§ 12. Признаки делимости на числа 2, 3, 5, 9, 10

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 2: Делимость натуральных чисел. Страницы 58–62.

Чему научишься

• С одного взгляда на последнюю цифру узнавать, делится ли число на 2, 5 и 10.
• По сумме цифр узнавать, делится ли число на 3 и 9.
• Подбирать цифры так, чтобы число делилось на нужное.
• Комбинировать признаки: например, проверять делимость на 6.

Разминка

Это задания № 167–170 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Какие из чисел 1234; 4320; 13 271; 502 025 оканчиваются чётной цифрой? 1234 и 4320.
• Делятся ли на 2 однозначные числа, записанные нечётными цифрами? Нет: 1, 3, 5, 7, 9 на 2 не делятся.
• Какой цифрой оканчиваются числа, кратные и 2, и 5? Нулём: 10, 20, 30…
• Какими цифрами оканчиваются числа, кратные 25? На 00, 25, 50 или 75.
• Какие числа от 35 до 50 делятся и на 5, и на 10? 40 и 50.

💡 Видишь? Чтобы узнать, делится ли число на 2, 5 или 10, хватает последней цифры. Сегодня поймём почему — и узнаем ещё два фокуса.

Разбираемся

Почему важна только последняя цифра

Разложим число 784 на разрядные слагаемые: $784 = 7 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 4$. Числа 100 и 10 делятся на 2, значит, $7 \cdot 100$ и $8 \cdot 10$ тоже делятся. Всё решает последнее слагаемое — цифра единиц 4. Она чётная, поэтому 784 делится на 2.

А $789 = 7 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 9$: две части делятся на 2, а 9 — нет. Значит, 789 не делится на 2.

📌 Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается чётной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8.

То же рассуждение работает для 5 и 10: 10 и 100 делятся на них.

📌 На 5 делятся числа, которые оканчиваются на 0 или 5. На 10 — числа, которые оканчиваются на 0.

⚠️ Частая ошибка. Смотрят на первую цифру, а не на последнюю. 4 321 — первая цифра чётная, но число нечётное: оно оканчивается на 1.

Фокус с суммой цифр

Посмотри на таблицу. Сложим цифры числа:

Ответы в столбцах совпадают всегда! Это и есть признак.

📌 Признак делимости на 3. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

🌟 Почему так? Потому что $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, $1000 = 999 + 1$. Например, $963 = 9 \cdot 99 + 6 \cdot 9 + (9 + 6 + 3)$. Первые две части делятся на 9, а остаётся как раз сумма цифр!

Потренируйся — найди числа, делящиеся на 3:

👨‍👩‍👧 Родителю. Сыграйте в «номера машин»: на прогулке называйте номер увиденной машины, а ребёнок говорит, делится ли он на 3 или 9. Через пару дней признак запомнится навсегда.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как по записи узнать, делится ли число на 2, 3, 5, 9, 10? На 2 — последняя цифра чётная. На 5 — последняя цифра 0 или 5. На 10 — последняя цифра 0. На 3 и на 9 — сумма цифр делится на 3 (на 9).
• Если число делится на 10, делится ли оно на 2? Да. Оно оканчивается на 0, а 0 — чётная цифра.
• Если число делится на 9, делится ли оно на 3? Да. Сумма цифр делится на 9, а значит, и на 3, ведь $9 = 3 \cdot 3$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 171

Из чисел 31; 42; 63; 415; 702; 1005; 1110 выбери делящиеся 1) на 2; 2) на 3; 3) на 5; 4) на 9; 5) на 10.

Как думать. Сначала посчитай суммы цифр: 31 → 4, 42 → 6, 63 → 9, 415 → 10, 702 → 9, 1005 → 6, 1110 → 3.

Решение.

1. На 2 (чётная последняя цифра): 42, 702, 1110.
2. На 3 (сумма цифр делится на 3): 42, 63, 702, 1005, 1110.
3. На 5 (на 0 или 5): 415, 1005, 1110.
4. На 9 (сумма цифр 9 или 18…): 63, 702.
5. На 10 (на 0): 1110.

