Упражнения для повторения

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 11: Упражнения для повторения. Страницы 117–124.

Что повторяем

Это финал года. Новых правил здесь нет — только задачи на всё, что ты уже знаешь. Споткнулся — загляни в нужный параграф.

• Уравнения и действия с натуральными числами — § 4, § 6 (часть 1).
• Степень числа — § 13 (часть 1).
• НОД и НОК, разложение на простые множители — § 14, § 15 (часть 1).
• Обыкновенные дроби и смешанные числа: все четыре действия — § 21–28 (часть 1).
• Буквенные выражения и формулы: периметр, площадь, объём — § 5, § 7 (часть 1), § 54 (часть 2).
• Текстовые задачи, движение — § 8 (часть 1), § 42, § 46, § 49 (часть 2).
• Дробь от числа и число по дроби, совместная работа — § 29, § 30 (часть 2).
• Десятичные дроби и действия с ними — § 31–40 (часть 2).
• Округление — § 41 (часть 2).
• Проценты — § 47–49 (часть 2).
• Углы, круг и секторы, отрезки — § 50, § 52 (часть 2).

👨‍👩‍👧 Родителю. Не нужно решать всё за один вечер. Удобно брать один подраздел за раз. Если ребёнок «плавает» в какой-то теме, откройте вместе указанный параграф и разберите там 2–3 задачи.

💡 Главный секрет примеров «с дробями и десятичными вперемешку»: сначала реши, в каком виде удобнее считать. Если дробь легко превращается в десятичную ($\frac{1}{4} = 0{,}25$), считай десятичными. Если нет ($\frac{1}{3}$), переводи всё в обыкновенные.

Решаем упражнения

1. Натуральные числа: уравнения, НОД и НОК

№ 937

Реши уравнения: 1) $213 \cdot (x - 89) = 9585$; 2) $(x + 51) \cdot 309 = 16,686$; 3) $4848 : (60 - x) = 101$; 4) $9435 : (77 - x) = 555$.

Как думать. Скобку считаем одним «неизвестным кусочком». Сначала находим скобку, потом — сам $x$.

Решение.

1. $x - 89 = 9585 : 213 = 45$, $x = 45 + 89 = 134$.
2. $x + 51 = 16,686 : 309 = 54$, $x = 54 - 51 = 3$.
3. $60 - x = 4848 : 101 = 48$, $x = 60 - 48 = 12$.
4. $77 - x = 9435 : 555 = 17$, $x = 77 - 17 = 60$.

Ответ: 1) 134; 2) 3; 3) 12; 4) 60.

№ 938

Найди НОД трёх чисел: 1) 27; 81; 54; 2) 32; 48; 102; 3) 50; 75; 250; 4) 44; 110; 154; 5) 38; 95; 190; 6) 46; 92; 115.

Как думать. Сначала проверь: не делятся ли все числа на самое маленькое из них? Если нет — раскладываем на простые множители и берём общие.

Решение.

1. 81 и 54 делятся на 27: НОД = 27.
2. $32 = 2^5$, $48 = 2^4 \cdot 3$, $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$. Общий только множитель 2: НОД = 2.
3. $50 = 2 \cdot 5^2$, $75 = 3 \cdot 5^2$, $250 = 2 \cdot 5^3$: НОД = $5^2 =$ 25.
4. $44 = 2^2 \cdot 11$, $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$, $154 = 2 \cdot 7 \cdot 11$: НОД = $2 \cdot 11 =$ 22.
5. $38 = 2 \cdot 19$, $95 = 5 \cdot 19$, $190 = 2 \cdot 5 \cdot 19$: НОД = 19.
6. $46 = 2 \cdot 23$, $92 = 4 \cdot 23$, $115 = 5 \cdot 23$: НОД = 23.

Ответ: 1) 27; 2) 2; 3) 25; 4) 22; 5) 19; 6) 23.

№ 939

Найди НОК трёх чисел: 1) 60; 24; 36; 2) 30; 45; 105; 3) 80; 88; 220; 4) 36; 90; 200; 5) 56; 140; 350; 6) 72; 108; 144; 7) 90; 60; 135; 8) 100; 80; 120; 9) 35; 68; 187.

Как думать. Раскладываем каждое число на простые множители. В НОК входят все множители, каждый — столько раз, сколько он встречается чаще всего в одном из чисел.

Решение.

1. $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $36 = 2^2 \cdot 3^2$. НОК $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360$.
2. $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $45 = 3^2 \cdot 5$, $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. НОК $= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 630$.
3. $80 = 2^4 \cdot 5$, $88 = 2^3 \cdot 11$, $220 = 2^2 \cdot 5 \cdot 11$. НОК $= 2^4 \cdot 5 \cdot 11 = 880$.
4. $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $200 = 2^3 \cdot 5^2$. НОК $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800$.
5. $56 = 2^3 \cdot 7$, $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$, $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$. НОК $= 2^3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 1400$.
6. $72 = 2^3 \cdot 3^2$, $108 = 2^2 \cdot 3^3$, $144 = 2^4 \cdot 3^2$. НОК $= 2^4 \cdot 3^3 = 432$.
7. $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $135 = 3^3 \cdot 5$. НОК $= 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 540$.
8. $100 = 2^2 \cdot 5^2$, $80 = 2^4 \cdot 5$, $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$. НОК $= 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 1200$.
9. Подробно — в виджете выше: НОК $= 26,180$.

Ответ: 1) 360; 2) 630; 3) 880; 4) 1800; 5) 1400; 6) 432; 7) 540; 8) 1200; 9) 26 180.

⚠️ Частая ошибка. Путают НОД и НОК. Запомни: НОД не больше самого маленького числа (это делитель). НОК не меньше самого большого (это кратное). Если НОК(60; 24; 36) у тебя вышел 12 — что-то перепутано.

2. Обыкновенные дроби и смешанные числа

№ 940

Выполни действия: 1) $\frac{2}{9} + \frac{7}{11} - \frac{10}{99}$; 2) $3\frac{5}{12} + 9\frac{1}{6} - 5\frac{1}{18}$; 3) $\frac{18}{85} + 6\frac{5}{63} - \frac{7}{18}$; 4) $5\frac{2}{3} + 11\frac{7}{12} - 4\frac{3}{4}$; 5) $9\frac{2}{5} + \frac{3}{8} - 4\frac{3}{20}$; 6) $10\frac{1}{12} + 2\frac{5}{36} - 2\frac{7}{72}$.

Как думать. Приводим дроби к общему знаменателю (это НОК знаменателей). Целые части считаем отдельно. Не хватает дроби при вычитании — «занимаем» единицу из целых.

Решение.

