§ 1. Основные понятия геометрии

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 1: Начальные геометрические сведения. Страницы 5–10.

Чему научишься

• Понимать, чем «идеальная» геометрическая фигура отличается от рисунка в тетради.
• Обозначать точки и прямые буквами и читать запись «прямая проходит через точку».
• Применять главное свойство прямой: через две точки проходит ровно одна прямая.
• Отличать две пересекающиеся прямые от параллельных.
• Понимать, чем аксиома отличается от теоремы и зачем нужны доказательства.

Разминка

• Сколько точек нужно, чтобы провести прямую линейкой? Как минимум две: через них линейка ложится «только одним способом».
• Какую линию называют ломаной, а какую прямой? Прямая не гнётся и не поворачивает, ломаная состоит из прямых кусочков под углом.
• Где в жизни встречаются «ровные» поверхности? Гладь озера Балхаш в штиль, крышка стола, лист стекла.

Разбираемся

Идеальные фигуры

Возьми карандаш и поставь точку. Теперь посмотри через лупу: «точка» стала пятном с размером. Настоящая геометрическая точка размеров не имеет. Древнегреческий учёный Евклид говорил: точка — это то, что не имеет частей.

🌟 Евклид жил в Александрии около 2300 лет назад. Его книга «Начала» стала первым учебником геометрии, и школьники учились по ней очень долго.

С прямой то же самое. Натянутая нить, край стола, луч света — это только «подсказки». Настоящая прямая бесконечна в обе стороны и без толщины. На бумаге мы рисуем её кусочек линейкой, а в голове продолжаем без конца. Цвет карандаша роли не играет.

А плоскость — идеальная версия ровной поверхности воды, стола или доски.

Как обозначают

• Точки — заглавные латинские буквы: $A,\ B,\ C$, а ещё $A_1,\ B_2$ или $A',\ B''$.
• Прямые — строчные буквы: $a,\ b,\ c$ (или $a_1,\ b'$).
• Или по двум точкам прямой: прямая $AB$, прямая $CD$.

Если точка лежит на прямой, говорят: точка принадлежит прямой, а прямая проходит через точку. На рисунке прямая $AB$ проходит через $A$ и $B$, но не проходит через $C$.

Правила игры: аксиомы

Как играть в шахматы, если слонов можно сделать из дерева, пластмассы или камня? Материал не важен. Важны правила: слон ходит по диагонали. В геометрии такие правила называют аксиомами. Их принимают без доказательства.

📌 Аксиома 1. Через любые две точки проходит единственная прямая.

📌 Аксиома 2. У каждой прямой есть точки, которые ей принадлежат, и точки, которые ей не принадлежат.

Из правил выводят новые факты. Такой факт называют теоремой, а рассуждение, которое его подтверждает, — доказательством. Рисунок помогает придумать доказательство, но не заменяет его: «на глаз» можно ошибиться.

💡 Аксиома — правило игры, теорема — то, что из правил логически следует.

Сразу пример теоремы. Из аксиомы 1 следует: две разные прямые не могут иметь больше одной общей точки. Если бы у них было две общих точки, то через эти две точки проходили бы две разные прямые, а аксиома говорит, что прямая одна.

Две прямые на плоскости

Если у двух прямых ровно одна общая точка, они пересекаются в этой точке. Если лежат в одной плоскости и общих точек нет, они параллельны. Третьего не дано.

⚠️ Частая ошибка. «Эти прямые не пересеклись на листе, значит, параллельны». Нет! Лист маленький, а прямую надо мысленно продолжить. Если она «встретится» с другой где-то за краем, прямые пересекаются.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка показать на примере комнаты: край стола и линию стыка стены и потолка. Пусть скажет, лежат ли они в одной плоскости и пересекаются ли. Так «параллельные» перестанут быть просто словом.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Идеализацией каких объектов является точка? Очень маленьких, размерами которых можно пренебречь: песчинка, след от острого карандаша.
• Как определял точку Евклид? Как то, что не имеет частей.
• Как изображают точки? Острым карандашом или ручкой на бумаге, мелом или маркером на доске. Изображение приближённое: у нарисованной точки всегда есть крошечный размер, а у настоящей нет.
• Как обозначают точки? Заглавными латинскими буквами $A,\ B,\ C$, а также $A_1,\ B_2$ или $A',\ B''$.
• Идеализацией каких объектов является прямая? Тонкой натянутой нити, края прямоугольного стола, луча света.
• Как определял прямую Евклид? Как длину без ширины.
• Как изображают прямые? Проводят линейкой по бумаге или доске, но представляют продолженными в обе стороны без конца. Цвет значения не имеет.
• Как обозначают прямые? Строчными буквами $a,\ b,\ c$ или двумя заглавными буквами точек этой прямой: $AB$, $CD$.
• В чём заключается одно из основных свойств прямой? Через любые две точки проходит единственная прямая. Второе свойство: на любой прямой есть точки, ей принадлежащие, и точки, ей не принадлежащие.
• Сколько общих точек могут иметь две прямые? Ни одной (параллельные) или одну (пересекающиеся). Больше одной не бывает.
• Какие две прямые называются пересекающимися? Те, у которых ровно одна общая точка.
• Какие две прямые называются параллельными? Две прямые на одной плоскости, у которых нет общих точек.
• Что такое аксиома? Исходное свойство, которое принимают как правило без доказательства.
• Что такое теорема? Свойство фигур, которое доказывают с помощью аксиом и ранее доказанных теорем.
• Что такое доказательство? Цепочка логических рассуждений, из которой следует, что утверждение верно.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 1.1

