§ 2. Координатный луч

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 1: Натуральные числа и нуль. Страницы 12–16.

Чему научишься

• Строить координатный луч: начало, единичный отрезок, направление.
• Находить координату точки по рисунку — даже когда одно деление равно 10 или 100.
• Отмечать точки по координатам и читать запись $M,(7)$.
• Сдвигать точку вправо и влево на несколько единиц.

Разминка

Это задания № 11–13 из прошлого урока — вспомним единицы длины.

• Какая высота у кружки: 10 мм, 10 см или 10 дм? 10 см — примерно ладонь.
• Высота комнаты — 30 см, 30 дм или 30 км? 30 дм, то есть 3 м.
• На линейке остались деления 0, 4 и 9. Как отмерить 5 см? От 4 до 9: $9 - 4 = 5$ см.
• Чем луч отличается от отрезка? У отрезка два конца, у луча — только один, начало.

💡 Отрезок можно отложить на линейке много раз подряд — так ты меряешь длинную ленту короткой линейкой. Этот же приём — главный секрет координатного луча.

Разбираемся

Своя единица длины

Мы меряем в миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах. Комнату — в метрах, ручку — в сантиметрах, путь машины — в километрах. А раньше мерили вершками, пядями, вёрстами.

📌 За единицу длины можно взять любой отрезок. Такой отрезок называют единичным.

Строим луч-линейку

Начертим луч $OX$. Под началом $O$ напишем 0. Отложим от $O$ единичный отрезок $OA$ — под точкой $A$ напишем 1. Дальше откладываем такие же отрезки один за другим и подписываем 2, 3, 4, 5, 6…

Получился координатный луч (его ещё называют числовым). Точка $O$ — начало координат. Число под точкой — её координата, то есть «адрес».

📌 Координатный луч — это луч, у которого отмечено начало (0), выбран единичный отрезок и показано направление (стрелкой).

Нажми на любое деление — узнаешь его координату.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка вслух прочитать запись $M,(7)$. Правильно: «точка M имеет координату 7» или «точка M с координатой 7». Не «M умножить на 7».

Как построить луч — три шага

1. Нарисуй луч и выбери направление (обычно вправо).
2. Отметь начало координат — 0.
3. Отметь конец единичного отрезка — 1. Или отрезок, длина которого удобно делится на единицы, например 10 или 100.

Подписывать каждое деление не обязательно. Хватит 0 и 1 — остальное понятно.

Когда числа большие

Отметить 70 или 300, откладывая по одной единице, — долго и неудобно. Поэтому делают так: одно деление — это 10 (или 100). Подписываем первое деление «10», и сразу ясно: четвёртое деление — это 40.

⚠️ Частая ошибка. Видят точку на седьмом делении и пишут «7», не глядя на подпись. Сначала узнай, чему равно одно деление, потом умножай.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какой отрезок может быть единичным? Любой. Мы сами выбираем его длину.
• Как построить числовой луч? Нарисовать луч, отметить начало 0, отложить единичный отрезок и подписать 1. Стрелка показывает направление.
• Почему числовой луч называют координатным? Каждой его точке соответствует число — координата.
• Что означает запись $D,(14)$? Точка $D$ имеет координату 14: она на 14 единичных отрезков правее начала.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 14

Найди координаты точек: 1) $A$, $C$, $D$ на рисунке 4 (одно деление — 1; $A$ на 4-м делении, $C$ на 9-м, $D$ на 10-м); 2) $E$, $F$, $L$, $M$, $N$ на рисунке 5 (первое деление подписано 10; $F$ на 5-м делении, $N$ на 7-м, $M$ на 11-м, $L$ на 14-м).

Как думать. Считаем деления от нуля. Если одно деление — 10, умножаем номер деления на 10.

Решение.

1. Рисунок 4: $A,(4)$, $C,(9)$, $D,(10)$.
2. Рисунок 5: точка $E$ на первом делении подписана 10, значит, одно деление — 10. $E,(10)$, $F,(50)$, $N,(70)$, $M,(110)$, $L,(140)$.

Ответ: 1) $A,(4)$, $C,(9)$, $D,(10)$; 2) $E,(10)$, $F,(50)$, $L,(140)$, $M,(110)$, $N,(70)$.

№ 15

Чему равны расстояния от начала координат до точек: 1) $P$, $S$, $T$, $Q$ (рис. 6: $S$ на 4-м делении подписана 40; $P$ на 1-м, $T$ на 5-м, $Q$ на 11-м); 2) $X$, $Y$, $Z$ (рис. 7: первое деление — 30; $X$ на 2-м, $Y$ на 5-м, $Z$ на 9-м)?

Как думать. Расстояние от начала до точки равно её координате. Значит, задача та же: найти координаты.

Решение.

