§ 15. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 2: Делимость натуральных чисел. Страницы 71–77.

Чему научишься

• Находить наибольший общий делитель (НОД) двух и трёх чисел.
• Находить наименьшее общее кратное (НОК).
• Узнавать взаимно простые числа.
• Решать задачи «поровну на группы» через НОД.

Разминка

Это задания № 230–233 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Скажи иначе: «324 делится на 4». 324 кратно 4; 4 — делитель числа 324.
• Скажи иначе: «144 кратно 12». 144 делится на 12; 12 — делитель числа 144.
• Является ли 523 делителем числа 2092? Да: $523 \cdot 4 = 2092$.
• Делится ли 17 917 на 19, на 23 и на 41? На все три: $17,917 = 19 \cdot 23 \cdot 41$.
• Наибольшее и наименьшее из 6050, 6505, 6550, 6005? Наибольшее 6550, наименьшее 6005.

💡 «Делитель» и «кратное» — это два взгляда на одно деление. Сегодня мы будем искать их общие для нескольких чисел.

Разбираемся

Общий делитель — делит оба числа

Число 6 делит и 30, и 42. Поэтому 6 — общий делитель чисел 30 и 42.

Возьмём 24 и 18. Выпишем их делители и сложим в два круга. Общие окажутся посередине.

Общие делители: 1, 2, 3, 6. Самый большой — 6. Пишут: НОД (24; 18) = 6.

📌 Наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ — самое большое натуральное число, на которое делятся и $a$, и $b$.

🌟 Говори правильно. НОД (24; 18) = 6 читают: «наибольший общий делитель чисел 24 и 18 равен 6».

НОД через простые множители

Выписывать все делители больших чисел долго. Есть способ быстрее. Разложим 180 и 378: $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$, $378 = 2 \cdot 3^{3} \cdot 7$.

В обоих разложениях есть $2$, $3$ и $3$. Перемножаем: НОД (180; 378) $= 2 \cdot 3^{2} = 18$.

📌 Как найти НОД: 1) разложи числа на простые множители; 2) выпиши множители, которые есть во всех разложениях (у степени бери меньший показатель); 3) перемножь их.

Так же находят НОД трёх чисел: НОД (12; 18; 42) $= 2 \cdot 3 = 6$. Проверь сам: $12 = 2^{2} \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^{2}$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$.

💡 Если одно число делится на другое, НОД равен меньшему: НОД (6; 18) = 6, НОД (5; 35) = 5, НОД (77; 7) = 7.

Взаимно простые числа

У 16 и 125 нет общих множителей: $16 = 2^{4}$, $125 = 5^{3}$. Их общий делитель — только 1. Такие числа называют взаимно простыми.

📌 Числа взаимно простые, если их НОД равен 1.

⚠️ Частая ошибка. Взаимно простые числа не обязаны быть простыми! 8 и 9 — оба составные, но общих делителей, кроме 1, у них нет.

Общее кратное — делится на оба

Числа, кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48… Кратные 12: 12, 24, 36, 48… Числа 24, 48, … кратны и 8, и 12 — это общие кратные. Наибольшего среди них нет, а наименьшее есть.

Пишут: НОК (8; 12) = 24.

📌 Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ — самое маленькое натуральное число, которое делится и на $a$, и на $b$.

🌟 Говори правильно. НОК (8; 12) = 24 читают: «наименьшее общее кратное чисел 8 и 12 равно 24».

НОК через простые множители

Снова 180 и 378. НОК должен делиться на каждое число. Значит, в него войдут все множители 180, то есть $2^{2}$, $3^{2}$, 5. Добавим то, чего не хватает от 378: ещё одну тройку и семёрку.

НОК (180; 378) $= 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5 \cdot 7 = 3780$.

Посмотри на круги выше: НОК — это произведение всех чисел в обоих кругах: $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 3780$.

📌 Как найти НОК: 1) разложи числа на простые множители; 2) выпиши все множители одного числа; 3) добавь недостающие множители из других чисел; 4) перемножь.

