§ 18. Окружность и круг

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 4: Окружность. Геометрические построения. Страницы 105–111.

Чему научишься

• Отличать окружность от круга и называть их части: центр, радиус, хорду, диаметр.
• Помнить, что диаметр вдвое длиннее радиуса.
• Понимать, что такое центральный угол, дуга и круговой сектор.
• Применять теорему: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
• Решать задачи на расстояния от точки до окружности.

Разминка

• Чем отличается равнобедренный треугольник от разностороннего? У равнобедренного две стороны равны.
• Что такое отрезок? Часть прямой между двумя точками, включая сами точки.
• Какой угол называют прямым? Угол в $90^\circ$.
• Чем отличаются равные треугольники? Ничем, кроме положения: их можно наложить друг на друга.
• Как можно доказать, что прямоугольные треугольники равны? По двум катетам или по гипотенузе и катету.

Разбираемся

Как рисует циркуль

Поставь иглу циркуля в точку $O$, раздвинь ножки на 3 см и проведи линию. Каждая точка линии оказалась ровно в 3 см от $O$. Вот и всё определение.

📌 Окружность — все точки плоскости, которые находятся от данной точки $O$ на одном и том же расстоянии $R$. Точка $O$ — центр, расстояние $R$ — радиус. Радиусом называют и любой отрезок от центра до точки окружности.

📌 Круг — это окружность вместе со всем, что внутри неё: все точки на расстоянии не больше $R$ от центра. Окружность — это линия, круг — это «лепёшка» целиком.

💡 Монета как фигура — круг, а её ободок — окружность. Арбуз целиком похож на шар, а в разрезе показывает круг.

Хорда и диаметр

Отрезок между любыми двумя точками окружности — это хорда. Если хорда проходит через центр, её зовут диаметром. Значит, диаметр — самая длинная хорда, и он ровно вдвое длиннее радиуса: $d = 2R$.

⚠️ Частая ошибка. Диаметр — это не «любая длинная хорда», а только та, что проходит через центр. И у одной окружности диаметров бесконечно много: через центр можно провести сколько угодно прямых.

Теорема: диаметр, перпендикулярный хорде

📌 Теорема. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Представь, что хорда — это перекладина, а диаметр — столб, который стоит на ней под прямым углом. Столб попадёт ровно в середину.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка нарисовать окружность, провести хорду, а потом сложить листок так, чтобы окружность совпала сама с собой. Линия сгиба пройдёт через центр и (если хорда перпендикулярна) через середину хорды.

Центральный угол, дуга и сектор

Угол, вершина которого в центре окружности, — центральный угол. Его стороны вырезают на окружности кусочек линии — дугу, а в круге — кусок «пиццы», круговой сектор.

📌 Градусная величина дуги равна градусной величине её центрального угла. Дуги с одинаковыми градусными величинами называются равными. Так же и у сектора: его градусная величина равна центральному углу.

🌟 Целый круг — это $360^\circ$. Если разрезать пиццу на 8 равных кусков, у каждого сектора $360^\circ : 8 = 45^\circ$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какая фигура называется окружностью? Что такое центр и радиус? Окружность — все точки плоскости на одном расстоянии от данной точки. Эта точка — центр, расстояние — радиус; радиусом называют и отрезок от центра до окружности.
• Какая фигура называется кругом? Что такое его центр и радиус? Круг — все точки плоскости, удалённые от данной не больше чем на заданное расстояние. Центр и радиус круга те же, что у ограничивающей его окружности.
• Что такое хорда и диаметр? Хорда — отрезок между двумя точками окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Как связаны диаметр и радиус одной окружности? Диаметр вдвое больше радиуса: $d=2R$.
• Чем является наибольшая хорда? Диаметром.
• В каком отношении диаметр делит перпендикулярную ему хорду? Пополам, то есть в отношении $1:1$.
• Какой угол называется центральным? Угол с вершиной в центре окружности.
• Что такое дуга окружности? Часть окружности, лежащая внутри центрального угла.
• Что такое круговой сектор? Часть круга внутри центрального угла.
• Что такое градусная величина дуги? Градусная величина соответствующего центрального угла.
• Какие дуги называются равными? Те, у которых равны градусные величины.
• Что такое градусная величина кругового сектора? Градусная величина его центрального угла (она же у дуги этого сектора).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 18.1

Какому неравенству удовлетворяет точка $A$, лежащая: а) в круге с центром $O$ и радиусом $R$; б) вне этого круга?

