§ 14. Разложение натурального числа на простые множители — Математика 5 класс, Абылкасымова: разбор и ответы
ААқыл · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

§ 14. Разложение натурального числа на простые множители

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 2: Делимость натуральных чисел. Страницы 67–70.

Чему научишься

  • Понимать, что значит «разложить число на простые множители».
  • Раскладывать числа «столбиком» с вертикальной чертой.
  • Записывать одинаковые множители степенью: $504 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$.
  • Собирать число обратно по его разложению.

Разминка

Это задания № 209–212 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

  • Назови все простые числа меньше 20. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
  • Есть ли простые среди 111; 736; 963; 785; 144? Нет. 111 и 963 делятся на 3, 736 и 144 — чётные, 785 делится на 5.
  • Какие делители числа 45 — простые? Делители: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Простые из них — 3 и 5.
  • Какой общий делитель чисел 18 и 20 — простое число? Общие делители — 1 и 2. Простое — только 2.

💡 Признаки делимости на 2, 3, 5 и таблица простых чисел — это главные инструменты сегодняшнего урока. Держи их под рукой.

Разбираемся

Числа из «кирпичиков»

Посмотри: $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$. Все три множителя — простые числа. Дальше их уже не разобьёшь.

Такую запись называют разложением числа на простые множители.

📌 Разложить натуральное число на простые множители — значит записать его как произведение простых чисел.

Иногда множители повторяются: $504 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$. Одинаковые множители удобно собрать в степень: $504 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$.

⚠️ Частая ошибка. $78 = 6 \cdot 13$ — это ещё не разложение на простые множители: 6 — составное. Разбивай, пока все множители не станут простыми: $6 = 2 \cdot 3$.

Делим «столбиком» с чертой

Давай разложим 546. Проводим вертикальную черту. Слева пишем число, справа — самое маленькое простое число, на которое оно делится. Делим и пишем частное ниже.

В тетради это выглядит так:

546 | 2
273 | 3
 91 | 7
 13 | 13
  1 |

Ещё пример — число 2205:

2205 | 3
 735 | 3
 245 | 5
  49 | 7
   7 | 7
   1 |

$2205 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = 3^{2} \cdot 5 \cdot 7^{2}$.

💡 Черту доводим до единицы. Справа от черты — только простые числа. Их произведение и есть ответ.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверить разложение легко: перемножьте множители — должно получиться исходное число. Приучите ребёнка делать такую проверку каждый раз.

Найди «кирпичики»

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Что значит «разложить натуральное число на простые множители»? Записать его как произведение простых чисел, например $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$.
  • Можно ли использовать степень в записи разложения? Да: одинаковые множители заменяют степенью, $504 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 213

Разложи на простые множители 12; 18; 24; 36; 45; 64.

Как думать. Маленькие числа можно раскладывать в уме: делим на 2, пока делится, потом на 3, на 5.

Решение.

  1. $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3$;
  2. $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^{2}$;
  3. $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{3} \cdot 3$;
  4. $36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3^{2}$;
  5. $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^{2} \cdot 5$;
  6. $64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{6}$.

Ответ: $2^{2} \cdot 3$; $2 \cdot 3^{2}$; $2^{3} \cdot 3$; $2^{2} \cdot 3^{2}$; $3^{2} \cdot 5$; $2^{6}$.

№ 214

Найди $x$ по разложению: $2 \cdot 5 \cdot 7$; $3 \cdot 5 \cdot 7$; $2 \cdot 5 \cdot 11$; $3 \cdot 5 \cdot 13$.

Как думать. Просто перемножаем. Удобно сначала умножить 2 на 5 — получится 10.

Решение. 1) $10 \cdot 7 = 70$; 2) $15 \cdot 7 = 105$; 3) $10 \cdot 11 = 110$; 4) $15 \cdot 13 = 195$.

Ответ: 70; 105; 110; 195.

№ 215

Заполни схемы-деревья. Рис. 21: сверху 330, под ним 33 и пустая клетка, внизу четыре пустые клетки. Рис. 22: сверху 210, под ним пустая клетка и 10, внизу четыре пустые клетки.

Как думать. Каждая клетка — произведение двух клеток под ней. Если $330 = 33 \cdot \square$, то в пустой клетке $330 : 33 = 10$. Дальше каждое число второго ряда разбиваем на два простых.

Решение.