Ответ: 1) 42; 702; 1110; 2) 42; 63; 702; 1005; 1110; 3) 415; 1005; 1110; 4) 63; 702; 5) 1110.

№ 172

Запиши по два числа, которые делятся 1) на 2; 2) на 3; 3) на 5; 4) на 9; 5) на 10.

Решение. 1) 14, 236. 2) 21, 111. 3) 25, 405. 4) 81, 927. 5) 70, 1500.

Ответ: например, 14 и 236; 21 и 111; 25 и 405; 81 и 927; 70 и 1500.

№ 173

1) На каждом этаже 3 квартиры. Может ли в подъезде быть 27, 32, 69 квартир? 2) Дети получили по 5 одинаковых подарков. Могло ли во всех подарках быть 44, 65, 80 конфет? 3) Купили 10 одинаковых наборов бумаги. Могло ли в них быть 59, 75, 90 листов?

Как думать. Число квартир должно делиться на 3, конфет — на 5, листов — на 10.

Решение.

1. 27 (сумма цифр 9) — да; 32 (сумма 5) — нет; 69 (сумма 15) — да.
2. 44 — нет; 65 — да; 80 — да.
3. 59 — нет; 75 — нет; 90 — да.

Ответ: 1) 27 и 69 — да, 32 — нет; 2) 65 и 80 — да, 44 — нет; 3) только 90.

№ 174

Назови все числа больше 9 и меньше 29, которые делятся и на 3, и на 5.

Как думать. Делится на 5 — оканчивается на 0 или 5: 10, 15, 20, 25. Из них на 3 делится только 15.

Решение. 10 (сумма 1), 15 (сумма 6 ✓), 20 (сумма 2), 25 (сумма 7).

Ответ: 15.

№ 175

Запиши все числа больше 311 и меньше 331, которые делятся 1) на 2 и на 5; 2) на 2, на 3 и на 5.

Как думать. На 2 и на 5 сразу — значит, оканчивается на 0.

Решение.

1. Числа на 0 между 311 и 331: 320, 330.
2. Проверяем делимость на 3: $3 + 2 + 0 = 5$ — нет; $3 + 3 + 0 = 6$ — да.

Ответ: 1) 320; 330; 2) 330.

№ 176

Можно ли сказать, что 502 011; 331 102; 814 401 — составные числа? Объясни.

Как думать. Если у числа есть делитель, кроме 1 и самого себя, оно составное.

Решение.

1. 502 011: сумма цифр $5 + 0 + 2 + 0 + 1 + 1 = 9$ — делится на 3. Составное.
2. 331 102 оканчивается на 2 — делится на 2. Составное.
3. 814 401: сумма цифр $8 + 1 + 4 + 4 + 0 + 1 = 18$ — делится на 3 (и на 9). Составное.

Ответ: да, все три составные.

№ 177

Из цифр 0, 2, 5 составь все трёхзначные числа, которые делятся сразу на 2, 5 и 10.

Как думать. Делится на 10 — значит, оканчивается на 0. Такое число автоматически делится и на 2, и на 5.

Решение. На конце 0, впереди 2 и 5 в двух порядках: 250 и 520.

Ответ: 250; 520. (Если цифры можно повторять, подходят ещё 200, 220, 500, 550.)

№ 178

Выбери из 18; 46; 63; 222; 303; 846 числа, делящиеся и на 2, и на 3.

Как думать. Сначала отбираем чётные, потом проверяем сумму цифр.

Решение. Чётные: 18, 46, 222, 846. Суммы цифр: 9, 10, 6, 18. Не подходит только 46.

Ответ: 18; 222; 846.

№ 179

1) Наибольшее трёхзначное число, делящееся на 2 и на 3. 2) Наименьшее четырёхзначное, делящееся на 5 и на 9. Делится ли оно на 3? 3) Наименьшее пятизначное, делящееся на 9 и на 10. Делится ли оно на 2?

Как думать. Идём от самого большого (или маленького) числа и проверяем признаки.

Решение.

