Проверь себя! Глава IV

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 4: Окружность. Геометрические построения. Страницы 140–143.

Это тест по главе IV «Окружность. Геометрические построения»: окружность и круг, взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей, касательные, хорды. В учебнике у теста нет ответов в конце книги, поэтому здесь по каждому вопросу есть ход решения и верный вариант. Попробуй сначала решить сам, а потом открыть подсказку.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите ребёнка про любой вопрос: «Какой рисунок ты себе представил?». Если ребёнок может нарисовать две окружности и показать, почему они касаются, ответ верный не случайно.

Решаем упражнения

№ 1

Сколько окружностей могут иметь центром данную точку? А. Ни одной. B. Одна. C. Две. D. Бесконечно много.

Как думать. Центр один, а радиус можно брать любым.

Решение. С центром в данной точке можно провести окружность любого радиуса. Радиусов бесконечно много, значит и окружностей бесконечно много.

Ответ: D.

№ 2

Сколько окружностей можно провести через одну точку? А. Одну. B. Две. C. Три. D. Бесконечно много.

Как думать. Подойдёт любая окружность, у которой эта точка лежит на линии.

Решение. Возьми любую другую точку как центр и проведи окружность радиуса, равного расстоянию до данной точки. Центров бесконечно много, значит и окружностей.

Ответ: D.

№ 3

Сколько окружностей можно провести через две точки? А. Ни одной. B. Одну. C. Две. D. Бесконечно много.

Как думать. Центр должен быть одинаково удалён от двух точек.

Решение. Центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку между точками. На нём бесконечно много точек, каждая даёт свою окружность.

Ответ: D.

№ 4

Какому соотношению удовлетворяют точки $M$, лежащие вне круга с центром в точке $O$ и радиусом $R$? А. $OM\ge R$. B. $OM>R$. C. $OM\le R$. D. $OM<R$.

Как думать. Вне круга значит дальше от центра, чем $R$, и не на самой окружности.

Решение. Точки окружности удалены от центра ровно на $R$, точки круга не больше чем на $R$. Точки вне круга удалены больше чем на $R$.

Ответ: B ($OM>R$).

№ 5

Какому соотношению удовлетворяют точки $K$, лежащие внутри круга с центром $O$ и радиусом $R$? А. $OK\le R$. B. $OK\ge R$. C. $OK<R$. D. $OK>R$.

Как думать. «Внутри» — строго ближе к центру, чем $R$.

Решение. Точки внутри круга (не на окружности) удалены от центра на расстояние меньше $R$.

Ответ: C ($OK<R$).

№ 6

Диаметр окружности 10 см. Как расположена относительно неё прямая, удалённая от центра на 3 см? А. Не пересекает. B. Пересекает. C. Касается. D. Нельзя определить.

Как думать. Сравни расстояние от центра до прямой $d$ с радиусом $r$.

Решение. Радиус $r=10:2=5$ см, расстояние $d=3$ см. Так как $d<r$, прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: B.

№ 7

Диаметр окружности 8 см. Как расположена относительно неё прямая, удалённая от центра на 4 см?

Как думать. Снова сравни $d$ и $r$.

Решение. $r=8:2=4$ см, $d=4$ см. Так как $d=r$, прямая касается окружности.

Ответ: C.

№ 8

Диаметр окружности 6 см. Как расположена относительно неё прямая, удалённая от центра на 5 см? А. Не имеет с окружностью ни одной общей точки. B. Пересекает. C. Касается. D. Нельзя определить.

Как думать. Сравни $d$ и $r$.

Решение. $r=6:2=3$ см, $d=5$ см. Так как $d>r$, прямая лежит вне окружности.

Ответ: A.

№ 9

Радиусы двух окружностей 10 см и 15 см. Расстояние между центрами 20 см. Как расположены окружности? А. Не имеют общих точек. B. Пересекаются. C. Касаются внутренним образом. D. Касаются внешним образом.

Как думать. Сравни расстояние между центрами $d$ с суммой $R_1+R_2$ и разностью $|R_1-R_2|$.

Решение. Сумма $10+15=25$, разность $15-10=5$. Так как $5<20<25$, окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: B.

№ 10

Радиусы двух окружностей 6 см и 8 см. Расстояние между центрами 14 см. Как расположены окружности?

Как думать. Те же сумма и разность.

Решение. Сумма $6+8=14$. Расстояние между центрами равно сумме радиусов, значит окружности касаются внешним образом.

Ответ: D.

№ 11

Радиусы двух окружностей 10 см и 20 см. Расстояние между центрами 10 см. Как расположены окружности?

Как думать. Сравни $d$ с разностью радиусов.

Решение. Разность $20-10=10$. Расстояние между центрами равно разности радиусов, значит окружности касаются внутренним образом.

Ответ: C.

№ 12

Какое соотношение выполняется для двух окружностей с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$, касающихся внешним образом? А. $O_1O_2<R_1+R_2$. B. $O_1O_2=R_1+R_2$. C. $O_1O_2>R_1+R_2$. D. $O_1O_2=|R_1-R_2|$.

Как думать. При внешнем касании окружности лежат рядом, и точка касания лежит на линии центров между ними.

Решение. От $O_1$ до точки касания $R_1$, от неё до $O_2$ ещё $R_2$. Значит $O_1O_2=R_1+R_2$.

Ответ: B.

