Проверь себя! Глава III

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 3: Взаимное расположение прямых. Страницы 102–105.

Что повторяем

Тест к главе III «Взаимное расположение прямых»: 20 вопросов с вариантами ответа A–D.

• Вопросы 1–8. Две параллельные прямые и секущая: сколько углов, какие равны, сумма внутренних односторонних (§ 14, § 15).
• Вопросы 9–19. Сумма углов треугольника, равнобедренный и прямоугольный треугольник, внешний угол, высоты и биссектрисы (§ 16).
• Вопрос 20. Неравенство треугольника (§ 17).

💡 Главное правило для вопросов про параллельные прямые: при секущей получается 8 углов, и все они равны либо $\alpha$, либо $180^\circ-\alpha$.

Решаем упражнения

№ 1

Сколько углов образуется при пересечении двух параллельных прямых третьей? A. 4; B. 6; C. 8; D. 12.

Как думать. В каждой точке пересечения две прямые образуют четыре угла.

Решение. Точек пересечения две, по четыре угла: $4+4=8$.

Ответ: C (8).

№ 2

Сколько острых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей? A. 2; B. 4; C. 6; D. 8.

Как думать. Если секущая не перпендикулярна, в каждой точке два острых и два тупых угла.

Решение. Острых $2+2=4$. Восемь острых быть не может: рядом с острым стоит смежный тупой.

Ответ: B (4).

№ 3

Сколько тупых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей? A. 2; B. 4; C. 8; D. 16.

Как думать. Так же, как в вопросе 2.

Решение. В каждой точке два тупых угла, всего $4$. Вариант 16 невозможен: углов всего восемь.

Ответ: B (4).

№ 4

Сколько прямых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей? A. 0; B. 2; C. 4; D. 8.

Как думать. Если один из углов прямой, то смежный с ним тоже прямой, и так для всех восьми.

Решение. При секущей, перпендикулярной обеим прямым, прямыми будут все $8$ углов. Если секущая не перпендикулярна, прямых углов нет. Среди вариантов осмысленный ответ «может образоваться» это 8.

Ответ: D (8).

№ 5

При пересечении двух параллельных прямых третьей один из углов оказался равным $112^\circ$. Найди наименьший из всех образованных углов. A. Нельзя определить; B. $34^\circ$; C. $68^\circ$; D. $112^\circ$.

Как думать. Все восемь углов равны $112^\circ$ или смежному с ним.

Решение. Смежный угол: $180^\circ-112^\circ=68^\circ$. Остальные углы равны $112^\circ$ или $68^\circ$. Наименьший $68^\circ$.

Ответ: C ($68^\circ$).

№ 6

Сумма трёх внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна $290^\circ$. Найди четвёртый внутренний угол. A. $145^\circ$; B. $110^\circ$; C. $35^\circ$; D. $70^\circ$.

Как думать. Внутренних углов четыре. Односторонние внутренние углы в сумме $180^\circ$, а накрест лежащие равны.

Решение. Внутренние углы: $\alpha$, $180^\circ-\alpha$, $\alpha$, $180^\circ-\alpha$, в сумме $360^\circ$. Четвёртый угол $360^\circ-290^\circ=70^\circ$.

Ответ: D ($70^\circ$).

№ 7

Как расположены прямые, содержащие биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей? A. Перпендикулярны; B. Параллельны; C. Пересекаются под $45^\circ$; D. Пересекаются под $60^\circ$.

Как думать. Внутренние односторонние углы в сумме $180^\circ$. Биссектрисы делят их пополам.

Решение. Половины углов в сумме $90^\circ$. Биссектрисы и отрезок секущей образуют треугольник, у которого два угла вместе $90^\circ$. Третий угол $90^\circ$, значит биссектрисы перпендикулярны.

Ответ: A (перпендикулярны).

№ 8

Как расположены прямые, содержащие биссектрисы внутренних накрест лежащих углов? A. Перпендикулярны; B. Параллельны; C. Пересекаются под $45^\circ$; D. Пересекаются под $60^\circ$.

Как думать. Накрест лежащие углы равны, значит равны и их половины.

Решение. Биссектрисы образуют с секущей равные накрест лежащие углы. По признаку параллельности прямые параллельны.

Ответ: B (параллельны).

№ 9

Найди углы треугольника, которые относятся как $2:3:4$. A. $20^\circ,30^\circ,40^\circ$; B. $40^\circ,60^\circ,80^\circ$; C. $36^\circ,54^\circ,90^\circ$; D. $18^\circ,27^\circ,36^\circ$.

Как думать. Три части в сумме $180^\circ$.

Решение. $2k+3k+4k=180$, $9k=180$, $k=20$. Углы $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$.

Ответ: B.

№ 10

Определи вид треугольника, если его углы относятся как $1:2:3$. A. Равнобедренный; B. Остроугольный; C. Прямоугольный; D. Тупоугольный.

Как думать. Найдём углы.

Решение. $6k=180$, $k=30$: углы $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$. Есть прямой угол.

Ответ: C (прямоугольный).