💡 Если одно число делится на другие, НОК равен большему: НОК (42; 7) = 42, НОК (3; 6; 102) = 102. А у взаимно простых чисел НОК равен их произведению: НОК (4; 9) = 36, НОК (5; 11) = 55.

👨‍👩‍👧 Родителю. Дети часто путают НОД и НОК. Подсказка: НОД — делитель, он не больше меньшего числа. НОК — кратное, он не меньше большего числа. Если НОД вышел больше одного из чисел — где-то ошибка.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Могут ли два чётных числа быть взаимно простыми? Нет: оба делятся на 2, значит, НОД не меньше 2.
• Чётное и нечётное числа всегда взаимно простые? Нет. Например, 6 и 9: оба делятся на 3.
• Два разных простых числа — взаимно простые? Да: у каждого делители только 1 и оно само.
• Могут ли два составных числа быть взаимно простыми? Да, например 8 и 9.
• Два соседних натуральных числа всегда взаимно простые? Да. Например, 14 и 15. Общий делитель должен делить и их разность, то есть 1.
• Чему равны НОД и НОК, если $a$ и $b$ взаимно простые? НОД $= 1$, НОК $= a \cdot b$.
• А если $a$ делится на $b$? НОД $= b$ (меньшее число), НОК $= a$ (большее число).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 234

Найди НОД $x$ и $y$: 1) $2 \cdot 3 \cdot 5$ и $2 \cdot 7 \cdot 13$; 2) $5 \cdot 11 \cdot 19$ и $3 \cdot 5 \cdot 11$; 3) $2 \cdot 23 \cdot 31$ и $3 \cdot 7 \cdot 23 \cdot 41$; 4) $2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 17$ и $5 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 23$; 5) $2 \cdot 11 \cdot 19$ и $5 \cdot 7 \cdot 13$.

Как думать. Разложения уже готовы. Ищем множители, которые есть в обоих, и перемножаем.

Решение.

1. общий только 2 → НОД = 2;
2. общие 5 и 11 → $5 \cdot 11 = 55$;
3. общий 23 → 23;
4. общие 5 и 17 → $5 \cdot 17 = 85$;
5. общих нет → НОД = 1 (числа взаимно простые).

Ответ: 2; 55; 23; 85; 1.

№ 235

Найди НОК $m$ и $n$: 1) $2 \cdot 5$ и $3 \cdot 5$; 2) $2 \cdot 3 \cdot 7$ и $3 \cdot 5 \cdot 7$; 3) $2^{2} \cdot 5$ и $2 \cdot 5 \cdot 3$; 4) $2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ и $2^{2} \cdot 3 \cdot 5$.

Как думать. Берём все множители первого числа и добавляем недостающие из второго. Проще говоря: каждый простой множитель — с большим показателем.

Решение.

1. $2 \cdot 5$, добавляем 3: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$;
2. $2 \cdot 3 \cdot 7$, добавляем 5: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$;
3. $2^{2} \cdot 5$, добавляем 3: $2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60$;
4. $2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$, добавляем ещё одну 2: $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900$.

Ответ: 30; 210; 60; 900.

№ 236

Какие пары взаимно простые: 4 и 12; 4 и 15; 6 и 22; 15 и 100; 9 и 18; 16 и 25?

Как думать. Ищем общий делитель больше 1. Нашёлся — пара не взаимно простая.

Решение. 4 и 12 — общий делитель 4. 4 и 15 — общих нет. 6 и 22 — оба чётные. 15 и 100 — оба делятся на 5. 9 и 18 — делятся на 9. 16 и 25 — $2^{4}$ и $5^{2}$, общих нет.

Ответ: 4 и 15; 16 и 25.

№ 237

Найди НОД и НОК: 4 и 10; 6 и 14; 8 и 12; 15 и 18; 20 и 24; 26 и 39.

Как думать. Числа небольшие — раскладываем в уме.

Решение.

Ответ: 2 и 20; 2 и 42; 4 и 24; 3 и 90; 4 и 120; 13 и 78.

