§ 10. Делители и кратные натуральных чисел. Простые и составные числа

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 2: Делимость натуральных чисел. Страницы 50–53.

Чему научишься

• Понимать слова «делитель» и «кратное» и не путать их.
• Выписывать все делители числа, ни одного не потеряв.
• Находить числа, кратные данному.
• Отличать простые числа от составных и знать, почему 1 — особенное число.

Разминка

Это задания № 131 и № 132 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Делимое 16 192, делитель 46. Чему равно частное? $16,192 : 46 = 352$.
• Делитель 83, частное 822, остаток 0. Чему равно делимое? $83 \cdot 822 = 68,226$.
• Делимое 495, частное 41, остаток 3. Чему равен делитель? $(495 - 3) : 41 = 492 : 41 = 12$.
• Какие из чисел 0, 15, 253, 621, 3444 делятся на 7 без остатка? 0 и 3444 ($3444 = 7 \cdot 492$). У остальных остатки: 15 → 1, 253 → 1, 621 → 5.
• Назови пять чисел, которые делятся только на 1 и на себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11.
• На какие числа делится 20? На 1, 2, 4, 5, 10, 20 — всего шесть чисел.

💡 Заметил? У одних чисел «помощников»-делителей много (у 20 их шесть), а у других — всего два. Сегодня разберёмся, как их называют.

Разбираемся

Делитель и кратное — две стороны одного деления

Раздели 6 конфет между тремя друзьями — каждому по 2, ничего не осталось. Значит, 6 делится на 3 нацело. В такой паре у чисел есть особые имена.

📌 Если натуральное число $k$ делится на натуральное число $d$ без остатка, то $d$ — делитель числа $k$, а $k$ — кратное числа $d$.

Фразы «8 делится на 4», «8 кратно 4» и «4 — делитель числа 8» говорят одно и то же. Ведь $8 : 4 = 2$, и остатка нет.

⚠️ Частая ошибка. Путают, кто кому делитель. Запомни: делитель — маленький, он «помещается» в число целиком. Кратное — большое, оно «собрано» из делителей: $8 = 4 + 4$.

Как найти все делители и ничего не потерять

Ищи делители парами. Для 12: $1 \cdot 12$, $2 \cdot 6$, $3 \cdot 4$. Когда пары начинают повторяться ($4 \cdot 3$), можно остановиться. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

А кратные искать ещё проще: умножай число на 1, 2, 3, 4… Кратные 7: 7, 14, 21, 28… Конца у этого списка нет — кратных бесконечно много.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка назвать делители 18 «парами» вслух: «1 и 18, 2 и 9, 3 и 6». Так он сразу увидит, что делителей у числа немного, а кратных — сколько угодно.

Простые и составные числа

Посчитай делители: у 2 — только 1 и 2. У 11 — только 1 и 11. Такие числа называются простыми. Их невозможно разложить на «кучки» поровну, кроме как по одному.

📌 Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Составное число имеет больше двух делителей.

Например, 4 — составное (делители 1, 2, 4). 12 — тоже составное (у него шесть делителей).

📌 Число 1 имеет только один делитель. Поэтому оно ни простое, ни составное.

🌟 Простых чисел бесконечно много. Самое большое из найденных людьми записывается более чем 41 миллионом цифр! Его нашли с помощью компьютеров.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какое число называют кратным данному числу? То, которое делится на данное число без остатка. Например, 35 кратно 7.
• Какое число называют делителем натурального числа? Число, на которое данное делится без остатка. Например, 7 — делитель 35.
• Сколько кратных может быть у натурального числа? Бесконечно много: умножаем число на 1, 2, 3, 4… и так без конца.
• Какие однозначные числа простые? Приведи двузначные составные. Простые однозначные: 2, 3, 5, 7. Составные двузначные: например, 10, 12, 15, 49, 99.
• Приведи пример простого трёхзначного числа. Например, 101, 113, 997.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 133

Запиши день и месяц своего рождения. Узнай для каждого числа: простое оно или составное, какие у него делители, и назови по три кратных.

Как думать. Ответ у каждого свой. Покажем на примере: день рождения 12 марта — числа 12 и 3.

Решение.

1. 12 — составное: делители 1, 2, 3, 4, 6, 12. Кратные: 12, 24, 36.
2. 3 (март) — простое: делители 1 и 3. Кратные: 3, 6, 9.
3. Если день 1-го числа — помни, что 1 ни простое, ни составное.

