§ 15. Параллельность прямых

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 3: Взаимное расположение прямых. Страницы 86–91.

Чему научишься

• Узнавать пары углов при секущей: соответственные, накрест лежащие, односторонние.
• Доказывать, что прямые параллельны, по равенству накрест лежащих углов (и по следствиям).
• Использовать аксиому параллельных: через точку вне прямой — только одна параллельная.
• Находить углы, если известно, что прямые параллельны.

Разминка

• Какие прямые называются параллельными? Те, что лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.
• Чему равна сумма смежных углов? $180^\circ$.
• Что можно сказать о вертикальных углах? Они равны.
• Какой угол называют внешним углом треугольника и что известно о нём? Угол, смежный с внутренним углом треугольника; он больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

Разбираемся

Секущая и восемь углов

Две рельсы и шпала: шпала пересекает обе рельсы. Прямая, которая пересекает две данные прямые, называется секущей. Параллельность записывают так: $a\parallel b$.

Секущая $c$ и две прямые $a$, $b$ образуют восемь углов. Пронумеруем их, как на рисунке: у верхней прямой — 5, 6, 7, 8, у нижней — 1, 2, 3, 4.

Пары углов получают имена:

💡 Если вопрос «параллельны ли $a$ и $b$» нельзя решить на глаз, смотри на углы. В рисунке выше прямые, судя по виду, не параллельны: нижняя идёт под другим наклоном, чем верхняя в пределах рисунка. Но на глаз судить нельзя, нужны измерения или доказательство.

Признак параллельности

Как должны выглядеть накрест лежащие углы, чтобы прямые были параллельны? Ответ даёт теорема.

📌 Признак параллельности. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Из признака сразу получаются три следствия.

📌 Следствие 1. Если при пересечении двух прямых третьей равны соответственные углы, то прямые параллельны. Следствие 2. Если односторонние углы дают в сумме $180^\circ$, то прямые параллельны. Следствие 3. Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

Почему? Во всех этих случаях накрест лежащие углы получаются равными, и можно применять признак. Например, во втором: односторонний угол $+$ его смежный $=180^\circ$, а односторонний угол $+$ другой односторонний $=180^\circ$, значит смежный равен другому, и это накрест лежащие.

⚠️ Частая ошибка. Путают соответственные и накрест лежащие углы. Накрест лежащие — «Z» между прямыми, соответственные — «на тех же местах», один сверху, другой снизу.

Аксиома параллельных

📌 Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиома — утверждение, которое принимают без доказательства. Вместе с признаком она даёт: через такую точку проходит ровно одна параллельная прямая.

🌟 Эта аксиома — главная идея геометрии Евклида. Больше двух тысяч лет математики пытались её доказать, и только в XIX веке выяснилось, что можно придумать геометрию, где она неверна.

Обратная теорема: параллельные прямые дают равные углы

📌 Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказательство. Пусть $a\parallel b$, секущая $c$ пересекает их в точках $A$ и $B$. Проведём через $A$ прямую $a_1$ так, чтобы накрест лежащие углы при $a_1$, $b$ и $c$ были равны. По признаку $a_1\parallel b$. Но через $A$ проходит только одна параллельная $b$ (аксиома), а $a$ тоже параллельна $b$. Значит, $a_1$ совпадает с $a$, и углы при $a$, $b$, $c$ равны.

📌 Следствие 1. Параллельные прямые и секущая: соответственные углы равны. Следствие 2. Параллельные прямые и секущая: односторонние углы в сумме дают $180^\circ$.

Почему верно следствие 2: накрест лежащие углы равны, а односторонний угол вместе со смежным даёт $180^\circ$. Заменим смежный равным ему накрест лежащим, и получим сумму односторонних $180^\circ$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Нарисуйте с ребёнком на тетрадном листе две «рельсы» и секущую. Измерить транспортиром накрест лежащие углы и убедиться, что они равны, полезнее, чем заучить формулировку.

Проверь себя

• Какая прямая называется секущей для двух данных прямых? Прямая, которая пересекает обе данные прямые в разных точках.
• Сформулируй признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Сформулируй аксиому параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.
• Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через данную точку плоскости? Если точка не лежит на прямой — ровно одну. Если лежит на ней, то параллельных нет (она сама проходит через точку).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 15.1

При пересечении двух прямых третьей образуется 8 углов. Сколько из них может оказаться тупыми?