1. Общий знаменатель 99: $\frac{22}{99} + \frac{63}{99} - \frac{10}{99} = \frac{75}{99} = \frac{25}{33}$.
2. Общий знаменатель 36: $3\frac{15}{36} + 9\frac{6}{36} - 5\frac{2}{36} = 7\frac{19}{36}$.
3. Общий знаменатель $10,710$: $\frac{2268}{10,710} + 6\frac{850}{10,710} - \frac{4165}{10,710} = 6\frac{3118}{10,710} - \frac{4165}{10,710} = 5\frac{9663}{10,710} = 5\frac{3221}{3570}$. Знаменатель огромный — это самый «тяжёлый» пример.
4. Общий знаменатель 12: $5\frac{8}{12} + 11\frac{7}{12} = 17\frac{3}{12}$; $17\frac{3}{12} - 4\frac{9}{12} = 16\frac{15}{12} - 4\frac{9}{12} = 12\frac{6}{12} = 12\frac{1}{2}$.
5. Общий знаменатель 40: $9\frac{16}{40} + \frac{15}{40} - 4\frac{6}{40} = 5\frac{25}{40} = 5\frac{5}{8}$.
6. Общий знаменатель 72: $10\frac{6}{72} + 2\frac{10}{72} - 2\frac{7}{72} = 10\frac{9}{72} = 10\frac{1}{8}$.

Ответ: 1) $\frac{25}{33}$; 2) $7\frac{19}{36}$; 3) $5\frac{3221}{3570}$; 4) $12\frac{1}{2}$; 5) $5\frac{5}{8}$; 6) $10\frac{1}{8}$.

№ 941

Вычисли: 1) $\frac{18}{85} : \frac{27}{68} \cdot \frac{45}{28} : \frac{12}{77}$; 2) $\frac{80}{81} : \frac{40}{63} \cdot \frac{27}{28} : \frac{3}{20}$; 3) $\frac{99}{160} : \frac{33}{40} \cdot \frac{20}{27} : \frac{5}{81}$; 4) $\frac{24}{37} : \frac{27}{74} : \frac{32}{45} \cdot \frac{14}{15}$.

Как думать. Деление на дробь — это умножение на перевёрнутую дробь. Получается одно длинное произведение. Сокращаем до умножения, иначе числа станут огромными.

Решение.

1. $\frac{18}{85} \cdot \frac{68}{27} \cdot \frac{45}{28} \cdot \frac{77}{12}$. Сокращаем: $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$, $\frac{68}{85} = \frac{4}{5}$, затем $\frac{45}{3 \cdot 5} = 3$. Остаётся $\frac{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 77}{28 \cdot 12} = \frac{1848}{336} = 5\frac{1}{2}$.
2. $\frac{80}{81} \cdot \frac{63}{40} \cdot \frac{27}{28} \cdot \frac{20}{3} = 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{20}{3} = \frac{360}{36} = 10$.
3. $\frac{99}{160} \cdot \frac{40}{33} \cdot \frac{20}{27} \cdot \frac{81}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{27} \cdot \frac{81}{5} = \frac{3 \cdot 20 \cdot 81}{4 \cdot 27 \cdot 5} = 9$.
4. $\frac{24}{37} \cdot \frac{74}{27} \cdot \frac{45}{32} \cdot \frac{14}{15} = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{14}{15} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: 1) $5\frac{1}{2}$; 2) 10; 3) 9; 4) $2\frac{1}{3}$.

№ 942

Реши уравнения: 1) $x + 8\frac{5}{6} = 10\frac{1}{3}$; 2) $11\frac{7}{9} + y = 13\frac{1}{18}$; 3) $x - 24\frac{2}{7} = 16\frac{3}{8}$; 4) $60\frac{2}{5} - y = 57\frac{3}{4}$; 5) $2\frac{2}{9} \cdot x = 1\frac{1}{2}$; 6) $1\frac{13}{75} \cdot y = \frac{2}{3}$; 7) $x : \frac{35}{36} = 1\frac{1}{20}$; 8) $\frac{24}{35} : y = 1\frac{5}{49}$.

Как думать. Правила те же, что для натуральных чисел. Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое. Неизвестный множитель = произведение : известный множитель. И так далее.

Решение.

1. $x = 10\frac{1}{3} - 8\frac{5}{6} = 9\frac{8}{6} - 8\frac{5}{6} = 1\frac{3}{6} = 1\frac{1}{2}$.
2. $y = 13\frac{1}{18} - 11\frac{14}{18} = 12\frac{19}{18} - 11\frac{14}{18} = 1\frac{5}{18}$.
3. $x = 16\frac{3}{8} + 24\frac{2}{7} = 40\frac{21 + 16}{56} = 40\frac{37}{56}$.
4. $y = 60\frac{2}{5} - 57\frac{3}{4} = 59\frac{28}{20} - 57\frac{15}{20} = 2\frac{13}{20}$.
5. $x = \frac{3}{2} : \frac{20}{9} = \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{20} = \frac{27}{40}$.
6. $y = \frac{2}{3} : \frac{88}{75} = \frac{2}{3} \cdot \frac{75}{88} = \frac{25}{44}$.
7. $x = \frac{21}{20} \cdot \frac{35}{36} = \frac{49}{48} = 1\frac{1}{48}$.
8. $y = \frac{24}{35} : \frac{54}{49} = \frac{24}{35} \cdot \frac{49}{54} = \frac{28}{45}$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{2}$; 2) $1\frac{5}{18}$; 3) $40\frac{37}{56}$; 4) $2\frac{13}{20}$; 5) $\frac{27}{40}$; 6) $\frac{25}{44}$; 7) $1\frac{1}{48}$; 8) $\frac{28}{45}$.

№ 943

Найди корни: 1) $5x - 3\frac{1}{2} = 4\frac{2}{3}$; 2) $8x + 11\frac{2}{11} = 15$; 3) $18 - 2x = 16\frac{3}{4}$; 4) $4x - 19\frac{3}{5} = 23$; 5) $\left(x - 5\frac{7}{12}\right) : 25 = \frac{7}{75}$; 6) $\left(8\frac{7}{12} - x\right) : 20 = \frac{7}{40}$; 7) $36 : \left(x + 11\frac{4}{5}\right) = 1\frac{17}{19}$; 8) $44 : \left(x - 9\frac{3}{4}\right) = 1\frac{9}{13}$.

Как думать. Распутываем уравнение «снаружи внутрь»: сначала находим то, что в скобках или рядом с $x$, потом сам $x$.

Решение.

1. $5x = 4\frac{2}{3} + 3\frac{1}{2} = 8\frac{1}{6} = \frac{49}{6}$; $x = \frac{49}{30} = 1\frac{19}{30}$.
2. $8x = 15 - 11\frac{2}{11} = 3\frac{9}{11} = \frac{42}{11}$; $x = \frac{42}{88} = \frac{21}{44}$.
3. $2x = 18 - 16\frac{3}{4} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$; $x = \frac{5}{8}$.
4. $4x = 23 + 19\frac{3}{5} = 42\frac{3}{5} = \frac{213}{5}$; $x = \frac{213}{20} = 10\frac{13}{20}$.
5. $x - 5\frac{7}{12} = \frac{7}{75} \cdot 25 = \frac{7}{3} = 2\frac{4}{12}$; $x = 7\frac{11}{12}$.
6. $8\frac{7}{12} - x = \frac{7}{40} \cdot 20 = 3\frac{6}{12}$; $x = 5\frac{1}{12}$.
7. $x + 11\frac{4}{5} = 36 : \frac{36}{19} = 19$; $x = 19 - 11\frac{4}{5} = 7\frac{1}{5}$.
8. $x - 9\frac{3}{4} = 44 : \frac{22}{13} = 26$; $x = 35\frac{3}{4}$.

