§ 13. Степень

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 2: Делимость натуральных чисел. Страницы 63–66.

Чему научишься

• Записывать произведение одинаковых множителей коротко — степенью.
• Называть основание и показатель степени.
• Читать $7^{2}$ как «семь в квадрате», а $7^{3}$ — как «семь в кубе».
• Быстро считать степени числа 10 и записывать числа через них.

Разминка

Это задания № 193 и 194 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Как короче записать $2 \cdot 2$ и $11 \cdot 11$? Квадратами: $2^{2}$ и $11^{2}$.
• А $21 \cdot 21 \cdot 21$? Это куб: $21^{3}$.
• Можно ли так записать $2 \cdot 2 \cdot 3$ и $22 \cdot 2$? Целиком — нет, множители разные. Но частично можно: $2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3$, а $22 \cdot 2 = 2 \cdot 11 \cdot 2 = 2^{2} \cdot 11$.
• Площадь квадрата и объём куба со стороной 2 см? А 3 см? 4 см² и 8 см³; 9 см² и 27 см³. Со стороной $a$ см: $a \cdot a$ см² и $a \cdot a \cdot a$ см³. Со стороной $b$ см — так же, через $b$.
• Куб со стороной $a$ дм — сколько в нём литров? 1 дм³ = 1 л, значит, $a \cdot a \cdot a$ л. Площадь дна — $a \cdot a$ дм².
• Сколько литров в кубе, если площадь дна 9 дм²? Дно $3 \cdot 3 = 9$, значит, сторона 3 дм. Объём $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ л.

💡 Заметил? Для площади квадрата сторону умножают саму на себя 2 раза, а для объёма куба — 3 раза. Отсюда и названия «квадрат» и «куб» числа.

Разбираемся

Сумма → произведение → степень

Ты давно знаешь трюк: $7 + 7 + 7 + 7 = 7 \cdot 4$. Длинную сумму одинаковых слагаемых заменили умножением.

С умножением можно сделать то же самое! $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 7^{4}$. Такая запись называется степенью.

📌 В записи $7^{4}$ число 7 — основание (что умножаем), 4 — показатель (сколько раз берём множитель), а вся запись $7^{4}$ — степень.

🌟 Говори правильно. $7^{4}$ читают «семь в степени четыре» или «семь в четвёртой степени».

Почему $2^{5} = 32$? Считаем: $2 \cdot 2 = 4$, $4 \cdot 2 = 8$, $8 \cdot 2 = 16$, $16 \cdot 2 = 32$. Пять двоек — и получилось 32.

Любое число — это степень самого себя с показателем 1: $3 = 3^{1}$, $40 = 40^{1}$, $171 = 171^{1}$.

⚠️ Частая ошибка. $2^{5}$ — это не $2 \cdot 5 = 10$! Показатель говорит, сколько раз умножить двойку саму на себя: $2^{5} = 32$.

Квадрат и куб — это правда фигуры

Число во второй степени называют квадратом: $3^{2}$ — «три в квадрате». Посмотри на клетки: квадрат со стороной 3 клетки состоит из $3 \cdot 3 = 9$ клеток.

Число в третьей степени называют кубом: $3^{3}$ — «три в кубе». Кубик-рубик $3 \times 3 \times 3$ — это 3 слоя по 9 кубиков.

Итого $9 \cdot 3 = 27$ кубиков. Значит, $3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

🌟 Говори правильно. $7^{2}$ читают «семь в квадрате», $7^{3}$ — «семь в кубе».

👨‍👩‍👧 Родителю. Если под рукой есть кубик-рубик или конструктор, соберите вместе куб $2 \times 2 \times 2$. Ребёнок сам увидит, что кубиков 8, а не 6. Это лучше любого объяснения.

Десятка в степени — сколько нулей?

Степени числа 10 — самые удобные. Смотри:

📌 10 в степени $n$ — это единица и $n$ нулей. Например, $10^{9}$ — миллиард: 1 и девять нулей.

Теперь любое число можно записать через степени десятки. Например, $87,461 = 8 \cdot 10^{4} + 7 \cdot 10^{3} + 4 \cdot 10^{2} + 6 \cdot 10 + 1$. Это десятичная запись числа.

