§ 11. Основные свойства делимости

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 2: Делимость натуральных чисел. Страницы 54–57.

Чему научишься

• Узнавать, делится ли сумма или разность на число, не считая её.
• Понимать, когда произведение точно делится на число.
• Разбивать «неудобное» число на удобные части, чтобы проверить делимость.
• Не попадаться в ловушку «оба не делятся — значит, и сумма не делится».

Разминка

Это задания № 152 и № 153 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Сколько будет $251 + 584 + 249 + 216$? $(251 + 249) + (584 + 216) = 500 + 800 = 1300$.
• Сколько будет $25 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 4$? $(25 \cdot 4) \cdot (7 \cdot 13) = 100 \cdot 91 = 9100$.
• Что больше: $42 : 6 + 54 : 6$ или $(42 + 54) : 6$? Они равны: $7 + 9 = 16$ и $96 : 6 = 16$.
• А $54 : 6 - 42 : 6$ и $(54 - 42) : 6$? Тоже равны: $9 - 7 = 2$ и $12 : 6 = 2$.
• Сравни $(65 \cdot 26) : 13$ и $(65 : 13) \cdot 26$. Оба равны 130.

💡 Сумму можно делить «по кусочкам», а в произведении — делить любой множитель. Из этого и вырастают свойства делимости.

Разбираемся

Сумма: если каждый делится — делится и вся сумма

Представь две коробки конфет: в одной 56, в другой 21. Обе можно раздать семерым друзьям поровну. Значит, и все конфеты вместе тоже раздадутся поровну:

$(56 + 21) : 7 = 56 : 7 + 21 : 7 = 8 + 3 = 11$.

📌 Если каждое слагаемое делится на число, то и сумма делится на это число. Слагаемых может быть сколько угодно.

С разностью то же самое: $(36 - 8) : 4 = 36 : 4 - 8 : 4 = 9 - 2 = 7$.

📌 Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число, то и разность делится на это число.

Один «чужой» — и всё ломается

А если одно слагаемое делится, а другое нет? Возьмём 25 (делится на 5) и 7 (не делится). $25 + 7 = 32$ — на 5 не делится. $25 - 7 = 18$ — тоже нет.

📌 Если одно число делится на $d$, а другое — нет, то ни сумма, ни разность на $d$ не делятся.

Попробуй сам: какие суммы делятся на 7, если не считать их до конца?

⚠️ Частая ошибка. «Оба слагаемых не делятся на 5 — значит, и сумма не делится». Неправда! $7 + 3 = 10$, а 10 делится на 5. Если оба «чужие», заранее ничего сказать нельзя — надо считать.

Произведение: хватит одного множителя

$(72 \cdot 3) : 8 = (72 : 8) \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$. Множитель 72 делится на 8 — и этого хватило, чтобы всё произведение разделилось.

📌 Если хотя бы один множитель делится на число, то и произведение делится на это число.

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите игру: вы называете число, например 156, а ребёнок пробует разбить его на «удобные» части, кратные 12: $120 + 36$. Это тренирует и устный счёт, и понимание свойств.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Верно ли: «Если оба слагаемых не делятся на число, то и сумма не делится»? Нет. Пример: 7 и 8 не делятся на 5, а $7 + 8 = 15$ делится. Но бывает и иначе: $7 + 9 = 16$ — не делится. Так что сказать заранее нельзя.
• Верно ли: «Если оба множителя не делятся на число, то и произведение не делится»? Нет. Пример: 2 и 3 не делятся на 6, а $2 \cdot 3 = 6$ делится. Или 4 и 6 не делятся на 8, а $4 \cdot 6 = 24$ делится.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 154

Объясни, почему делится: 1) $15 + 39$ на 3; 2) $33 + 88$ на 11; 3) $24a + 24c$ на 24; 4) $18a + 45b + 99c$ на 9 ($a$, $b$, $c$ — натуральные).

Как думать. Проверяем каждое слагаемое. Если все делятся — делится и сумма.

Решение.

1. $15 = 3 \cdot 5$, $39 = 3 \cdot 13$ — оба делятся на 3, значит, и сумма.
2. $33 = 11 \cdot 3$, $88 = 11 \cdot 8$ — оба делятся на 11.
3. $24a$ и $24c$ — в каждом есть множитель 24, значит, оба делятся на 24.
4. $18a = 9 \cdot 2a$, $45b = 9 \cdot 5b$, $99c = 9 \cdot 11c$ — все три делятся на 9.

Ответ: в каждом случае все слагаемые делятся на нужное число, поэтому делится и сумма.

№ 155

Верно ли: 1) если два слагаемых делятся на 2, то и сумма делится на 2; 2) то же для 5; 3) если уменьшаемое и вычитаемое делятся на 3, то и разность делится на 3?

Как думать. Это прямо свойства, которые мы только что разобрали.