Ответ: у каждого свой; для 12 марта: 12 — составное, 3 — простое.

Математика в твоей жизни

№ 134

1) Можно ли рассадить твой класс поровну на 2 ряда? 2) Разделить на 3 или 4 равные группы? 3) Можно ли всех пятиклассников школы разбить на 8 равных групп? 4) На сколько равных кучек можно разложить 24 асыка? 5) В коробке 8 асыков. Можно ли, не открывая коробок, взять 32 асыка? 44 асыка?

Как думать. «Поровну» — значит, число учеников делится на число рядов или групп без остатка.

Решение.

1. Пример: в классе 24 ученика. $24 : 2 = 12$ — да, по 12 в ряд.
2. $24 : 3 = 8$, $24 : 4 = 6$ — да, можно и так, и так.
3. Пример: в школе 96 пятиклассников. $96 : 8 = 12$ — да. Если бы было 90, то нельзя: 90 не делится на 8.
4. Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Значит, можно на 2, 3, 4, 6, 8, 12 или 24 кучки (или оставить одну кучку).
5. а) $32 = 8 \cdot 4$ — да, 4 коробки. б) 44 на 8 не делится ($8 \cdot 5 = 40$) — нет.

Ответ: 1)–3) зависит от твоего класса и школы; 4) на 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 кучки; 5) а) да; б) нет.

№ 135

Выпиши по возрастанию: 1) трёхзначные числа, кратные 100; 2) простые трёхзначные числа больше 140 и меньше 170.

Как думать. Во втором пункте отбрасываем чётные, кратные 3, 5, 7, 11 и 13 — остальные проверяем.

Решение.

1. 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900.
2. Проверяем нечётные от 141 до 169: 141 = 3·47, 143 = 11·13, 147 = 3·49, 153 = 9·17, 159 = 3·53, 161 = 7·23, 169 = 13·13 — составные. Остаются 149, 151, 157, 163, 167.

Ответ: 1) 100, 200, …, 900; 2) 149, 151, 157, 163, 167.

№ 136

Какие простые числа между 970 и 1000 пропущены в списке 997, 977, 971, 991?

Как думать. Простые числа от 970 до 1000: 971, 977, 983, 991, 997. Сравни со списком.

Решение. В списке есть 971, 977, 991, 997. Не хватает 983.

Ответ: 983.

№ 137

Из чисел 2; 3; 5; 11; 14; 15; 25; 42; 89; 91 выбери: 1) простые; 2) составные; 3) делители 75; 4) кратные 7.

Как думать. Будь осторожен с 91: оно нечётное и не делится на 3 и 5, но делится на 7.

Решение.

1. Простые: 2, 3, 5, 11, 89.
2. Составные: 14, 15, 25, 42, 91.
3. Делители 75 — это 1, 3, 5, 15, 25, 75. Из списка: 3, 5, 15, 25.
4. Кратные 7: $14 = 7 \cdot 2$, $42 = 7 \cdot 6$, $91 = 7 \cdot 13$.

Ответ: 1) 2; 3; 5; 11; 89; 2) 14; 15; 25; 42; 91; 3) 3; 5; 15; 25; 4) 14; 42; 91.

⚠️ Частая ошибка. Считают 91 простым. Проверяй делимость не только на 2, 3, 5, но и на 7!

№ 138

1) Назови по возрастанию все делители 18 и 42. 2) Назови по убыванию все делители 48 и 75.

Как думать. Ищем делители парами, потом выстраиваем по порядку.

Решение.

1. 18: пары 1·18, 2·9, 3·6 → 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2. 42: пары 1·42, 2·21, 3·14, 6·7 → 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
3. 48: пары 1·48, 2·24, 3·16, 4·12, 6·8 → 48, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1.
4. 75: пары 1·75, 3·25, 5·15 → 75, 25, 15, 5, 3, 1.

Ответ: 1) 1, 2, 3, 6, 9, 18; 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42; 2) 48, 24, 16, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1; 75, 25, 15, 5, 3, 1.

№ 139

Найди по четыре числа, которые кратны сразу 1) 5 и 4; 2) 2 и 7.

Как думать. Самое маленькое такое число — $5 \cdot 4 = 20$ (и $2 \cdot 7 = 14$). Дальше берём его кратные.

Решение. 1) 20, 40, 60, 80. 2) 14, 28, 42, 56.

