Өзіңді тексер! IV тарау

Геометрия, 7 сынып. Оқулық: Смирнов В.А. және т.б. (Мектеп, 2025). 4 тарау: Шеңбер. Геометриялық салулар. 141–144-беттер.

Бұл IV тарауға («Шеңбер. Геометриялық салулар») арналған тест: шеңбер және дөңгелек, түзу мен шеңбердің өзара орналасуы, екі шеңбердің өзара орналасуы, жанамалар, хордалар. Оқулықтың соңында тестің жауаптары жоқ, сондықтан мұнда әр сұрақ бойынша шешу жолы және дұрыс нұсқа берілген. Алдымен өзің шығарып көр, содан кейін ғана кеңесті аш.

👨‍👩‍👧 Ата-анаға. Баладан кез келген сұрақ бойынша сұраңыз: «Қандай сызба көз алдыңа келді?». Бала екі шеңберді сызып, олардың неге жанасатынын көрсете алса, жауап кездейсоқ дұрыс болған жоқ.

Жаттығуларды шығарамыз

№ 1

Центрі берілген нүкте болатын неше шеңбер салуға болады? A. Ешқандай. B. Біреу. C. Екеу. D. Шексіз көп.

Қалай ойлаймыз. Центр біреу, ал радиусты кез келген етіп алуға болады.

Шешуі. Берілген нүктені центр етіп, кез келген радиусты шеңбер жүргізуге болады. Радиус шексіз көп, демек, шеңбер де шексіз көп.

Жауабы: D.

№ 2

Бір нүкте арқылы неше шеңбер жүргізуге болады? A. Біреу. B. Екеу. C. Үшеу. D. Шексіз көп.

Қалай ойлаймыз. Осы нүкте сызығының бойында жататын кез келген шеңбер жарайды.

Шешуі. Кез келген басқа нүктені центр етіп алып, радиусы берілген нүктеге дейінгі қашықтыққа тең шеңбер жүргіз. Центр шексіз көп, демек, шеңбер де шексіз көп.

Жауабы: D.

№ 3

Екі нүкте арқылы неше шеңбер жүргізуге болады? A. Ешқандай. B. Біреу. C. Екеу. D. Шексіз көп.

Қалай ойлаймыз. Центр екі нүктеден бірдей қашықтықта жатуы керек.

Шешуі. Центр осы екі нүктені қосатын кесіндінің орта перпендикулярында жатады. Онда нүкте шексіз көп, әрқайсысы өз шеңберін береді.

Жауабы: D.

№ 4

Центрі $O$ нүктесі және радиусы $R$ болатын дөңгелектен тыс жатқан $M$ нүктесі қандай қатынасты қанағаттандырады? A. $OM\ge R$. B. $OM>R$. C. $OM\le R$. D. $OM<R$.

Қалай ойлаймыз. Дөңгелектен тыс дегеніміз — центрден $R$-дан алыс және шеңбердің өзінде емес.

Шешуі. Шеңбер нүктелері центрден дәл $R$ қашықтықта, дөңгелек нүктелері $R$-дан артық емес қашықтықта. Дөңгелектен тыс нүктелер центрден $R$-дан артық қашықтықта жатады.

Жауабы: B ($OM>R$).

№ 5

Центрі $O$ және радиусы $R$ болатын дөңгелектің ішінде жатқан $K$ нүктесі қандай қатынасты қанағаттандырады? A. $OK\le R$. B. $OK\ge R$. C. $OK<R$. D. $OK>R$.

Қалай ойлаймыз. «Ішінде» дегеніміз — центрге $R$-дан қатаң түрде жақын.

Шешуі. Дөңгелектің ішіндегі нүктелер (шеңберде жатпайтындар) центрден $R$-дан кем қашықтықта жатады.

Жауабы: C ($OK<R$).

№ 6

Шеңбердің диаметрі 10 см. Шеңбердің центрінен 3 см қашықтықта болатын түзу осы шеңберге қатысты қалай орналасады? A. Қиылыспайды. B. Қиылысады. C. Жанайды. D. Анықтау мүмкін емес.