1. 998 — сумма 26, нет. 996 — чётное, сумма 24 ✓. Ответ 996.
2. Оканчивается на 0 или 5, сумма цифр 9: 1000 (1), 1005 (6), 1010 (2)… 1035 (9) ✓. Сумма 9 делится на 3 — значит, и число делится на 3.
3. Оканчивается на 0, сумма цифр 9: 10 080 ($1 + 8 = 9$) ✓. Оканчивается на 0 — делится на 2.

Ответ: 1) 996; 2) 1035, делится на 3; 3) 10 080, делится на 2.

№ 180

Припиши к числам 6; 97; 658; 2008 цифру слева и цифру справа, чтобы новое число делилось на 2, на 5, на 9 (каждый столбец таблицы — своё число).

Как думать. Для 2 и 5 важна только цифра справа. Для 9 подбираем две цифры так, чтобы сумма всех цифр стала 9, 18 или 27.

Решение.

Ответ: например, как в таблице (возможны и другие варианты).

№ 181

Для каких $x$, кратных 5, верно: 1) $19 < x < 33$; 2) $21 < x < 41$; 3) $84 < x < 97$?

Решение. 1) 20, 25, 30. 2) 25, 30, 35, 40. 3) 85, 90, 95.

Ответ: 1) 20; 25; 30; 2) 25; 30; 35; 40; 3) 85; 90; 95.

Уровень B

№ 182

Из цифр 1; 4; 0; 7 составь: 1) двузначные числа, делящиеся на 3; 2) трёхзначные, делящиеся на 2; 3) трёхзначные, делящиеся на 2 и на 5.

Как думать. В пункте 1 переберём все пары цифр — здесь есть подвох! В пунктах 2 и 3 цифры не повторяем.

Решение.

1. Суммы двух разных цифр: $1 + 4 = 5$, $1 + 0 = 1$, $1 + 7 = 8$, $4 + 0 = 4$, $4 + 7 = 11$, $0 + 7 = 7$. Ни одна не делится на 3! Даже если повторять цифры (11, 44, 77 — суммы 2, 8, 14), ничего не выходит. Такое число составить нельзя.
2. Последняя цифра 0 или 4. На 0: 140, 170, 410, 470, 710, 740. На 4: 104, 174, 704, 714.
3. Последняя цифра 0: 140, 170, 410, 470, 710, 740.

Ответ: 1) таких чисел нет; 2) 104, 140, 170, 174, 410, 470, 704, 710, 714, 740; 3) 140, 170, 410, 470, 710, 740.

№ 183

Найди по два числа, чтобы 1) $a + 47$ делилось на 5; 2) $b - 29$ делилось на 9.

Решение.

1. $a = 3$: $50$; $a = 8$: $55$.
2. $b = 38$: $38 - 29 = 9$; $b = 47$: $47 - 29 = 18$.

Ответ: например, 1) 3 и 8; 2) 38 и 47.

№ 184

Между какими ближайшими числами, кратными 3, находится 1) 29; 2) 71; 3) 167?

Как думать. Ищем ближайшие числа слева и справа, у которых сумма цифр делится на 3.

Решение.

1. 27 ($2 + 7 = 9$) и 30.
2. 69 ($6 + 9 = 15$) и 72 ($7 + 2 = 9$).
3. 165 ($1 + 6 + 5 = 12$) и 168 ($1 + 6 + 8 = 15$).

Ответ: 1) 27 и 30; 2) 69 и 72; 3) 165 и 168.

№ 185

Наибольшее трёхзначное число, которое 1) делится на 3; 2) не делится на 3; 3) делится на 2 и на 3; 4) не делится ни на 2, ни на 3. Проверь, делится ли каждое на 6. Сформулируй признак делимости на 6.

Как думать. Начинаем с 999 и спускаемся вниз.

Решение.

1. 999 — сумма 27, делится на 3.
2. 998 — сумма 26, не делится на 3.
3. 998 не подходит, 996 — чётное, сумма 24 ✓.
4. 999 делится на 3, 998 чётное, 997 — нечётное, сумма 25 ✓.
5. На 6 делится только 996: оно делится и на 2, и на 3.

Ответ: 1) 999; 2) 998; 3) 996; 4) 997. На 6 делится только 996.

📌 Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3: оно чётное, и сумма его цифр делится на 3.