Изобрази прямую и точки, которые ей принадлежат и не принадлежат.

Как думать. Это рисунок. Нужно линейкой провести прямую и поставить точки двух видов.

Решение. Проведи линейкой прямую $a$. Отметь на ней точки $A$ и $B$. Выше или ниже прямой отметь точки $C$ и $D$. Подпиши: $A,\ B\in a$ (принадлежат), $C,\ D\notin a$ (не принадлежат). Образец рисунка выше: прямая $AB$ и точка $C$ вне её.

Ответ: рисунок, где точки $A$, $B$ лежат на прямой, а $C$, $D$ вне прямой.

№ 1.2

Точки $A,\ B,\ C$ лежат на одной прямой, и точки $B,\ C,\ D$ тоже лежат на одной прямой. Что можно сказать про все точки $A,\ B,\ C,\ D$?

Как думать. Две прямые, которые проходят через одну и ту же пару точек $B$ и $C$, совпадают. Значит, обе тройки «сидят» на одной прямой.

Решение.

1. Пусть $A,\ B,\ C$ лежат на прямой $l$, а $B,\ C,\ D$ на прямой $m$.
2. Обе прямые проходят через точки $B$ и $C$.
3. По аксиоме 1 через две точки проходит только одна прямая, поэтому $l$ и $m$ совпадают.
4. Значит, и $A$, и $D$ лежат на этой единственной прямой.

Ответ: все четыре точки $A,\ B,\ C,\ D$ лежат на одной прямой.

№ 1.3

Изобрази три точки, не лежащие на одной прямой. Проведи прямые через разные пары этих точек. Сколько всего таких прямых?

Как думать. Пар из трёх точек: $AB$, $AC$, $BC$. Каждая пара даёт прямую, и эти прямые разные: иначе все три точки лежали бы на одной.

Решение. Отметь точки $A,\ B,\ C$ «треугольником». Проведи линейкой $AB$, $BC$, $AC$. Получилось три разные прямые.

Ответ: три прямые.

№ 1.4

Изобрази точки так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой: а) 4 точки; б) 5 точек; в) 6 точек. Проведи прямые через все пары точек. Сколько всего прямых?

Как думать. Считаем пары. От каждой точки можно провести прямую к каждой из остальных. Но прямая $AB$ и прямая $BA$ — одна и та же, поэтому делим на 2.

Решение.

• а) 4 точки: $4\cdot 3 : 2 = 6$.
• б) 5 точек: $5\cdot 4 : 2 = 10$.
• в) 6 точек: $6\cdot 5 : 2 = 15$.

Проверка для 4 точек $A,\ B,\ C,\ D$: $AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ BD,\ CD$ — шесть.

Ответ: а) 6; б) 10; в) 15.

№ 1.5

Сколько прямых изображено на рисунке 1.5 а) и б)? Сколько у них точек попарных пересечений?

Как думать. Считаем линии на рисунке, затем точки, где линии пересекаются. Если никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, то каждая пара прямых даёт ровно одну точку.

Решение.

• а) Звезда из 5 прямых. Пар прямых: $5\cdot 4 : 2 = 10$. Это 5 «лучей» звезды и 5 вершин пятиугольника внутри.
• б) 7 прямых. Пар: $7\cdot 6 : 2 = 21$ точка пересечения.

Ответ: а) 5 прямых, 10 точек; б) 7 прямых, 21 точка.

№ 1.6

На клетчатой бумаге изобрази прямую $AB$ и точку $C$ (как на рисунке 1.6). Через $C$ проведи прямую, параллельную $AB$.

