§ 9. Последовательность из натуральных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 1: Натуральные числа и нуль. Страницы 46–49.

Чему научишься

• Понимать, что такое последовательность из натуральных чисел.
• Задавать последовательность словами: «все чётные однозначные по возрастанию».
• Находить закономерность и продолжать ряд.
• Находить пропущенные числа.

Разминка

Это задания № 121 из прошлого урока.

• Сколько чисел от 10 до 19 включительно? 10 чисел: 5 чётных и 5 нечётных.
• Нечётные однозначные числа от 3 (включая) и меньше 9? 3, 5, 7.
• Чётные числа больше 41, но не больше 50? 42, 44, 46, 48, 50.
• Все числа от 562 до 568 включительно? 562, 563, 564, 565, 566, 567, 568 — их 7.

💡 Заметил? Каждый раз ты выписывал числа по какому-то правилу. Такой ряд чисел и называется последовательностью.

Разбираемся

Числа, выстроенные в ряд

Запиши несколько натуральных чисел одно за другим: 19, 5, 28, 373, 290, 11. Это уже последовательность из натуральных чисел. Здесь важен порядок: кто первый, кто второй, кто третий.

Чаще всего числа ставят в ряд не как попало, а по правилу. Например: «все однозначные чётные числа по возрастанию». Получится 0, 2, 4, 6, 8.

📌 Последовательность можно задать словами: объяснить, из каких чисел она состоит и в каком порядке они идут.

Ищем закономерность

Закономерность — это правило, по которому составлен ряд. Посмотри: 4, 8, 12, 16, 20, 24… Каждое следующее число на 4 больше. Это числа, которые делятся на 4, по возрастанию.

А вот ряд 1, 4, 9, 16, 25… Тут разница каждый раз растёт: +3, +5, +7, +9. Это числа $1 \cdot 1$, $2 \cdot 2$, $3 \cdot 3$… — квадраты.

💡 Как искать правило? Сначала посмотри на разности соседних чисел. Не помогло — проверь, во сколько раз числа растут. Потом попробуй сложить два соседних.

Сколько чисел в последовательности?

Сколько угодно! В ряду 0, 2, 4, 6, 8 — пять чисел, конец есть. А ряд 4, 8, 12, 16… можно продолжать бесконечно — многоточие как раз это и показывает.

⚠️ Частая ошибка. Находят правило по первым двум числам и спешат. 2, 3, 5, 8: «+1, +2, ну дальше +3»? Нет! Проверь на всех числах: $2 + 3 = 5$, $3 + 5 = 8$ — каждое равно сумме двух предыдущих.

Пропущенное число

В ряду нечётных однозначных чисел 3, 9, 1, 7 не хватает одного. Нечётные однозначные — это 1, 3, 5, 7, 9. Пропало 5.

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте в «угадай правило»: вы называете 3–4 числа, ребёнок продолжает и объясняет правило вслух. Начните с простого (+2, ×2), потом усложняйте.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Приведи пример последовательности из натуральных чисел. 5, 10, 15, 20, 25 — числа, кратные 5, по возрастанию.
• Сколько чисел может быть в последовательности? Сколько угодно: несколько штук или бесконечно много.
• Что значит «выявить закономерность»? Найти правило, по которому составлен ряд, и проверить его на всех числах.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 123

Выпиши по возрастанию: 1) двузначные числа, которые делятся на 33; 2) трёхзначные числа, которые делятся на 100.

Как думать. Умножаем 33 (или 100) на 1, 2, 3… и берём только нужное количество цифр.

Решение.

1. $33 \cdot 1 = 33$, $33 \cdot 2 = 66$, $33 \cdot 3 = 99$. Дальше $33 \cdot 4 = 132$ — уже трёхзначное.
2. $100, 200, 300, …, 900$. Следующее, 1000, — четырёхзначное.

Ответ: 1) 33, 66, 99; 2) 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900.

№ 124

Какие двузначные числа больше 52, но меньше 60, пропущены в ряду 54, 57, 59?

Как думать. Выпиши все числа от 53 до 59 и вычеркни те, что уже есть.

Решение. Между 52 и 60: 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. Есть 54, 57, 59. Остались 53, 55, 56, 58.

Ответ: 53, 55, 56, 58.

№ 125

Как составлены ряды: 1) 4, 6, 9, 8; 2) 98, 96, 94, 92, 90?