Как думать. Круг — это все точки на расстоянии от центра не больше $R$. Всё, что дальше, — снаружи.

Решение. а) Точка в круге (внутри или на границе): расстояние до центра не больше радиуса, то есть $OA \le R$. б) Точка вне круга: она дальше от центра, чем $R$, то есть $OA > R$.

Ответ: а) $OA \le R$; б) $OA > R$.

№ 18.2

Какую фигуру образуют центры окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку?

Как думать. Пусть точка $A$ дана, радиус $R$. Центр $O$ такой окружности удалён от $A$ ровно на $R$.

Решение. Если окружность радиуса $R$ проходит через $A$, то $OA = R$. Значит, все такие центры $O$ лежат на расстоянии $R$ от $A$. А это определение окружности с центром $A$ и радиусом $R$.

Ответ: окружность (с центром в данной точке и тем же радиусом).

№ 18.3

Сколько диаметров можно провести через центр окружности?

Как думать. Сколько разных прямых проходит через одну точку?

Решение. Через центр можно провести любую прямую, и каждая даёт свой диаметр. Таких прямых бесконечно много.

Ответ: бесконечно много.

№ 18.4

Диаметр окружности на 55 мм больше её радиуса. Найди диаметр.

Как думать. Диаметр равен двум радиусам. Если он ещё и «радиус плюс 55 мм», то один радиус как раз и есть эти 55 мм.

Решение. Пусть радиус $r$ мм. Диаметр $2r$ и он же $r + 55$. Из $2r = r + 55$ получаем $r = 55$ мм. Тогда $d = 2 \cdot 55 = 110$ мм.

Ответ: 110 мм.

№ 18.5

Арбуз разрезали на две равные части. Радиус окружности в разрезе равен 15 см. Какой диаметр имел арбуз?

Как думать. Две равные половинки получаются, когда режут через центр. Круг в разрезе — это самое широкое сечение арбуза.

Решение. Диаметр арбуза равен диаметру окружности в разрезе: $2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см.

№ 18.6

Юрта. Найди радиус: а) шанырака (купола юрты), если его диаметры 1 м; 1,2 м; 1,4 м; 2 м; б) кереге (круглой стены), если диаметры юрты 5 м; 6 м; 7 м; 10 м.

Как думать. Радиус — половина диаметра: $R = d : 2$.

Решение. а) $1 : 2 = 0{,}5$; $1{,}2 : 2 = 0{,}6$; $1{,}4 : 2 = 0{,}7$; $2 : 2 = 1$. б) $5 : 2 = 2{,}5$; $6 : 2 = 3$; $7 : 2 = 3{,}5$; $10 : 2 = 5$.

Ответ: а) 0,5 м; 0,6 м; 0,7 м; 1 м; б) 2,5 м; 3 м; 3,5 м; 5 м.

🌟 Шанырак — круглое отверстие вверху юрты, символ дома и семьи. Он изображён и на гербе Казахстана.

№ 18.7

Диаметр каждой из двух маленьких полуокружностей равен радиусу большой полуокружности, диаметр большой равен $d$. Чему равен радиус маленьких? (Эта фигура — «арбелос», по-гречески «сапожный нож».)

Как думать. Сначала найди радиус большой полуокружности, потом диаметр и радиус маленькой.

Решение.

1. Радиус большой: $d : 2 = \dfrac{d}{2}$.
2. Диаметр маленькой равен этому радиусу: $\dfrac{d}{2}$.
3. Радиус маленькой: $\dfrac{d}{2} : 2 = \dfrac{d}{4}$.