Как думать. Нужно провести прямую «в ту же сторону», что и $AB$. На клетках это просто: смотрим, на сколько клеток прямая $AB$ уходит вправо и вверх, и повторяем те же шаги от точки $C$.

Решение.

• а) $AB$ горизонтальна: $A(1;,1)$, $B(5;,1)$, $C(2;,5)$. Через $C$ проводим горизонтальную прямую вдоль линии клеток, на высоте $y=5$.
• б) $A(1;,1)$, $B(5;,5)$ — диагональ клеток, $C(1;,3)$. Шаг «1 вправо, 1 вверх». От $C$: точки $(2;,4)$, $(3;,5)$. Прямая через $C$ и $(3;,5)$ параллельна $AB$.
• в) $A(1;,1)$, $B(7;,4)$, шаг «2 вправо, 1 вверх». $C(2;,3)$. От $C$: точки $(4;,4)$, $(6;,5)$. Прямая через них параллельна $AB$.

Ответ: построения: прямая через $C$ с тем же «наклоном», что у $AB$ (а — горизонтальная, б — шаг $(1;,1)$, в — шаг $(2;,1)$).

№ 1.7

Какие из прямых на рисунке 1.7 пересекают прямую $a$?

Как думать. Прямые, лежащие в одной плоскости, либо пересекаются, либо параллельны. Нужно найти «лишнюю» прямую, у которой нет общих точек с $a$: она идёт в ту же сторону, что и $a$ (если продолжить обе).

Решение. Проходим по прямым $b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h,\ p,\ q,\ r$ и продолжаем их мысленно. Все они, кроме $f$, встречаются с $a$. Прямая $f$ идёт так же, как $a$, и с ней не пересекается, то есть параллельна $a$.

Ответ: $b,\ c,\ d,\ e,\ g,\ h,\ p,\ q,\ r$.

Уровень B

№ 1.8

Прямые $a,\ b,\ c$ пересекаются в одной точке, и прямые $b,\ c,\ d$ тоже пересекаются в одной точке. Что можно сказать обо всех прямых $a,\ b,\ c,\ d$?

Как думать. Две разные прямые $b$ и $c$ могут иметь только одну общую точку. А тут у них «две» (точки $P$ и $Q$). Значит, это одна и та же точка.

Решение. Смотри шаги выше.

Ответ: все четыре прямые пересекаются в одной точке.

№ 1.9

Сколько точек попарных пересечений могут иметь три прямые? Изобрази разные случаи.

Как думать. Три прямые образуют три пары: $ab$, $ac$, $bc$. Каждая пара даёт либо одну точку, либо ни одной (если параллельны). Остаётся перебрать, что может «слипнуться».

Решение.

• 0 точек: все три прямые параллельны (три рельса рядом).
• 1 точка: все три проходят через одну точку (спицы колеса из трёх спиц).
• 2 точки: две прямые параллельны, третья пересекает обе.
• 3 точки: никакие две не параллельны и не проходят через одну точку (стороны «треугольника», продолженные в обе стороны).

Ответ: 0, 1, 2 или 3 точки.

№ 1.10

Изобрази четыре прямые так, чтобы у них было: а) 3 точки; б) 4 точки; в) 5 точек; г) 6 точек попарных пересечений.

Как думать. Четыре прямые дают 6 пар. Точек получается меньше 6, если какие-то прямые параллельны или три проходят через одну точку. Подбираем нужные «потери».

Решение.

• а) 3 точки. Три прямые через одну точку $P$ и четвёртая, параллельная одной из них. Она пересекает две другие: итого $P$ и ещё две точки.
• б) 4 точки. Две пары параллельных прямых (решётка «#»): каждая прямая первой пары пересекает каждую прямую второй, $2\cdot 2 = 4$.
• в) 5 точек. Две параллельные прямые и две пересекающиеся друг с другом, причём точка их пересечения не лежит на параллельных. Точки: по два пересечения с каждой параллельной (4) и пересечение этих двух (1).
• г) 6 точек. Никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.

Ответ: построения а)–г), как описано выше.

№ 1.11

Изобрази пять прямых так, чтобы у них было десять точек попарных пересечений.

Как думать. У пяти прямых 10 пар. Значит, нужно, чтобы каждая пара пересекалась в своей отдельной точке: нет параллельных и нет трёх прямых через одну точку.

Решение. Нарисуй пятиконечную звезду из пяти прямых, как на рисунке к № 1.5 а). У неё 10 разных точек пересечения.

Ответ: пятиконечная звезда из пяти прямых, у которой 10 точек пересечения.