Қалай ойлаймыз. Центрден түзуге дейінгі $d$ қашықтықты $r$ радиуспен салыстыр.

Шешуі. Радиус $r=10:2=5$ см, қашықтық $d=3$ см. $d<r$ болғандықтан, түзу шеңберді екі нүктеде қияды.

Жауабы: B.

№ 7

Шеңбердің диаметрі 8 см. Шеңбердің центрінен 4 см қашықтықта болатын түзу осы шеңберге қатысты қалай орналасады? A. Қиылыспайды. B. Қиылысады. C. Жанайды. D. Анықтау мүмкін емес.

Қалай ойлаймыз. Тағы да $d$ мен $r$-ды салыстыр.

Шешуі. $r=8:2=4$ см, $d=4$ см. $d=r$ болғандықтан, түзу шеңберді жанайды.

Жауабы: C.

№ 8

Шеңбердің диаметрі 6 см. Шеңбердің центрінен 5 см қашықтықта болатын түзу осы шеңберге қатысты қалай орналасады? A. Шеңбермен ортақ нүктесі болмайды. B. Қиылысады. C. Жанайды. D. Анықтау мүмкін емес.

Қалай ойлаймыз. $d$ мен $r$-ды салыстыр.

Шешуі. $r=6:2=3$ см, $d=5$ см. $d>r$ болғандықтан, түзу шеңберден тыс жатыр.

Жауабы: A.

№ 9

Екі шеңбердің радиустары 10 см және 15 см. Олардың центрлерінің арақашықтығы 20 см. Осы шеңберлер бір-біріне қатысты қалай орналасады? A. Шеңбермен ортақ нүктесі болмайды. B. Қиылысады. C. Іштей жанасады. D. Сырттай жанасады.

Қалай ойлаймыз. Центрлердің арақашықтығын $d$ радиустардың қосындысы $R_1+R_2$ және айырмасы $|R_1-R_2|$ арқылы салыстыр.

Шешуі. Қосындысы $10+15=25$, айырмасы $15-10=5$. $5<20<25$ болғандықтан, шеңберлер екі нүктеде қиылысады.

Жауабы: B.

№ 10

Екі шеңбердің радиустары 6 см және 8 см. Олардың центрлерінің арақашықтығы 14 см. Осы шеңберлер бір-біріне қатысты қалай орналасады? A. Шеңбермен ортақ нүктесі болмайды. B. Қиылысады. C. Іштей жанасады. D. Сырттай жанасады.

Қалай ойлаймыз. Сол қосынды мен айырма.

Шешуі. Қосындысы $6+8=14$. Центрлердің арақашықтығы радиустардың қосындысына тең, демек, шеңберлер сырттай жанасады.

Жауабы: D.

№ 11

Екі шеңбердің радиустары 10 см және 20 см. Олардың центрлерінің арақашықтығы 10 см. Осы шеңберлер бір-біріне қатысты қалай орналасады? A. Шеңбермен ортақ нүктесі болмайды. B. Қиылысады. C. Іштей жанасады. D. Сырттай жанасады.

Қалай ойлаймыз. $d$-ны радиустардың айырмасымен салыстыр.

Шешуі. Айырмасы $20-10=10$. Центрлердің арақашықтығы радиустардың айырмасына тең, демек, шеңберлер іштей жанасады.

Жауабы: C.

№ 12

Центрлері $O_1$, $O_2$ және радиустары $R_1$, $R_2$ болатын екі шеңбер сырттай жанасады. Олар үшін қандай қатынас орындалады? A. $O_1O_2<R_1+R_2$. B. $O_1O_2=R_1+R_2$. C. $O_1O_2>R_1+R_2$. D. $O_1O_2=|R_1-R_2|$.

Қалай ойлаймыз. Сырттай жанасқанда шеңберлер қатар жатады, ал жанасу нүктесі центрлер сызығында, олардың арасында болады.

