§ 2. Лучи и отрезки

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 1: Начальные геометрические сведения. Страницы 10–15.

Чему научишься

• Понимать, что точка делит прямую на две части, и говорить «лежат по одну» или «по разные стороны».
• Узнавать луч и отрезок, правильно их обозначать.
• Откладывать на луче отрезок, равный данному.
• Сравнивать, складывать и вычитать отрезки.
• Находить середину отрезка.

Разминка

• Сколько точек определяют прямую? Две: через любые две точки проходит единственная прямая.
• Что значит «точка принадлежит прямой»? Она лежит на этой прямой, прямая проходит через неё.
• Как обозначают точки и прямые? Точки заглавными латинскими буквами, прямые строчными или двумя точками.

Разбираемся

Точка делит прямую на две части

Поставь точку на прямой, как отметку на бесконечной дороге. Она делит дорогу на две части: «вперёд» и «назад». Это ещё одна аксиома.

📌 Аксиома. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части.

Если две точки в разных частях, говорят, что они лежат по разные стороны от точки деления, а сама точка лежит между ними. Если в одной части, они лежат по одну сторону.

Луч

📌 Луч, или полупрямая, — это часть прямой: точка и все точки по одну сторону от неё. Сама точка — начало (вершина) луча.

Представь фонарик: свет начинается у лампочки и уходит бесконечно далеко в одну сторону. Обозначают луч строчной буквой ($a$) или двумя заглавными: первая — начало, вторая — любая другая точка на луче. Поэтому луч $AB$ и луч $BA$ — разные: один идёт из $A$ через $B$, другой из $B$ через $A$.

⚠️ Частая ошибка. Путают порядок букв. В записи «луч $OA$» первой всегда стоит начало $O$.

Отрезок

📌 Отрезок — это часть прямой: две точки (концы) и все точки между ними.

Отрезок, в отличие от луча, можно измерить: у него два конца. Обозначают по концам: $AB$ или $C_1D_1$. Отрезок $AB$ и отрезок $BA$ — один и тот же.

Откладываем отрезок

Берём отрезок $AB$ и луч с началом $A_1$. Прикладываем начало отрезка к началу луча и «проводим» по лучу. Конец отрезка падает в какую-то точку луча — и получается отрезок, равный исходному.

📌 Аксиома. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.

Равенство пишут так: $AB = A_1B_1$. Если при откладывании $B$ упал внутрь отрезка $A_1B_1$ (в точку $B'$ между $A_1$ и $B_1$), то $AB < A_1B_1$, а $A_1B_1 > AB$.

Складываем и вычитаем отрезки

Возьмём на отрезке $AB$ любую точку $C$ между $A$ и $B$. Получились два отрезка: $AC$ и $CB$. Тогда

$AB = AC + CB.$

Значит, $AC = AB - CB$ и $CB = AB - AC$.

А если отрезки $AB$ и $CD$ вообще не лежат на одной прямой? Откладываем $AB$ на луче, затем от его конца $B$ в ту же сторону откладываем отрезок $BE = CD$. Тогда $AE = AB + CD$.

Середина отрезка

📌 Середина отрезка — точка, которая делит его на две равные части.

Середина у отрезка одна. Если $M$ — середина $AB$, то $AM = MB$ и $AB = 2\cdot AM$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Дома можно проверить на бумажной ленте: сложите её пополам, перегиб покажет середину. Спросите, как получить четверть ленты. Нужно сложить пополам ещё раз.

💡 На юрте шанырак находится в центре. Если провести линию от одной стены до другой через шанырак, он окажется серединой этого отрезка.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Сформулируй свойство прямой, принимаемое за аксиому. Каждая точка прямой разбивает эту прямую на две части.
• Какая фигура называется лучом? Часть прямой, состоящая из точки и всех точек по одну сторону от неё.
• Как обозначается луч? Строчной буквой или двумя заглавными: первая — начало луча, вторая — любая другая его точка.
• Как по-другому называется луч? Полупрямая.
• Как по-другому называется вершина луча? Начало луча.
• Какая фигура называется отрезком? Часть прямой из двух точек и всех точек между ними.
• Как обозначается отрезок? Двумя заглавными буквами его концов: $AB$.
• Какие операции можно производить с отрезками? Откладывать на луче, сравнивать, складывать и вычитать.
• Как обозначается равенство отрезков? $AB = A_1B_1$.
• Какая точка называется серединой отрезка? Та, что делит отрезок на две равные части.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 2.1

Сколько лучей может иметь данную точку своим началом?