№ 1.12

По рисункам 1.8 и 1.9 составь два верных и два ложных высказывания.

Как думать. Смотрим на рисунок: на рисунке 1.8 точки $A,\ B,\ C$ лежат на одной прямой в таком порядке. На рисунке 1.9 прямая $m$ проходит через $M$, а точка $N$ стоит отдельно, вне прямых.

Решение.

• Верно: «Точки $A,\ B,\ C$ лежат на одной прямой».
• Верно: «Точка $M$ принадлежит прямой $m$».
• Неверно: «Точка $N$ принадлежит прямой $m$».
• Неверно: «Точка $C$ лежит между $A$ и $B$» (на самом деле между ними лежит $B$ — между $A$ и $C$).

Ответ: например, два верных и два ложных высказывания, как выше.

№ 1.13

Айжан, Сауле, Берик и Даурен выстроились вдоль прямой. Берик оказался между Айжан и Сауле, а Сауле между Бериком и Дауреном. В каком порядке они стоят?

Как думать. Рисуем прямую и расставляем точки по условиям: «между» значит «посередине».

Решение.

1. Берик между Айжан и Сауле: $\text{Айжан}\ \ \text{Берик}\ \ \text{Сауле}$.
2. Сауле между Бериком и Дауреном: значит, Даурен стоит по другую сторону от Сауле, чем Берик.
3. Получаем порядок: Айжан, Берик, Сауле, Даурен (или в обратную сторону).

Ответ: Айжан, Берик, Сауле, Даурен.

Уровень C

№ 1.14

*Сколько прямых можно провести через разные пары из: а) 3 точек; б) 4 точек; в) 5 точек; г) $n$ точек, если никакие три точки не лежат на одной прямой?

Как думать. Это та же задача, что № 1.4, только для любого числа точек. Нужна формула.

Решение.

• а) $3\cdot 2 : 2 = 3$.
• б) $4\cdot 3 : 2 = 6$.
• в) $5\cdot 4 : 2 = 10$.
• г) $\frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: а) 3; б) 6; в) 10; г) $\frac{n(n-1)}{2}$.

№ 1.15

*Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь: а) 3 прямые; б) 4 прямые; в) 5 прямых; г) $n$ прямых?

Как думать. Каждая пара прямых даёт не больше одной общей точки. Больше всего точек, когда все пары дают разные точки. Значит, считаем пары.

Решение.

• а) $3\cdot 2 : 2 = 3$.
• б) $4\cdot 3 : 2 = 6$.
• в) $5\cdot 4 : 2 = 10$.
• г) $\frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: а) 3; б) 6; в) 10; г) $\frac{n(n-1)}{2}$.

Подготовь сообщение

№ 1.16

Подготовь сообщение об истории геометрии и знаменитых учёных: Пифагоре, Евклиде, Архимеде, Кеплере, Декарте, Эйлере, Лобачевском и других.

Как думать. Это не задача с ответом, а мини-доклад на 2–3 минуты. Выбери одного учёного и расскажи, что он придумал и чем это нужно сегодня.

Решение. План доклада:

1. Кто это и когда жил.
2. Главное открытие в геометрии (например, у Евклида — «Начала», у Декарта — координаты, у Лобачевского — новая, неевклидова геометрия, у Архимеда — вычисление площадей и объёмов).
3. Где это встречается сегодня: карты, строительство, компьютерная графика.
4. Один интересный факт.

🌟 Геометрией занимались и учёные Востока. Аль-Фараби, родом из Отрара на территории нынешнего Казахстана, писал о геометрических построениях.

Ответ: свободное задание, общего ответа нет.

Готовимся к следующей теме

№ 1.17

*На прямой отмечены: а) одна точка; б) две точки; в) три точки; г) $n$ точек. На сколько частей эти точки делят прямую?

Как думать. Начни с одной точки: она делит прямую на две части (аксиома из следующего параграфа). Каждая новая точка разрезает одну из частей надвое, то есть добавляет ровно одну часть.

Решение.

• а) 1 точка: 2 части.
• б) 2 точки: $2+1=3$ части.
• в) 3 точки: $3+1=4$ части.
• г) $n$ точек: $n+1$ часть.

Ответ: а) 2; б) 3; в) 4; г) $n+1$.

Шпаргалка

• Аксиома 1: через любые две точки проходит единственная прямая.
• Аксиома 2: у каждой прямой есть точки, ей принадлежащие, и не принадлежащие.
• Следствие: две разные прямые имеют не более одной общей точки.
• Теорема доказывается из аксиом, доказательство — цепочка рассуждений.

Мини-тест