§ 16. Сумма углов треугольника

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 3: Взаимное расположение прямых. Страницы 91–96.

Чему научишься

• Формулировать и доказывать теорему о сумме углов треугольника.
• Находить неизвестные углы в обычных, равнобедренных и прямоугольных треугольниках.
• Понимать, что такое внешний угол треугольника, и использовать его свойство.
• Решать задачи с биссектрисами и высотами, где нужно «поймать» углы.

Разминка

• Как называются углы, которые лежат по разные стороны от секущей и «накрест»? Накрест лежащие. При параллельных прямых они равны.
• Чему равна сумма смежных углов? $180^\circ$.
• Какой треугольник называется равнобедренным и что равно у него? Две стороны равны (боковые), и равны углы при основании.
• Что такое биссектриса угла? Луч из вершины, который делит угол пополам.
• Что такое высота треугольника? Перпендикуляр из вершины к прямой, на которой лежит противоположная сторона.

Разбираемся

Опыт с транспортиром

Нарисуй треугольник, измерь углы транспортиром и сложи. У тебя получится что-то около $180^\circ$: может быть $179^\circ$ или $181^\circ$. Это не ошибка треугольника, а неточность измерения. Строго доказывает теорема.

Теорема о сумме углов

📌 Теорема. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

Идея: через вершину $C$ провести прямую, параллельную стороне $AB$. Тогда три угла треугольника «переедут» на одну прямую, а развёрнутый угол как раз $180^\circ$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка вырезать бумажный треугольник, оторвать три угла и сложить их вершинами вместе. Они лягут в развёрнутый угол. Это красиво показывает смысл теоремы, но не заменяет доказательство.

Что из неё следует

📌 Следствие. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.

Почему: прямой угол уже $90^\circ$, на два других остаётся $180^\circ-90^\circ=90^\circ$.

Ещё полезно помнить: в равностороннем треугольнике каждый угол $60^\circ$, в равнобедренном прямоугольном острые углы по $45^\circ$.

Внешний угол

Внешний угол треугольника получается, если продлить сторону за вершину: он смежный с внутренним углом при этой вершине.

📌 Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство короткое. Внешний угол $CBD=180^\circ-\angle B$, потому что он смежный с $\angle B$. А сумма углов треугольника даёт $\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B$. Правые части равны, значит равны и левые.

⚠️ Частая ошибка. Складывают внешний угол с соседним внутренним. Нужны два внутренних угла, которые не касаются внешнего.

🌟 Угол в $180^\circ$ в сумме у треугольника на плоском листе. Если рисовать треугольник на глобусе, сумма получится больше. Но в школьной геометрии мы работаем на плоскости, где всегда ровно $180^\circ$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Чему равна сумма углов треугольника? $180^\circ$.
• Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника? $90^\circ$.
• Чему равен внешний угол треугольника? Сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 16.1

Чему равны углы равностороннего треугольника?

Как думать. У равностороннего треугольника все углы равны, а сумма $180^\circ$.

Решение. Каждый угол: $180^\circ:3=60^\circ$.

Ответ: по $60^\circ$.

№ 16.2

Чему равны острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника?

Как думать. Прямой угол не может быть при основании (два прямых угла в сумме дали бы $180^\circ$). Значит, он при вершине, а острые углы при основании равны.

Решение. Сумма острых углов $90^\circ$, они равны, значит каждый $90^\circ:2=45^\circ$.

Ответ: по $45^\circ$.

№ 16.3

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30^\circ$, угол $B$ равен $90^\circ$. Найди угол $C$.

Как думать. Просто вычитаем из $180^\circ$.

Решение. $\angle C=180^\circ-30^\circ-90^\circ=60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

№ 16.4

Один острый угол прямоугольного треугольника на $32^\circ$ больше другого. Найди больший острый угол.

Как думать. Острые углы дают в сумме $90^\circ$. Обозначим меньший за $x$.