Как думать. Через точку проходит много прямых, и каждая даёт лучи в две стороны.

Решение. Через любую точку можно провести бесконечно много прямых. Каждая прямая даёт по два луча с началом в этой точке. Значит, лучей бесконечно много.

Ответ: бесконечно много.

№ 2.2

Сколько лучей, лежащих на данной прямой, могут иметь данную точку этой прямой началом?

Как думать. Теперь ограничено: лучи лежат на одной прямой.

Решение. Точка делит прямую на две части. Каждая часть вместе с точкой — луч. Других лучей на этой прямой с таким началом нет.

Ответ: два.

№ 2.3

На отрезке $AB$ взята точка $C$. Среди лучей $AB,\ AC,\ CA,\ CB,\ BA,\ BC$ назови пары совпадающих.

Как думать. Совпадают лучи с одним началом, которые идут в одну сторону. Сначала смотрим, из каких точек они выходят: $A$, $C$ или $B$.

Решение.

• Начало $A$: лучи $AB$ и $AC$. Точка $C$ лежит на отрезке $AB$, значит, она лежит на луче $AB$, и луч $AC$ идёт туда же. Они совпадают.
• Начало $B$: лучи $BA$ и $BC$ совпадают по той же причине.
• Начало $C$: лучи $CA$ и $CB$ идут в разные стороны и не совпадают.

Ответ: $AB$ и $AC$; $BA$ и $BC$.

№ 2.4

Изобрази на прямой точки $A,\ B,\ C,\ D$ так, чтобы: а) $C$ лежала между $A$ и $B$, а $D$ между $B$ и $C$; б) $A$ лежала между $B$ и $C$, а $C$ между $A$ и $D$.

Как думать. Рисуем прямую и расставляем точки слева направо, проверяя каждое «между».

Решение.

• а) $C$ между $A$ и $B$: порядок $A,\ C,\ B$. $D$ между $B$ и $C$: ставим $D$ в промежуток $C$—$B$. Итог: $A,\ C,\ D,\ B$.
• б) $A$ между $B$ и $C$: порядок $B,\ A,\ C$. $C$ между $A$ и $D$: $D$ ставим справа от $C$. Итог: $B,\ A,\ C,\ D$.

Ответ: а) порядок $A,\ C,\ D,\ B$; б) порядок $B,\ A,\ C,\ D$ (или в обратную сторону).

№ 2.5

На клетчатой бумаге изобрази луч $CE$ и отрезок $AB$ (рисунок 2.7). От вершины $C$ луча отложи отрезок $CD$, равный $AB$.

Как думать. Нужно «перенести» длину $AB$ на луч. Циркуль делает это точно, а на клетках можно считать шаги.

Решение.

• а) $A(1;,1)$, $B(3;,2)$ — шаг $(2;,1)$. Луч $CE$: $C(1;,3)$, $E(5;,5)$ идёт с шагом $(2;,1)$. $D=(1+2;,3+1)=(3;,4)$.
• б) $A(1;,3)$, $B(3;,1)$ — шаг $(2;,-2)$, диагональ. $C(2;,5)$, $E(5;,2)$. $D=(2+2;,5-2)=(4;,3)$.
• в) $A(1;,1)$, $B(3;,2)$ — шаг $(2;,1)$. Луч $CE$ идёт от $C(1;,5)$ вниз вправо с шагом $(2;,-1)$. $D=(1+2;,5-1)=(3;,4)$.

В каждом случае $CD$ — тот же «шаг», то есть $CD = AB$.

Ответ: построение: а) $D(3;,4)$; б) $D(4;,3)$; в) $D(3;,4)$ (координаты в клетках от левого нижнего угла рисунка).

№ 2.6

Укажи равные отрезки на рисунке 2.8.

Как думать. Отрезки на клетках равны, если они одного типа и одной длины: «по прямой на $k$ клеток» или «по диагонали на $k$ клеток», либо у них одинаковые шаги по горизонтали и вертикали.

Решение. Прочитаем шаги.

• а): 2 клетки по горизонтали; д): 2 клетки по вертикали. Равны.
• б): диагональ $2\times 2$; е): диагональ $2\times 2$. Равны.
• в): 1 клетка по горизонтали и 2 по вертикали; г): 2 по горизонтали и 1 по вертикали. Равны (повернём один на четверть оборота).

Ответ: а) и д); б) и е); в) и г).