1. Рисунок 6: четыре деления — это 40, значит, одно деление — $40 : 4 = 10$. $P$ — 10, $S$ — 40, $T$ — 50, $Q$ — 110.
2. Рисунок 7: одно деление — 30. $X$ — $2 \cdot 30 = 60$, $Y$ — $5 \cdot 30 = 150$, $Z$ — $9 \cdot 30 = 270$.

Ответ: 1) $OP = 10$, $OS = 40$, $OT = 50$, $OQ = 110$; 2) $OX = 60$, $OY = 150$, $OZ = 270$.

№ 16

1) Отметь на луче массы птиц: курица ($К$) — 5 кг, гусь ($Г$) — 10 кг, индюк ($И$) — 20 кг. 2) Отметь длину прыжка: кенгуру ($К$) — 7 м, гепард ($Г$) — 10 м, антилопа ($А$) — 11 м, тушканчик ($Т$) — 2 м.

Как думать. Выбираем удобный единичный отрезок. Для птиц — 1 клетка тетради = 1 кг (нужно 20 клеток). Для прыжков — 1 клетка = 1 м.

Решение.

1. Рисуем луч, отмечаем 0 и 1 (одна клетка). Ставим $К$ на 5-м делении, $Г$ на 10-м, $И$ на 20-м.
2. Второй луч: $Т$ на 2-м делении, $К$ на 7-м, $Г$ на 10-м, $А$ на 11-м.

Ответ: $К,(5)$, $Г,(10)$, $И,(20)$; $Т,(2)$, $К,(7)$, $Г,(10)$, $А,(11)$.

Уровень B

№ 17

Отметь точку $K,(11)$. Какая координата у точки: 1) на 4 единичных отрезка левее $K$; 2) на 3 единичных отрезка правее $K$?

Как думать. Влево по лучу — числа уменьшаются, вычитаем. Вправо — увеличиваются, прибавляем.

Решение.

1. $11 - 4 = 7$.
2. $11 + 3 = 14$.

Ответ: 1) 7; 2) 14.

№ 18

Запиши координаты точек $M$, $N$, $S$, $K$, $P$ (рис. 9: шестое деление подписано 600; $M$ на 2-м делении, $N$ на 3-м, $S$ на 5-м, $K$ на 7-м, $P$ на 11-м).

Как думать. Сначала находим цену одного деления: $600 : 6$.

Решение.

1. Одно деление: $600 : 6 = 100$.
2. $M$ — $2 \cdot 100 = 200$; $N$ — 300; $S$ — 500; $K$ — 700; $P$ — 1100.

Ответ: $M,(200)$, $N,(300)$, $S,(500)$, $K,(700)$, $P,(1100)$.

№ 19

Глубина Балхаша ($Б$) 27 м. Это на 12 м больше, чем глубина Зайсана ($З$), и в 2 раза меньше, чем глубина Алаколя ($А$). Найди глубины Зайсана и Алаколя и отметь точки $А$, $Б$, $З$ на луче.

Как думать. «На 12 м больше, чем Зайсан» — значит, Зайсан на 12 м мельче: вычитаем. «В 2 раза меньше, чем Алаколь» — значит, Алаколь в 2 раза глубже: умножаем.

Решение.

1. Зайсан: $27 - 12 = 15$ м.
2. Алаколь: $27 \cdot 2 = 54$ м.
3. На луче (1 клетка = 3 м или 1 мм = 1 м): $З,(15)$, $Б,(27)$, $А,(54)$.

Ответ: Зайсан — 15 м, Алаколь — 54 м; $З,(15)$, $Б,(27)$, $А,(54)$.

⚠️ Частая ошибка. Слышат «больше» — и сразу прибавляют: $27 + 12$. Спроси себя: кто глубже? Балхаш глубже Зайсана, значит, у Зайсана число меньше.

Уровень C

№ 20

Точка $B$ на 2 единицы от точки $A,(a)$. Найди координату $B$, если она: 1) правее; 2) левее.

Как думать. Буква $a$ — это какое-то число. Правее — прибавляем 2, левее — вычитаем 2.

Решение.

1. Правее: $B,(a + 2)$.
2. Левее: $B,(a - 2)$. Так бывает только при $a \ge 2$, иначе точка «выпадет» за начало луча.

Ответ: 1) $a + 2$; 2) $a - 2$.

№ 21

На рисунке 10: число $a$ на 2-м делении, $b$ на 4-м, $c$ на 7-м. Найди $b$ и $c$, если: 1) $a = 2$; 2) $a = 40$; 3) $a = 300$.

Как думать. $a$ — это 2 деления. Значит, одно деление — $a : 2$. Дальше умножаем на номер деления.

Решение.