№ 11

Определи вид треугольника, если один из его углов больше суммы двух других. A. Равнобедренный; B. Остроугольный; C. Прямоугольный; D. Тупоугольный.

Как думать. Пусть угол $C>A+B$. Сумма всех углов $180^\circ$.

Решение. $A+B=180^\circ-C$, тогда $C>180^\circ-C$, $2C>180^\circ$, $C>90^\circ$. Угол тупой.

Ответ: D (тупоугольный).

№ 12

Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $1:2$. Найди больший острый угол. A. $40^\circ$; B. $50^\circ$; C. $60^\circ$; D. $80^\circ$.

Как думать. Острые углы дают $90^\circ$.

Решение. $k+2k=90$, $k=30$. Больший $60^\circ$.

Ответ: C ($60^\circ$).

№ 13

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $50^\circ$, $AC=BC$. Найди угол $C$. A. $40^\circ$; B. $50^\circ$; C. $60^\circ$; D. $80^\circ$.

Как думать. $AC=BC$, основание $AB$, значит $\angle B=\angle A$.

Решение. $\angle C=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ$.

Ответ: D ($80^\circ$).

№ 14

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $100^\circ$, $AC=BC$. Найди угол $A$. A. $40^\circ$; B. $50^\circ$; C. $60^\circ$; D. $80^\circ$.

Как думать. Опять основание $AB$, углы $A$ и $B$ равны.

Решение. $\angle A=(180^\circ-100^\circ):2=40^\circ$.

Ответ: A ($40^\circ$).

№ 15

Один из углов равнобедренного треугольника равен $90^\circ$. Найди два других угла. A. $30^\circ$; B. $45^\circ$; C. $60^\circ$; D. $90^\circ$.

Как думать. Прямой угол не может быть при основании, значит он при вершине.

Решение. $(180^\circ-90^\circ):2=45^\circ$ каждый.

Ответ: B ($45^\circ$).

№ 16

Угол при основании равнобедренного треугольника равен $70^\circ$. Найди угол между его высотой, проведённой к боковой стороне, и другой боковой стороной. A. $20^\circ$; B. $50^\circ$; C. $70^\circ$; D. $110^\circ$.

Как думать. Найдём угол при вершине, потом в прямоугольном треугольнике, который даёт высота.

Решение. Пусть $AB=BC$, углы $A=C=70^\circ$, угол при вершине $B$: $180^\circ-140^\circ=40^\circ$. Высота $AH$ проведена к боковой стороне $BC$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $B=40^\circ$, значит угол между высотой $AH$ и боковой стороной $AB$ равен $90^\circ-40^\circ=50^\circ$.

Ответ: B ($50^\circ$).

№ 17

Найди угол между двумя биссектрисами правильного треугольника. A. $30^\circ$; B. $45^\circ$; C. $60^\circ$; D. $90^\circ$.

Как думать. Углы по $60^\circ$, биссектрисы делят их на $30^\circ$.

Решение. В треугольнике $AOB$ два угла по $30^\circ$, значит $\angle AOB=120^\circ$. Смежный с ним угол между прямыми равен $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Из вариантов подходит $60^\circ$ (острый угол между биссектрисами).

Ответ: C ($60^\circ$).

№ 18

Два угла треугольника равны $40^\circ$ и $60^\circ$. Найди острый угол, который образуют высоты, выходящие из вершин этих углов. A. $20^\circ$; B. $40^\circ$; C. $80^\circ$; D. $100^\circ$.

Как думать. Как в 16.32: острый угол между высотами равен третьему углу, если он острый.

Решение. Третий угол $180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$. В четырёхугольнике из двух высот и двух сторон два прямых угла и угол $80^\circ$, значит угол при пересечении высот $360^\circ-90^\circ-90^\circ-80^\circ=100^\circ$. Острый: $180^\circ-100^\circ=80^\circ$.

Ответ: C ($80^\circ$).

№ 19

Один острый угол прямоугольного треугольника равен $40^\circ$. Найди угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. A. $5^\circ$; B. $10^\circ$; C. $15^\circ$; D. $20^\circ$.

Как думать. Как 16.33: высота образует с катетом угол $90^\circ-$ острый угол, биссектриса $45^\circ$.

Решение. Пусть $\angle A=40^\circ$. Высота $CH$: $\angle ACH=90^\circ-40^\circ=50^\circ$. Биссектриса $CD$: $\angle ACD=45^\circ$. Угол между ними $50^\circ-45^\circ=5^\circ$.

Ответ: A ($5^\circ$).

№ 20

Найди сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны $10$ см и $5$ см. A. $5$ см; B. $10$ см; C. $15$ см; D. $20$ см.

Как думать. Третья сторона равна $5$ или $10$. Проверим неравенством треугольника.

Решение. Если $5$: $5,5,10$, но $5+5=10$, не годится. Если $10$: $10,10,5$, годится.

Ответ: B ($10$ см).

Шпаргалка

• Углы равнобедренного треугольника: при основании равны, тупой угол только при вершине.
• Острые углы прямоугольного треугольника: сумма $90^\circ$.
• Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов параллельны, односторонних перпендикулярны.
• Три стороны подходят для треугольника, только если самая длинная меньше суммы двух других.