Как думать. Проверь, что общего у всех чисел ряда и в каком они порядке.

Решение.

1. Все числа однозначные. И каждое можно получить умножением двух чисел больше 1: $4 = 2 \cdot 2$, $6 = 2 \cdot 3$, $8 = 2 \cdot 4$, $9 = 3 \cdot 3$. Других таких однозначных чисел нет. Записаны они не по порядку.
2. Чётные двузначные числа от 98 до 90 по убыванию: каждое на 2 меньше предыдущего.

Ответ: 1) все однозначные числа, которые раскладываются в произведение двух множителей больше 1 (в следующей главе их назовут составными), в произвольном порядке; 2) чётные числа от 98 до 90 по убыванию.

Уровень B

№ 126

Найди правило и допиши два числа: 1) 5, 6, 8, 11, 15, 20, …; 2) 2, 3, 5, 8, 13, 21, …; 3) 45, 44, 42, 39, 35, …; 4) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …; 5) 1, 8, 27, 64, 125, 216, …; 6) 2, 9, 28, 65, 126, 217, …

Как думать. Для каждого ряда выпиши разности соседних чисел. Если не помогает — попробуй умножение.

Решение.

1. Разности +1, +2, +3, +4, +5. Дальше +6 и +7: $20 + 6 = 26$, $26 + 7 = 33$.
2. Каждое — сумма двух предыдущих: $13 + 21 = 34$, $21 + 34 = 55$.
3. Разности −1, −2, −3, −4. Дальше −5 и −6: $35 - 5 = 30$, $30 - 6 = 24$.
4. Квадраты: $1 \cdot 1$, $2 \cdot 2$, …, $7 \cdot 7$. Дальше $8 \cdot 8 = 64$, $9 \cdot 9 = 81$.
5. Кубы: $1 \cdot 1 \cdot 1$, $2 \cdot 2 \cdot 2$, … Дальше $7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$, $8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$.
6. Это кубы плюс 1: $1 + 1 = 2$, $8 + 1 = 9$, $27 + 1 = 28$… Дальше $343 + 1 = 344$, $512 + 1 = 513$.

Ответ: 1) 26, 33; 2) 34, 55; 3) 30, 24; 4) 64, 81; 5) 343, 512; 6) 344, 513.

🌟 Ряд 2, 3, 5, 8, 13, 21… — кусочек знаменитой последовательности Фибоначчи. Её числа прячутся в природе: в спиралях подсолнуха и шишки.

№ 127

Найди правило и вставь пропущенное число: 1) 8, 16, 24, …, 40, 48; 2) 64, 32, 16, …, 4, 2; 3) 5, 6, 11, 17, 28, …; 4) 3, 10, 26, 72, 196, …

Как думать. В первых двух рядах правило простое. В третьем и четвёртом смотри на два соседних числа сразу.

Решение.

1. Шаг +8: $24 + 8 = 32$; проверка $32 + 8 = 40$.
2. Каждое в 2 раза меньше: $16 : 2 = 8$; проверка $8 : 2 = 4$.
3. Каждое — сумма двух предыдущих: $5 + 6 = 11$, $6 + 11 = 17$, $11 + 17 = 28$. Дальше $17 + 28 = 45$.
4. Каждое — удвоенная сумма двух предыдущих (по шагам в виджете): $(72 + 196) \cdot 2 = 536$.

Ответ: 1) 32; 2) 8; 3) 45; 4) 536.

№ 128

*Три треугольника, в каждом 4 числа: сверху, слева, справа и в центре. 1-й: 2, 8, 4, в центре 14. 2-й: 3, 9, 6, в центре 18. 3-й: 5, 15, 10, в центре *. Какое число вместо ?

Как думать. Ищем, как центр связан с тремя другими числами. Проверяем догадку на двух треугольниках.

Решение.

1. Первый: $2 + 8 + 4 = 14$ — совпадает с центром.
2. Второй: $3 + 9 + 6 = 18$ — тоже совпадает.
3. Третий: $5 + 15 + 10 = 30$.

Ответ: 30.

Математика в жизни моей семьи

№ 129

1) Составь неубывающий ряд: а) дней рождения, б) месяцев рождения, в) годов рождения членов семьи. 2) Составь невозрастающий ряд времени, которое члены семьи смотрели телевизор позавчера, вчера и сегодня.

