§ 23. Задачи на построение

Геометрия, 7 класс. Учебник: Смирнов В.А. и др. (Мектеп, 2025). Глава 4: Окружность. Геометрические построения. Страницы 133–140.

Чему научишься

• Знать, что можно делать линейкой и что циркулем.
• Решать задачу на построение в четыре этапа: анализ, построение, доказательство, исследование.
• Строить серединный перпендикуляр, перпендикуляр из точки к прямой, биссектрису и треугольник по трём сторонам.
• Строить угол, равный данному, и треугольники по сторонам и углам.
• Строить касательную к окружности из точки вне окружности.

Разминка

• Что делает линейка в задачах на построение? Проводит прямую через две данные точки. Деления на ней не используют.
• Что делает циркуль? Проводит окружность с данным центром и данным радиусом, а ещё откладывает на луче отрезок, равный данному.
• Что такое серединный перпендикуляр? Прямая через середину отрезка под прямым углом, её точки одинаково удалены от концов отрезка.
• Где лежат точки, одинаково удалённые от сторон угла? На биссектрисе этого угла.
• Что такое окружность? Все точки плоскости, находящиеся от центра на данном расстоянии.

Разбираемся

Два инструмента

📌 В задачах на построение используют только линейку (прямая через две точки) и циркуль (окружность с данным центром и радиусом, отложить отрезок, равный данному).

🌟 Построения циркулем и линейкой придумали древние греки. Две знаменитые задачи (удвоить куб и разделить любой угол на три части) они решить так и не смогли. Только в XIX веке доказали, что это невозможно.

Четыре этапа решения

1. Анализ. Представь, что фигура уже нарисована, и найди, какие связи помогут её построить.
2. Построение. Пошагово: что и в каком порядке чертить.
3. Доказательство. Объясни, почему получилась именно та фигура.
4. Исследование. Всегда ли построение получается и сколько решений у задачи.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверяйте не только рисунок, а ход мысли: попросите ребёнка сказать вслух «центр здесь, радиус такой, получили вот что». Это и есть настоящая математика построений.

Задача 1. Серединный перпендикуляр

Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Анализ. Все точки серединного перпендикуляра одинаково удалены от $A$ и от $B$. Значит, если из $A$ и из $B$ провести окружности одного радиуса, точки их пересечения будут на нужной прямой.

💡 Заодно эта же прямая пересекает $AB$ в середине отрезка: так строят середину отрезка (упражнение 23.2).

Задача 2. Перпендикуляр из точки к прямой

Из точки $C$, не лежащей на прямой $d$, опустить перпендикуляр на $d$.

Анализ. Если $CD\perp d$ и $A$, $B$ на $d$ одинаково удалены от $D$, то $CD$ — серединный перпендикуляр к $AB$. А $C$ на нём, значит $CA=CB$.

Задача 3. Биссектриса угла

Построить биссектрису данного угла $O$.

Анализ. Точка биссектрисы одинаково удалена от сторон угла. Если на сторонах угла отложить равные отрезки $OA=OB$, то биссектриса лежит на серединном перпендикуляре к $AB$: в равнобедренном треугольнике $OAB$ биссектриса из вершины является медианой и высотой.

Задача 4. Треугольник по трём сторонам

Построить треугольник $ABC$ со сторонами $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$.

Анализ. Три отрезка могут быть сторонами треугольника, если каждый меньше суммы двух других и больше их разности.

Проверь себя

• Какие инструменты используются для построения геометрических фигур? Линейка без делений и циркуль.
• Какие построения выполняют а) линейкой; б) циркулем? а) Прямую через две точки. б) Окружность с данным центром и радиусом, и отрезок, равный данному.
• Как построить серединный перпендикуляр к отрезку? Из концов отрезка одним радиусом (больше половины отрезка) проводят две окружности и соединяют точки их пересечения.
• Как опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую? Окружностью с центром в точке отметить на прямой $A$ и $B$ и построить серединный перпендикуляр к $AB$.
• Как построить биссектрису угла? Окружностью с центром в вершине отметить $A$ и $B$ на сторонах и провести серединный перпендикуляр к $AB$ внутри угла.
• Как построить треугольник по трём сторонам? Отложить одну сторону и из её концов провести окружности радиусов двух других сторон.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 23.1

Построй отрезок, равный данному.

Как думать. Циркуль запоминает длину: раствор равен длине отрезка.

Решение.