Как думать. В каждой точке пересечения четыре угла: два равных острых и два равных тупых, или все четыре прямые.

Решение. В первой точке пересечения тупых углов 0 (если все прямые) или 2. То же во второй точке. Складываем: $0$, $2$ или $4$. Все эти случаи возможны: при двух прямых углах получим 0; если одна пара прямых, а в другой точке угол не прямой — 2; если оба угла не прямые — 4.

Ответ: 0, 2 или 4.

№ 15.2

Могут ли оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей быть тупыми?

Как думать. Если прямые параллельны, то эти углы в сумме $180^\circ$, и оба тупыми быть не могут. Но в задаче прямые произвольные.

Решение. Возьмём две прямые, которые не параллельны, и секущую так, чтобы односторонние углы были $100^\circ$ и $100^\circ$. Их сумма $200^\circ\ne180^\circ$, значит прямые не параллельны (расходятся в эту сторону и пересекаются с другой), но оба угла тупые.

📕 В ответах учебника напечатано «Нет», но для произвольных прямых правильно «Да, могут»: например, углы $100^\circ$ и $100^\circ$. «Нет» верно только в случае параллельных прямых.

Ответ: да, могут (если прямые не параллельны); для параллельных прямых — нет.

№ 15.3

Могут ли быть равны внутренние односторонние углы при пересечении двух прямых третьей?

Как думать. Подойдёт самый простой пример.

Решение. Да. Например, секущая перпендикулярна обеим прямым: оба односторонних угла по $90^\circ$ (прямые при этом параллельны). Есть и другой пример: углы по $60^\circ$ и $60^\circ$, тогда прямые не параллельны.

Ответ: да.

№ 15.4

Могут ли все углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, быть равными между собой?

Как думать. Какие значения могут быть у всех восьми углов сразу?

Решение. Да. Если обе прямые перпендикулярны секущей, все 8 углов прямые, то есть равны между собой ($90^\circ$).

Ответ: да.

№ 15.5

На клетчатой бумаге проведи через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB$ (рис. 15.4, случаи а), б), в)).

Как думать. На клетках параллельную прямую получают «переносом»: от $C$ идём теми же «шагами», что и от $A$ к $B$.

Решение. Случай а): $A(1;,0)$, $B(5;,4)$ — это 4 клетки вправо и 4 вверх. Из $C(0;,3)$ делаем те же шаги: $(1;,4)$, $(2;,5)$. Проводим прямую через $C$ и $(2;,5)$.

Случай б): пусть $A(0;,1)$, $B(6;,4)$ — шаг «2 вправо, 1 вверх». Из $C(1;,4)$ идём так же: $(3;,5)$, $(5;,6)$. Случай в): $A(1;,0)$, $B(2;,5)$ — шаг «1 вправо, 5 вверх». Из $C(5;,1)$: $(6;,6)$. Ту же прямую можно продлить обратно по тем же шагам. Почему получилось параллельно: если шаги одинаковые, то прямые образуют с горизонтальной линией клетки равные соответственные углы.

Ответ: параллельную прямую строим по тем же шагам от точки $C$: а) через $(2;,5)$; б) через $(5;,6)$; в) через $(6;,6)$.

№ 15.6

На рисунке 15.5 укажи пары параллельных прямых.

Как думать. Рисунок — пучок прямых на клетчатом поле. Параллельные те, что идут под одним и тем же наклоном, то есть с одним и тем же шагом по клеткам. Горизонтальные $p$ и $q$ параллельны сразу.

Решение. Прочитав наклоны по клеткам, получаем пары: $a$ и $f$, $b$ и $e$, $c$ и $g$, $d$ и $h$, $p$ и $q$. Прямая $r$ ни с одной не в паре.

Ответ: $a\parallel f$, $b\parallel e$, $c\parallel g$, $d\parallel h$, $p\parallel q$.

№ 15.7

Какие прямые на рисунке 15.6 параллельны?