№ 186

Наименьшее четырёхзначное число, которое 1) делится на 3, но не на 5; 2) делится на 5, но не на 7; 3) делится на 9, но не на 10; 4) делится на 7, но не на 9.

Решение.

1. 1002: сумма 3, оканчивается на 2.
2. 1000: оканчивается на 0; $1000 = 7 \cdot 142 + 6$ — на 7 не делится.
3. 1008: сумма 9, оканчивается на 8.
4. 1001: $1001 = 7 \cdot 143$; сумма цифр 2 — на 9 не делится.

Ответ: 1) 1002; 2) 1000; 3) 1008; 4) 1001.

№ 187

Запиши все двузначные числа больше 79 и меньше 97, которые не кратны ни 3, ни 5.

Как думать. Вычёркиваем числа на 0 и 5, потом числа с суммой цифр, кратной 3.

Решение. Числа 80–96. Вычёркиваем кратные 5: 80, 85, 90, 95. Кратные 3: 81, 84, 87, 93, 96. Остаются 82, 83, 86, 88, 89, 91, 92, 94.

Ответ: 82; 83; 86; 88; 89; 91; 92; 94.

№ 188

Запиши, если можно: 1) число из одних пятёрок, делящееся на 9; 2) трёхзначное, делящееся на 3 и на 5, но не на 10; 3) трёхзначное, делящееся на 2 и на 9, но не на 5; 4) трёхзначное, не делящееся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 9.

Как думать. В пункте 1 сумма цифр $5 + 5 + … $ должна делиться на 9. Это случится, когда пятёрок будет 9: $5 \cdot 9 = 45$.

Решение.

1. 555 555 555 — сумма цифр 45, делится на 9.
2. Оканчивается на 5 (не на 0), сумма цифр кратна 3: 105.
3. Чётное, не на 0, сумма цифр кратна 9: 108.
4. Нечётное, не на 5, сумма цифр не кратна 3: 101.

Ответ: например, 1) 555 555 555; 2) 105; 3) 108; 4) 101.

Уровень C

№ 189

1) $x$ нечётное. Чётно ли $5x$? 2) $a$ не делится на 3. Делится ли $16a$ на 6? 3) $8b$ делится на 10. Делится ли $12b$ на 10?

Как думать. Смотрим, какие «кусочки» есть в каждом множителе.

Решение.

1. 5 — нечётное, $x$ — нечётное. Нечётное умножить на нечётное — нечётное. Значит, $5x$ не чётное. Пример: $5 \cdot 3 = 15$.
2. Чтобы делиться на 6, число должно делиться на 3. Но ни 16, ни $a$ на 3 не делятся, а 3 — простое число. Значит, $16a$ на 3 не делится, и на 6 тоже. Пример: $16 \cdot 2 = 32$.
3. $8b$ делится на 10, значит, на 5. У 8 нет пятёрки, значит, $b$ делится на 5. Тогда $12b$ делится на 5 и чётное (12 чётное) — делится на 10. Пример: $b = 5$: $8 \cdot 5 = 40$, $12 \cdot 5 = 60$.

Ответ: 1) не является чётным; 2) не делится; 3) делится.

№ 190

1) Докажи: если к трёхзначному числу приписать справа его же цифры в обратном порядке, получится число, делящееся на 11. 2) Сформулируй признаки делимости на 4 и на 25. Какие из чисел 328; 425; 554; 196; 775; 7 589 360; 5000; 2350; 9100 делятся на 4, а какие — на 25?

Как думать. В пункте 1 раскладываем шестизначное число на разрядные слагаемые. В пункте 2 замечаем, что 100 делится и на 4, и на 25.

Решение.