Шешуі. $O_1$-ден жанасу нүктесіне дейін $R_1$, одан $O_2$-ге дейін тағы $R_2$. Демек, $O_1O_2=R_1+R_2$.

Жауабы: B.

№ 13

Центрлері $O_1$, $O_2$ және радиустары $R_1$, $R_2$ болатын екі шеңбер іштей жанасады. Олар үшін қандай қатынас орындалады? A. $O_1O_2=|R_1-R_2|$. B. $O_1O_2>|R_1-R_2|$. C. $O_1O_2<|R_1-R_2|$. D. $O_1O_2=R_1+R_2$.

Қалай ойлаймыз. Іштей жанасқанда бір шеңбер екіншісінің ішінде жатады, ал жанасу нүктесі центрлер сызығында, екеуінен де бір жақта болады.

Шешуі. Центрлердің арақашықтығы радиустардың айырмасына тең: $O_1O_2=|R_1-R_2|$.

Жауабы: A.

№ 14

Центрлері ортақ екі шеңбердің радиустарының қатынасы $2:3$. Олардан құрылған сақинаның ені 5 см болса, диаметрлерін табыңдар. A. 2 см және 3 см. B. 15 см және 20 см. C. 10 см және 15 см. D. 30 см және 20 см.

Қалай ойлаймыз. Сақинаның ені — радиустардың айырмасы.

Шешуі. Радиустар $2x$ және $3x$ болсын. Сонда $3x-2x=5$, одан $x=5$. Радиустар $10$ см және $15$ см, ал диаметрлер екі есе үлкен: $20$ см және $30$ см.

Жауабы: D (30 см және 20 см). C нұсқасы диаметр емес, радиусты береді.

№ 15

Шеңберден тыс жатқан нүктеден оған екі жанама жүргізілген. Осы нүктеден шеңберге дейінгі ең қысқа қашықтық шеңбердің радиусына тең. Жанамалардың арасындағы бұрышты табыңдар. A. $30^\circ$. B. $45^\circ$. C. $60^\circ$. D. $120^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Нүктеден шеңберге дейінгі ең қысқа қашықтық центр арқылы өтетін түзудің бойында жатады: $PO=r+r=2r$.

Шешуі. $P$ нүктесінен $PT$ және $PS$ жанамалары жүргізілген, $OT\perp PT$. $OTP$ тікбұрышты үшбұрышында $OT=r$ катеті, $OP=2r$ гипотенузасы, яғни катет гипотенузадан екі есе қысқа, ал оған қарсы жатқан бұрыш $\angle OPT=30^\circ$. $PO$ — жанамалар арасындағы бұрыштың биссектрисасы, сондықтан бүкіл бұрыш $2\cdot30^\circ=60^\circ$.

Жауабы: C ($60^\circ$).

№ 16

Шеңбердегі нүктеден екі хорда жүргізілген, олардың әрқайсысы шеңбердің радиусына тең. Хордалардың арасындағы бұрышты табыңдар. A. $30^\circ$. B. $45^\circ$. C. $90^\circ$. D. $120^\circ$.

Қалай ойлаймыз. Радиусқа тең хорда екі радиуспен бірге тең қабырғалы үшбұрыш жасайды.

Шешуі. $A$ нүктесінен $AB=AC=R$ хордалары жүргізілсін. $OAB$ және $OAC$ үшбұрыштары тең қабырғалы ($OA=OB=AB=R$), сондықтан $\angle OAB=\angle OAC=60^\circ$. Хордалар $OA$-ның екі жағында жатыр, олардың арасындағы бұрыш $60^\circ+60^\circ=120^\circ$.

Жауабы: D ($120^\circ$).

№ 17

Шеңберден тыс жатқан нүктеден шеңбердің нүктелеріне дейінгі ең ұзын және ең қысқа қашықтықтар сәйкесінше 50 см және 30 см. Осы шеңбердің радиусын табыңдар. A. 10 см. B. 20 см. C. 30 см. D. 40 см.