Решение. 1) Да: $4 + 6 = 10$. 2) Да: $15 + 20 = 35$. 3) Да: $21 - 9 = 12$.

Ответ: 1) да; 2) да; 3) да.

№ 156

1) Запиши 5; 10; 15; 20; 25; 30 в виде $5k$. 2) Назови по три числа вида $3k$, $4k$, $7k$, $11k$.

Как думать. $5k$ — это просто «5, умноженное на что-то». Числа вида $3k$ — это кратные 3.

Решение.

1. $5 = 5 \cdot 1$, $10 = 5 \cdot 2$, $15 = 5 \cdot 3$, $20 = 5 \cdot 4$, $25 = 5 \cdot 5$, $30 = 5 \cdot 6$.
2. $3k$: 3, 6, 9; $4k$: 4, 8, 12; $7k$: 7, 14, 21; $11k$: 11, 22, 33.

Ответ: 1) $k$ = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 2) например, 3, 6, 9; 4, 8, 12; 7, 14, 21; 11, 22, 33.

№ 157

С помощью свойств делимости объясни, почему 1) 156 делится на 12; 2) 253 — на 23; 3) 126 — на 9; 4) 189 — на 21.

Как думать. Разбиваем число на сумму (или разность) «круглых» частей, каждая из которых делится на нужное число.

Решение.

1. $156 = 120 + 36$; $120 = 12 \cdot 10$, $36 = 12 \cdot 3$. Делится.
2. $253 = 230 + 23$; $230 = 23 \cdot 10$, $23 = 23 \cdot 1$. Делится.
3. $126 = 90 + 36$; $90 = 9 \cdot 10$, $36 = 9 \cdot 4$. Делится.
4. $189 = 210 - 21$; $210 = 21 \cdot 10$, $21 = 21 \cdot 1$. Делится.

Ответ: $156 : 12 = 13$; $253 : 23 = 11$; $126 : 9 = 14$; $189 : 21 = 9$.

№ 158

Подбери натуральное $x$, чтобы 1) $864 + x$ а) делилось на 3, б) не делилось на 3; 2) $510 - x$ а) делилось на 10, б) не делилось на 10.

Как думать. 864 делится на 3 ($864 = 3 \cdot 288$), 510 делится на 10. Значит, всё решает $x$: если и он делится — делится результат; если нет — не делится.

Решение.

1. а) $x = 3$: $867 = 3 \cdot 289$. б) $x = 1$: 865 на 3 не делится.
2. а) $x = 10$: $500$ делится на 10. б) $x = 1$: 509 не делится.

Ответ: например, 1) а) 3; б) 1; 2) а) 10; б) 1.

Уровень B

№ 159

Объясни через свойства делимости, почему 1) 1980 делится на 18; 2) 1100 — на 55.

Решение.

1. $1980 = 1800 + 180$; $1800 = 18 \cdot 100$, $180 = 18 \cdot 10$. Значит, $1980 : 18 = 110$.
2. $1100 = 550 + 550$; $550 = 55 \cdot 10$. Значит, $1100 : 55 = 20$.

Ответ: 1) $1980 = 1800 + 180$, оба делятся на 18; 2) $1100 = 550 + 550$, оба делятся на 55.

№ 160

Подбери натуральное $y$, чтобы 1) $y + 1320$ а) делилось на 12, б) не делилось; 2) $y - 940$ а) делилось на 47, б) не делилось.

Как думать. $1320 = 12 \cdot 110$ и $940 = 47 \cdot 20$. Значит, нужно, чтобы $y$ тоже делился (или не делился) на 12 и на 47.

Решение.

1. а) $y = 12$: $1332 = 12 \cdot 111$. б) $y = 1$: 1321 на 12 не делится.
2. а) $y = 987$: $987 - 940 = 47$. б) $y = 941$: $941 - 940 = 1$ — не делится.

Ответ: например, 1) а) 12; б) 1; 2) а) 987; б) 941.

№ 161

Подбери значения $a$ и $c$ (три варианта), чтобы на 60 делилось 1) $a + 772 - c$; 2) $891 - a + c$.

Как думать. Подгоняем ответ под «круглое» число, кратное 60: 780 = 60·13, 840 = 60·14, 900 = 60·15.

Решение.

1. Нужно $772 + a - c = 780$ или 840. Варианты: $a = 9$, $c = 1$ (780); $a = 20$, $c = 12$ (780); $a = 88$, $c = 20$ (840).
2. Нужно $891 - a + c = 840$ или 900. Варианты: $a = 52$, $c = 1$ (840); $a = 60$, $c = 9$ (840); $a = 1$, $c = 10$ (900).

Ответ: например, 1) (9; 1), (20; 12), (88; 20); 2) (52; 1), (60; 9), (1; 10).

№ 162

Делится ли $845 + y$ на 5, если $y$ — чётное число? Сколько ответов может быть?