Как думать. Для каждой пары прямых найди секущую и сумму односторонних углов: если $180^\circ$ — прямые параллельны.

Решение. Секущая $a$: между $c$ и $d$ односторонние углы $116^\circ$ и $64^\circ$, сумма $180^\circ$. Секущая $b$: углы $63^\circ$ и $117^\circ$, сумма тоже $180^\circ$. Значит $c\parallel d$. Прямые $a$ и $b$: секущая $c$ даёт односторонние углы $116^\circ$ и $63^\circ$, сумма $179^\circ e180^\circ$. Значит, $a$ и $b$ не параллельны: разница в один градус на глаз незаметна, но признак её видит.

Ответ: параллельны только $c$ и $d$.

Уровень B

№ 15.8

В треугольнике $ABC$ $\angle A=40^\circ$, $\angle B=70^\circ$. Через вершину $B$ проведена прямая $BD$ так, что луч $BC$ — биссектриса угла $ABD$ (рис. 15.7). Докажи, что $AC\parallel BD$.

Как думать. Найдём угол $ABD$ и посмотрим на секущую $AB$: если односторонние углы дают $180^\circ$, то прямые параллельны.

Решение. Дано: $\angle A=40^\circ$, $\angle ABC=70^\circ$, $BC$ — биссектриса угла $ABD$. Доказать: $AC\parallel BD$.

1. Так как $BC$ — биссектриса, $\angle ABD=2\cdot\angle ABC=2\cdot70^\circ=140^\circ$.
2. Прямые $AC$ и $BD$ пересечены секущей $AB$. Углы $\angle A=40^\circ$ и $\angle ABD=140^\circ$ — внутренние односторонние.
3. Их сумма: $40^\circ+140^\circ=180^\circ$.
4. По следствию 2 из признака параллельности $AC\parallel BD$.

Ответ: доказано.

№ 15.9

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине $O$ (рис. 15.8). Докажи, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Как думать. Докажем, что накрест лежащие углы при секущей $AB$ равны. Для этого сравним два треугольника при точке $O$.

Решение. Дано: $AO=OB$, $CO=OD$. Доказать: $AC\parallel BD$.

1. Треугольники $AOC$ и $BOD$: $AO=OB$ и $CO=OD$ по условию.
2. $\angle AOC=\angle BOD$ как вертикальные.
3. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Значит, $\angle OAC=\angle OBD$. Это внутренние накрест лежащие углы при прямых $AC$, $BD$ и секущей $AB$.
5. По признаку параллельности $AC\parallel BD$.

Ответ: доказано.

№ 15.10

Найди неизвестный угол, если $AD\parallel BC$ (рис. 15.9, а), б), в)).

Как думать. Для каждого рисунка найди секущую и пару углов: накрест лежащие или односторонние.

Решение.

а) $ABCD$ — трапеция с $AD\parallel BC$, углы при основании $AD$ равны: $\angle A=\angle D=62^\circ$ (отмечены одинаковыми дугами). Углы $C$ и $D$ — односторонние при параллельных $AD$, $BC$ и секущей $CD$. Значит, $\angle C=180^\circ-62^\circ=118^\circ$.

б) $F$ — вершина, $FB=FC$ (отмечены чёрточками), $BC\parallel AD$, $\angle D=70^\circ$. Углы $FCB$ и $D$ — соответственные при параллельных $BC$ и $AD$ и секущей $FD$, значит $\angle FCB=70^\circ$. Треугольник $FBC$ равнобедренный, поэтому угол $FBC$ (при основании) равен $70^\circ$.

в) Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $OB=OC$ (отмечено), $\angle ADB=65^\circ$. При $AD\parallel BC$ и секущей $BD$ углы $ADB$ и $DBC$ — накрест лежащие, значит $\angle DBC=65^\circ$. В равнобедренном треугольнике $OBC$ ($OB=OC$) углы при основании равны: $\angle OCB=\angle OBC=65^\circ$.

Ответ: а) $118^\circ$; б) $70^\circ$; в) $65^\circ$.

№ 15.11

Найди углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если: а) один из углов равен $150^\circ$; б) один из углов на $70^\circ$ больше другого.