Ответ: 1) $1\frac{19}{30}$; 2) $\frac{21}{44}$; 3) $\frac{5}{8}$; 4) $10\frac{13}{20}$; 5) $7\frac{11}{12}$; 6) $5\frac{1}{12}$; 7) $7\frac{1}{5}$; 8) $35\frac{3}{4}$.

№ 944

Найди значения шести выражений. В каждом три скобки, связанные умножением и делением. Например, 1) $\left(1\frac{3}{25} - \frac{4}{25}\right) : \left(1 - \frac{2}{5}\right) \cdot \left(10 - 9\frac{1}{16}\right)$.

Как думать. Сначала считаем каждую скобку отдельно и превращаем результат в неправильную дробь. Потом действия по порядку слева направо.

Решение.

1. $\frac{24}{25} : \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{16} = \frac{8}{5} \cdot \frac{15}{16} = 1\frac{1}{2}$.
2. $\left(1 + \frac{7}{23}\right) = \frac{30}{23}$; $\left(2 - \frac{4}{25}\right) = \frac{46}{25}$; $\left(99 - 98\frac{1}{5}\right) = \frac{4}{5}$. Итого $\frac{30}{23} \cdot \frac{46}{25} : \frac{4}{5} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4} = 3$.
3. $\frac{7}{15} + \frac{23}{45} = \frac{44}{45}$; $1\frac{4}{11} + \frac{5}{22} = 1\frac{13}{22} = \frac{35}{22}$; $11\frac{5}{18} - 7\frac{1}{9} = 4\frac{1}{6} = \frac{25}{6}$. Итого $\frac{44}{45} \cdot \frac{35}{22} : \frac{25}{6} = \frac{14}{9} \cdot \frac{6}{25} = \frac{28}{75}$.
4. $15 - 13\frac{4}{97} = \frac{190}{97}$; $1\frac{4}{5} + \frac{7}{50} = \frac{97}{50}$; $12\frac{7}{10} - 7 = \frac{57}{10}$. Итого $\frac{190}{97} \cdot \frac{97}{50} : \frac{57}{10} = \frac{19}{5} \cdot \frac{10}{57} = \frac{2}{3}$.
5. $1\frac{3}{13} + \frac{14}{65} = \frac{94}{65}$; $21 - 18\frac{6}{13} = \frac{33}{13}$; $5\frac{10}{11} - 5\frac{3}{55} = \frac{47}{55}$. Итого $\frac{94}{65} \cdot \frac{13}{33} \cdot \frac{55}{47} = \frac{2}{3}$.
6. $6\frac{2}{11} - 5\frac{1}{77} = \frac{90}{77}$; $\frac{17}{35} + 1\frac{2}{5} = \frac{66}{35}$; $8\frac{1}{9} - 5\frac{7}{18} = \frac{49}{18}$. Итого $\frac{90}{77} \cdot \frac{66}{35} \cdot \frac{49}{18} = 6$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{2}$; 2) 3; 3) $\frac{28}{75}$; 4) $\frac{2}{3}$; 5) $\frac{2}{3}$; 6) 6.

№ 946

1) Первое число $10\frac{3}{7}$, оно на $2\frac{1}{3}$ больше второго. 2) Первое число $7\frac{3}{16}$, оно в 5 раз больше второго. Найди сумму двух чисел в каждом случае.

Как думать. «Первое больше на…» — значит, второе меньше на столько же: вычитаем. «Больше в 5 раз» — второе в 5 раз меньше: делим.

Решение.

1. Второе: $10\frac{3}{7} - 2\frac{1}{3} = 10\frac{9}{21} - 2\frac{7}{21} = 8\frac{2}{21}$. Сумма: $10\frac{9}{21} + 8\frac{2}{21} = 18\frac{11}{21}$.
2. Второе: $7\frac{3}{16} : 5 = \frac{115}{16} \cdot \frac{1}{5} = \frac{23}{16} = 1\frac{7}{16}$. Сумма: $7\frac{3}{16} + 1\frac{7}{16} = 8\frac{10}{16} = 8\frac{5}{8}$.

Ответ: 1) $18\frac{11}{21}$; 2) $8\frac{5}{8}$.

3. Десятичные дроби и действия «вперемешку»

№ 945

Найди значения: 1) $(7 - 2{,}5) \cdot (3{,}25 + 3{,}35) : (10 - 9{,}73)$; 2) $(81{,}8 + 18{,}1) : (4 - 0{,}67) \cdot (0{,}97 + 0{,}28)$; 3) $(90 - 2{,}5) \cdot (2{,}66 - 0{,}06) : (1{,}075 + 10{,}3)$; 4) $(23{,}88 + 20{,}34) : (3 - 0{,}99) \cdot (4{,}9 + 4{,}6)$; 5) $(2{,}2 - 2{,}075) \cdot (1{,}08 + 0{,}28) : (36{,}6 + 5{,}9)$; 6) $(1{,}1 - 0{,}85) \cdot (0{,}023 + 0{,}017) \cdot (98{,}2 + 1{,}8)$.

Как думать. Скобки — первыми. При делении на десятичную дробь переносим запятую в обоих числах так, чтобы делитель стал натуральным.

Решение.

1. $4{,}5 \cdot 6{,}6 : 0{,}27 = 29{,}7 : 0{,}27 = 2970 : 27 = 110$.
2. $99{,}9 : 3{,}33 \cdot 1{,}25 = 30 \cdot 1{,}25 = 37{,}5$.
3. $87{,}5 \cdot 2{,}6 : 11{,}375 = 227{,}5 : 11{,}375 = 20$.
4. $44{,}22 : 2{,}01 \cdot 9{,}5 = 22 \cdot 9{,}5 = 209$.
5. $0{,}125 \cdot 1{,}36 : 42{,}5 = 0{,}17 : 42{,}5 = 0{,}004$.
6. $0{,}25 \cdot 0{,}04 \cdot 100 = 0{,}01 \cdot 100 = 1$.

Ответ: 1) 110; 2) 37,5; 3) 20; 4) 209; 5) 0,004; 6) 1.

№ 947

1) Сумма трёх чисел 53,5; первое в 3 раза меньше второго, третье на 6 меньше второго. 2) Сумма трёх чисел 313; первое в 5 раз меньше второго, третье на 58,2 больше первого. Найди числа.

Как думать. Обозначаем за $x$ самое маленькое — первое число. Остальные легко выразить через $x$.

Решение.

1. Первое $x$, второе $3x$, третье $3x - 6$. Уравнение: $x + 3x + 3x - 6 = 53{,}5$, $7x = 59{,}5$, $x = 8{,}5$. Второе $25{,}5$, третье $19{,}5$.
2. Первое $x$, второе $5x$, третье $x + 58{,}2$. Уравнение: $7x + 58{,}2 = 313$, $7x = 254{,}8$, $x = 36{,}4$. Второе $182$, третье $94{,}6$.

Проверка: $8{,}5 + 25{,}5 + 19{,}5 = 53{,}5$ ✓; $36{,}4 + 182 + 94{,}6 = 313$ ✓.

Ответ: 1) 8,5; 25,5; 19,5; 2) 36,4; 182; 94,6.