Решение. $x+(x+32)=90$, $2x=58$, $x=29$. Больший угол $29+32=61^\circ$.

Ответ: $61^\circ$.

№ 16.5

Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найди меньший острый угол.

Как думать. Меньший угол $x$, больший $2x$, вместе $90^\circ$.

Решение. $x+2x=90$, $3x=90$, $x=30$.

Ответ: $30^\circ$.

№ 16.6

Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $2:3$. Найди больший острый угол.

Как думать. Одна часть $k$: углы $2k$ и $3k$, их сумма $90^\circ$.

Решение. $2k+3k=90$, $k=18$. Больший угол $3\cdot 18=54^\circ$.

Ответ: $54^\circ$.

№ 16.7

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $40^\circ$, $AC=BC$. Найди угол $C$.

Как думать. Равны стороны $AC$ и $BC$, значит основание $AB$, а углы при основании $A$ и $B$ равны.

Решение. $\angle B=\angle A=40^\circ$. $\angle C=180^\circ-40^\circ-40^\circ=100^\circ$.

Ответ: $100^\circ$.

№ 16.8

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^\circ$, $AC=BC$. Найди угол $A$.

Как думать. Опять основание $AB$, углы $A$ и $B$ равны. Вместе они дают $180^\circ-120^\circ$.

Решение. $\angle A+\angle B=60^\circ$, $\angle A=60^\circ:2=30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

№ 16.9

Вычисли неизвестные углы на рисунке 16.3.

Как думать. Везде работает сумма углов треугольника, свойство равнобедренного треугольника и внешний угол.

Решение. а) В треугольнике $MNK$ две стороны равны ($NK=MK$), значит $\angle M=\angle N=65^\circ$. Внешний угол при вершине $K$ равен сумме двух несмежных: $65^\circ+65^\circ=130^\circ$. б) Треугольник $ABC$ равносторонний, все углы по $60^\circ$. Внешний угол $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. в) Угол при $E$ внутри треугольника: $180^\circ-100^\circ=80^\circ$. Угол при $G$ равен $40^\circ$, тогда угол при $F$ внутри: $180^\circ-80^\circ-40^\circ=60^\circ$. Отмеченный угол при $F$ внешний: $180^\circ-60^\circ=120^\circ$. г) Угол $143^\circ$ внешний при вершине $C$, значит внутренний угол $C$ равен $180^\circ-143^\circ=37^\circ$. Угол $125^\circ$ и внутренний угол $ABC$ вертикальные, значит $\angle ABC=125^\circ$. Тогда неизвестный угол $A=180^\circ-37^\circ-125^\circ=18^\circ$.

Ответ: а) $130^\circ$; б) $120^\circ$; в) $120^\circ$; г) $18^\circ$.

Уровень B

№ 16.10

Один из углов равнобедренного треугольника равен $98^\circ$. Найди два других угла.

Как думать. Тупой угол не может быть при основании: два тупых угла уже дали бы больше $180^\circ$. Значит $98^\circ$ при вершине, а два других равны.

Решение. $(180^\circ-98^\circ):2=82^\circ:2=41^\circ$.

Ответ: $41^\circ$ и $41^\circ$.

№ 16.11

В равнобедренном треугольнике один угол на $90^\circ$ меньше другого угла. Найди больший угол.

Как думать. Возможны два случая: или больший угол при вершине, или при основании. Проверим, какой подходит.

Решение. Пусть угол при вершине $x+90^\circ$, а углы при основании по $x$: $x+x+x+90=180$, $3x=90$, $x=30$. Больший угол $120^\circ$. Другой случай: основание $x+90^\circ$ каждый и вершина $x$: $x+2(x+90)=180$, $3x=0$, $x=0$ невозможно.

Ответ: $120^\circ$.

№ 16.12

Углы треугольника относятся как $1:2:3$. Найди меньший из них.

Как думать. Три части в сумме $180^\circ$.

