — как у двадцатипятиэтажного дома, в оперном театре тысяча пятьсот мест.

Как думать. Ищем в тексте все слова-числа и записываем их цифрами.

Решение. Год открытия — 2006; высота — 62 м; дом — 25-этажный; мест в театре — 1500.

Ответ: 2006; 62; 25; 1500.

№ 2

Запиши цифрами: площадь суши на Земле — около ста сорока девяти миллионов км², площадь океанов — около трёхсот шестидесяти одного миллиона км², средняя высота материков — восемьсот шестьдесят метров.

Как думать. «Миллионов» — значит, после названного числа идут ещё два полных класса: тысячи и единицы, по три нуля.

Решение.

1. 149 000 000 км².
2. 361 000 000 км².
3. 860 м.

Ответ: 149 000 000 км²; 361 000 000 км²; 860 м.

№ 3

Население Земли на начало 2016 года — 7 309 680 851 человек. В таблице население 11 стран: Монголия 3 061 425, Казахстан 17 651 300, Австралия 24 020 600, Канада 35 985 751, Южная Корея 51 529 338, Германия 81 292 400, Япония 126 880 000, Россия 146 495 530, США 322 613 000, Индия 1 282 790 000, Китай 1 374 220 000. Прочитай числа. Какие чётные, какие нечётные? Выпиши: а) нечётные; б) числа, где в разряде сотен тысяч стоит 0; в) число, в котором 12 десятков миллионов. Разложи наименьшее число на разрядные слагаемые.

Как думать. Чётность — по последней цифре. Разряд сотен тысяч — это первая (левая) цифра в классе тысяч. «12 десятков миллионов» — значит, число от 120 до 129 миллионов.

Решение.

1. Читаем, например, население Земли: семь миллиардов триста девять миллионов шестьсот восемьдесят тысяч восемьсот пятьдесят один. Остальные — так же, по классам.
2. Нечётные (на конце 1 или 5): 7 309 680 851; 3 061 425; 35 985 751. Все остальные — чётные.
3. Нуль в разряде сотен тысяч: Монголия — 3 061 425, Австралия — 24 020 600.
4. 12 десятков миллионов — Япония: 126 880 000 (это 12 десятков миллионов и ещё 6 880 000).
5. Наименьшее число — 3 061 425 (Монголия): $3 \cdot 1,000,000 + 6 \cdot 10,000 + 1 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5$.

Ответ: а) 7 309 680 851; 3 061 425; 35 985 751; б) 3 061 425 и 24 020 600; в) 126 880 000; $3,061,425 = 3 \cdot 1,000,000 + 6 \cdot 10,000 + 1 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 5$.

Уровень B

№ 4

Сколько натуральных чисел стоит между: 1) 7 и 23; 2) 189 и 245; 3) 1002 и 1332?

Как думать. Между 7 и 10 стоят 8 и 9 — два числа, а $10 - 7 = 3$. Значит, чисел «между» на одно меньше разности.

Решение.

1. $23 - 7 - 1 = 15$.
2. $245 - 189 - 1 = 55$.
3. $1332 - 1002 - 1 = 329$.

Ответ: 1) 15; 2) 55; 3) 329.

⚠️ Частая ошибка. Отвечают «16» — просто вычитают. Проверь на маленьких числах: между 1 и 3 только одно число (2), а $3 - 1 = 2$.

№ 5

Разложи на разрядные слагаемые: $\overline{5a}$, $\overline{d2}$, $\overline{m4m}$, $\overline{86k}$, $\overline{mn1}$, $\overline{16b}$, $\overline{9abc}$, $\overline{mnkl}$.

Как думать. Буква — это тоже цифра, просто неизвестная. Смотрим, в каком она разряде, и умножаем на 1, 10, 100 или 1000.

Решение.

1. $\overline{5a} = 5 \cdot 10 + a$
2. $\overline{d2} = d \cdot 10 + 2$
3. $\overline{m4m} = m \cdot 100 + 4 \cdot 10 + m$
4. $\overline{86k} = 8 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + k$
5. $\overline{mn1} = m \cdot 100 + n \cdot 10 + 1$
6. $\overline{16b} = 1 \cdot 100 + 6 \cdot 10 + b$
7. $\overline{9abc} = 9 \cdot 1000 + a \cdot 100 + b \cdot 10 + c$
8. $\overline{mnkl} = m \cdot 1000 + n \cdot 100 + k \cdot 10 + l$

Ответ: записи выше.

№ 6

Периметр прямоугольника 14 см. Какими могут быть длина и ширина, если это натуральные числа (в сантиметрах)?

Как думать. Периметр — это (длина + ширина) · 2. Значит, длина + ширина = 14 : 2 = 7 см. Подбираем пары натуральных чисел с суммой 7.

Решение. $1 + 6$, $2 + 5$, $3 + 4$. Пары вроде $6 + 1$ — тот же прямоугольник, только повёрнутый.

Ответ: 1 см и 6 см; 2 см и 5 см; 3 см и 4 см.

Уровень C

№ 7

Сколько натуральных чисел между: 1) $\overline{3a}$ и $\overline{4a}$; 2) $\overline{3ba}$ и $\overline{4ba}$?

Как думать. Попробуй с настоящей цифрой: $a = 5$. Между 35 и 45 — сколько чисел? Разница 10, значит, между ними $10 - 1 = 9$ чисел.

Решение.

1. $\overline{4a} - \overline{3a} = 10$ (отличаются только десятки). Между ними $10 - 1 = 9$ чисел.
2. $\overline{4ba} - \overline{3ba} = 100$ (отличаются только сотни). Между ними $100 - 1 = 99$ чисел.

Ответ: 1) 9; 2) 99.