1. Пусть дан отрезок $AB$. Проведи линейкой луч с началом в точке $O$.
2. Поставь иглу циркуля в $A$, а грифель в $B$.
3. Не меняя раствора, поставь иглу в $O$ и сделай засечку $C$ на луче.
4. Отрезок $OC=AB$.

Ответ: $OC=AB$ — искомый отрезок.

№ 23.2

Построй середину заданного отрезка.

Как думать. Середина отрезка лежит на его серединном перпендикуляре.

Решение.

1. Раствором больше половины $AB$ проведи окружности с центрами $A$ и $B$.
2. Через точки пересечения $C_1$ и $C_2$ проведи прямую.
3. Точка $M$, где эта прямая пересекает $AB$, — середина.

Ответ: $M=AB\cap C_1C_2$; $AM=MB$.

Уровень B

№ 23.3

Через данную точку, принадлежащую данной прямой, проведи прямую, перпендикулярную этой прямой.

Как думать. Сделай из нужной точки середину отрезка, тогда серединный перпендикуляр пройдёт через неё.

Решение. Пусть $P$ лежит на прямой $d$.

1. С центром $P$ любым радиусом проведи окружность. Она пересечёт $d$ в точках $X$ и $Y$, при этом $PX=PY$.
2. Построй серединный перпендикуляр к $XY$ (задача 1).
3. Он проходит через середину $XY$, то есть через $P$, и перпендикулярен $d$.

Ответ: серединный перпендикуляр к $XY$ — искомая прямая.

№ 23.4

Построй треугольник $ABC$ по двум данным сторонам и углу между ними.

Как думать. Угол даёт направление двух сторон, а стороны задают точки на них.

Решение. Пусть даны стороны $b$, $c$ и угол $\alpha$.

1. Построй угол $A$, равный $\alpha$ (упражнение 23.6).
2. На одной стороне угла отложи $AB=c$, на другой $AC=b$.
3. Соедини $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ по первому признаку равенства определён однозначно, построение единственно; оно возможно всегда, если $\alpha<180^\circ$.

Ответ: $\triangle ABC$ построен: $AB=c$, $AC=b$, $\angle A=\alpha$.

№ 23.5

Построй треугольник $ABC$ по данной стороне и двум данным прилежащим к ней углам.

Как думать. Сторона задаёт отрезок, а два угла задают направления двух других сторон.

Решение. Пусть дана сторона $AB=c$ и углы $\alpha$, $\beta$.

1. Отложи отрезок $AB=c$.
2. В точке $A$ построй угол $\alpha$ с одной стороной $AB$ (23.6), в точке $B$ угол $\beta$, по ту же сторону от $AB$.
3. Лучи пересекутся в точке $C$.

Исследование: лучи пересекаются, только если $\alpha+\beta<180^\circ$ (по признаку параллельности). Тогда треугольник единственный.

Ответ: $\triangle ABC$ — искомый, при условии $\alpha+\beta<180^\circ$.

№ 23.6

Построй угол, равный данному углу.

Как думать. Равные углы получаются, если на их сторонах строить равные треугольники.

Решение. Пусть дан угол $O$ со сторонами $OX$ и $OY$, а луч $O_1X_1$ проведён заранее.

1. Окружностью любого радиуса $r$ с центром $O$ отметь точки $A$ на $OX$ и $B$ на $OY$.
2. Окружностью того же радиуса $r$ с центром $O_1$ отметь $A_1$ на луче $O_1X_1$.
3. Раствор циркуля сделай равным $AB$. Окружностью радиуса $AB$ с центром $A_1$ сделай засечку $B_1$ на первой окружности.
4. Проведи луч $O_1B_1$.

Доказательство. $\triangle OAB=\triangle O_1A_1B_1$ по трём сторонам ($OA=O_1A_1=r$, $OB=O_1B_1=r$, $AB=A_1B_1$), значит $\angle O=\angle O_1$.

Ответ: $\angle X_1O_1B_1=\angle O$.

Уровень C

№ 23.7

По рисунку 23.8 объясни, как построить треугольник $ABC$ по двум данным сторонам $AB=c$, $AC=b$ и медиане $CD=m$.

Как думать. Середина $D$ стороны $AB$ известна сразу, и в треугольнике $ACD$ известны все три стороны: $AD=\frac{c}{2}$, $AC=b$, $CD=m$.

Решение.

1. Построй отрезок $AB=c$ и его середину $D$ (23.2).
2. С центром $A$ радиусом $b$ проведи окружность, с центром $D$ радиусом $m$ другую.
3. Их точка пересечения — вершина $C$.
4. Соедини $C$ с $A$, $D$ и $B$. Тогда $CD$ — медиана и равна $m$.