Решение. $k+2k+3k=180$, $6k=180$, $k=30$. Меньший угол $30^\circ$ (остальные $60^\circ$ и $90^\circ$).

Ответ: $30^\circ$.

№ 16.13

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $64^\circ$, внешний угол при вершине $B$ равен $104^\circ$. Найди угол $A$.

Как думать. Внешний угол равен сумме двух несмежных с ним внутренних углов: это $A$ и $C$.

Решение. $104^\circ=\angle A+64^\circ$, значит $\angle A=40^\circ$.

Ответ: $40^\circ$.

№ 16.14

В треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) внешний угол при вершине $B$ равен $122^\circ$. Найди угол $C$.

Как думать. Основание $AB$, углы $A$ и $B$ равны. Сначала найдём внутренний угол $B$.

Решение. $\angle B=180^\circ-122^\circ=58^\circ$, $\angle A=58^\circ$. $\angle C=180^\circ-58^\circ-58^\circ=64^\circ$.

Ответ: $64^\circ$.

№ 16.15

В треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) угол $C$ равен $50^\circ$. Найди внешний угол $CBD$.

Как думать. Найдём углы при основании, а внешний угол $CBD$ смежный с $\angle B$.

Решение. $\angle A=\angle B=(180^\circ-50^\circ):2=65^\circ$. $\angle CBD=180^\circ-65^\circ=115^\circ$ (или $\angle A+\angle C=65^\circ+50^\circ$).

Ответ: $115^\circ$.

№ 16.16

В треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) внешний угол при вершине $B$ равен $138^\circ$. Найди угол $C$.

Как думать. Равны $AB$ и $BC$, значит основание $AC$, равны углы $A$ и $C$. Внешний угол при $B$ равен $\angle A+\angle C$.

Решение. $2\angle C=138^\circ$, $\angle C=69^\circ$.

Ответ: $69^\circ$.

№ 16.17

В треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) угол $A$ равен $70^\circ$. Найди внешний угол при вершине $B$.

Как думать. Внешний угол при $B$ равен сумме углов $A$ и $C$, а они равны.

Решение. $\angle C=\angle A=70^\circ$. Внешний угол $70^\circ+70^\circ=140^\circ$.

Ответ: $140^\circ$.

№ 16.18

Один из внешних углов треугольника равен $85^\circ$. Углы, не смежные с ним, относятся как $2:3$. Найди наибольший из них.

Как думать. Внешний угол равен сумме двух несмежных с ним внутренних. Значит, они в сумме $85^\circ$ и в отношении $2:3$.

Решение. $2k+3k=85$, $5k=85$, $k=17$. Углы $34^\circ$ и $51^\circ$.

Ответ: $51^\circ$.

№ 16.19

Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен $120^\circ$. Найди острые углы этого треугольника.

Как думать. Внешний угол при прямом угле был бы $90^\circ$, а у нас $120^\circ$. Значит он при остром вершине. Он смежный с внутренним острым углом.

Решение. Один острый угол $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Второй $90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $30^\circ$.

№ 16.20

Найди сумму всех трёх внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине.

Как думать. Каждый внешний угол $180^\circ$ минус внутренний.

Решение. $3\cdot 180^\circ-(\angle A+\angle B+\angle C)=540^\circ-180^\circ=360^\circ$.

Ответ: $360^\circ$.

Уровень C

№ 16.21

Докажи: если один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, то катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы.

Как думать. Достроим треугольник симметрично относительно второго катета: получится равносторонний треугольник.

Решение. Смотри шаги выше.

Ответ: доказано.

№ 16.22

Докажи, что биссектриса внешнего угла при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, параллельна основанию (рис. 16.8).

Как думать. Покажем, что накрест или соответственные углы равны. Внешний угол равен сумме двух внутренних, а они равны.

Решение. Дано: $AC=BC$, $CD$ биссектриса внешнего угла при $C$. Доказать: $CD\parallel AB$.