Ответ: 1) 20, 40, 60, 80; 2) 14, 28, 42, 56 (можно и другие кратные 20 и 14).

№ 140

70 коробок карандашей надо упаковать в ящики. Есть ящики на 5, на 8 и на 14 коробок. Какие удобнее?

Как думать. Удобно, если все ящики заполнены доверху. Значит, 70 должно делиться на вместимость ящика.

Решение.

1. $70 : 5 = 14$ — подходит, 14 ящиков.
2. $70 : 8 = 8$ (ост. 6) — не подходит, один ящик останется неполным.
3. $70 : 14 = 5$ — подходит, всего 5 ящиков.

Ответ: ящики на 14 коробок (нужно всего 5) или на 5 коробок; ящики на 8 не подходят.

№ 141

Верно ли: 1) 502 — делитель 22 088; 2) 65 667 кратно 3127; 3) 13 188 кратно 24; 4) 762 — делитель 16 664; 5) 93 — делитель 9579; 6) 25 400 кратно 154; 7) 5372 кратно 68; 8) 911 — делитель 4555?

Как думать. Делим большее число на меньшее столбиком. Остаток 0 — верно, иначе — неверно.

Решение.

1. $22,088 : 502 = 44$ — верно.
2. $65,667 : 3127 = 21$ — верно.
3. $13,188 : 24 = 549$ (ост. 12) — неверно.
4. $16,664 : 762 = 21$ (ост. 662) — неверно.
5. $9579 : 93 = 103$ — верно.
6. $25,400 : 154 = 164$ (ост. 144) — неверно.
7. $5372 : 68 = 79$ — верно.
8. $4555 : 911 = 5$ — верно.

Ответ: верно 1, 2, 5, 7, 8; неверно 3, 4, 6.

№ 142

Выпиши все простые числа, для которых верно: 1) $7 < a < 27$; 2) $50 < x < 83$; 3) $305 < b < 330$; 4) $918 < y < 955$.

Как думать. Отбрасываем чётные и числа, оканчивающиеся на 5. Остальные проверяем делением на 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Решение.

1. 11, 13, 17, 19, 23.
2. 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79.
3. 307, 311, 313, 317. (309 = 3·103, 319 = 11·29, 323 = 17·19, 329 = 7·47 и т. д. — составные.)
4. 919, 929, 937, 941, 947, 953. (923 = 13·71, 931 = 7·133, 943 = 23·41, 949 = 13·73 — составные.)

Ответ: 1) 11, 13, 17, 19, 23; 2) 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79; 3) 307, 311, 313, 317; 4) 919, 929, 937, 941, 947, 953.

№ 143

Найди число, которое одновременно делитель первого числа и кратно второму: 1) 24 и 6; 2) 36 и 9; 3) 100 и 20; 4) 108 и 36.

Как думать. Выписываем делители большого числа и оставляем те, что делятся на второе.

Решение.

1. Делители 24, кратные 6: 6, 12, 24.
2. Делители 36, кратные 9: 9, 18, 36.
3. Делители 100, кратные 20: 20, 100.
4. Делители 108, кратные 36: 36, 108.

Ответ: 1) 6, 12 или 24; 2) 9, 18 или 36; 3) 20 или 100; 4) 36 или 108.

№ 144

Найди наименьшее число, кратное сразу 1) 6 и 11; 2) 9 и 45.

Как думать. Перебираем кратные большего числа, пока не найдём то, что делится на меньшее.

Решение.

1. Кратные 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66. Первое, делящееся на 6, — 66.
2. 45 само делится на 9 ($45 = 9 \cdot 5$). Значит, ответ 45.

Ответ: 1) 66; 2) 45.

Уровень B

№ 145

Можно ли расселить туристов в трёхместные каюты без свободных мест, если их 1) 69; 2) 72; 3) 76; 4) 119?

Как думать. Да — если число туристов делится на 3.

Решение.

1. $69 : 3 = 23$ — да.
2. $72 : 3 = 24$ — да.
3. $76 = 3 \cdot 25 + 1$ — нет.
4. $119 = 3 \cdot 39 + 2$ — нет.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет.

№ 146

В одной группе 48 спортсменов, в другой — 36. Как их построить, чтобы группы шли одна за другой одинаковыми рядами?

Как думать. В ряду должно быть одинаковое число людей в обеих группах. Значит, это число — делитель и 48, и 36.

Решение.