  • Рис. 21: $330 = 33 \cdot 10$; $33 = 3 \cdot 11$, $10 = 2 \cdot 5$. Нижний ряд: 3, 11, 2, 5. Значит, $330 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$.
  • Рис. 22: $210 = 21 \cdot 10$; $21 = 3 \cdot 7$, $10 = 2 \cdot 5$. Нижний ряд: 3, 7, 2, 5. Значит, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Ответ: $330 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11$; $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

№ 216

Разложи на простые множители: 110; 120; 150; 260; 270; 380; 480.

Как думать. Все числа оканчиваются на 0, значит, сразу отделяем $10 = 2 \cdot 5$. Остаётся разложить 11, 12, 15 и т. д.

Решение.

  1. $110 = 10 \cdot 11 = 2 \cdot 5 \cdot 11$;
  2. $120 = 10 \cdot 12 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$;
  3. $150 = 10 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5^{2}$;
  4. $260 = 10 \cdot 26 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 13$;
  5. $270 = 10 \cdot 27 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 5$;
  6. $380 = 10 \cdot 38 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 19$;
  7. $480 = 10 \cdot 48 = 2^{5} \cdot 3 \cdot 5$.

Ответ: выше.

№ 217

Можно ли по записи чисел из № 216 сразу сказать, что в разложении есть 2 и 5? Почему?

Решение. Да. Все эти числа оканчиваются нулём, значит, делятся на 10. А $10 = 2 \cdot 5$, поэтому в разложении обязательно есть и 2, и 5.

Ответ: можно: числа оканчиваются на 0 и делятся на $10 = 2 \cdot 5$.

№ 218

Придумай три трёхзначных числа, в разложении которых есть 3; 5; 7.

Как думать. $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ — уже трёхзначное. Можно домножать его на другие числа, пока результат меньше 1000.

Решение. $105$; $105 \cdot 2 = 210$; $105 \cdot 3 = 315$. Подходят и $420$, $525$, $630$, $735$, $840$, $945$.

Ответ: например, 105, 210, 315.

№ 219

Разложи на простые множители: 156; 462; 1008; 1872; 2080; 4550.

Как думать. Делим столбиком: сначала на 2, пока число чётное, потом на 3 (смотрим сумму цифр), на 5, на 7…

Решение.

  1. $156 : 2 = 78$, $78 : 2 = 39$, $39 : 3 = 13$. $156 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 13$.
  2. $462 : 2 = 231$, $231 : 3 = 77$, $77 : 7 = 11$. $462 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$.
  3. $1008$ делим на 2 четыре раза: 504, 252, 126, 63. $63 = 3^{2} \cdot 7$. $1008 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7$.
  4. $1872$ делим на 2 четыре раза: 936, 468, 234, 117. $117 = 3^{2} \cdot 13$. $1872 = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 13$.
  5. $2080$ делим на 2 пять раз: 1040, 520, 260, 130, 65. $65 = 5 \cdot 13$. $2080 = 2^{5} \cdot 5 \cdot 13$.
  6. $4550 : 2 = 2275$, $2275 : 5 = 455$, $455 : 5 = 91$, $91 = 7 \cdot 13$. $4550 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 13$.

Ответ: $2^{2} \cdot 3 \cdot 13$; $2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$; $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 7$; $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 13$; $2^{5} \cdot 5 \cdot 13$; $2 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 13$.

№ 220

Запиши пять двузначных чисел, в разложении которых двойка встречается ровно три раза.

Как думать. Три двойки — это $2^{3} = 8$. Значит, число равно $8 \cdot k$, где $k$ — нечётное (иначе появится четвёртая двойка).

Решение. $8 \cdot 3 = 24$, $8 \cdot 5 = 40$, $8 \cdot 7 = 56$, $8 \cdot 9 = 72$, $8 \cdot 11 = 88$. Следующее, $8 \cdot 13 = 104$, уже трёхзначное. Получилось ровно пять чисел!

Ответ: 24, 40, 56, 72, 88.

№ 221

Запиши три трёхзначных числа, в разложении которых пятёрка встречается ровно два раза.

Как думать. Две пятёрки — это $5^{2} = 25$. Число равно $25 \cdot k$, где $k$ на 5 не делится.

Решение. $25 \cdot 4 = 100$, $25 \cdot 6 = 150$, $25 \cdot 7 = 175$. Подойдут и 225, 275, 300 и другие.

Ответ: например, 100, 150, 175.