№ 13

Какое соотношение выполняется для двух окружностей, касающихся внутренним образом? А. $O_1O_2=|R_1-R_2|$. B. $O_1O_2>|R_1-R_2|$. C. $O_1O_2<|R_1-R_2|$. D. $O_1O_2=R_1+R_2$.

Как думать. При внутреннем касании одна окружность внутри другой, и точка касания лежит на линии центров по одну сторону от них.

Решение. Расстояние между центрами равно разности радиусов: $O_1O_2=|R_1-R_2|$.

Ответ: A.

№ 14

Радиусы двух окружностей с общим центром относятся как $2:3$. Найди их диаметры, если ширина соответствующего кольца равна 5 см. А. 2 см и 3 см. B. 15 см и 20 см. C. 10 см и 15 см. D. 30 см и 20 см.

Как думать. Ширина кольца — разность радиусов.

Решение. Пусть радиусы $2x$ и $3x$. Тогда $3x-2x=5$, откуда $x=5$. Радиусы $10$ см и $15$ см, а диаметры в два раза больше: $20$ см и $30$ см.

Ответ: D (30 см и 20 см). Вариант C даёт радиусы, а не диаметры.

№ 15

Из точки вне окружности проведены к ней две касательные. Кратчайшее расстояние от этой точки до окружности равно радиусу. Найди угол между касательными. А. 30°. B. 45°. C. 60°. D. 120°.

Как думать. Кратчайшее расстояние от точки до окружности лежит на линии центра: $PO=r+r=2r$.

Решение. Из точки $P$ проведены касательные $PT$ и $PS$, $OT\perp PT$. В прямоугольном треугольнике $OTP$ катет $OT=r$, гипотенуза $OP=2r$, значит катет вдвое короче гипотенузы, и противолежащий ему угол $\angle OPT=30^\circ$. $PO$ — биссектриса угла между касательными, поэтому весь угол $2\cdot30^\circ=60^\circ$.

Ответ: C (60°).

№ 16

Из данной на окружности точки проведены две хорды, каждая из которых равна радиусу. Найди угол между ними. А. 30°. B. 45°. C. 90°. D. 120°.

Как думать. Хорда, равная радиусу, вместе с двумя радиусами даёт равносторонний треугольник.

Решение. Пусть из точки $A$ проведены хорды $AB=AC=R$. Треугольники $OAB$ и $OAC$ равносторонние ($OA=OB=AB=R$), поэтому $\angle OAB=\angle OAC=60^\circ$. Хорды лежат по разные стороны от $OA$, угол между ними $60^\circ+60^\circ=120^\circ$.

Ответ: D (120°).

№ 17

Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей вне окружности, до точек окружности равны 50 см и 30 см. Найди радиус. А. 10 см. B. 20 см. C. 30 см. D. 40 см.

Как думать. Наибольшее и наименьшее расстояния лежат на прямой через центр.

Решение. Точка $P$ вне окружности, $d=PO$. Наименьшее расстояние $d-R=30$, наибольшее $d+R=50$. Вычтем: $2R=20$, $R=10$ см.

Ответ: A (10 см).

№ 18

Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, лежащей внутри окружности, до точек окружности равны 50 см и 30 см. Найди радиус. А. 30 см. B. 40 см. C. 50 см. D. 80 см.

Как думать. Теперь точка внутри, и на линии через центр расстояния складываются в диаметр.

Решение. Пусть $P$ внутри, $d=PO$. Наибольшее расстояние $R+d=50$, наименьшее $R-d=30$. Сложим: $2R=80$, $R=40$ см.

Ответ: B (40 см).

№ 19

Касательные, проведённые из данной точки к окружности радиуса 8 см, образуют между собой прямой угол. Найди отрезки этих касательных (между данной точкой и точками касания). А. 4 см. B. 8 см. C. 12 см. D. 16 см.

Как думать. Касательные перпендикулярны радиусам, и угол между касательными прямой.

Решение. Из точки $P$ идут касательные $PT$ и $PS$, $\angle TPS=90^\circ$, $OT\perp PT$, $OS\perp PS$, $OT=OS=8$. Четырёхугольник $OTPS$ имеет три прямых угла и две соседние равные стороны $OT=OS$, значит это квадрат. Тогда $PT=OT=8$ см. Можно иначе: $PO$ — биссектриса, $\angle OPT=45^\circ$, треугольник $OTP$ равнобедренный прямоугольный, $PT=OT=8$.

Ответ: B (8 см).

№ 20

Касательные, проведённые из данной точки к окружности, образуют между собой угол 60°. Расстояние от этой точки до центра равно 24 см. Найди радиус. А. 6 см. B. 8 см. C. 12 см. D. 24 см.

Как думать. Центр лежит на биссектрисе угла между касательными, значит угол при $P$ в треугольнике $OTP$ равен $30^\circ$.

Решение. $\angle OPT=60^\circ:2=30^\circ$, треугольник $OTP$ прямоугольный ($OT\perp PT$). Катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $OT=\frac12 OP=12$ см.

Ответ: C (12 см).

Шпаргалка

• Сколько окружностей: через одну точку и через две точки бесконечно много; с данным центром — бесконечно много.
• Прямая и окружность: сравни расстояние от центра $d$ с радиусом $r$.
• Две окружности: сравни расстояние $d$ между центрами с $R_1+R_2$ и $|R_1-R_2|$.
• Касательные: отрезки равны, угол при внешней точке делится линией центра пополам; при угле $60^\circ$ радиус равен половине расстояния до центра.
• Хорда, равная радиусу: вместе с радиусами образует равносторонний треугольник.