Как думать. Всего восемь углов, но значений только два: острые равны между собой, тупые равны между собой, и острый $+$ тупой $=180^\circ$.

Решение. а) Если один угол $150^\circ$, то смежный с ним $180^\circ-150^\circ=30^\circ$. Все остальные равны либо $150^\circ$, либо $30^\circ$. б) Пусть острый угол $x$, тогда тупой $x+70^\circ$. Сумма смежных: $x+(x+70^\circ)=180^\circ$, $2x=110^\circ$, $x=55^\circ$, второй угол $125^\circ$.

Ответ: а) $150^\circ$ и $30^\circ$; б) $55^\circ$ и $125^\circ$.

№ 15.12

Сумма двух внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна $150^\circ$. Найди эти углы.

Как думать. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Значит, оба одинаковые.

Решение. Два равных угла дают в сумме $150^\circ$, поэтому каждый равен $150^\circ:2=75^\circ$. (Смежные с ними углы равны $180^\circ-75^\circ=105^\circ$.)

📕 В ответах учебника напечатано «75° и 105°», но искомые два накрест лежащих угла равны между собой: правильно «$75^\circ$ и $75^\circ$». Число $105^\circ$ — это углы, смежные с ними. Ответ «75° и 105°» подходит к задаче 15.13.

Ответ: $75^\circ$ и $75^\circ$.

№ 15.13

Разность двух внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна $30^\circ$. Найди эти углы.

Как думать. Односторонние углы при параллельных прямых дают $180^\circ$. Нужны два числа с суммой 180 и разностью 30.

Решение. Пусть меньший угол $x$, тогда другой $x+30^\circ$. Уравнение: $x+(x+30^\circ)=180^\circ$, $2x=150^\circ$, $x=75^\circ$, второй угол $105^\circ$. Проверка: $105-75=30$.

Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$.

№ 15.14

Концы отрезка $AB$ лежат на параллельных прямых $a$ и $b$. Прямая через середину $O$ этого отрезка пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $C$ и $D$. Докажи, что $CO=OD$.

Как думать. Это та же идея, что в 15.9: два треугольника при точке $O$ и накрест лежащие углы.

Решение. Дано: $A\in a$, $B\in b$, $a\parallel b$, $AO=OB$, $C\in a$, $D\in b$, $C$, $O$, $D$ на одной прямой. Доказать: $CO=OD$.

1. Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD$.
2. $AO=OB$ по условию.
3. $\angle AOC=\angle BOD$ как вертикальные.
4. $\angle OAC=\angle OBD$ как накрест лежащие углы при $a\parallel b$ и секущей $AB$.
5. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Значит, $CO=OD$.

Ответ: доказано.

№ 15.15

Докажи, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Как думать. Накрест лежащие углы равны, а значит, и их половинки равны. Половинки как раз накрест лежащие углы для биссектрис.

Решение. Дано: $a\parallel b$, секущая $c$ пересекает их в точках $A$ и $B$; $AK$ и $BL$ — биссектрисы накрест лежащих углов. Доказать: $AK\parallel BL$.

1. Накрест лежащие углы при $a\parallel b$ равны. Обозначим каждый через $2\alpha$.
2. Биссектрисы делят их пополам, поэтому $\angle KAB=\angle LBA=\alpha$.
3. Углы $KAB$ и $LBA$ — накрест лежащие при прямых $AK$, $BL$ и секущей $AB$ (лежат по разные стороны от неё).
4. Они равны, значит по признаку $AK\parallel BL$.

Ответ: доказано.

Уровень C

№ 15.16

Докажи, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Как думать. Рассуждаем от противного: что было бы, если бы не пересекала.

Решение. Дано: $a\parallel b$, прямая $c$ пересекает $a$ в точке $A$. Доказать: $c$ пересекает $b$.

1. Допустим, что $c$ не пересекает $b$, то есть $c\parallel b$.
2. Тогда через точку $A$ проходят две различные прямые, $a$ и $c$, параллельные $b$.
3. Это противоречит аксиоме параллельных: через точку вне прямой проходит не более одной параллельной.
4. Значит, предположение неверно, и $c$ пересекает $b$.

Ответ: доказано.