Как думать. 845 делится на 5. Значит, сумма делится на 5 только тогда, когда $y$ делится на 5.

Решение.

1. Если $y$ чётное и делится на 5 (то есть оканчивается нулём: 10, 20…), сумма делится: $845 + 10 = 855$.
2. Если $y$ чётное, но не делится на 5 (2, 4, 6…), сумма не делится: $845 + 2 = 847$.

Ответ: два ответа: делится, если $y$ оканчивается на 0; не делится в остальных случаях.

Уровень C

№ 163

Докажи, что делятся на 2: $64x$; $38(x - y)$; $216xyz$.

Как думать. Хватит одного чётного множителя.

Решение. $64 = 2 \cdot 32$, $38 = 2 \cdot 19$, $216 = 2 \cdot 108$. В каждом произведении есть множитель, делящийся на 2, значит, всё произведение делится на 2.

Ответ: все три выражения кратны 2.

№ 164

Подбери по два числа, чтобы делились на 5: 1) $628 + 26x$; 2) $1534y - 22$; 3) $n + 916 \cdot 25$.

Как думать. Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5. Следим за последней цифрой.

Решение.

1. $x = 2$: $628 + 52 = 680$. $x = 7$: $628 + 182 = 810$.
2. $y = 3$: $4602 - 22 = 4580$. $y = 8$: $12,272 - 22 = 12,250$.
3. $916 \cdot 25$ делится на 5 (множитель 25). Значит, $n$ должно делиться на 5: $n = 5$ или $n = 10$.

Ответ: например, 1) 2 и 7; 2) 3 и 8; 3) 5 и 10.

№ 165

Сумма трёх последовательных натуральных чисел — простое или составное число?

Как думать. Попробуй несколько примеров и заметь, на что всегда делится сумма.

Решение. Сумма трёх подряд идущих чисел в 3 раза больше среднего, поэтому делится на 3 и больше 3.

Ответ: составным числом.

Подготовьте сообщение

№ 166

Расскажи о Пифагоре и его учениках. Какие совершенные числа они знали?

Решение. Пример сообщения.

Пифагор жил в Древней Греции около 2500 лет назад. Его ученики — пифагорейцы — верили, что «всё есть число», и много изучали делимость. Они делили числа на чётные и нечётные, «дружественные» и «совершенные».

Совершенное число равно сумме всех своих делителей, кроме самого себя. Например, $6 = 1 + 2 + 3$ и $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$. Древним грекам были известны 6, 28, 496 и 8128.

🌟 Сейчас известно всего около 50 совершенных чисел, и все они чётные. Есть ли нечётное совершенное число — никто до сих пор не знает!

Ответ: сообщение выше; совершенные числа 6, 28, 496, 8128.

Готовимся к следующей теме

№ 167

Из чисел 1234; 4320; 13 271; 502 025; 373 819; 63 633 выпиши те, что оканчиваются 1) чётной цифрой; 2) нечётной.

Решение. 1) 1234 (на 4), 4320 (на 0). 2) 13 271, 502 025, 373 819, 63 633.

Ответ: 1) 1234; 4320; 2) 13 271; 502 025; 373 819; 63 633.

№ 168

Проверь, делятся ли на 2 однозначные числа, записанные 1) чётными цифрами; 2) нечётными.

Решение. 1) 2, 4, 6, 8 — делятся на 2. 2) 1, 3, 5, 7, 9 — не делятся.

Ответ: 1) делятся; 2) не делятся.

№ 169

Запиши восемь чисел, кратных и 2, и 5. Какая у них последняя цифра? Делятся ли они на 25? Какими цифрами оканчиваются числа, делящиеся на 25?

Решение.

1. 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 — все оканчиваются на 0.
2. На 25 из них делится только 50. Остальные нет.
3. Числа, кратные 25: 25, 50, 75, 100, 125… Они оканчиваются на 25, 50, 75 или 00.

Ответ: последняя цифра 0; на 25 делится только 50; кратные 25 оканчиваются на 00, 25, 50, 75.

№ 170

Какими цифрами оканчиваются двузначные числа от 35 до 50 (больше 34, меньше 51), которые делятся 1) на 5; 2) на 10? Есть ли числа, делящиеся и на 5, и на 10?

Решение.

1. На 5: 35, 40, 45, 50 — оканчиваются на 5 или 0.
2. На 10: 40, 50 — оканчиваются на 0.
3. И на 5, и на 10 делятся 40 и 50.

Ответ: 1) на 0 или 5; 2) на 0; да, 40 и 50.

Шпаргалка

• Все слагаемые делятся на $d$ → сумма делится на $d$.
• Уменьшаемое и вычитаемое делятся на $d$ → разность делится на $d$.
• Одно делится, другое нет → ни сумма, ни разность не делятся.
• Хоть один множитель делится на $d$ → произведение делится на $d$.
• Если оба числа не делятся — нужно считать.

Мини-тест