⚠️ Частая ошибка. Запись $5 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 1$ равна 5281, но десятичной записью не считается. В десятичной записи все разряды записаны через степени 10, а тут сотня осталась числом 100. Правильно: $5 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 8 \cdot 10 + 1$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что означает число 6 в записи $4^{6}$? Это показатель: четвёрку умножают саму на себя 6 раз, $4^{6} = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$.
• Что означает число 9 в записи $9^{3}$? Это основание — число, которое умножают: $9 \cdot 9 \cdot 9$.
• Как называется выражение $10^{2}$? Степень; читают «десять в квадрате». Это квадрат числа 10, он равен 100.
• Сколько нулей в записи числа квадриллион? Квадриллион — это $10^{15}$, значит, 15 нулей.
• Почему $2^{5} = 32$? Потому что $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 195

Прочитай степени, называя вторую степень «квадратом», а третью — «кубом»: $2^{2}$, $2^{3}$, $3^{2}$, $4^{2}$, $4^{3}$, $5^{2}$.

Как думать. Показатель 2 — «в квадрате», показатель 3 — «в кубе».

Решение. $2^{2}$ — два в квадрате; $2^{3}$ — два в кубе; $3^{2}$ — три в квадрате; $4^{2}$ — четыре в квадрате; $4^{3}$ — четыре в кубе; $5^{2}$ — пять в квадрате.

Ответ: прочитано выше.

№ 196

Запиши степенью 12 произведений: от $8 \cdot 8 \cdot 8$ до $(x - y) \cdot (x - y) \cdot (x - y)$.

Как думать. Основание — тот множитель, что повторяется. Показатель — сколько раз он встречается. Если множитель в скобках или из двух букв, его тоже берём в скобки.

Решение.

1. $8^{3}$; 2) $6^{4}$; 3) $7^{5}$; 4) $15^{3}$; 5) $10^{3}$; 6) $43^{4}$; 7) $3^{5}$; 8) $8^{8}$; 9) $x^{9}$; 10) $(ab)^{7}$; 11) $(a + b)^{4}$; 12) $(x - y)^{3}$.

Ответ: $8^{3}$; $6^{4}$; $7^{5}$; $15^{3}$; $10^{3}$; $43^{4}$; $3^{5}$; $8^{8}$; $x^{9}$; $(ab)^{7}$; $(a + b)^{4}$; $(x - y)^{3}$.

⚠️ Частая ошибка. $ab \cdot ab$ — это $(ab)^{2}$, а не $ab^{2}$. Без скобок в квадрат попадёт только $b$.

№ 197

Заполни таблицу: $2^{n}$ и $3^{n}$ для $n$ от 1 до 10.

Как думать. Не считай каждый раз заново. Каждая следующая степень — это предыдущая, умноженная на основание.

Решение.

Ответ: в таблице.

🌟 $2^{10} = 1024$ — почти тысяча. Поэтому в компьютере «килобайт» долго считали равным 1024 байтам, а не 1000.

№ 198

Вычисли: $7^{2}$, $8^{2}$, $9^{2}$, $10^{2}$, $11^{2}$, $12^{2}$, $100^{2}$, $0^{3}$, $7^{3}$, $10^{3}$, $11^{3}$, $10^{5}$.

Решение.

1. $7 \cdot 7 = 49$; 2) 64; 3) 81; 4) 100; 5) 121; 6) 144; 7) $100 \cdot 100 = 10,000$; 8) $0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$; 9) $49 \cdot 7 = 343$; 10) 1000; 11) $121 \cdot 11 = 1331$; 12) 100 000.

Ответ: 49; 64; 81; 100; 121; 144; 10 000; 0; 343; 1000; 1331; 100 000.

№ 199

Вычисли степени числа 10 с показателями от 1 до 9 и прочитай числа.

Как думать. Показатель = число нулей после единицы.

Решение.

• $10^{1} = 10$ — десять;
• $10^{2} = 100$ — сто;
• $10^{3} = 1000$ — тысяча;
• $10^{4} = 10,000$ — десять тысяч;
• $10^{5} = 100,000$ — сто тысяч;
• $10^{6} = 1,000,000$ — миллион;
• $10^{7} = 10,000,000$ — десять миллионов;
• $10^{8} = 100,000,000$ — сто миллионов;
• $10^{9} = 1,000,000,000$ — миллиард.

Ответ: выше.

№ 200

Запиши произведение степенью: $9^{3} \cdot 9^{4}$; $15 \cdot 15^{2}$; $74^{3} \cdot 74^{2}$; $a^{7} \cdot a^{2}$.