1. $\angle A=\angle B$ как углы при основании.
2. Внешний угол при $C$ равен $\angle A+\angle B=2\angle A$.
3. Биссектриса делит его пополам, значит угол между $CD$ и продолжением стороны $AC$ равен $\angle A$.
4. Это соответственные углы при прямых $CD$ и $AB$ и секущей $AC$. Они равны, значит $CD\parallel AB$.

Ответ: доказано.

№ 16.23

Найди сумму острых углов произвольной пятиконечной звёздочки (рис. 16.9).

Как думать. Разобьём звезду на треугольники и используем, что сумма углов треугольника $180^\circ$ и вертикальные углы равны.

Решение. Возьмём прямые $1\text{–}3$ и $4\text{–}2$ и обозначим их точку пересечения $P$.

1. В треугольнике с вершинами 1, 4 и $P$ угол при $P$ равен $180^\circ-(\angle 1+\angle 4)$.
2. Угол при $P$ в треугольнике $3P2$ вертикальный с ним, значит такой же. Тогда два других угла треугольника $3P2$ вместе равны $\angle 1+\angle 4$.
3. В большом треугольнике с вершинами 5, 3 и 2 сумма углов $180^\circ$. Его углы при вершинах 3 и 2 состоят из углов звезды $\angle 3$ и $\angle 2$ и из двух углов треугольника $3P2$.
4. Значит $\angle 5+\angle 3+\angle 2+(\angle 1+\angle 4)=180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$.

№ 16.24

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$, угол $B$ равен $70^\circ$, $CH$ высота (рис. 16.10). Найди разность углов $ACH$ и $BCH$.

Как думать. Высота $CH$ даёт два прямоугольных треугольника $ACH$ и $BCH$. В каждом острые углы в сумме $90^\circ$.

Решение. $\angle ACH=90^\circ-60^\circ=30^\circ$. $\angle BCH=90^\circ-70^\circ=20^\circ$. Разность $30^\circ-20^\circ=10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$.

№ 16.25

В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой, угол $A$ равен $30^\circ$, $CH$ высота, угол $BCH$ равен $22^\circ$ (рис. 16.11). Найди угол $ACB$.

Как думать. Из-за тупого угла $B$ основание высоты $H$ лежит на продолжении $AB$ за $B$. Угол $ACH$ больше $ACB$ на $22^\circ$.

Решение. В прямоугольном треугольнике $ACH$: $\angle ACH=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. $\angle ACB=\angle ACH-\angle BCH=60^\circ-22^\circ=38^\circ$.

Ответ: $38^\circ$.

№ 16.26

В треугольнике $ABC$ $AC=BC$, $AD$ высота, угол $BAD$ равен $24^\circ$ (рис. 16.12). Найди угол $C$.

Как думать. $AD$ перпендикулярна $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABD$ найдём угол $B$, потом углы при основании.

Решение. $\angle B=90^\circ-24^\circ=66^\circ$. Основание $AB$, значит $\angle A=\angle B=66^\circ$. $\angle C=180^\circ-66^\circ-66^\circ=48^\circ$.

Ответ: $48^\circ$.

№ 16.27

В треугольнике $ABC$ $AD$ биссектриса, угол $C$ равен $30^\circ$, угол $BAD$ равен $22^\circ$ (рис. 16.13). Найди угол $ADB$.

Как думать. Биссектриса даёт $\angle CAD=\angle BAD$. Угол $ADB$ внешний для треугольника $ADC$.

Решение. $\angle CAD=22^\circ$. $\angle ADB=\angle C+\angle CAD=30^\circ+22^\circ=52^\circ$.

Ответ: $52^\circ$.

№ 16.28

В треугольнике $ABC$ $AD$ биссектриса, угол $C$ равен $50^\circ$, угол $CAD$ равен $28^\circ$ (рис. 16.14). Найди угол $B$.

Как думать. Биссектриса делит угол $A$ пополам, значит весь угол $A$ вдвое больше $\angle CAD$.