№ 222

Найди $a$: $a = 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5$; $a = 2^{2} \cdot 3^{4} \cdot 5$.

Решение.

  1. $2^{4} = 16$, $3^{2} = 9$; $16 \cdot 9 \cdot 5 = 144 \cdot 5 = 720$.
  2. $2^{2} = 4$, $3^{4} = 81$; $4 \cdot 81 \cdot 5 = 20 \cdot 81 = 1620$.

Ответ: 720; 1620.

№ 223

Сколько раз пятёрка встречается в разложении 1000; 3000; 4000; 7000? Можно ли ответить, не раскладывая?

Как думать. $1000 = 10^{3} = (2 \cdot 5)^{3}$ — в нём три пятёрки. Остальные числа — это 1000, умноженное на 3, 4 или 7. Ни одно из них на 5 не делится.

Решение. $1000 = 2^{3} \cdot 5^{3}$; $3000 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{3}$; $4000 = 2^{5} \cdot 5^{3}$; $7000 = 2^{3} \cdot 5^{3} \cdot 7$. Везде пятёрка встречается 3 раза.

Ответить можно и без разложения: три нуля на конце — это $10^{3}$, три пятёрки. А первые цифры 1, 3, 4, 7 новых пятёрок не добавляют.

Ответ: по 3 раза; можно — по трём нулям на конце.

Уровень B

№ 224

Разложи на простые множители: 6270; 8840; 10 450; 13 986; 16 400; 20 010.

Как думать. У круглых чисел сначала отделяем 10, потом раскладываем остаток.

Решение.

  1. $6270 = 10 \cdot 627 = 10 \cdot 3 \cdot 209 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19$.
  2. $8840 = 10 \cdot 884 = 10 \cdot 4 \cdot 221 = 2^{3} \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17$.
  3. $10,450 = 10 \cdot 1045 = 10 \cdot 5 \cdot 209 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 11 \cdot 19$.
  4. $13,986 : 2 = 6993$; сумма цифр 27, делим на 3 три раза: 2331, 777, 259; $259 = 7 \cdot 37$. $13,986 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 7 \cdot 37$.
  5. $16,400 = 100 \cdot 164 = 2^{2} \cdot 5^{2} \cdot 2^{2} \cdot 41 = 2^{4} \cdot 5^{2} \cdot 41$.
  6. $20,010 = 10 \cdot 2001 = 10 \cdot 3 \cdot 667 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29$.

Ответ: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 19$; $2^{3} \cdot 5 \cdot 13 \cdot 17$; $2 \cdot 5^{2} \cdot 11 \cdot 19$; $2 \cdot 3^{3} \cdot 7 \cdot 37$; $2^{4} \cdot 5^{2} \cdot 41$; $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29$.

№ 225

Какое произведение кратно 18: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$; $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$; $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13$; $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 17$?

Как думать. $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3$. Произведение кратно 18, если в нём есть хотя бы одна двойка и хотя бы две тройки.

Решение. 1) Тройка одна — не кратно. 2) Двойка есть, троек две — кратно. 3) Кратно. 4) Кратно (троек даже три).

Ответ: 1) нет; 2), 3), 4) — да.

№ 226

Выпиши общие множители $a$ и $b$: 1) $a = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{3} \cdot 7 \cdot 11$, $b = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 11$; 2) $a = 5 \cdot 13^{2} \cdot 19 \cdot 23$, $b = 2 \cdot 5^{3} \cdot 13 \cdot 23$.

Как думать. Берём множитель, если он есть в обоих разложениях, и столько раз, сколько он встречается в обоих — то есть по меньшему показателю.

Решение.

  1. Двойка: в $a$ две, в $b$ три — общих две, $2^{2}$. Тройка — одна. Пятёрка: три и две — общих две, $5^{2}$. Семёрки в $b$ нет. Одиннадцать — одно. Общие множители: $2, 2, 3, 5, 5, 11$.
  2. Пятёрка — одна общая, 13 — одна, 19 в $b$ нет, 23 — одна. Общие: $5, 13, 23$.

Ответ: 1) $2^{2}$, 3, $5^{2}$, 11; 2) 5, 13, 23.

💡 Если перемножить общие множители, получится самое большое число, на которое делятся и $a$, и $b$. Об этом — следующий урок.

Уровень C

№ 227

Выпиши все двузначные числа, в разложении которых есть 19; 23; 29; 31.