Как думать. Распишем первое: $9^{3} \cdot 9^{4} = (9 \cdot 9 \cdot 9) \cdot (9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9)$ — всего 7 девяток. Показатели складываются.

Решение. 1) $9^{3+4} = 9^{7}$; 2) $15^{1} \cdot 15^{2} = 15^{3}$; 3) $74^{3+2} = 74^{5}$; 4) $a^{7+2} = a^{9}$.

Ответ: $9^{7}$; $15^{3}$; $74^{5}$; $a^{9}$.

№ 201

Запиши в десятичной записи числа из упражнения № 3: население Земли 7 309 680 851 и население 11 стран из таблицы.

Как думать. Раскладываем число на разряды и каждую «круглую» единицу разряда пишем степенью 10. Нулевые разряды пропускаем.

Решение.

Ответ: в таблице.

Уровень B

№ 202

Запиши степенью числа 8; 27; 32; 36; 49; 64; 100; 125; 144; 256; 625; 729; 10 000.

Как думать. Ищем, какое число, умноженное само на себя несколько раз, даёт данное. Помогает таблица из № 197. Некоторые числа можно записать по-разному.

Решение. $8 = 2^{3}$; $27 = 3^{3}$; $32 = 2^{5}$; $36 = 6^{2}$; $49 = 7^{2}$; $64 = 8^{2} = 4^{3} = 2^{6}$; $100 = 10^{2}$; $125 = 5^{3}$; $144 = 12^{2}$; $256 = 16^{2} = 4^{4} = 2^{8}$; $625 = 25^{2} = 5^{4}$; $729 = 27^{2} = 9^{3} = 3^{6}$; $10,000 = 100^{2} = 10^{4}$.

Ответ: выше.

№ 203

Сравни: $3 \cdot 2^{3}$ и $3^{2} \cdot 2^{2}$; $3^{3} \cdot 2$ и $3^{2} \cdot 2^{2}$; $3^{3} \cdot 2^{2}$ и $3^{2} \cdot 2^{3}$.

Как думать. Сначала степени, потом умножение. Вычисляем обе части и сравниваем.

Решение.

1. $3 \cdot 8 = 24$ и $9 \cdot 4 = 36$: $24 < 36$.
2. $27 \cdot 2 = 54$ и $36$: $54 > 36$.
3. $27 \cdot 4 = 108$ и $9 \cdot 8 = 72$: $108 > 72$.

Ответ: 1)

№ 204

Выполни действия: $68^{2} - 43 \cdot 39$; $91 \cdot 79 - 52^{2}$; $(1001 - 999)^{5} + 86$; $591 - (802 - 799)^{4}$.

Как думать. Порядок: скобки → степень → умножение → вычитание и сложение.

Решение.

1. $68^{2} = 4624$; $43 \cdot 39 = 1677$; $4624 - 1677 = 2947$.
2. $91 \cdot 79 = 7189$; $52^{2} = 2704$; $7189 - 2704 = 4485$.
3. $1001 - 999 = 2$; $2^{5} = 32$; $32 + 86 = 118$.
4. $802 - 799 = 3$; $3^{4} = 81$; $591 - 81 = 510$.

Ответ: 2947; 4485; 118; 510.

№ 205

Запиши степенью числа из предложений: сердце за день перекачивает около десяти тысяч литров крови; длина кровеносных сосудов — сто тысяч километров; в человеке больше ста триллионов клеток.

Как думать. Пишем число цифрами и считаем нули. Триллион — это 1 и 12 нулей, а сто триллионов — ещё на 2 нуля больше.

Решение.

1. 10 000 л = $10^{4}$ л.
2. 100 000 км = $10^{5}$ км.
3. 100 000 000 000 000 = $10^{14}$ клеток.

Ответ: $10^{4}$ л; $10^{5}$ км; $10^{14}$ клеток.

🌟 Сто тысяч километров сосудов — это два с половиной раза вокруг Земли по экватору!

Уровень C

№ 206

Сравни: $2^{3}$ и $3^{2}$; $2^{30}$ и $3^{20}$; $4^{3}$ и $5^{2}$; $2^{15}$ и $3^{10}$; $2^{5}$ и $8^{2}$; $2^{6}$ и $3^{4}$.

Как думать. Маленькие степени просто вычисляем. Большие ($2^{30}$, $3^{20}$) считать долго — сгруппируем множители. Тридцать двоек можно разбить на 10 троек: в каждой тройке $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Двадцать троек — на 10 пар: $3 \cdot 3 = 9$.