1. $a = 2$: деление — 1. $b = 4$, $c = 7$.
2. $a = 40$: деление — 20. $b = 4 \cdot 20 = 80$, $c = 7 \cdot 20 = 140$.
3. $a = 300$: деление — 150. $b = 4 \cdot 150 = 600$, $c = 7 \cdot 150 = 1050$.

Ответ: 1) $b = 4$, $c = 7$; 2) $b = 80$, $c = 140$; 3) $b = 600$, $c = 1050$.

№ 22

Число 15 можно отметить, отложив от нуля 15 единичных отрезков. Сколько отрезков нужно, если каждый длиной 3 единицы? Сколькими ещё способами можно отметить 15?

Как думать. Отрезки должны «уложиться» в 15 ровно, без остатка. Значит, длина отрезка — число, на которое 15 делится нацело.

Решение.

1. Отрезки по 3: $15 : 3 = 5$ отрезков.
2. На что ещё делится 15? На 1, 3, 5 и 15. Отрезки по 1 и по 3 уже были.
3. Новые способы: 3 отрезка по 5 единиц и 1 отрезок длиной 15.

Ответ: 5 отрезков; ещё 2 способа — 3 отрезка по 5 единиц или 1 отрезок в 15 единиц.

Подготовь сообщение

№ 23

Как появилась линейка?

Как думать. Расскажи, чем мерили раньше и как появились деления. Сверь факты по энциклопедии.

Решение. Пример сообщения:

Сначала длину мерили «телом»: пальцем, пядью, локтем, шагом. Но у всех руки разные, и мерки не совпадали. Тогда стали делать мерные палки с зарубками — такие находили ещё у древних египтян и в Индии. Позже договорились об одинаковых мерах: в России был аршин, в Англии — фут и дюйм. Когда во Франции придумали метр, линейки стали размечать в сантиметрах и миллиметрах. Обычная школьная линейка — и есть маленький координатный луч: у неё есть 0, единичный отрезок 1 см и направление.

Ответ: пример выше.

Готовимся к следующей теме

№ 24

1) Площадь Братского водохранилища (Россия) — 5470 км², Бухтарминского (Казахстан) — 5490 км². Какое больше? 2) Одна из площадей Казахстана — 2 699 700 км², другая — 2 724 900 км². Какая из них общая площадь, а какая — площадь суши ($С$)? Найди площадь водоёмов ($В$), сравни площади и запиши неравенства.

Как думать. Общая площадь — это суша и вода вместе, поэтому она больше. Вода = общая − суша.

Решение.

1. 5490 > 5470: Бухтарминское водохранилище больше на 20 км².
2. Общая площадь — 2 724 900 км², суша $С$ — 2 699 700 км².
3. Вода: $В = 2,724,900 - 2,699,700 = 25,200$ км².
4. Неравенства: $2,724,900 > 2,699,700$; $2,699,700 > 25,200$; $25,200 < 2,724,900$.

Ответ: 1) Бухтарминское; 2) общая 2 724 900 км², суша 2 699 700 км², вода 25 200 км²; $25,200 < 2,699,700 < 2,724,900$.

№ 25

Сравни: 1) 93 и 89; 2) 201 и 210; 3) 839 и 893; 4) 672 и 7002; 5) 4242 и 4224; 6) 53 711 и 6999.

Как думать. Сначала считаем цифры: у кого больше разрядов, тот больше. Если цифр поровну — сравниваем слева направо до первой разницы.

Решение.

1. 93 > 89 — десятков больше.
2. 201 < 210 — сотни равны, десятков 0 < 1.
3. 839 < 893 — десятков 3 < 9.
4. 672 < 7002 — три цифры против четырёх.
5. 4242 > 4224 — десятков 4 > 2.
6. 53 711 > 6999 — пять цифр против четырёх.

Ответ: 93 > 89; 201 < 210; 839 < 893; 672 < 7002; 4242 > 4224; 53 711 > 6999.

№ 26

Какие неравенства верные: 1) $459 > 145$; 2) $900 > 90$; 3) $1028 > 1208$; 4) $7521 < 7539$; 5) $99,888 > 99,988$; 6) $62,624 > 62$?

Решение.

1. Верно: сотен 4 > 1.
2. Верно: три цифры больше, чем две.
3. Неверно: сотен 0 < 2, значит, $1028 < 1208$.
4. Верно: десятков 2 < 3.
5. Неверно: сотен 8 < 9, значит, $99,888 < 99,988$.
6. Верно: пять цифр больше, чем две.

Ответ: верны 1), 2), 4), 6).

Шпаргалка

• Луч + начало 0 + единичный отрезок + направление = координатный луч.
• Сначала узнай цену одного деления, потом умножай на число делений.
• Координата точки = расстояние от начала до неё (в единичных отрезках).
• Правее — больше, левее — меньше.

Мини-тест