№ 952

Выполни действия: 1) $\left(4\frac{1}{9} \cdot 3{,}3 + 126\frac{13}{30}\right) \cdot 1{,}5 : 60$; 2) $\left(2{,}07 \cdot 4\frac{4}{9} - 7{,}75\right) \cdot 80 : 23{,}2$; 3) $\left(36{,}3 \cdot \frac{7}{11} + 2{,}9\right) : 0{,}52 \cdot 19$; 4) $\left(17\frac{3}{22} : \frac{29}{66} - 36{,}75\right) \cdot 60$.

Как думать. Дроби $\frac{1}{9}$ и $\frac{7}{11}$ «ровно» в десятичные не переводятся. Поэтому десятичную дробь умножаем на обыкновенную так: делим на знаменатель, умножаем на числитель.

Решение.

1. $4\frac{1}{9} \cdot 3{,}3 = \frac{37}{9} \cdot \frac{33}{10} = \frac{407}{30} = 13\frac{17}{30}$. $13\frac{17}{30} + 126\frac{13}{30} = 140$. $140 \cdot 1{,}5 = 210$, $210 : 60 = 3{,}5$.
2. $2{,}07 \cdot \frac{40}{9} = 0{,}23 \cdot 40 = 9{,}2$. $9{,}2 - 7{,}75 = 1{,}45$. $1{,}45 \cdot 80 = 116$, $116 : 23{,}2 = 5$.
3. $36{,}3 \cdot \frac{7}{11} = 3{,}3 \cdot 7 = 23{,}1$. $23{,}1 + 2{,}9 = 26$. $26 : 0{,}52 = 50$, $50 \cdot 19 = 950$.
4. $\frac{377}{22} \cdot \frac{66}{29} = 13 \cdot 3 = 39$. $39 - 36{,}75 = 2{,}25$. $2{,}25 \cdot 60 = 135$.

Ответ: 1) 3,5; 2) 5; 3) 950; 4) 135.

№ 953

Найди корни: 1) $\left(101\frac{4}{7} - x\right) : 29 = \frac{1}{14}$; 2) $(68{,}7 + x) : 28\frac{1}{90} = 3$; 3) $6\frac{17}{27} : \left(x - 76\frac{2}{9}\right) = 1\frac{2}{3}$; 4) $131\frac{6}{35} : (24{,}3 + x) = 2$.

Как думать. Сначала находим скобку как неизвестное делимое или делитель. Потом — $x$.

Решение.

1. $101\frac{4}{7} - x = \frac{29}{14} = 2\frac{1}{14}$; $x = 101\frac{8}{14} - 2\frac{1}{14} = 99\frac{7}{14} = 99{,}5$.
2. $68{,}7 + x = 3 \cdot 28\frac{1}{90} = 84\frac{1}{30}$; $x = 84\frac{1}{30} - 68\frac{21}{30} = 15\frac{10}{30} = 15\frac{1}{3}$.
3. $x - 76\frac{2}{9} = \frac{179}{27} : \frac{5}{3} = \frac{179}{45} = 3\frac{44}{45}$; $x = 76\frac{10}{45} + 3\frac{44}{45} = 80\frac{9}{45} = 80{,}2$.
4. $24{,}3 + x = 131\frac{6}{35} : 2 = 65\frac{41}{70}$; $x = 65\frac{41}{70} - 24\frac{21}{70} = 41\frac{20}{70} = 41\frac{2}{7}$.

Ответ: 1) 99,5; 2) $15\frac{1}{3}$; 3) 80,2; 4) $41\frac{2}{7}$.

№ 954

Найди значения выражений: 1) $2\frac{18}{31} \cdot a - 2{,}75 : b$ при $a = 12{,}4$, $b = 4\frac{5}{7}$; 2) $1\frac{2}{3} \cdot x + y : 19{,}5$ при $x = 3{,}6$, $y = 2\frac{8}{9}$; 3) $c : d : 0{,}96 - 0{,}35$ при $c = 1\frac{13}{55}$, $d = 1\frac{1}{33}$; 4) $2\frac{1}{22} \cdot z : t - 3{,}99$ при $z = 2\frac{17}{30}$, $t = 1{,}3125$.

Как думать. Подставляем числа вместо букв и считаем по порядку действий. Смешанные числа — в неправильные дроби.

Решение.

1. $\frac{80}{31} \cdot 12{,}4 = \frac{80 \cdot 124}{31 \cdot 10} = 32$; $2{,}75 : 4\frac{5}{7} = \frac{11}{4} \cdot \frac{7}{33} = \frac{7}{12}$; $32 - \frac{7}{12} = 31\frac{5}{12}$.
2. $\frac{5}{3} \cdot 3{,}6 = 6$; $\frac{26}{9} : \frac{39}{2} = \frac{26}{9} \cdot \frac{2}{39} = \frac{4}{27}$; $6 + \frac{4}{27} = 6\frac{4}{27}$.
3. $\frac{68}{55} : \frac{34}{33} = \frac{68}{55} \cdot \frac{33}{34} = \frac{6}{5} = 1{,}2$; $1{,}2 : 0{,}96 = 1{,}25$; $1{,}25 - 0{,}35 = 0{,}9$.
4. $\frac{45}{22} \cdot \frac{77}{30} = \frac{21}{4} = 5{,}25$; $5{,}25 : 1{,}3125 = 4$; $4 - 3{,}99 = 0{,}01$.

Ответ: 1) $31\frac{5}{12}$; 2) $6\frac{4}{27}$; 3) 0,9; 4) 0,01.

№ 955

Какие натуральные числа можно подставить вместо буквы: 1) $10{,}5 + 8{,}9 < x < 23$; 2) $7 < x < 41{,}8 - 29{,}9$; 3) $11 < x < 7{,}77 + 6{,}3$; 4) $60{,}2 - 6{,}6 < x < 57$; 5) $2{,}5 \cdot 7 < y < 21$; 6) $9{,}66 : 2{,}3 < y < 10$; 7) $5\frac{1}{7} \cdot 3{,}5 < z < 22{,}4$; 8) $1{,}5 \cdot 9\frac{1}{3} < z < 18{,}8$?

Как думать. Сначала считаем границы. Потом выписываем натуральные числа строго между ними: знак строгий, поэтому сами границы не берём.

Решение.

1. $19{,}4 < x < 23$: $x$ = 20, 21, 22.
2. $7 < x < 11{,}9$: $x$ = 8, 9, 10, 11.
3. $11 < x < 14{,}07$: $x$ = 12, 13, 14.
4. $53{,}6 < x < 57$: $x$ = 54, 55, 56.
5. $17{,}5 < y < 21$: $y$ = 18, 19, 20.
6. $4{,}2 < y < 10$: $y$ = 5, 6, 7, 8, 9.
7. $\frac{36}{7} \cdot 3{,}5 = 18$, $18 < z < 22{,}4$: $z$ = 19, 20, 21, 22.
8. $1{,}5 \cdot \frac{28}{3} = 14$, $14 < z < 18{,}8$: $z$ = 15, 16, 17, 18.

Ответ: 1) 20, 21, 22; 2) 8, 9, 10, 11; 3) 12, 13, 14; 4) 54, 55, 56; 5) 18, 19, 20; 6) 5, 6, 7, 8, 9; 7) 19, 20, 21, 22; 8) 15, 16, 17, 18.