Решение.

1. $2^{3} = 8$, $3^{2} = 9$: $8 < 9$.
2. $2^{30} = 8^{10}$, $3^{20} = 9^{10}$. Десять восьмёрок дают меньше, чем десять девяток: $2^{30} < 3^{20}$.
3. $4^{3} = 64$, $5^{2} = 25$: $64 > 25$.
4. $2^{15} = 8^{5} = 32,768$, $3^{10} = 9^{5} = 59,049$: $2^{15} < 3^{10}$.
5. $2^{5} = 32$, $8^{2} = 64$: $32 < 64$.
6. $2^{6} = 64$, $3^{4} = 81$: $64 < 81$.

Ответ: 1)

№ 207

Сравни $31^{11}$ и $17^{14}$ со степенями числа 2, а потом между собой.

Как думать. Задача повышенной трудности. Такие числа не вычислить — в них десятки цифр. Зато 31 и 17 стоят рядом со степенями двойки: 32 и 16.

Решение. $31^{11} < 32^{11} = 2^{55}$, а $17^{14} > 16^{14} = 2^{56}$. Так как $2^{55} < 2^{56}$, получаем $31^{11} < 17^{14}$.

Ответ: $31^{11} < 2^{55}$; $17^{14} > 2^{56}$; $31^{11} < 17^{14}$.

Подготовь сообщение

№ 208

Обозначения $a^{2}$, $a^{3}$ ввёл Рене Декарт. Когда это было?

Как думать. Найди год и пару фактов о самом учёном. Даты проверь по энциклопедии.

Решение. Пример сообщения: «Рене Декарт (1596–1650) — французский математик и философ. В 1637 году вышла его книга „Геометрия“. В ней он стал писать степени так, как мы пишем сейчас: маленькое число справа сверху — $a^{2}$, $a^{3}$. До этого писали длинно, например $aaa$, или словами. Прошло почти 400 лет, а запись не изменилась».

Ответ: в 1637 году (книга «Геометрия»).

Готовимся к следующей теме

№ 209

Подставь вместо $x$ все простые числа: $0 < x < 20$; $20 < x < 60$; $60 < x < 100$; $600 < x < 620$; $770 < x < 800$; $990 < x < 1000$.

Как думать. Чётные (кроме 2) и оканчивающиеся на 5 сразу отбрасываем. Остальные проверяем на 3 (по сумме цифр), 7, 11, 13 и дальше.

Решение.

1. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
2. 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59.
3. 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
4. 601, 607, 613, 617, 619 ($603$ и $609$ делятся на 3, $611 = 13 \cdot 47$).
5. 773, 787, 797 (например, $779 = 19 \cdot 41$, $791 = 7 \cdot 113$, $793 = 13 \cdot 61$, $799 = 17 \cdot 47$).
6. 991, 997 ($993$ делится на 3).

Ответ: выше.

№ 210

Есть ли простые среди чисел 111; 736; 963; 785; 144? Узнай без таблицы.

Как думать. Признаки делимости помогут найти делитель без долгих вычислений.

Решение. 111: сумма цифр 3 — делится на 3 ($111 = 3 \cdot 37$). 736 и 144 — чётные. 963: сумма цифр 18 — делится на 9. 785 оканчивается на 5. Все составные.

Ответ: простых чисел среди них нет.

№ 211

Выпиши все делители числа 45 и отметь среди них простые.

Решение. Ищем пары: $1 \cdot 45$, $3 \cdot 15$, $5 \cdot 9$. Делители: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Простые из них: 3 и 5.

Ответ: 1, 3, 5, 9, 15, 45; простые — 3 и 5.

№ 212

Выпиши делители чисел 18 и 20. Какие общие делители — простые числа?

Решение. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Делители 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Общие: 1 и 2. Простое среди них только 2 (единица — не простое число).

Ответ: 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20; общий простой делитель — 2.

Шпаргалка

• $a^{n}$ — это $a$, умноженное само на себя $n$ раз.
• $a^{1} = a$; $0^{3} = 0$.
• Квадрат — показатель 2, куб — показатель 3.
• $10^{n}$ — это 1 и $n$ нулей: $10^{6}$ — миллион, $10^{9}$ — миллиард.
• В выражениях степень считают раньше умножения.

Мини-тест