№ 238

27 девочек и 48 мальчиков делят на группы дежурных так, чтобы во всех группах было поровну девочек и поровну мальчиков. Какое наибольшее число групп?

Как думать. Девочек делим на группы поровну — значит, число групп делит 27. Мальчиков тоже — число групп делит 48. Нужно самое большое такое число — это НОД.

Решение.

1. $27 = 3^{3}$, $48 = 2^{4} \cdot 3$.
2. НОД (27; 48) = 3.
3. В каждой группе: $27 : 3 = 9$ девочек и $48 : 3 = 16$ мальчиков.

Ответ: 3 группы (по 9 девочек и 16 мальчиков).

№ 239

На турнир по настольному теннису приехали одинаковые команды: всего 68 девочек и 102 мальчика. Сколько было команд и сколько мальчиков и девочек в каждой?

Как думать. Как в № 238: число команд делит и 68, и 102. Считаем, что команд было наибольшее возможное число, — ищем НОД.

Решение.

1. $68 = 2^{2} \cdot 17$, $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$.
2. НОД (68; 102) $= 2 \cdot 17 = 34$.
3. В каждой команде: $68 : 34 = 2$ девочки и $102 : 34 = 3$ мальчика.

Ответ: 34 команды; в каждой 2 девочки и 3 мальчика.

№ 240

Найди НОД (20; 48) и НОД (28; 40) и сравни их.

Решение. $20 = 2^{2} \cdot 5$, $48 = 2^{4} \cdot 3$ → НОД $= 2^{2} = 4$. $28 = 2^{2} \cdot 7$, $40 = 2^{3} \cdot 5$ → НОД $= 2^{2} = 4$. Они равны.

Ответ: 4 = 4.

№ 241

Найди НОК (20; 48) и НОК (28; 40) и сравни их.

Решение. НОК (20; 48) $= 2^{4} \cdot 3 \cdot 5 = 240$. НОК (28; 40) $= 2^{3} \cdot 5 \cdot 7 = 280$. $240 < 280$.

Ответ: $240 < 280$.

№ 242

Найди НОД: 6; 27; 42 · 15; 20; 45 · 16; 28; 44 · 18; 27; 36.

Как думать. Множитель должен входить во все три разложения.

Решение.

1. $6 = 2 \cdot 3$, $27 = 3^{3}$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ → НОД = 3;
2. $15 = 3 \cdot 5$, $20 = 2^{2} \cdot 5$, $45 = 3^{2} \cdot 5$ → НОД = 5;
3. $16 = 2^{4}$, $28 = 2^{2} \cdot 7$, $44 = 2^{2} \cdot 11$ → НОД $= 2^{2} = 4$;
4. $18 = 2 \cdot 3^{2}$, $27 = 3^{3}$, $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ → НОД $= 3^{2} = 9$.

Ответ: 3; 5; 4; 9.

№ 243

Найди НОК: 4; 18; 24 · 5; 20; 35 · 6; 24; 36 · 8; 28; 42.

Решение.

1. $4 = 2^{2}$, $18 = 2 \cdot 3^{2}$, $24 = 2^{3} \cdot 3$ → $2^{3} \cdot 3^{2} = 72$;
2. $5$, $20 = 2^{2} \cdot 5$, $35 = 5 \cdot 7$ → $2^{2} \cdot 5 \cdot 7 = 140$;
3. $6 = 2 \cdot 3$, $24 = 2^{3} \cdot 3$, $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ → $2^{3} \cdot 3^{2} = 72$;
4. $8 = 2^{3}$, $28 = 2^{2} \cdot 7$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ → $2^{3} \cdot 3 \cdot 7 = 168$.

Ответ: 72; 140; 72; 168.

№ 244

Найди НОД: 220; 165; 77 · 63; 42; 168 · 230; 92; 138 · 42; 650; 260.

Решение.