⚠️ Частая ошибка. В 7) и 8) левая граница вышла целой (18 и 14). Её брать нельзя: $18 < z$ значит «больше 18», а не «18 и больше».

№ 956

Выполни действия в восьми длинных примерах с обыкновенными и десятичными дробями и степенями. Например, 1) $\left(3 - 3{,}8 : 5\frac{2}{11}\right) \cdot \frac{3}{17} + \left(18 - 8\frac{2}{3}\right) : 1\frac{1}{6}$.

Как думать. Длинный пример разбей на кусочки и посчитай каждый отдельно. Порядок: степени → скобки → умножение и деление → сложение и вычитание.

Решение.

1. $3{,}8 : 5\frac{2}{11} = \frac{19}{5} \cdot \frac{11}{57} = \frac{11}{15}$; $3 - \frac{11}{15} = \frac{34}{15}$; $\frac{34}{15} \cdot \frac{3}{17} = \frac{2}{5}$. Вторая часть: $9\frac{1}{3} : \frac{7}{6} = \frac{28}{3} \cdot \frac{6}{7} = 8$. Итого $0{,}4 + 8 = 8{,}4$.
2. $13\frac{2}{7} : \frac{31}{70} = \frac{93}{7} \cdot \frac{70}{31} = 30$; $30 - 28{,}5 = 1{,}5$; $1{,}5 : 6{,}75 = \frac{2}{9}$. $20\frac{2}{3} - 19\frac{9}{10} = \frac{23}{30}$. Итого $\frac{20}{90} + \frac{69}{90} = \frac{89}{90}$.
3. $3{,}6 : 1\frac{7}{20} = 3{,}6 : 1{,}35 = 2\frac{2}{3}$; $8\frac{1}{4} \cdot 1\frac{52}{99} = \frac{33}{4} \cdot \frac{151}{99} = 12\frac{7}{12}$. Итого $4\frac{3}{12} - 2\frac{8}{12} + 12\frac{7}{12} - 12\frac{8}{12} = 1\frac{1}{2} = 1{,}5$.
4. $99\frac{1}{9} : 44{,}6 = \frac{892}{9} \cdot \frac{5}{223} = 2\frac{2}{9}$; $4\frac{7}{12} \cdot \frac{4}{11} = 1\frac{2}{3}$; $2\frac{2}{9} - 1\frac{6}{9} + 13\frac{11}{18} = 14\frac{1}{6} = \frac{85}{6}$; $\frac{85}{6} : 25{,}5 = \frac{85}{6} \cdot \frac{2}{51} = \frac{5}{9}$.
5. $50{,}2 : 41\frac{5}{6} = \frac{251}{5} \cdot \frac{6}{251} = 1{,}2$; $18{,}04 : 50\frac{1}{9} = \frac{451}{25} \cdot \frac{9}{451} = 0{,}36$; $(1{,}2 - 0{,}36) \cdot 0{,}05 = 0{,}042$; $0{,}042 + 4{,}2 = 4{,}242$.
6. $\left(\frac{9}{10}\right)^2 = 0{,}81$; $0{,}027 : 0{,}81 = \frac{1}{30}$; $0{,}09 \cdot \frac{10}{27} = \frac{1}{30}$; $\frac{2}{30} \cdot 0{,}03 = 0{,}002$; $0{,}002 + 0{,}998 = 1$.
7. $\left(2\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{512}{27}$; $\frac{512}{27} : \frac{256}{9} = \frac{2}{3}$; $\frac{2}{3} + 2{,}2 = \frac{43}{15}$; $\frac{43}{15} \cdot \frac{75}{96} = \frac{215}{96} = 2\frac{23}{96}$. Дальше надо вычесть $4{,}25$, а это больше, чем $2\frac{23}{96}$. Такое вычитание в 5 классе ещё не выполняют — скорее всего, в условии опечатка. Уточни условие у учителя.
8. $\left(\frac{5}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{125}{27} \cdot \frac{9}{25} = \frac{5}{3}$; $0{,}96 : 0{,}06 = 16$; $1\frac{2}{3} + 16 - 16\frac{16}{21} = 17\frac{14}{21} - 16\frac{16}{21} = \frac{19}{21}$.

Ответ: 1) 8,4; 2) $\frac{89}{90}$; 3) 1,5; 4) $\frac{5}{9}$; 5) 4,242; 6) 1; 7) до вычитания выходит $2\frac{23}{96}$ — вычесть 4,25 нельзя, проверь условие; 8) $\frac{19}{21}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Пример 7 из № 956 в 5 классе не решается: результат выходит меньше нуля. Если ребёнок на нём застрял — дело не в нём.

№ 958

1) Из задуманного числа вычли 8,9, разность уменьшили в 6 раз, частное увеличили на $\frac{3}{10}$ — получилось число на $\frac{23}{60}$ меньше 1. 2) Из 25,07 вычли задуманное число, разность уменьшили в 3 раза, частное увеличили на 0,81 — получилось число на 0,9 больше 1. Найди задуманные числа.

Как думать. Идём с конца и делаем всё наоборот: вместо «прибавить» — вычитаем, вместо «уменьшить в 6 раз» — умножаем на 6.

Решение.

1. Результат: $1 - \frac{23}{60} = \frac{37}{60}$. До прибавления: $\frac{37}{60} - \frac{18}{60} = \frac{19}{60}$. До деления: $\frac{19}{60} \cdot 6 = 1{,}9$. До вычитания: $1{,}9 + 8{,}9 = 10{,}8$.
2. Результат: $1 + 0{,}9 = 1{,}9$. До прибавления: $1{,}9 - 0{,}81 = 1{,}09$. До деления: $1{,}09 \cdot 3 = 3{,}27$. Задуманное: $25{,}07 - 3{,}27 = 21{,}8$.

Ответ: 1) 10,8; 2) 21,8.

4. Геометрия: периметр, площадь, объём, построения

№ 948

1) Длина прямоугольника $4\frac{5}{7}$ см, ширина в 3 раза меньше. 2) Ширина $8\frac{2}{9}$ см, длина в 3 раза больше. Найди периметры. 3) Периметр 26 см, длина $9\frac{3}{10}$ см — найди ширину.

Как думать. $P = 2 \cdot (a + b)$. Значит, половина периметра — это длина плюс ширина.

Решение.

1. Ширина $4\frac{5}{7} : 3 = \frac{33}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7}$ см. $P = 2 \cdot \left(4\frac{5}{7} + 1\frac{4}{7}\right) = 2 \cdot 6\frac{2}{7} = 12\frac{4}{7}$ см.
2. Длина $8\frac{2}{9} \cdot 3 = 24\frac{2}{3}$ см. $P = 2 \cdot \left(8\frac{2}{9} + 24\frac{6}{9}\right) = 2 \cdot 32\frac{8}{9} = 65\frac{7}{9}$ см.
3. $a + b = 26 : 2 = 13$ см. Ширина $13 - 9\frac{3}{10} = 3\frac{7}{10}$ см.

Ответ: 1) $12\frac{4}{7}$ см; 2) $65\frac{7}{9}$ см; 3) $3\frac{7}{10}$ см.