Решение. $\angle A=2\cdot 28^\circ=56^\circ$. $\angle B=180^\circ-56^\circ-50^\circ=74^\circ$.

Ответ: $74^\circ$.

№ 16.29

В треугольнике $ABC$ $AD$ биссектриса, угол $B$ равен $72^\circ$, угол $CAD$ равен $30^\circ$ (рис. 16.14). Найди угол $C$.

Как думать. Так же: сначала весь угол $A$.

Решение. $\angle A=2\cdot 30^\circ=60^\circ$. $\angle C=180^\circ-72^\circ-60^\circ=48^\circ$.

Ответ: $48^\circ$.

№ 16.30

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AD$ и $BE$ биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$ (рис. 16.15). Найди угол $AOB$.

Как думать. В треугольнике $AOB$ углы при $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$.

Решение. $\angle A+\angle B=180^\circ-60^\circ=120^\circ$. В треугольнике $AOB$: $\angle OAB+\angle OBA=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ$. $\angle AOB=180^\circ-60^\circ=120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

№ 16.31

Найди острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

Как думать. Острые углы дают $90^\circ$, половины дают $45^\circ$. Дальше как в 16.30.

Решение. Биссектрисы острых углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$. В треугольнике $AOB$: $\angle OAB+\angle OBA=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$, значит $\angle AOB=180^\circ-45^\circ=135^\circ$. Острый угол между прямыми $180^\circ-135^\circ=45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

№ 16.32

Два угла треугольника равны $54^\circ$ и $66^\circ$. Найди острый угол, который образуют высоты, выходящие из вершин этих углов (рис. 16.16).

Как думать. Третий угол $C=180^\circ-54^\circ-66^\circ=60^\circ$. Высоты $AG$ и $BH$ со сторонами образуют четырёхугольник с двумя прямыми углами.

Решение. В четырёхугольнике $CHOG$ сумма углов $360^\circ$: $\angle HOG=360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ$. Острый угол между высотами смежный с ним: $180^\circ-120^\circ=60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

№ 16.33

Один острый угол прямоугольного треугольника равен $30^\circ$. Найди угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла (рис. 16.17).

Как думать. Биссектриса делит прямой угол на $45^\circ$. Высота из прямого угла образует с катетом угол $90^\circ-$ (острый угол).

Решение. Пусть $\angle A=30^\circ$, $\angle B=60^\circ$. Высота $CH$: $\angle ACH=90^\circ-30^\circ=60^\circ$. Биссектриса $CD$: $\angle ACD=45^\circ$. Угол между ними $\angle HCD=60^\circ-45^\circ=15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$.

№ 16.34

Острый угол $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $30^\circ$. Гипотенуза $AB=12$ см. Найди проекцию катета $BC$ на гипотенузу.

Как думать. Катет против $30^\circ$ равен половине гипотенузы (задача 16.21). Проекция катета $BC$ на $AB$ это отрезок $BH$ от вершины $B$ до основания высоты $CH$.

Решение. $BC=\frac{12}{2}=6$ см. $\angle B=60^\circ$, в прямоугольном треугольнике $BCH$ угол $BCH=30^\circ$, поэтому $BH=\frac{BC}{2}=3$ см.

Ответ: $3$ см.

№ 16.35

Нарисуй какой-нибудь треугольник. Линейкой измерь его стороны. Верно ли, что каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности?

Как думать. Это подготовка к следующему параграфу: измерения подскажут правило, а доказывать его будем в § 17.

Решение. Например, стороны $4$ см, $5$ см и $7$ см. Проверь: $7<4+5=9$ и $7>5-4=1$; $5<4+7$ и $5>7-4=3$; $4<5+7$ и $4>7-5=2$. У любого треугольника всё выполняется.

Ответ: да, верно. Доказательство в § 17.

Шпаргалка

• Теорема: сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
• Следствие: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.
• Теорема: внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных с ним внутренних.

Мини-тест