Проверка по рисунку: две маленькие полуокружности рядом дают в сумме диаметр $\dfrac{d}{2}+\dfrac{d}{2}=d$, как раз всю длину большой.

Ответ: $\dfrac{d}{4}$.

№ 18.8

Найди диаметр основания юрты, если радиус равен: а) 2,5 м; б) 3 м; в) 3,5 м; г) 5 м.

Как думать. Диаметр — два радиуса: $d = 2R$.

Решение. а) $2 \cdot 2{,}5 = 5$; б) $2 \cdot 3 = 6$; в) $2 \cdot 3{,}5 = 7$; г) $2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: а) 5 м; б) 6 м; в) 7 м; г) 10 м.

№ 18.9

Изобрази круговой сектор градусной величины: а) $90^\circ$; б) $180^\circ$.

Как думать. Сектор — это круг, разрезанный двумя радиусами. Градусная величина — это угол между радиусами.

Решение (построение).

1. Циркулем проведи окружность с центром $O$.
2. Проведи радиус $OA$.
3. а) Угольником или транспортиром отложи от $OA$ угол $90^\circ$ и проведи второй радиус $OB$. Закрась часть круга внутри угла: получилась четверть круга. б) Отложи угол $180^\circ$: радиусы $OA$ и $OB$ лежат на одной прямой, то есть вместе образуют диаметр. Сектор — половина круга (полукруг).

Ответ: а) четверть круга; б) полукруг (рисунок по описанию выше).

Уровень B

№ 18.10

Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 2 см. Найди наименьший возможный радиус окружности, проходящей через эти точки.

Как думать. $AB$ — хорда такой окружности. Хорда не длиннее диаметра.

Решение. Диаметр — наибольшая хорда, значит $2R \ge AB = 2$ см, то есть $R \ge 1$ см. Радиус равен 1 см, когда $AB$ сама диаметр.

Ответ: 1 см.

№ 18.11

На клетчатой бумаге отметь центры окружностей, проходящих через две данные точки $A$ и $B$ и лежащих в узлах сетки (рисунок 18.9: а) и б)).

Как думать. Центр окружности, проходящей через $A$ и $B$, одинаково удалён от $A$ и $B$ (оба расстояния — радиус). Такие точки лежат на серединном перпендикуляре к $AB$. Остаётся выбрать из них узлы сетки.

Решение. Размер сетки на рисунках — 6 на 6 клеток. Ставлю начало координат в левый нижний угол сетки. а) $A(1;,2)$, $B(5;,2)$: отрезок горизонтальный, его середина $(3;,2)$. Серединный перпендикуляр — вертикаль $x = 3$. Узлы на ней: $(3;,0)$, $(3;,1)$, … , $(3;,6)$, всего 7 точек. б) $A(1;,3)$, $B(3;,1)$: середина $(2;,2)$, отрезок идёт «вниз вправо» по диагонали, а перпендикуляр — вдоль диагонали «вверх вправо»: точки $(0;,0)$, $(1;,1)$, $(2;,2)$, … , $(6;,6)$, всего 7 узлов. Проверим $(0;,0)$: $OA^2 = 1^2+3^2=10$ и $OB^2 = 3^2+1^2=10$, расстояния равны.

Ответ: а) узлы на вертикали через середину $AB$ (7 точек); б) узлы на диагонали через середину $AB$ перпендикулярно $AB$ (7 точек).

№ 18.12

Сколько окружностей может проходить через две заданные точки?

Как думать. Центр такой окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку между точками (см. 18.11).

Решение. На серединном перпендикуляре бесконечно много точек, и каждая может быть центром, а радиус — расстоянием до $A$. Значит, окружностей бесконечно много.

Ответ: бесконечно много.

№ 18.13

На клетчатой бумаге отметь центр $O$ окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, $D$ (рисунок 18.10).

Как думать. $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины прямоугольника. Центр окружности должен быть равноудалён от всех четырёх, то есть лежать на серединных перпендикулярах к его сторонам.