№ 949

Найди площадь квадрата со стороной $a$: 1) 4,5 см; 2) $8\frac{3}{7}$ см; 3) 9,4 см; 4) $10\frac{1}{3}$ см.

Как думать. $S = a^2 = a \cdot a$.

Решение.

1. $4{,}5 \cdot 4{,}5 = 20{,}25$ см².
2. $\frac{59}{7} \cdot \frac{59}{7} = \frac{3481}{49} = 71\frac{2}{49}$ см².
3. $9{,}4 \cdot 9{,}4 = 88{,}36$ см².
4. $\frac{31}{3} \cdot \frac{31}{3} = \frac{961}{9} = 106\frac{7}{9}$ см².

Ответ: 1) 20,25 см²; 2) $71\frac{2}{49}$ см²; 3) 88,36 см²; 4) $106\frac{7}{9}$ см².

№ 950

Найди объём прямоугольного параллелепипеда: 1) $a = 2{,}5$ см, $b = 1{,}6$ см, $c = 3{,}5$ см; 2) $a = 4\frac{2}{7}$ дм, $b = \frac{14}{15}$ дм, $c = 11$ дм.

Как думать. $V = a \cdot b \cdot c$. Множители можно переставлять — выбирай удобную пару.

Решение.

1. $2{,}5 \cdot 1{,}6 = 4$; $4 \cdot 3{,}5 = 14$ см³.
2. $\frac{30}{7} \cdot \frac{14}{15} = 4$; $4 \cdot 11 = 44$ дм³.

Ответ: 1) 14 см³; 2) 44 дм³.

№ 951

Сторона одного квадрата 1,2 см, другого 1,6 см. Площадь третьего квадрата равна сумме их площадей. Найди сторону третьего.

Как думать. Считаем обе площади и складываем. Потом ищем число, которое при умножении само на себя даёт эту сумму.

Решение.

1. $1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44$ см²; $1{,}6 \cdot 1{,}6 = 2{,}56$ см².
2. $1{,}44 + 2{,}56 = 4$ см².
3. $2 \cdot 2 = 4$, значит, сторона 2 см.

Ответ: 2 см.

🌟 Числа 1,2; 1,6 и 2 — это знаменитая тройка 3, 4, 5, только уменьшенная в 2,5 раза. В старших классах ты узнаешь, почему так выходит: это теорема Пифагора.

№ 959

Объём прямоугольного параллелепипеда 1,001 дм³. Его длина, ширина и высота в сантиметрах — простые числа. Сколько проволоки нужно на каркас?

Как думать. Задача повышенной трудности. Ключ — перевести объём в см³ и разложить число на простые множители.

Решение. $1{,}001$ дм³ $= 1001$ см³ $= 7 \cdot 11 \cdot 13$. Каркас: $4 \cdot (7 + 11 + 13) = 124$ см.

Ответ: 124 см.

№ 960

Зелёный кувшин 0,0035 м³, синий 5 дм³, коричневый 2500 см³. Сколько литров в каждом? На сколько литров коричневый меньше синего и зелёного?

Как думать. 1 л = 1 дм³ = 1000 см³, а 1 м³ = 1000 дм³.

Решение.

1. Зелёный: $0{,}0035 \cdot 1000 = 3{,}5$ дм³ = 3,5 л.
2. Синий: 5 дм³ = 5 л.
3. Коричневый: $2500 : 1000 = 2{,}5$ дм³ = 2,5 л.
4. Синий больше коричневого на $5 - 2{,}5 = 2{,}5$ л, зелёный — на $3{,}5 - 2{,}5 = 1$ л.

Ответ: 3,5 л; 5 л; 2,5 л; коричневый меньше синего на 2,5 л, зелёного — на 1 л.

№ 977

Построй отрезок $MH$, равный а) разности и б) сумме отрезков $MK$ и $HK$, если: 1) $MK = 7$ см, $HK = 2$ см; 2) $MK = 9$ см 5 мм, $HK = 3$ см 5 мм; 3) $MK = 8$ см 2 мм, $HK = 5$ см 7 мм; 4) $MK = 10$ см 3 мм, $HK = 4$ см 6 мм.

Как думать. Чертим $MK$. Для разности откладываем $HK$ от точки $K$ в сторону $M$. Для суммы — от точки $K$ дальше, за $K$. Точки $M$, $K$, $H$ лежат на одной прямой.

Решение.

1. а) $7 - 2 = 5$ см; б) $7 + 2 = 9$ см.
2. а) $95 - 35 = 60$ мм = 6 см; б) $95 + 35 = 130$ мм = 13 см.
3. а) $82 - 57 = 25$ мм = 2 см 5 мм; б) $82 + 57 = 139$ мм = 13 см 9 мм.
4. а) $103 - 46 = 57$ мм = 5 см 7 мм; б) $103 + 46 = 149$ мм = 14 см 9 мм.

Начерти линейкой и проверь: длина $MH$ должна совпасть с расчётом.

Ответ: 1) 5 см и 9 см; 2) 6 см и 13 см; 3) 2 см 5 мм и 13 см 9 мм; 4) 5 см 7 мм и 14 см 9 мм.

№ 978

Раздели круг на три сектора так, чтобы угол одного сектора был 45° и составлял $\frac{1}{3}$ угла другого сектора.

Как думать. Весь круг — это 360°. Если 45° — треть второго угла, то второй угол в 3 раза больше.

Решение.

1. Второй сектор: $45° \cdot 3 = 135°$.
2. Третий: $360° - 45° - 135° = 180°$ — это половина круга.
3. Построение: проводим диаметр — он отделяет сектор 180°. На другой половине транспортиром откладываем от радиуса 45°. Оставшийся кусок как раз 135°.

Ответ: 45°, 135° и 180°.

5. Буквенные выражения и формулы

№ 961

Вырази $x$ из формул: 1) $y = x + 19$; 2) $y = 19 - x$; 3) $y = 5x + 4$; 4) $y = 3x - 7$; 5) $y = 8 + 2x$; 6) $y = 14 - 5x$.

Как думать. Работаем с формулой как с уравнением: $x$ — неизвестное, а $y$ как будто известен.

Решение.

1. $x$ — слагаемое: $x = y - 19$.
2. $x$ — вычитаемое: $x = 19 - y$.
3. $5x = y - 4$, $x = \frac{y - 4}{5}$.
4. $3x = y + 7$, $x = \frac{y + 7}{3}$.
5. $2x = y - 8$, $x = \frac{y - 8}{2}$.
6. $5x = 14 - y$, $x = \frac{14 - y}{5}$.

Ответ: 1) $x = y - 19$; 2) $x = 19 - y$; 3) $x = \frac{y-4}{5}$; 4) $x = \frac{y+7}{3}$; 5) $x = \frac{y-8}{2}$; 6) $x = \frac{14-y}{5}$.

№ 979

Составь выражения: 1) Из $c$ м шёлка сшили 10 платьев — сколько метров нужно на 18 таких? 2) Вертолёт за 8 ч пролетел $d$ км — за сколько часов он пролетит $n$ км? 3) В одном альбоме на 16 страницах поровну $x$ марок. В другом $y$ марок, и на каждой странице на 3 марки меньше. Сколько страниц занято во втором альбоме?