Қалай ойлаймыз. Ең ұзын және ең қысқа қашықтықтар центр арқылы өтетін түзудің бойында жатады.

Шешуі. $P$ нүктесі шеңберден тыс, $d=PO$. Ең қысқа қашықтық $d-R=30$, ең ұзыны $d+R=50$. Азайтамыз: $2R=20$, $R=10$ см.

Жауабы: A (10 см).

№ 18

Шеңбердің ішінде жатқан нүктеден шеңбердің нүктелеріне дейінгі ең ұзын және ең қысқа қашықтықтар сәйкесінше 50 см және 30 см. Осы шеңбердің радиусын табыңдар. A. 30 см. B. 40 см. C. 50 см. D. 80 см.

Қалай ойлаймыз. Енді нүкте ішінде жатыр, ал центр арқылы өтетін түзудің бойында қашықтықтар қосылып, диаметр болады.

Шешуі. $P$ ішінде жатсын, $d=PO$. Ең үлкен қашықтық $R+d=50$, ең кішісі $R-d=30$. Қосамыз: $2R=80$, $R=40$ см.

Жауабы: B (40 см).

№ 19

Берілген нүктеден радиусы 8 см-ге тең шеңберге жүргізілген жанамалар өзара тік бұрыш жасайды. Осы жанамалардың кесінділерін (берілген нүкте мен жанасу нүктелері арасында шектелген) табыңдар. A. 4 см. B. 8 см. C. 12 см. D. 16 см.

Қалай ойлаймыз. Жанамалар радиустарға перпендикуляр, ал жанамалар арасындағы бұрыш тік.

Шешуі. $P$ нүктесінен $PT$ және $PS$ жанамалары шығады, $\angle TPS=90^\circ$, $OT\perp PT$, $OS\perp PS$, $OT=OS=8$. $OTPS$ төртбұрышының үш бұрышы тік және екі көрші қабырғасы тең ($OT=OS$), демек, бұл — шаршы. Сонда $PT=OT=8$ см. Басқаша да болады: $PO$ — биссектриса, $\angle OPT=45^\circ$, $OTP$ үшбұрышы тең бүйірлі тікбұрышты, $PT=OT=8$.

Жауабы: B (8 см).

№ 20

Берілген нүктеден шеңберге жүргізілген жанамалар өзара $60^\circ$ бұрыш жасайды. Берілген нүкте мен шеңбердің центріне дейінгі қашықтық 24 см. Шеңбердің радиусын табыңдар. A. 6 см. B. 8 см. C. 12 см. D. 24 см.

Қалай ойлаймыз. Центр жанамалар арасындағы бұрыштың биссектрисасында жатады, демек, $OTP$ үшбұрышында $P$ төбесіндегі бұрыш $30^\circ$.

Шешуі. $\angle OPT=60^\circ:2=30^\circ$, $OTP$ үшбұрышы тікбұрышты ($OT\perp PT$). $30^\circ$-қа қарсы жатқан катет гипотенузаның жартысына тең: $OT=\frac12 OP=12$ см.

Жауабы: C (12 см).

Жадынама

• Неше шеңбер: бір нүкте арқылы да, екі нүкте арқылы да шексіз көп; центрі берілген шеңбер де шексіз көп.
• Түзу және шеңбер: центрден түзуге дейінгі $d$ қашықтықты $r$ радиуспен салыстыр.
• Екі шеңбер: центрлердің $d$ арақашықтығын $R_1+R_2$ және $|R_1-R_2|$ арқылы салыстыр.
• Жанамалар: кесінділері тең, сырттағы нүктедегі бұрышты центрлер сызығы тең екіге бөледі; $60^\circ$ бұрыш болғанда радиус центрге дейінгі қашықтықтың жартысына тең.
• Радиусқа тең хорда: радиустармен бірге тең қабырғалы үшбұрыш жасайды.