1. $220 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 11$, $165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$, $77 = 7 \cdot 11$ → НОД = 11;
2. $63 = 3^{2} \cdot 7$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7$ → НОД $= 3 \cdot 7 = 21$;
3. $230 = 2 \cdot 5 \cdot 23$, $92 = 2^{2} \cdot 23$, $138 = 2 \cdot 3 \cdot 23$ → НОД $= 2 \cdot 23 = 46$;
4. $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $650 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 13$, $260 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 13$ → НОД = 2.

Ответ: 11; 21; 46; 2.

№ 245

Найди НОК: 120; 300; 100 · 480; 216; 144 · 105; 350; 140 · 280; 140; 224.

Решение.

1. $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$, $300 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$, $100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$ → $2^{3} \cdot 3 \cdot 5^{2} = 600$;
2. $480 = 2^{5} \cdot 3 \cdot 5$, $216 = 2^{3} \cdot 3^{3}$, $144 = 2^{4} \cdot 3^{2}$ → $2^{5} \cdot 3^{3} \cdot 5 = 4320$;
3. $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$, $350 = 2 \cdot 5^{2} \cdot 7$, $140 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7$ → $2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2} \cdot 7 = 2100$;
4. $280 = 2^{3} \cdot 5 \cdot 7$, $140 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7$, $224 = 2^{5} \cdot 7$ → $2^{5} \cdot 5 \cdot 7 = 1120$.

Ответ: 600; 4320; 2100; 1120.

Уровень B

№ 246

Произведение двух взаимно простых чисел равно 33; 65; 143; 133; 20; 56; 99; 300. Найди эти числа.

Как думать. Раскладываем произведение на простые множители. Одинаковые множители нельзя разносить по разным числам — иначе у чисел появится общий делитель. Пара «1 и само число» всегда подходит, но она неинтересная.

Решение.

1. $33 = 3 \cdot 11$ → 3 и 11;
2. $65 = 5 \cdot 13$ → 5 и 13;
3. $143 = 11 \cdot 13$ → 11 и 13;
4. $133 = 7 \cdot 19$ → 7 и 19;
5. $20 = 2^{2} \cdot 5$ → 4 и 5;
6. $56 = 2^{3} \cdot 7$ → 8 и 7;
7. $99 = 3^{2} \cdot 11$ → 9 и 11;
8. $300 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5^{2}$ → 4 и 75, 3 и 100, 12 и 25.

Ответ: 3 и 11; 5 и 13; 11 и 13; 7 и 19; 4 и 5; 7 и 8; 9 и 11; для 300 — 4 и 75, 3 и 100 или 12 и 25 (и в каждом случае ещё пара 1 и само число).

№ 247

Для подарков первоклассникам купили 212 тетрадей в клетку, 318 тетрадей в линию и 159 карандашей и разложили поровну по папкам. Сколько подарков и что в каждом?

Как думать. Каждый вид предметов делится на подарки поровну. Значит, число подарков — общий делитель 212, 318 и 159. Берём наибольший.

Решение.

1. $212 = 2^{2} \cdot 53$, $318 = 2 \cdot 3 \cdot 53$, $159 = 3 \cdot 53$.
2. НОД = 53.
3. В каждой папке: $212 : 53 = 4$ тетради в клетку, $318 : 53 = 6$ тетрадей в линию, $159 : 53 = 3$ карандаша.

Ответ: 53 подарка; в каждом 4 тетради в клетку, 6 в линию и 3 карандаша.

№ 248

НОД трёх двузначных чисел равен 15, а при делении каждого на 15 получаются нечётные числа. Найди эти числа.

Как думать. Каждое число — это $15 \cdot k$ с нечётным $k$. И оно двузначное.

Решение. $15 \cdot 1 = 15$, $15 \cdot 3 = 45$, $15 \cdot 5 = 75$, а $15 \cdot 7 = 105$ — уже трёхзначное. Проверка: НОД (15; 45; 75) = 15 ✓.

Ответ: 15, 45, 75.

№ 249

НОК трёх двузначных чисел равен 1155, а при делении 1155 на эти числа получаются нечётные числа. Найди эти числа.