Как думать. Решаем как обычную задачу, только вместо чисел — буквы. Сначала находим «одну часть»: одно платье, один час, одну страницу.

Решение.

1. На одно платье $c : 10$ м. На 18 платьев $\frac{c}{10} \cdot 18 = 1{,}8c$ м.
2. Скорость $d : 8$ км/ч. Время $n : \frac{d}{8} = \frac{8n}{d}$ ч.
3. На странице первого альбома $\frac{x}{16}$ марок, второго — $\frac{x}{16} - 3$. Страниц во втором: $y : \left(\frac{x}{16} - 3\right)$.

Ответ: 1) $1{,}8c$ м; 2) $\frac{8n}{d}$ ч; 3) $y : \left(\frac{x}{16} - 3\right)$ стр.

6. Проценты и части

№ 962

Собрали $x$ кг семян цветов: 75% — календула, $\frac{1}{8}$ — астры. Сколько килограммов календулы и астр?

Как думать. 75% — это $\frac{75}{100} = 0{,}75$. Часть от числа находим умножением.

Решение.

1. Календула: $0{,}75x$ кг.
2. Астры: $\frac{1}{8}x = 0{,}125x$ кг.
3. Вместе: $0{,}75x + 0{,}125x = 0{,}875x$ кг.

Ответ: календулы $0{,}75x$ кг, астр $0{,}125x$ кг (вместе $0{,}875x$ кг).

№ 967

Круг разделён на три сектора. Угол второго на 100% больше угла первого, угол третьего — $2\frac{5}{8}$ от угла первого. Найди углы.

Как думать. «На 100% больше» — к первому углу прибавили ещё целый такой же: второй вдвое больше первого. Весь круг — 360°.

Решение.

1. Первый угол $x$, второй $2x$, третий $2\frac{5}{8}x$.
2. $x + 2x + 2\frac{5}{8}x = 5\frac{5}{8}x = \frac{45}{8}x = 360$.
3. $x = 360 \cdot \frac{8}{45} = 64°$. Второй $128°$, третий $64 \cdot \frac{21}{8} = 168°$.

Проверка: $64 + 128 + 168 = 360$ ✓.

Ответ: 64°, 128°, 168°.

⚠️ Частая ошибка. «На 100% больше» путают с «составляет 100%». Составляет 100% — значит, столько же. А на 100% больше — в 2 раза больше.

№ 968

В пачке 250 листов. На одну рукопись ушло 60% пачки, на другую — $\frac{3}{4}$ остатка. Сколько чистых листов осталось?

Как думать. Сначала считаем, сколько ушло на первую рукопись и сколько осталось. Вторая доля берётся уже от остатка, а не от всей пачки.

Решение.

1. На первую рукопись: $250 \cdot 0{,}6 = 150$ листов. Осталось $250 - 150 = 100$.
2. На вторую: $100 \cdot \frac{3}{4} = 75$ листов.
3. Чистых: $100 - 75 = 25$ листов.

Ответ: 25 листов.

№ 969

Длина экватора Земли примерно 400 003 км, диаметр — 32% от неё. Найди диаметр.

Как думать. 32% = 0,32. Умножаем.

Решение. $400,003 \cdot 0{,}32 = 128,000{,}96$ км.

Ответ: 128 000,96 км.

💡 На самом деле экватор Земли около 40 000 км, а диаметр — около 12 700 км. Похоже, в числе 400 003 лишний нуль. С числом 40 003 км вышло бы $40,003 \cdot 0{,}32 = 12,800{,}96$ км — это уже очень близко к правде.

№ 970

Сумма четырёх чисел 210. Первое — $\frac{2}{5}$ от 210, второе — 25% первого, третье — 60% суммы двух оставшихся (третьего и четвёртого). Найди числа.

Как думать. Первые два числа находим сразу. Третье и четвёртое вместе — это то, что осталось от 210.

Решение.

1. Первое: $210 : 5 \cdot 2 = 84$.
2. Второе: $84 \cdot 0{,}25 = 21$.
3. Третье и четвёртое вместе: $210 - 84 - 21 = 105$.
4. Третье: $105 \cdot 0{,}6 = 63$. Четвёртое: $105 - 63 = 42$.

Ответ: 84; 21; 63; 42.

№ 971

Суша Земли — примерно 149 млн км², это 29,2% всей поверхности. Найди площадь поверхности Земли, округли до целых.

Как думать. Известна часть и её процент — ищем всё число. Делим часть на долю: $149 : 0{,}292$.

Решение. $149 : 0{,}292 = 149,000 : 292 \approx 510{,}27 \approx 510$ млн км².

Ответ: около 510 млн км².

№ 973

Суша — около 149 млн км². Азия занимает 29,8% суши, Америка — 28,5%, Африка — 19,6%. Найди их площади, округли до десятых.

Как думать. Процент от числа: переводим процент в десятичную дробь и умножаем.

Решение.

1. Азия: $149 \cdot 0{,}298 = 44{,}402 \approx 44{,}4$ млн км².
2. Америка: $149 \cdot 0{,}285 = 42{,}465 \approx 42{,}5$ млн км².
3. Африка: $149 \cdot 0{,}196 = 29{,}204 \approx 29{,}2$ млн км².

Ответ: Азия ≈ 44,4 млн км²; Америка ≈ 42,5 млн км²; Африка ≈ 29,2 млн км².

7. Движение и совместная работа

№ 957

1) Пешеход за 4 ч прошёл 17 км — какова его скорость? 2) Пешеход шёл 6 ч со скоростью $3\frac{1}{3}$ км/ч — какой путь он прошёл?

Как думать. $v = s : t$, $s = v \cdot t$.

Решение.

1. $17 : 4 = 4{,}25$ км/ч.
2. $3\frac{1}{3} \cdot 6 = \frac{10}{3} \cdot 6 = 20$ км.

Ответ: 1) 4,25 км/ч; 2) 20 км.

№ 963

Мотоциклист ехал 5 ч со скоростью 40 км/ч. Обратная дорога короче на 36%, а скорость — 0,8 от прежней. Сколько времени займёт обратный путь?

Как думать. «Короче на 36%» — значит, осталось $100% - 36% = 64%$ пути.

Решение.

1. Путь туда: $40 \cdot 5 = 200$ км.
2. Обратный путь: $200 \cdot 0{,}64 = 128$ км.
3. Новая скорость: $40 \cdot 0{,}8 = 32$ км/ч.
4. Время: $128 : 32 = 4$ ч.

Ответ: 4 ч.

№ 964

Автобус и легковушка одновременно выехали из одного города в другой. Скорость автобуса 50 км/ч — это 50% скорости легковушки. Через сколько часов приедет автобус, если легковушка приедет через 1) 2 ч; 2) 3 ч; 3) 4 ч? Какое расстояние будет между ними через 0,5 ч и через 1,5 ч?

Как думать. Автобус едет вдвое медленнее — значит, на тот же путь тратит вдвое больше времени. Они едут в одну сторону, поэтому расстояние между ними растёт на разность скоростей каждый час.

Решение.