Уровень B

№ 2.7

Для точек $A,\ B,\ C,\ D$ прямой известно, что $B$ и $C$ лежат по одну сторону от $A$, а $B$ и $D$ тоже по одну сторону от $A$. Как расположены $C$ и $D$ относительно $A$?

Как думать. Точка $A$ делит прямую на две части. «По одну сторону» значит «в одной части».

Решение.

1. $B$ и $C$ в одной части прямой относительно $A$.
2. $B$ и $D$ тоже в одной части. Это та же часть, где лежит $B$.
3. Значит, $C$ и $D$ обе лежат в той же части, что и $B$.

Ответ: точки $C$ и $D$ лежат по одну сторону от точки $A$.

№ 2.8

Изобрази на клетчатой бумаге отрезки, как на рисунке 2.9. Укажи середины отрезков $AB$, $CD$, $EF$.

Как думать. Середина — это точка ровно посередине. Для отрезка на сетке берём среднее арифметическое координат концов.

Решение.

• $A(1;,5)$, $B(4;,5)$: длина 3 клетки, середина через $1{,}5$ клетки от $A$: $K(2{,}5;,5)$.
• $C(5;,6)$, $D(5;,0)$: длина 6 клеток, середина $L(5;,3)$.
• $E(1;,1)$, $F(4;,4)$: диагональ в 3 клетки, середина $M(2{,}5;,2{,}5)$.

Ответ: середины — $K(2{,}5;,5)$, $L(5;,3)$, $M(2{,}5;,2{,}5)$.

№ 2.9

На клетчатой бумаге изобрази отрезки, как на рисунке 2.9. Укажи точки, делящие отрезки $AB$, $CD$, $EF$ на три равные части.

Как думать. Делим длину на три равные части: две точки на каждом отрезке. Длины в клетках: $AB=3$, $CD=6$, $EF$ — три диагонали клеток.

Решение.

• $AB$: $A(1;,5)$, $B(4;,5)$, шаг в одну клетку. Точки $(2;,5)$ и $(3;,5)$.
• $CD$: $C(5;,6)$, $D(5;,0)$, шаг в две клетки. Точки $(5;,4)$ и $(5;,2)$.
• $EF$: $E(1;,1)$, $F(4;,4)$, шаг $(1;,1)$. Точки $(2;,2)$ и $(3;,3)$.

Ответ: $AB$: $(2;,5)$ и $(3;,5)$; $CD$: $(5;,4)$ и $(5;,2)$; $EF$: $(2;,2)$ и $(3;,3)$.

№ 2.10

Расположи номера в порядке возрастания длин соответствующих отрезков (рисунок 2.10).

Как думать. Измеряем каждый отрезок шагами по клеткам: «сколько вправо или влево и сколько вверх или вниз». Чем больше шаги, тем длиннее отрезок. Для сравнения достаточно увидеть, какой «прямоугольник шагов» больше.

Решение. Шаги по сетке:

• 5: 0 вправо, 2 вниз. Самый короткий.
• 4: 2 вправо, 1 вниз.
• 1: 2 вправо, 2 вверх.
• 6: 1 вправо, 3 вниз.
• 3: 3 вправо, 2 вниз.
• 2: 4 вправо, 1 вверх. Самый длинный.

Если считать длины по теореме Пифагора (будет позже): $2,\ \sqrt5,\ \sqrt8,\ \sqrt{10},\ \sqrt{13},\ \sqrt{17}$.

Ответ: 5, 4, 1, 6, 3, 2.

№ 2.11

На клетчатой бумаге изобрази отрезки, как на рисунке 2.11. Изобрази какой-нибудь отрезок, равный сумме отрезков $AB$ и $CD$.

Как думать. Сумма отрезков: откладываем $AB$ на луче, потом от его конца продолжаем в ту же сторону отрезком, равным $CD$. Весь получившийся отрезок и есть сумма.

Решение.

• а) $AB$ — 3 клетки, $CD$ — 2 клетки. Проводим луч из $A$ через $B$. От $B$ откладываем 2 клетки в ту же сторону. Получили отрезок длиной 5 клеток.
• б) $AB$ — 2 клетки, $CD$ (вертикальный) — 2 клетки. Откладываем на луче $AB$ от $B$ ещё 2 клетки. Итого 4 клетки.
• в) $AB$ — диагональ в 2 «диагонали клетки», $CD$ — одна. Продолжаем $AB$ за $B$ на одну диагональ. Итого 3 диагонали.