Исследование: решение есть, если $\left|b-\frac c2\right|<m<b+\frac c2$ (иначе окружности не пересекутся). Две точки пересечения дают два симметричных треугольника.

Ответ: $\triangle ABC$ строится через $\triangle ACD$ по трём сторонам $b$, $\frac c2$, $m$.

№ 23.8

По рисунку 23.9 объясни, как построить треугольник $ABC$ по двум данным сторонам $AB=c$, $AC=b$ и медиане $AD=m$.

Как думать. Удвой медиану: продолжи $AD$ за $D$ на такой же отрезок до точки $E$. Четырёхугольник $ABEC$ окажется параллелограммом, поэтому $BE=AC=b$.

Решение.

1. Построй $\triangle ABE$ по трём сторонам: $AB=c$, $BE=b$, $AE=2m$ (задача 4).
2. Найди середину $D$ отрезка $AE$.
3. Проведи луч $BD$ и отложи на нём за $D$ отрезок $DC=BD$.
4. Соедини $A$ с $C$. Тогда $D$ — середина $BC$, значит $AD=m$ — медиана, $AB=c$, $AC=EB=b$ (треугольники $ADC$ и $EDB$ равны по двум сторонам и углу между ними).

Исследование: нужно $|b-c|<2m<b+c$.

Ответ: треугольник строится удвоением медианы: сначала $\triangle ABE$ со сторонами $c$, $b$, $2m$.

№ 23.9

По рисунку 23.10 объясни, как построить треугольник $ABC$ по двум сторонам $AB=c$, $AC=b$ и высоте $CH=h$.

Как думать. Прямоугольный треугольник $AHC$ можно построить: гипотенуза $AC=b$, катет $CH=h$.

Решение.

1. Проведи прямую и на ней точку $H$. Построй в $H$ перпендикуляр к прямой (23.3).
2. На перпендикуляре отложи $HC=h$.
3. С центром $C$ радиусом $b$ проведи окружность. Она пересечёт прямую в точке $A$.
4. От $A$ вдоль прямой отложи $AB=c$. Подходят две точки $B_1$ и $B_2$, по разные стороны от $A$.
5. Соедини $C$ с $B$.

Исследование: нужно $h<b$ (катет короче гипотенузы). Две точки $B_1$ и $B_2$ (по разные стороны от $A$) дают два разных треугольника $AB_1C$ и $AB_2C$.

Ответ: $\triangle AHC$ по катету $h$ и гипотенузе $b$, потом $AB=c$ по прямой $AH$.

№ 23.10

По рисунку 23.11 построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $AC=a$, $BC=b$ и высоте $CH=h$.

Как думать. Высота $CH$ делит задачу на два прямоугольных треугольника: $CHA$ с гипотенузой $a$ и $CHB$ с гипотенузой $b$.

Решение.

1. Проведи прямую, точку $H$ на ней и перпендикуляр в $H$ (23.3). Отложи $HC=h$.
2. С центром $C$ радиусом $b$ проведи окружность: она пересечёт прямую в точке $B$.
3. С центром $C$ радиусом $a$ проведи другую окружность: пересечение с прямой даст $A_1$ и $A_2$ (по разные стороны от $H$).
4. Соедини $C$ с $A$ и $B$.

Исследование: нужно $h<a$ и $h<b$. Два варианта $A_1$ и $A_2$ дают два разных треугольника.

Ответ: треугольник строят из двух прямоугольных треугольников с общим катетом $h$.

№ 23.11

По рисунку 23.12 построй треугольник $ABC$ по стороне $AB=c$, медиане $CD=m$ и высоте $CH=h$.

Как думать. Вершина $C$ удалена на $m$ от середины $D$ стороны $AB$ и на $h$ от прямой $AB$.

Решение.

1. Отложи $AB=c$ и найди середину $D$ (23.2).
2. Построй перпендикуляр к $AB$ в точке $D$ (23.3) и отложи на нём $DP=h$. Через $P$ построй перпендикуляр к этому перпендикуляру: получится прямая $l\parallel AB$ на расстоянии $h$.
3. Окружность с центром $D$ и радиусом $m$ пересекает прямую $l$ в точках $C$ и $C'$ (если $h<m$).
4. Соедини $C$ с $A$ и $B$.

Исследование: решение есть при $h<m$ (при $h=m$ треугольник равнобедренный и $H=D$). Точки $C$ и $C'$ дают два симметричных друг другу треугольника.