№ 15.17

Докажи, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Как думать. Снова от противного, через общую точку.

Решение. Дано: $a\parallel c$, $b\parallel c$. Доказать: $a\parallel b$.

1. Допустим, $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$ (они не совпадают).
2. Тогда через $M$ проходят две различные прямые $a$ и $b$, обе параллельные $c$.
3. Это противоречит аксиоме параллельных.
4. Значит, $a$ и $b$ не пересекаются, то есть $a\parallel b$.

Ответ: доказано.

№ 15.18

На рисунке 15.10 стороны $a$ и $b$ одного угла соответственно параллельны сторонам $c$ и $d$ другого угла. Докажи, что эти углы равны.

Как думать. Сторона $b$ пересекает $c$. Сравним угол с вершиной на $b$ с углом, получаемым при пересечении $b$ и $c$, как соответственные углы два раза.

Решение. (Здесь угол $(a,b)$ имеет стороны $a$ и $b$, а угол $(c,d)$ — стороны $c$ и $d$, где $a\parallel c$ и $b\parallel d$.) Дано: $a\parallel c$, $b\parallel d$. Доказать: углы равны.

1. Продлим сторону $b$ до пересечения с прямой $c$ в точке $K$.
2. Так как $a\parallel c$, а $b$ — секущая, то угол между $a$ и $b$ равен углу между $c$ и $b$ в точке $K$ (соответственные углы).
3. Теперь прямые $b$ и $d$ параллельны, а $c$ — их секущая. Угол между $c$ и $b$ в точке $K$ равен углу между $c$ и $d$ (снова соответственные).
4. Итого: угол $(a,b)$ равен углу $(c,d)$.

Ответ: доказано: углы с соответственно параллельными сторонами, направленными одинаково, равны.

№ 15.19

На рисунке 15.11 стороны $a$ и $b$ одного угла соответственно параллельны сторонам $c$ и $d$ другого угла. Докажи, что эти углы в сумме составляют $180^\circ$.

Как думать. Как в 15.18, но одна пара сторон направлена в противоположные стороны, поэтому получим не равенство, а сумму $180^\circ$.

Решение. Дано: $a\parallel c$, $b\parallel d$ (на рис. 15.11 углы направлены «навстречу» друг другу). Доказать: угол $(a,b)$ $+$ угол $(c,d)=180^\circ$.

1. Продлим сторону $b$ до пересечения с $c$ в точке $K$.
2. Прямые $a$ и $c$ параллельны, $b$ — секущая. Угол $(a,b)$ при вершине первого угла и угол между $c$ и лучом $KV$ (в сторону вершины) — односторонние, их сумма равна $180^\circ$.
3. Угол между $c$ и лучом $KV$ в точке $K$ равен углу $(c,d)$: они соответственные при $b\parallel d$ и секущей $c$.
4. Подставляем: угол $(a,b)$ $+$ угол $(c,d)=180^\circ$.

Ответ: доказано.

Подготовьтесь к новой теме

№ 15.20

Нарисуй какой-нибудь треугольник. Транспортиром измерь его углы и найди их сумму.

Как думать. Это опыт перед § 16. Ответ каждый раз получается «около $180^\circ$».

Решение. Нарисуем треугольник, например с углами примерно $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$. Измерим углы транспортиром (покрути угол ниже, чтобы потренироваться).

Сложим: $50^\circ+60^\circ+70^\circ=180^\circ$. У тебя может получиться $179^\circ$ или $181^\circ$: это погрешность измерения.

Ответ: сумма углов треугольника получается примерно $180^\circ$ (так и будет доказано в § 16).

Шпаргалка

• Признак параллельности: накрест лежащие углы равны, значит прямые параллельны. Следствия: равны соответственные; односторонние дают $180^\circ$; обе прямые перпендикулярны третьей.
• Аксиома: через точку вне прямой — не более одной параллельной ей прямой.
• Обратная теорема: при параллельных прямых накрест лежащие и соответственные углы равны, односторонние в сумме $180^\circ$.
• Приёмы: «от противного» (15.16, 15.17), равные треугольники при точке пересечения (15.9, 15.14), переход к смежным и вертикальным углам.

Мини-тест