Как думать. Это двузначные числа, кратные данному. Умножаем на 1, 2, 3…, пока не выйдет за 99.

Решение.

  1. 19, 38, 57, 76, 95;
  2. 23, 46, 69, 92;
  3. 29, 58, 87;
  4. 31, 62, 93.

Ответ: выше.

№ 228

Найди $b$: $b = 2 \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 101$; $b = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7 \cdot 103$.

Как думать. Сначала перемножим удобные множители: $2 \cdot 5^{2} = 50$.

Решение.

  1. $50 \cdot 3 = 150$; $150 \cdot 101 = 15,000 + 150 = 15,150$.
  2. $50 \cdot 7 = 350$; $350 \cdot 103 = 35,000 + 1050 = 36,050$.

Ответ: 15 150; 36 050.

№ 229

Разложи на простые множители 52 015; 64 337; 72 928.

Как думать. Задача повышенной трудности. Перебираем простые делители по очереди: 2, 3, 5, 7, 11, 13… Если делитель подошёл, пробуем его ещё раз.

Решение.

  1. $52,015$ оканчивается на 5: $52,015 : 5 = 10,403$. Дальше 7, 11, 13… не подходят, долго ищем — подходит 101: $10,403 : 101 = 103$. 103 — простое. $52,015 = 5 \cdot 101 \cdot 103$.
  2. $64,337 = 7^{2} \cdot 13 \cdot 101$ (по шагам — выше).
  3. $72,928$ делим на 2 пять раз: 36 464, 18 232, 9116, 4558, 2279. 2279 не делится на 3, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, а на 43 делится: $2279 : 43 = 53$. $72,928 = 2^{5} \cdot 43 \cdot 53$.

Ответ: $5 \cdot 101 \cdot 103$; $7^{2} \cdot 13 \cdot 101$; $2^{5} \cdot 43 \cdot 53$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Здесь можно разрешить калькулятор для проверки делимости. Важно не считать, а понять порядок перебора делителей.

Готовимся к следующей теме

№ 230

Перескажи по-другому, со словами «кратное» и «делитель»: 324 делится на 4; на 16 делятся 160, 176, 336.

Решение.

  1. 324 кратно 4. 4 — делитель числа 324.
  2. 160, 176 и 336 кратны 16. 16 — делитель каждого из чисел 160, 176, 336.

Ответ: выше.

№ 231

Перескажи со словами «делится» и «делитель»: 144 кратно 12; для 8 кратными являются 80; 88; 160; 168.

Решение.

  1. 144 делится на 12. 12 — делитель числа 144.
  2. 80, 88, 160 и 168 делятся на 8. 8 — делитель каждого из этих чисел.

Ответ: выше.

№ 232

Является ли 523 делителем чисел 1569; 2092; 5230? Является ли 17 917 кратным числам 19; 23; 41?

Как думать. Проверяем делением. Для 523 удобно умножать: $523 \cdot 3$, $523 \cdot 4$, $523 \cdot 10$.

Решение.

  1. $523 \cdot 3 = 1569$; $523 \cdot 4 = 2092$; $523 \cdot 10 = 5230$. Все три делятся на 523.
  2. $17,917 : 19 = 943$; $17,917 : 23 = 779$; $17,917 : 41 = 437$. Делится на все три. И неудивительно: $17,917 = 19 \cdot 23 \cdot 41$!

Ответ: 1) — 3) является; 2. 1) — 3) является.

№ 233

Найди наибольшее и наименьшее число: 1) 56, 89, 23, 57, 24, 19; 2) 967, 979, 897, 976, 879, 899; 3) 6050, 6505, 6550, 6005; 4) 89 894, 98 894, 89 984, 98 984.

Как думать. Сравниваем по разрядам слева направо.

Решение.

  1. наибольшее 89, наименьшее 19;
  2. наибольшее 979, наименьшее 879;
  3. наибольшее 6550, наименьшее 6005;
  4. наибольшее 98 984, наименьшее 89 894.

Ответ: выше.

Шпаргалка

  • Делим на самое маленькое простое число, на которое число делится.
  • Одно и то же простое число пробуем ещё раз, пока делится.
  • Одинаковые множители собираем в степень.
  • Число, оканчивающееся нулём, содержит 2 и 5.
  • Разложение у числа только одно (с точностью до порядка множителей).

Мини-тест

← § 13. Степень · § 15. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) →