Как думать. «Неубывающий» — каждое следующее число не меньше предыдущего: повторы можно. «Невозрастающий» — каждое следующее не больше.

Решение (пример). Семья: папа (родился 17.04.1985), мама (03.09.1988), бабушка (17.01.1960), сын (25.04.2015).

1. а) Дни: 3, 17, 17, 25. б) Месяцы: 1, 4, 4, 9. в) Годы: 1960, 1985, 1988, 2015.
2. Время у телевизора за три дня (у бабушки): позавчера 120 мин, вчера 90 мин, сегодня 90 мин. Ряд 120, 90, 90 — невозрастающий.

Ответ: у каждой семьи свой; в «неубывающем» ряду равные числа идут рядом, и ни одно не меньше предыдущего.

Уровень C

Подготовьте сообщение

№ 130

Расскажи об учёном Леонардо Пизанском (Фибоначчи) и его последовательности, где каждое число — сумма двух предыдущих.

Как думать. План сообщения: кто он, чем знаменит, что за ряд, где он встречается. Данные проверь по энциклопедии.

Решение (пример сообщения). Леонардо Пизанский жил в Италии примерно в 1170–1250 годах. В юности он путешествовал с отцом-купцом по Северной Африке и Востоку и изучил индийско-арабские цифры. В «Книге абака» он рассказал европейцам о цифрах 0–9 и о счёте с ними. Там же есть задача о кроликах, из которой получается ряд 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… Каждое число — сумма двух предыдущих. Этот ряд встречается в природе: в спиралях семечек подсолнуха, чешуек шишки и ананаса.

Ответ: пример сообщения — выше.

Готовимся к следующей теме

№ 131

Найди неизвестные компоненты деления: 1) делимое 16 192, делитель 46; 2) делимое 24 212, делитель 34; 3) делитель 83, частное 822, остаток 0; 4) делитель 65, частное 934, остаток 50; 5) делимое 374, частное 34, остаток 0; 6) делимое 495, частное 41, остаток 3.

Как думать. Делимое = делитель · частное + остаток. Делитель = (делимое − остаток) : частное.

Решение.

1. $16,192 : 46 = 352$ (остатка нет).
2. $24,212 : 34 = 712$ (ост. 4). Проверка: $34 \cdot 712 + 4 = 24,208 + 4 = 24,212$.
3. Делимое: $83 \cdot 822 = 68,226$.
4. Делимое: $65 \cdot 934 + 50 = 60,710 + 50 = 60,760$.
5. Делитель: $374 : 34 = 11$.
6. Делитель: $(495 - 3) : 41 = 492 : 41 = 12$.

Ответ: 1) 352; 2) 712 (ост. 4); 3) 68 226; 4) 60 760; 5) 11; 6) 12.

№ 132

1) Раздели с остатком на 7: 0, 15, 253, 621, 3444; выпиши те, что делятся на 7. 2) Запиши пять чисел, которые делятся только на 1 и на себя. 3) Докажи, что 8 и 15 делятся на четыре числа. 4) Что 16 делится на пять чисел. 5) Что 20 делится на шесть чисел.

Как думать. Чтобы найти все числа, на которые делится данное, перебирай делители по парам: $1 \cdot 20$, $2 \cdot 10$, $4 \cdot 5$.

Решение.

1. $0 : 7 = 0$ (ост. 0); $15 : 7 = 2$ (ост. 1); $253 : 7 = 36$ (ост. 1); $621 : 7 = 88$ (ост. 5); $3444 : 7 = 492$ (ост. 0). Делятся на 7: 0 и 3444.
2. Например: 2, 3, 5, 7, 11.
3. 8 делится на 1, 2, 4, 8; 15 делится на 1, 3, 5, 15 — по четыре числа.
4. 16 делится на 1, 2, 4, 8, 16 — пять чисел.
5. 20 делится на 1, 2, 4, 5, 10, 20 — шесть чисел.

Ответ: 1) делятся на 7: 0 и 3444; 2) 2, 3, 5, 7, 11; 3)–5) списки делителей выше.

Шпаргалка

• В последовательности важен порядок чисел.
• Чисел может быть сколько угодно, даже бесконечно много.
• Нашёл правило — проверь его на всех числах ряда.
• Пропущенное число ищи по тому же правилу.

Мини-тест