1. Общие делители 48 и 36: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
2. Самые красивые ряды — по 12 человек: первая группа — 4 ряда ($48 : 12$), вторая — 3 ряда ($36 : 12$).

Ответ: например, по 12 человек в ряд (подходят также 2, 3, 4 или 6 человек в ряд).

№ 147

Заполни таблицы: в каждую клетку — по два числа, которые подходят под оба условия (строки и столбца).

Как думать. В первой таблице ищем общие делители двух чисел. Во второй — общие кратные: проще всего взять произведение и его удвоить.

Решение. Таблица 14.1 (делители):

Таблица 14.2 (кратные):

Ответ: в таблицах (во второй можно взять и другие кратные).

Уровень C

№ 148

Найди все натуральные $x < 71$, которые 1) кратны 15; 2) кратны 23.

Решение. 1) 15, 30, 45, 60 (75 уже больше 71). 2) 23, 46, 69.

Ответ: 1) 15, 30, 45, 60; 2) 23, 46, 69.

№ 149

Может ли быть простым числом 1) сумма двух простых; 2) разность двух простых; 3) произведение двух простых?

Как думать. Ищем хоть один пример. Если найдём — «может». Если докажем, что никогда, — «не может».

Решение.

1. $2 + 3 = 5$ — простое. Может. (А вот $3 + 5 = 8$ — нет. Так что не всегда.)
2. $5 - 2 = 3$ — простое. Может.
3. Произведение двух простых, например $3 \cdot 5 = 15$, делится и на 3, и на 5. Делителей больше двух — число составное. Не может.

Ответ: 1) может; 2) может; 3) не может.

№ 150

Запиши все четырёхзначные числа, кратные 487, которые оканчиваются цифрой 2.

Как думать. Последнюю цифру произведения определяют последние цифры множителей.

Решение. $487 \cdot 6 = 2922$; $487 \cdot 16 = 7792$.

Ответ: 2922 и 7792.

Подготовьте сообщение

№ 151

Расскажи об Эратосфене и его «решете» для поиска простых чисел.

Решение. Пример сообщения.

Эратосфен Киренский жил в Древней Греции примерно 2200 лет назад и заведовал знаменитой Александрийской библиотекой. Он первым довольно точно измерил размер Земли. А ещё придумал простой способ искать простые числа — «решето».

Как работает решето: выпиши числа от 2 до 100. Обведи 2 и зачеркни все числа, кратные 2. Обведи следующее незачёркнутое — 3 — и зачеркни все кратные 3. Потом 5, потом 7. Всё, что осталось незачёркнутым, — простые числа. Они как будто «не провалились» сквозь решето.

💡 Попробуй сам на листке в клетку: до 100 получится ровно 25 простых чисел.

Ответ: сообщение выше.

Готовимся к следующей теме

№ 152

Посчитай удобным способом: 1) $251 + 584 + 249 + 216$; 2) $25 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 4$.

Как думать. Группируем так, чтобы получились круглые числа.

Решение.

1. $(251 + 249) + (584 + 216) = 500 + 800 = 1300$.
2. $(25 \cdot 4) \cdot (7 \cdot 13) = 100 \cdot 91 = 9100$.

Ответ: 1) 1300; 2) 9100.

№ 153

Сравни: 1) $42 : 6 + 54 : 6$ и $(42 + 54) : 6$; 2) $54 : 6 - 42 : 6$ и $(54 - 42) : 6$; 3) $(63 : 9) \cdot 5$ и $(63 \cdot 5) : 9$; 4) $(65 \cdot 26) : 13$, $(65 : 13) \cdot 26$ и $(26 : 13) \cdot 65$.

Решение.

1. $7 + 9 = 16$ и $96 : 6 = 16$ — равны.
2. $9 - 7 = 2$ и $12 : 6 = 2$ — равны.
3. $7 \cdot 5 = 35$ и $315 : 9 = 35$ — равны.
4. $1690 : 13 = 130$; $5 \cdot 26 = 130$; $2 \cdot 65 = 130$ — все равны.

Ответ: во всех пунктах значения равны.

💡 Это не случайность! Сумму можно делить по частям, а в произведении делить можно любой множитель. На следующем уроке это станет правилами.

Шпаргалка

• «12 делится на 4» = «12 кратно 4» = «4 — делитель 12».
• Делители ищем парами: $12 = 1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$.
• Делителей у числа конечное число, кратных — бесконечно много.
• Простые до 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
• 2 — единственное чётное простое число.

Мини-тест