1. Число $\overline{abc}$ превращается в $\overline{abccba}$. Это $100,001a + 10,010b + 1100c$. Все три коэффициента делятся на 11: $100,001 = 11 \cdot 9091$, $10,010 = 11 \cdot 910$, $1100 = 11 \cdot 100$. Значит, и сумма делится на 11. Пример: $123,321 = 11 \cdot 11,211$.
2. Любое число = (сотни) · 100 + (две последние цифры). Сотни всегда делятся на 4 и на 25, поэтому:
   • на 4 делится число, у которого две последние цифры образуют число, кратное 4;
   • на 25 — число, оканчивающееся на 00, 25, 50 или 75.
3. Проверяем: 328 (28 ✓ на 4), 425 (25 ✓ на 25), 554 (54 — ни то ни другое), 196 (96 ✓ на 4), 775 (75 ✓ на 25), 7 589 360 (60 ✓ на 4), 5000 (00 — оба), 2350 (50 ✓ на 25), 9100 (00 — оба).

Ответ: на 4: 328; 196; 7 589 360; 5000; 9100. На 25: 425; 775; 5000; 2350; 9100.

№ 191

Какие две цифры приписать справа к 2017, чтобы число делилось на 99?

Как думать. Приписать две цифры — значит умножить 2017 на 100 и прибавить двузначное число.

Решение. $201,762 = 99 \cdot 2038$.

Ответ: 6 и 2 (число 201 762).

№ 192

Найди наименьшее пятизначное число с разными цифрами, которое делится на 89.

Как думать. Наименьшее пятизначное кратное 89 — это $89 \cdot 113$. Дальше идём по кратным, пока цифры не станут разными.

Решение.

1. $10,000 : 89 = 112$ (ост. 32), значит, начинаем с $89 \cdot 113$.
2. $89 \cdot 113 = 10,057$ — две цифры 0. Не подходит.
3. $89 \cdot 114 = 10,146$ — две цифры 1. Не подходит.
4. $89 \cdot 115 = 10,235$ — цифры 1, 0, 2, 3, 5 разные ✓.

Ответ: 10 235.

Готовимся к следующей теме

№ 193

Замени, если можно, квадратом или кубом: 1) $2 \cdot 2$; 2) $11 \cdot 11$; 3) $2 \cdot 2 \cdot 3$; 4) $21 \cdot 21 \cdot 21$; 5) $22 \cdot 2$.

Как думать. Квадрат — два одинаковых множителя, куб — три одинаковых.

Решение.

1. $2 \cdot 2 = 2^2$.
2. $11 \cdot 11 = 11^2$.
3. $2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$ — квадратом можно заменить только часть.
4. $21 \cdot 21 \cdot 21 = 21^3$.
5. $22 \cdot 2$ — множители разные, заменить нельзя.

Ответ: 1) $2^2$; 2) $11^2$; 3) $2^2 \cdot 3$; 4) $21^3$; 5) нельзя.

№ 194

1) Найди площадь квадрата и объём куба со стороной а) 2 см; б) 3 см; в) $a$ см; г) $b$ см. 2) Сколько литров вмещает куб с ребром $a$ дм? Какова площадь его дна? 3) Сколько литров вмещает кубическая ёмкость с площадью дна 9 дм²?

Как думать. Площадь квадрата — сторона на сторону, объём куба — три раза сторона. 1 дм³ = 1 л.

Решение.

1. а) $2 \cdot 2 = 4$ см², $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ см³; б) 9 см², 27 см³; в) $a \cdot a$ см², $a \cdot a \cdot a$ см³; г) $b \cdot b$ см², $b \cdot b \cdot b$ см³.
2. Объём $a \cdot a \cdot a$ дм³ — это $a \cdot a \cdot a$ литров. Площадь дна $a \cdot a$ дм².
3. Дно 9 дм², значит, ребро 3 дм ($3 \cdot 3 = 9$). Объём $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ дм³ = 27 л.

Ответ: 1) 4 см² и 8 см³; 9 см² и 27 см³; $a \cdot a$ см² и $a \cdot a \cdot a$ см³; $b \cdot b$ см² и $b \cdot b \cdot b$ см³; 2) $a \cdot a \cdot a$ л, $a \cdot a$ дм²; 3) 27 л.

Шпаргалка

• На 2, 5, 10 смотрим на последнюю цифру.
• На 3 и 9 смотрим на сумму цифр.
• Делится на 10 → делится и на 2, и на 5.
• Делится на 9 → делится и на 3 (но не наоборот: 12).
• На 6 — это «на 2 и на 3 одновременно».

Мини-тест