Решение. Прочитаем рисунок: $A(1;,2)$, $B(5;,2)$, $C(5;,4)$, $D(1;,4)$. Серединный перпендикуляр к $AB$ — вертикаль $x=3$, к $BC$ — горизонталь $y=3$. Они пересекаются в узле $O(3;,3)$. Проверка: $OA^2 = 2^2+1^2 = 5$, и то же у $B$, $C$, $D$. Значит, $O$ — центр, радиус равен $\sqrt{5}$ клеток. Это же точка пересечения диагоналей прямоугольника.

Ответ: $O$ — узел $(3;,3)$, центр прямоугольника $ABCD$ (точка пересечения диагоналей).

№ 18.14

Хорда $AB$ окружности равна её радиусу $OA$ (рисунок 18.11). Чему равен угол $AOB$?

Как думать. $OA$ и $OB$ — радиусы. Если ещё и $AB$ равна радиусу, то у треугольника $OAB$ три равные стороны.

Решение. $OA = OB = R$ (радиусы) и $AB = R$ по условию. Значит, $\triangle OAB$ равносторонний, а углы равностороннего треугольника по $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

№ 18.15

Точка $A$ вне окружности радиуса $R$, расстояние от неё до центра $O$ равно $d$ (рисунок 18.12). Найди наименьшее и наибольшее расстояния от $A$ до точек окружности.

Как думать. Проведи прямую через $A$ и $O$. Она пересекает окружность в двух точках: ближней и дальней.

Решение. Ближняя точка лежит на отрезке $OA$ на расстоянии $R$ от $O$, значит от $A$ до неё $d - R$. Дальняя — по другую сторону от центра: $d + R$. Для любой другой точки $X$ окружности по неравенству треугольника $AX$ получится между этими двумя числами.

Ответ: наименьшее $d - R$, наибольшее $d + R$.

№ 18.16

Наибольшее и наименьшее расстояния от точки вне окружности до её точек равны 50 см и 20 см. Найди радиус.

Как думать. Из 18.15: $d + R = 50$ и $d - R = 20$.

Решение. Вычтем второе из первого: $2R = 50 - 20 = 30$, откуда $R = 15$ см. (Заодно $d = 35$ см.)

Ответ: 15 см.

№ 18.17

Точка $A$ внутри окружности радиуса $R$ на расстоянии $d$ от центра $O$ (рисунок 18.13). Найди наименьшее и наибольшее расстояния от $A$ до точек окружности.

Как думать. Снова прямая $OA$: она пересекает окружность в двух точках, по обе стороны от $A$.

Решение. С той стороны, куда смотрит $A$ от центра, до окружности остаётся $R - d$. С противоположной стороны идти до окружности $d + R$ (сначала $d$ до центра, потом ещё $R$).

Ответ: наименьшее $R - d$, наибольшее $R + d$.

№ 18.18

Наибольшее и наименьшее расстояния от точки внутри окружности до её точек равны 20 см и 4 см. Найди радиус.

Как думать. Из 18.17: $R + d = 20$ и $R - d = 4$.

Решение. Сложим: $2R = 24$, откуда $R = 12$ см (и $d = 8$ см).

Ответ: 12 см.

Уровень C

№ 18.19

Докажи, что диаметр, проведённый через середину хорды (отличной от диаметра), перпендикулярен этой хорде.

Как думать. Это обратная теорема к той, что мы доказали. В треугольнике $OAB$ центр $O$ соединён с серединой $M$ основания $AB$.

Решение. Пусть $AB$ — хорда, не проходящая через центр $O$, $M$ — её середина. Проведём радиусы $OA$ и $OB$. Тогда $\triangle OAB$ равнобедренный ($OA = OB = R$), а $OM$ — его медиана к основанию. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является и высотой, значит $OM \perp AB$. Прямая $OM$ содержит диаметр, поэтому диаметр через середину хорды перпендикулярен ей.

Ответ: доказано.