Ответ: построение: на луче $AB$ от точки $B$ откладываем отрезок, равный $CD$; весь отрезок от $A$ и есть сумма.

№ 2.12

На клетчатой бумаге изобрази отрезки, как на рисунке 2.12. Изобрази какой-нибудь отрезок, равный разности отрезков $AB$ и $CD$.

Как думать. Разность — это «что остаётся», если от длинного отрезка отрезать часть, равную короткому.

Решение. Откладываем $CD$ на луче $AB$ от точки $A$. Допустим, получили $AM = CD$. Тогда $MB = AB - CD$.

• а) $AB$ — 4 клетки, $CD$ — 2 клетки: остаток 2 клетки.
• б) $AB$ — 3 диагонали клетки, $CD$ — 2 диагонали: остаток 1 диагональ.

Ответ: отрезок $MB$, где $AM = CD$ отложен на луче $AB$ от точки $A$.

Уровень C

№ 2.13

*На прямой отмечены: а) 3 точки; б) 4 точки; в) 5 точек; г) $n$ точек. Сколько лучей, лежащих на этой прямой, имеют начала в этих точках?

Как думать. Из каждой отмеченной точки на прямой выходят ровно два луча (в две стороны, см. № 2.2). Лучи из разных точек различны, потому что у них разные начала.

Решение.

• а) $3\cdot 2 = 6$.
• б) $4\cdot 2 = 8$.
• в) $5\cdot 2 = 10$.
• г) $2n$.

Ответ: а) 6; б) 8; в) 10; г) $2n$.

№ 2.14

*На прямой отмечены: а) 3 точки; б) 4 точки; в) 5 точек; г) $n$ точек. Сколько существует отрезков с концами в этих точках?

Как думать. Отрезок определяется парой своих концов. Значит, считаем пары точек, как в № 1.14 с прямыми.

Решение.

• а) $3\cdot 2 : 2 = 3$ ($AB$, $AC$, $BC$).
• б) $4\cdot 3 : 2 = 6$.
• в) $5\cdot 4 : 2 = 10$.
• г) $\frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: а) 3; б) 6; в) 10; г) $\frac{n(n-1)}{2}$.

№ 2.15

Сравни отрезки $AB$ и $CD$ на рисунке 2.13.

Как думать. Глазом тут легко ошибиться: стрелки на концах, форма фигур и положение «обманывают» зрение. Надёжно сравнить можно циркулем или полоской бумаги: приложить одну длину к другой.

Решение.

• а) У $AB$ стрелки направлены наружу, у $CD$ внутрь. Из-за этого $AB$ кажется длиннее. Измерение показывает, что они равны.
• б) Нижняя фигура «сужается» вниз, верхняя «расширяется»: из-за наклонных сторон кажется, что отрезки разные. Приложив один к другому, видим равенство.
• в) $AB$ горизонтальный, $CD$ вертикальный. Вертикальный кажется длиннее, но на самом деле они равны.

💡 Это оптические иллюзии. Поэтому в геометрии длины проверяют измерением и доказательством, а не «на глаз».

Ответ: отрезки $AB$ и $CD$ равны (во всех трёх случаях).

Готовимся к следующей теме

№ 2.16

Нарисуй прямую. С помощью линейки отложи на ней в одном направлении отрезок $AB$ длиной 5 см и отрезок $BC$ длиной 6 см. Какова длина отрезка $AC$?

Как думать. Отрезки откладываем «цепочкой»: $BC$ начинается там, где кончился $AB$. Тогда точка $B$ лежит между $A$ и $C$, и длины складываются.

Решение.

1. Нарисуй прямую, отметь точку $A$.
2. Линейкой отложи от $A$ вправо 5 см: получилась точка $B$.
3. От $B$ в ту же сторону отложи 6 см: точка $C$.
4. $AC = AB + BC = 5 + 6 = 11$ (см).

Ответ: $AC = 11$ см.

Шпаргалка

• Аксиома: каждая точка прямой делит её на две части.
• Луч — полупрямая, у него есть начало, но нет конца.
• Отрезок — часть прямой между двумя точками, его концы принадлежат ему.
• Равенство отрезков: $AB = A_1B_1$, если отрезок $AB$, отложенный на луче от $A_1$, совпал с $A_1B_1$.
• Сумма и разность: $AB = AC + CB$, $AC = AB - CB$.
• Середина одна, и $AB = 2\cdot AM$.

Мини-тест