§ 55. Задачи на разрезание фигур. Задачи на складывание фигур

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 10: Развертки пространственных фигур. Страницы 114–116.

Чему научишься

• Разрезать фигуру на части и складывать из них новую.
• Понимать, что при перекладывании частей площадь не меняется.
• Отличать равносоставленные и равновеликие фигуры.
• Находить площадь сложной фигуры, разбивая её на простые.

Разминка

Это задание № 928 из прошлого урока.

• Квадрат разрезали по диагонали. Какие получились треугольники? Два равных треугольника: при наложении они совпадают.
• Сторона квадрата 3,5 см. Какова площадь треугольника — половинки квадрата? $3{,}5 \cdot 3{,}5 : 2 = 6{,}125$ см².
• Прямоугольник 3,5 см на 1,3 см разрезали по диагонали. Площадь половинки? $3{,}5 \cdot 1{,}3 : 2 = 2{,}275$ см².
• Какая площадь у прямоугольника 5 м на 6 м? 30 м².

Разбираемся

Режем квадрат

Возьми квадратный листок $ABCD$ и разрежь его по диагонали $AC$. Получатся два треугольника — зелёный $ABC$ и жёлтый $ACD$. Наложи их друг на друга: они совпадут.

А теперь приложи их друг к другу короткими сторонами. Получится большой треугольник! Слева — квадрат, справа — тот же квадрат, переложенный в треугольник.

Равносоставленные и равновеликие

📌 Две фигуры равносоставленные, если одну можно разрезать на части и сложить из них другую.

Квадрат и большой треугольник выше — равносоставленные. Они сделаны из одних и тех же кусочков, значит, и площадь у них одинаковая.

📌 Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

💡 Равносоставленные фигуры всегда равновеликие: кусочки те же — площадь та же. Это как конструктор: из одних и тех же деталей можно собрать и машину, и дом, а деталей не станет меньше.

⚠️ Частая ошибка. Путают «равные» и «равновеликие». Равные фигуры совпадают при наложении. Равновеликие только имеют одинаковую площадь: квадрат 4 × 4 и прямоугольник 2 × 8 равновеликие, но не равные.

Хитрость: переложи кусочек

Сложную фигуру часто удобно разрезать на прямоугольники. А иногда — отрезать кусок и приставить в другое место, чтобы получился простой прямоугольник. Так мы решим задачу про площадку (№ 934).

👨‍👩‍👧 Родителю. Эту тему лучше «потрогать»: дайте ребёнку бумагу и ножницы. Пусть разрежет квадрат по диагонали и попробует сложить треугольник, параллелограмм и снова квадрат.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Квадрат разрезали по диагонали. Можно ли из двух частей сложить прямоугольник, у которого длина и ширина разные? Нет. Из двух половинок получится либо снова квадрат, либо параллелограмм, либо треугольник. Прямоугольника с разными сторонами не выйдет.
• А треугольник можно сложить? Да. Приложи половинки короткими сторонами (катетами) — получится большой треугольник.
• Что можно сказать о площадях равносоставленных фигур? Они равны: фигуры сделаны из одних и тех же частей.
• Какие фигуры называют равновеликими? Фигуры, у которых площади равны.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 929

1) Алия режет круглую пиццу на одинаковые куски-секторы — от центра к краю. Сделала 10 разрезов. Сколько кусков? 2) Аня режет пиццу разрезами от края до края через центр. Сделала 5 разрезов. Сколько кусков?

Как думать. Разрез от центра к краю — это один радиус. Разрез от края до края через центр — это сразу два радиуса.

Решение.

1. У Алии каждый разрез — радиус. 10 радиусов делят круг на 10 кусков (как спицы колеса).
2. У Ани каждый разрез через центр даёт два радиуса: $5 \cdot 2 = 10$ радиусов. Значит, тоже 10 кусков.

Ответ: 1) 10 кусков; 2) 10 кусков.

💡 Получается, Аня работала вдвое меньше: 5 разрезов вместо 10 — а кусков столько же.

№ 930

Кайрат и Дима сделали по два разреза своих квадратов от края до края. У Кайрата вышло 3 части, у Димы — 4. Покажи, как они резали.

Как думать. Если разрезы не пересекаются, каждый добавляет одну часть. Если пересекаются — получается на одну часть больше.

Решение.

1. Кайрат резал параллельно: два разреза не встретились — $1 + 1 + 1 = 3$ части.
2. Дима резал крест-накрест: разрезы пересеклись — 4 части.

Ответ: Кайрат — двумя параллельными разрезами, Дима — двумя пересекающимися (крестом).

№ 931

Прямоугольник $ABCD$ длиной 16 см и шириной 4 см разделён на 4 квадрата, в каждом проведена диагональ. Найди площадь закрашенного треугольника — половинки первого квадрата.

Как думать. Сторона каждого квадрата — это ширина прямоугольника. Треугольник — половина квадрата, отрезанная диагональю.

Решение.

1. Сторона квадрата: $16 : 4 = 4$ см (и ширина тоже 4 см ✓).
2. Площадь квадрата: $4 \cdot 4 = 16$ см².
3. Треугольник — половина: $16 : 2 = 8$ см².

Ответ: 8 см².

Уровень B

№ 932

1) Квадрат и прямоугольник равновеликие. Длина прямоугольника 15 см, ширина — $\frac{1}{9}$ длины. Найди сторону квадрата. 2) Куб с ребром 2 см и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковый объём. Какими могут быть измерения параллелепипеда, если это натуральные числа?

Как думать. «Равновеликие» значит «площади равны». Находим площадь прямоугольника — это и площадь квадрата.

Решение.