№ 18.20

Используя рисунок 18.14, докажи, что диаметр — наибольшая хорда окружности.

Как думать. Возьми любую хорду $AB$ и сравни её с двумя радиусами $OA$ и $OB$ — вместе они дают диаметр.

Решение. Пусть $AB$ — произвольная хорда, не проходящая через центр $O$. В треугольнике $OAB$ по неравенству треугольника $AB < OA + OB = R + R = 2R$. А $2R$ — длина диаметра. Если хорда проходит через центр, она сама диаметр и равна $2R$. Итак, любая хорда не длиннее диаметра.

Ответ: доказано.

№ 18.21

Докажи, что равные хорды окружности одинаково удалены от центра (рисунок 18.15).

Как думать. Расстояние от центра до хорды — это перпендикуляр из $O$ на неё. Опусти его на обе хорды и найди равные прямоугольные треугольники.

Решение. Пусть $AB = CD$, а $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$ — расстояния от центра до хорд. По теореме о диаметре, перпендикулярном хорде, точки $H$ и $K$ — середины хорд, значит $HB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{CD}{2} = KD$. Прямоугольные треугольники $OHB$ и $OKD$: гипотенузы $OB = OD = R$, катеты $HB = KD$. Они равны по гипотенузе и катету, поэтому $OH = OK$.

Ответ: доказано.

№ 18.22

Докажи, что хорды, одинаково удалённые от центра окружности, равны (рисунок 18.15).

Как думать. Это обратное к 18.21: теперь дано $OH = OK$.

Решение. Пусть $OH \perp AB$, $OK \perp CD$ и $OH = OK$. Прямоугольные треугольники $OHB$ и $OKD$ имеют равные гипотенузы $OB = OD = R$ и равные катеты $OH = OK$. Значит, они равны и $HB = KD$. Так как $H$ и $K$ — середины хорд (диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам), то $AB = 2HB = 2KD = CD$.

Ответ: доказано.

Подготовьте сообщение

№ 18.23

Окружность — одна из древнейших фигур. Расскажи об учениях Коперника, Галилея, Кеплера.

Как думать. Это задание-сообщение, ответа нет. Дай план и опорные факты, а подробности найди в энциклопедии или в интернете, сверив даты.

Решение (план).

1. Коперник (1473–1543): Земля и другие планеты обращаются вокруг Солнца; он считал орбиты окружностями.
2. Галилей (1564–1642): наблюдал небо в телескоп, увидел спутники Юпитера и поддержал идею Коперника.
3. Кеплер (1571–1630): показал, что планеты движутся по эллипсам, а не по окружностям. Окружность оказалась частным случаем эллипса.
4. Вывод: идея «небо — это идеальные круги» уступила место точным законам.

📕 В задании сказано «Коперник, Галилей, Кеплер (XVII в.)», но Коперник жил в XVI веке (1473–1543), а XVII веком датируются главным образом работы Галилея и Кеплера.

Ответ: устное сообщение по плану выше.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

№ 18.24

Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Изобрази соответствующие случаи.

Как думать. Представь шнурок-прямую и колечко-окружность. Двигай шнурок: сначала мимо колечка, потом касаясь, потом прямо через него.

Решение.

• Шнурок далеко от колечка: общих точек нет.
• Шнурок только коснулся колечка: одна общая точка.
• Шнурок пересекает колечко: две общие точки. Больше двух точек быть не может. Подробнее — в следующем параграфе.

Ответ: ни одной, одну или две.

Шпаргалка

• Окружность — линия: все точки на расстоянии $R$ от центра. Круг — окружность и всё внутри.
• Радиус — отрезок от центра до окружности; диаметр $d = 2R$; хорда — отрезок между двумя точками окружности.
• Теорема. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр через середину хорды (не диаметра) перпендикулярен ей.
• Дуга, сектор, центральный угол; градусная величина дуги и сектора равна центральному углу.
• Равные хорды одинаково удалены от центра, и наоборот.

Мини-тест