1. Скорость легковушки: $50 : 0{,}5 = 100$ км/ч.
2. Время автобуса в 2 раза больше: 1) 4 ч; 2) 6 ч; 3) 8 ч.
3. Каждый час легковушка уходит вперёд на $100 - 50 = 50$ км.
4. Через 0,5 ч: $50 \cdot 0{,}5 = 25$ км; через 1,5 ч: $50 \cdot 1{,}5 = 75$ км.

Ответ: 1) 4 ч; 2) 6 ч; 3) 8 ч; через 0,5 ч — 25 км, через 1,5 ч — 75 км.

№ 965

Между городами 287,2 км. Навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость одного 57 км/ч — это 95% скорости другого. Сколько километров будет между ними через 1 ч 36 мин?

Как думать. Сначала находим вторую скорость по её проценту. При встречном движении поезда сближаются со скоростью, равной сумме их скоростей.

Решение.

1. Скорость второго: $57 : 0{,}95 = 60$ км/ч.
2. Скорость сближения: $57 + 60 = 117$ км/ч.
3. 1 ч 36 мин $= 1\frac{36}{60}$ ч $= 1{,}6$ ч.
4. Сблизятся на $117 \cdot 1{,}6 = 187{,}2$ км.
5. Останется $287{,}2 - 187{,}2 = 100$ км.

Ответ: 100 км.

№ 966

Скорость катера в стоячей воде 15,2 км/ч, скорость течения — 15% от неё. Найди скорость по течению и против течения.

Как думать. По течению река «помогает» — скорости складываем. Против течения «мешает» — вычитаем.

Решение.

1. Течение: $15{,}2 \cdot 0{,}15 = 2{,}28$ км/ч.
2. По течению: $15{,}2 + 2{,}28 = 17{,}48$ км/ч.
3. Против: $15{,}2 - 2{,}28 = 12{,}92$ км/ч.

Ответ: по течению 17,48 км/ч, против течения 12,92 км/ч.

№ 972

Самолёт «Винни Мэ» облетел вокруг света 25 099 км за 115 ч 36 мин, а «Боинг» пролетает это расстояние за 26 ч 18 мин. Найди скорости (до целых) и во сколько раз «Боинг» быстрее (до десятых).

Как думать. Минуты переводим в часы: делим на 60. Потом $v = s : t$.

Решение.

1. 115 ч 36 мин $= 115{,}6$ ч; $25,099 : 115{,}6 \approx 217{,}1 \approx 217$ км/ч.
2. 26 ч 18 мин $= 26{,}3$ ч; $25,099 : 26{,}3 \approx 954{,}3 \approx 954$ км/ч.
3. $954 : 217 \approx 4{,}39 \approx 4{,}4$ раза.

Ответ: 217 км/ч и 954 км/ч; «Боинг» быстрее примерно в 4,4 раза.

🌟 «Винни Мэ» облетел Землю в 1933 году, за штурвалом был Уайли Пост. Сейчас рейс Алматы — Астана длится меньше двух часов, а тогда на кругосветку уходило почти 5 суток чистого полёта.

№ 974

Автобус проезжает весь путь между городами за 12 ч, легковушка — за 6 ч. Они выехали одновременно навстречу друг другу. Через сколько часов встретятся?

Как думать. Длина пути не дана — принимаем весь путь за 1. Получается задача, как на совместную работу.

Решение.

1. За 1 ч автобус проезжает $\frac{1}{12}$ пути, легковушка — $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$.
2. Вместе за 1 ч: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ пути.
3. Весь путь вместе: $1 : \frac{1}{4} = 4$ ч.

Ответ: через 4 ч.

№ 975

Путь из $A$ в $B$ через $C$ самолёт пролетает за 3 ч, поезд проходит за 27 ч. Они одновременно движутся навстречу друг другу и одновременно прибывают в $C$. Через сколько часов? То же, если самолёту нужно 1) 4 ч, поезду 36 ч; 2) 5 ч и 45 ч; 3) 6 ч и 54 ч; 4) 7 ч и 63 ч.

Как думать. Это та же задача, что № 974: весь путь — 1, за час они вместе «съедают» сумму своих долей.

Решение.

1. За 1 ч: $\frac{1}{3} + \frac{1}{27} = \frac{9}{27} + \frac{1}{27} = \frac{10}{27}$ пути. Время: $1 : \frac{10}{27} = 2{,}7$ ч.
2. 4 ч и 36 ч: $\frac{1}{4} + \frac{1}{36} = \frac{10}{36}$; время $3{,}6$ ч.
3. 5 ч и 45 ч: $\frac{1}{5} + \frac{1}{45} = \frac{10}{45}$; время $4{,}5$ ч.
4. 6 ч и 54 ч: $\frac{10}{54}$; время $5{,}4$ ч.
5. 7 ч и 63 ч: $\frac{10}{63}$; время $6{,}3$ ч.

Ответ: 2,7 ч; 1) 3,6 ч; 2) 4,5 ч; 3) 5,4 ч; 4) 6,3 ч.

💡 Заметил закономерность? Поезд везде в 9 раз медленнее самолёта. Поэтому встреча всегда наступает через $\frac{9}{10}$ времени самолёта: $3 \cdot 0{,}9 = 2{,}7$; $4 \cdot 0{,}9 = 3{,}6$…

№ 976

Из $A$ и $B$ навстречу друг другу выехали два автомобиля и встретились через 4 ч. Первый (60 км/ч) после встречи ехал ещё 5 ч до $B$. Через сколько времени после встречи второй приехал в $A$?

Как думать. Нарисуй отрезок $AB$ и точку встречи. Каждый автомобиль проезжает «свой» кусок до встречи и «чужой» — после.

Решение.

1. Кусок от места встречи до $B$: $60 \cdot 5 = 300$ км. Второй проехал его за 4 ч: $v_2 = 75$ км/ч.
2. Кусок от $A$ до места встречи: $60 \cdot 4 = 240$ км.
3. Второй проедет его за $240 : 75 = 3{,}2$ ч = 3 ч 12 мин.

Ответ: 3 ч 12 мин.

№ 980

Два пешехода вышли навстречу друг другу и встретились через 3 ч 45 мин. Скорость первого 3,8 км/ч, второго — $1\frac{4}{19}$ от скорости первого. Каким было расстояние между ними?

Как думать. Находим скорость второго, потом скорость сближения. Время переводим в часы.

Решение.

1. Скорость второго: $3{,}8 \cdot \frac{23}{19} = 0{,}2 \cdot 23 = 4{,}6$ км/ч.
2. Скорость сближения: $3{,}8 + 4{,}6 = 8{,}4$ км/ч.
3. 3 ч 45 мин $= 3\frac{45}{60} = 3{,}75$ ч.
4. Расстояние: $8{,}4 \cdot 3{,}75 = 31{,}5$ км.

Ответ: 31,5 км.

Шпаргалка

• Длинный пример — по кусочкам: степени, скобки, умножение и деление, сложение и вычитание.
• Дробь «не дружит» с десятичными ($\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$) — считай в обыкновенных.
• «На 36% короче» — осталось 64%. «На 100% больше» — в 2 раза больше.
• «Задуманное число» ищем с конца, делая всё наоборот.
• Минуты в часы: делим на 60. 1 ч 36 мин = 1,6 ч; 3 ч 45 мин = 3,75 ч.
• В неравенстве со знаком
  lt;$ сами границы не берём.

Мини-тест