Ответ: $C$ лежит на пересечении окружности $(D;m)$ с прямой, параллельной $AB$ на расстоянии $h$.

№ 23.12

По рисунку 23.13 построй касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне этой окружности.

Как думать. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Значит треугольник $OBA$ с точкой касания $B$ прямоугольный с прямым углом $B$.

Решение.

1. Соедини $O$ и $A$. Построй середину $M$ отрезка $OA$ (23.2).
2. С центром $M$ радиусом $MO$ ($=MA$) проведи окружность.
3. Она пересекает данную окружность в точках $B_1$ и $B_2$.
4. Проведи прямые $AB_1$ и $AB_2$.

Доказательство. Возьми $B=B_1$. $MB=MO=MA$. Треугольники $MOB$ и $MBA$ равнобедренные, поэтому $\angle MBO=\angle MOB=\alpha$ и $\angle MBA=\angle MAB=\beta$. В треугольнике $OBA$ углы при $O$ и $A$ равны $\alpha$ и $\beta$, а угол при $B$ равен $\alpha+\beta$. Сумма углов: $\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ$, откуда $\angle OBA=\alpha+\beta=90^\circ$. Радиус $OB\perp AB$, значит $AB$ — касательная.

Исследование. Две касательные, если $A$ вне окружности.

Ответ: две касательные $AB_1$ и $AB_2$, где $B_1$, $B_2$ — точки пересечения данной окружности с окружностью на диаметре $OA$.

Подготовь сообщение

№ 23.13

Популярная задача на построение циркулем и линейкой в V в. до н. э. — «Задача об удвоении куба», или Делосская. Подготовь сообщение.

Как думать. Собери в сообщение три части: откуда легенда, в чём математическая задача, чем всё закончилось.

Решение. Для сообщения хватит такого плана.

1. Легенда. На острове Делос вспыхнула чума. Оракул велел удвоить жертвенник кубической формы. Жители вдвое увеличили ребро, но жертвенник стал больше в восемь раз, и чума не ушла.
2. Задача. Дан куб с ребром $a$. Построить циркулем и линейкой куб вдвое большего объёма. Объём нового куба $2a^3$, значит нужно ребро $a\sqrt[3]{2}$.
3. Итог. Отрезок длиной $\sqrt[3]{2}$ нельзя построить циркулем и линейкой. Это доказал Пьер Ванцель в 1837 году, спустя больше двух тысяч лет.
4. Что стоит добавить. Другие задачи древности: трисекция угла и квадратура круга.

Ответ: сообщение по плану выше; ключевой факт: удвоение куба с помощью циркуля и линейки невозможно.

№ 23.14

а) Что называется параболой? Оптическое свойство параболы. б) Что называется эллипсом? Оптическое свойство эллипса. в) Что называется гиперболой? Оптическое свойство гиперболы.

Как думать. Все три кривые определяются расстояниями до особых точек (фокусов), а оптические свойства про то, как отражается луч света.

Решение.

• а) Парабола — все точки плоскости, одинаково удалённые от точки (фокуса) и от прямой (директрисы). Оптическое свойство: лучи, параллельные оси, после отражения от параболы собираются в фокусе. Поэтому спутниковая тарелка в Алматы собирает сигнал в одну точку, а прожектор с лампой в фокусе даёт параллельный пучок.
• б) Эллипс — все точки, сумма расстояний от которых до двух фокусов $F_1$, $F_2$ постоянна. Оптическое свойство: луч, вышедший из одного фокуса, после отражения от эллипса попадает во второй фокус.
• в) Гипербола — все точки, разность расстояний от которых до двух фокусов (по модулю) постоянна. Оптическое свойство: луч, идущий из одного фокуса, после отражения от гиперболы выглядит так, будто вышел из второго фокуса.

🌟 Эти три кривые Аполлоний Пергский называл сечениями конуса: их получают, разрезая конус плоскостью под разными углами.

Ответ: определения и свойства выше; для сообщения можно показать ход лучей рисунками.

Шпаргалка

• Инструменты: линейка без делений и циркуль.
• Этапы: анализ, построение, доказательство, исследование.
• Основные построения: серединный перпендикуляр, середина отрезка, перпендикуляр к прямой (через точку на ней и из внешней точки), биссектриса, угол, равный данному, треугольник по трём сторонам.
• Условие существования треугольника: сторона меньше суммы двух других и больше их разности.
• Касательная из внешней точки: окружность на диаметре $OA$ даёт точки касания $B_1$, $B_2$.

Мини-тест