№ 8

Запиши все трёхзначные числа без повторяющихся цифр из цифр: 1) 2, 8, 7; 2) 5, 0, 9; 3) 4, 5, 6, 7.

Как думать. Перебираем по порядку: сначала выбираем первую цифру, потом вторую, потом третью. Нулём число не начинается.

Решение.

1. 278, 287, 728, 782, 827, 872 — 6 чисел.

2. 509, 590, 905, 950 — 4 числа (с нуля начинать нельзя).

3. Из четырёх цифр берём любые три:

   • на 4: 456, 457, 465, 467, 475, 476;
   • на 5: 546, 547, 564, 567, 574, 576;
   • на 6: 645, 647, 654, 657, 674, 675;
   • на 7: 745, 746, 754, 756, 764, 765.

   Всего 24 числа.

Ответ: 1) 6 чисел; 2) 4 числа; 3) 24 числа (списки выше).

Подготовь сообщение

№ 9

Как возникли цифры?

Как думать. Расскажи коротко: как считали раньше и какие знаки придумывали разные народы. Сверь даты по энциклопедии.

Решение. Пример сообщения:

Сначала люди считали на пальцах и делали зарубки на палках. Египтяне рисовали числа значками-иероглифами: палочка — единица, дужка — десяток. У майя были точки и чёрточки, а славяне записывали числа буквами с особым значком сверху. Римляне придумали I, V, X, L, C, D, M. Наши десять цифр появились в Индии, а в Европу их принесли арабские учёные. Главное индийское изобретение — нуль и запись «по разрядам»: одна и та же цифра значит разное в зависимости от места.

Ответ: пример выше.

№ 10

1) Запиши наибольшее четырёхзначное число с разными цифрами, у которого цифры, начиная с разряда единиц, идут по возрастанию. 2) Номер квартиры Абзала в 26 раз больше цифры в разряде единиц, и все его цифры чётные. Какой номер?

Как думать. В первой части читаем число справа налево: единицы — самая маленькая цифра, тысячи — самая большая. Во второй — перебираем, на какую цифру оканчивается номер.

Решение.

1. Хотим число побольше — берём самые большие цифры 9, 8, 7, 6. Справа налево они должны расти: единицы 6, десятки 7, сотни 8, тысячи 9. Получаем 9876.
2. Перебор:

Ответ: 1) 9876; 2) 208.

Готовимся к следующей теме

№ 11

Выбери подходящую длину: 1) высота кружки (10 мм; 10 см; 10 дм); 2) высота комнаты (30 см; 30 дм; 30 км); 3) рост ученика (100 мм; 100 см; 100 дм); 4) длина линейки (20 мм; 20 см; 20 дм); 5) ширина парты (60 мм; 600 мм; 600 дм); 6) толщина учебника (15 мм; 15 см; 15 дм).

Как думать. Представь предмет и сравни с тем, что знаешь: 1 см — ширина ногтя, 1 дм — ширина ладони, 1 м — большой шаг.

Решение.

1. Кружка — 10 см (с ладонь высотой).
2. Комната — 30 дм, то есть 3 м.
3. Ученик — 100 см, то есть 1 м (из трёх вариантов это самый близкий).
4. Линейка — 20 см.
5. Парта — 600 мм, то есть 60 см.
6. Учебник — 15 мм, то есть 1,5 см.

Ответ: 10 см; 30 дм; 100 см; 20 см; 600 мм; 15 мм.

№ 12

Измерь свою пядь (между большим и средним пальцами) и свой локоть (от кончиков пальцев до локтя). Сравни со старинными мерами: пядь — 21 см, локоть — 45 см.

Как думать. Работай с линейкой или сантиметровой лентой. Попроси кого-нибудь помочь с локтем.

Решение. Пример: у пятиклассника пядь около 16–18 см — меньше 21 см. Локоть около 35–38 см — меньше 45 см. Старинные меры брали по руке взрослого мужчины, поэтому они больше.

Ответ: у каждого своё; у детей обычно меньше, чем 21 см и 45 см.

🌟 Старинные меры длины: вершок ≈ 4 см 5 мм, аршин ≈ 71 см, сажень ≈ 2 м 13 см, верста ≈ 1 км 67 м. А англичане до сих пор меряют дюймами (≈ 2 см 5 мм), футами (≈ 30 см 5 мм) и милями (≈ 1 км 609 м). Диагональ экрана телефона, кстати, тоже в дюймах!

№ 13

1) Айгуль нужны ленточки длиной 5 см, 6 см и 10 см, а на её линейке остались только деления 0, 4 и 9. Получится ли отмерить? 2) Нарисуй прямую, отрезок и луч. Как их различить на рисунке?

Как думать. Линейкой можно не только откладывать отрезки, но и «отнимать»: от 4 до 9 — это 5 см. А несколько отрезков можно откладывать подряд.

Решение.

1. 5 см — расстояние между делениями 4 и 9: $9 - 4 = 5$.
2. 10 см — отложить 5 см два раза: $5 + 5 = 10$.
3. 6 см — отложить 10 см (как выше) и отрезать от конца 4 см: $10 - 4 = 6$.
4. Рисунок: у отрезка два конца, его можно измерить. У луча один конец (начало), а с другой стороны он бесконечен — рисуем стрелку или просто обрываем линию. У прямой концов нет совсем.

Ответ: 1) да, удастся: $5 = 9 - 4$, $10 = 5 + 5$, $6 = 10 - 4$; 2) у отрезка 2 конца, у луча 1, у прямой — ни одного.

Шпаргалка

• Чётность числа — по последней цифре.
• Большое число делим на классы по три цифры справа налево.
• $5307 = 5 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7$.
• Между числами $a$ и $b$ ($a < b$) стоит $b - a - 1$ натуральных чисел.
• Старший разряд никогда не бывает нулём.

Мини-тест