1. Ширина: $15 \cdot \frac{1}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ см.
2. Площадь: $15 \cdot \frac{5}{3} = 25$ см².
3. Квадрат с площадью 25 см²: $5 \cdot 5 = 25$, сторона 5 см.
4. Объём куба: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ см³. Ищем три натуральных числа с произведением 8: $1 \cdot 1 \cdot 8$, $1 \cdot 2 \cdot 4$ и $2 \cdot 2 \cdot 2$ (это сам куб).

Ответ: 1) 5 см; 2) 1 см, 1 см, 8 см или 1 см, 2 см, 4 см (и 2, 2, 2 см — сам куб).

№ 933

В прямоугольнике $AMEK$ проведена диагональ $KM$, на ней точка $O$. Через $O$ провели отрезки $BD$ и $CF$, параллельные сторонам. Объясни, почему закрашенные прямоугольники $ABOC$ и $ODEF$ имеют одинаковую площадь.

Как думать. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника. И маленькие прямоугольники вокруг диагонали тоже делятся ею пополам.

Решение.

1. Диагональ $KM$ делит $AMEK$ на два равных треугольника: $KAM$ (верхний левый) и $KEM$ (нижний правый). Их площади равны.
2. Около точки $K$ стоит прямоугольник $KCOD$. Диагональ делит его на два равных треугольника — по одному в каждой большой половине.
3. Около точки $M$ стоит прямоугольник $OBMF$. Его диагональ $OM$ тоже делит его на два равных треугольника — по одному в каждой половине.
4. Верхняя половина = треугольник у $K$ + $ABOC$ + треугольник у $M$. Нижняя половина = такой же треугольник у $K$ + $ODEF$ + такой же треугольник у $M$.
5. Из равных площадей вычли равные части — остатки равны: $S_{ABOC} = S_{ODEF}$.

На рисунке-примере это видно по клеткам: в каждом закрашенном прямоугольнике 6 клеток.

Ответ: из двух равных половин прямоугольника убрали попарно равные треугольники, поэтому оставшиеся прямоугольники равновеликие.

Уровень C

№ 934

Найди периметр и площадь площадки (все углы прямые): ширина 5 м, слева — выступ 2 м × 2 м, справа — такой же вырез 2 м × 2 м на той же высоте; остальные отрезки по 2 м.

Как думать. Выступ слева такой же, как вырез справа. Отрежь выступ и вставь в вырез — получится прямоугольник 5 м × 6 м. Фигуры равносоставленные, значит, площадь та же.

Решение.

1. Высота площадки: $2 + 2 + 2 = 6$ м.
2. Площадь: $5 \cdot 6 = 30$ м². (По-другому: три полосы по $5 \cdot 2 = 10$ м², всего 30 м².)
3. Периметр — обходим контур: снизу 5, справа $2 + 2 + 2 + 2 + 2$ (вниз-вбок-вверх у выреза), сверху 5, слева $2 + 2 + 2 + 2 + 2$.
4. $5 + 10 + 5 + 10 = 30$ м.

Ответ: периметр 30 м, площадь 30 м².

⚠️ Частая ошибка. Периметр ищут как у прямоугольника 5 × 6: $(5 + 6) \cdot 2 = 22$ м. Но у выступа и выреза появляются лишние стороны по 2 м — их четыре, поэтому $22 + 8 = 30$ м. При перекладывании площадь сохраняется, а периметр — нет!

№ 935

Разрежь квадрат на 7 частей, как в танграме, и сложи из них фигурки: человека, животных, предметы. Придумай свои.

Как думать. В танграме 7 частей: 2 больших треугольника, 1 средний, 2 маленьких, квадрат и параллелограмм. В каждой фигурке нужно использовать все 7 частей, не накладывая их друг на друга.

Вот как разрезать квадрат 4 × 4 клетки:

Решение.

1. Перерисуй квадрат по клеткам, как выше, на плотный картон. Разрежь по линиям.
2. Сложи фигурки с рисунка: лебедь, заяц, бегущий человек, кошка, птица.
3. Придумай свои: например, домик (квадрат + большой треугольник-крыша), лодка, стрела, рыба.

🌟 Все фигурки танграма — равносоставленные: каждая сложена из одних и тех же 7 частей. Значит, у кошки, зайца и лебедя площадь одинаковая — как у исходного квадрата!

Ответ: у каждого свои фигурки; площадь любой из них равна площади квадрата.

Подготовь сообщение

№ 936

1) Расскажи о танграме — старинной восточной головоломке. 2) Расскажи об Архимеде — древнегреческом учёном, который нашёл способы вычислять площади и объёмы.

Как думать. Короткий план: что это (кто это), когда, чем знаменит, интересный факт. Даты проверь по источнику.

Решение. Примеры сообщений:

1. Танграм — головоломка из Китая. Её китайское название переводят как «семь дощечек мастерства». Квадрат режут на 7 частей и складывают из них тысячи фигур: людей, животных, буквы, цифры. Правило одно — использовать все 7 частей без наложения. В Европу танграм попал в начале XIX века и быстро стал модным развлечением.
2. Архимед (287–212 гг. до н. э.) жил в городе Сиракузы на острове Сицилия. Он научился вычислять площади и объёмы сложных фигур: круга, шара, цилиндра. Самое знаменитое — закон Архимеда о том, почему предметы плавают. По легенде, он открыл его в ванне и выбежал с криком «Эврика!» («Нашёл!»). Он придумал и машины: винт для подъёма воды, рычаги, блоки. Ему приписывают фразу: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю».

Ответ: примеры сообщений — выше.

Шпаргалка

• Равносоставленные фигуры всегда равновеликие.
• Площадь треугольника-половинки = площадь прямоугольника : 2.
• Сложную фигуру режь на прямоугольники или переложи кусок, чтобы получить прямоугольник.
• Периметр при перекладывании считай заново, обходя контур.

Мини-тест