Как думать. Задача с несколькими ответами. Сначала найдём все двузначные делители 1155, потом выберем тройку, где встречаются все простые множители.

Решение. Двузначные делители 1155: 15, 21, 33, 35, 55, 77. Подходит любая тройка из них, кроме четырёх, где теряется какой-то множитель: (35; 55; 77) — нет тройки; (21; 33; 77) — нет пятёрки; (15; 33; 55) — нет семёрки; (15; 21; 35) — нет 11. Например: 15, 21, 77 или 33, 35, 55.

Ответ: например, 15, 21, 77 (подходит любая тройка из чисел 15, 21, 33, 35, 55, 77, содержащая все множители 3, 5, 7, 11).

№ 250

Найди НОК (12; 14; 42) и НОД (168; 252) и сравни.

Решение. $12 = 2^{2} \cdot 3$, $14 = 2 \cdot 7$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ → НОК $= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 = 84$. $168 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7$, $252 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7$ → НОД $= 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 = 84$. Они равны.

Ответ: $84 = 84$.

№ 251

Из чисел 3, 4, 6, 7, 8, 9 выбери пары: 1) взаимно простых — найди их НОК; 2) где одно число кратно другому — найди НОД и НОК; 3) с НОД больше 1 — найди «наибольшее общее кратное» и «наименьший общий делитель».

Как думать. Всего из шести чисел получается 15 пар. Разложи их по трём корзинкам. В пункте 3 — ловушка!

Решение.

1. Взаимно простые пары и их НОК: 3 и 4 — 12; 3 и 7 — 21; 3 и 8 — 24; 4 и 7 — 28; 4 и 9 — 36; 6 и 7 — 42; 7 и 8 — 56; 7 и 9 — 63; 8 и 9 — 72.
2. Одно кратно другому: 3 и 6 — НОД 3, НОК 6; 3 и 9 — НОД 3, НОК 9; 4 и 8 — НОД 4, НОК 8.
3. Пары с НОД больше 1: 3 и 6, 3 и 9, 4 и 6, 4 и 8, 6 и 8, 6 и 9. Наибольшего общего кратного не бывает: общих кратных бесконечно много. Наименьший общий делитель у любых чисел — 1. Для интереса — НОД и НОК: 4 и 6 — 2 и 12; 6 и 8 — 2 и 24; 6 и 9 — 3 и 18.

Ответ: см. решение; в пункте 3 наибольшего общего кратного нет, наименьший общий делитель всегда 1.

№ 252

Найди НОД и НОК $x$ и $y$: 1) $abcd$ и $ab^{2}c$; 2) $a^{3}bcd$ и $a^{2}b^{2}c^{2}$; 3) $ab^{3}c^{3}$ и $abcd$; 4) $a^{4}b^{4}c^{2}d^{4}$ и $a^{2}b^{2}c^{2}d^{4}$.

Как думать. Буквы считаем разными простыми числами. Правило то же: в НОД — каждая буква с меньшим показателем (если есть в обоих), в НОК — с большим.

Решение.

1. НОД $= abc$; НОК $= ab^{2}cd$;
2. НОД $= a^{2}bc$; НОК $= a^{3}b^{2}c^{2}d$;
3. НОД $= abc$; НОК $= ab^{3}c^{3}d$;
4. НОД $= a^{2}b^{2}c^{2}d^{4}$ (это само $y$); НОК $= a^{4}b^{4}c^{2}d^{4}$ (это само $x$) — ведь $x$ делится на $y$.

Ответ: 1) $abc$; $ab^{2}cd$; 2) $a^{2}bc$; $a^{3}b^{2}c^{2}d$; 3) $abc$; $ab^{3}c^{3}d$; 4) $a^{2}b^{2}c^{2}d^{4}$; $a^{4}b^{4}c^{2}d^{4}$.

Уровень C

№ 253

Заполни две таблицы: для $a$ = 21; 27 и $b$ = 12; 15, а также для $a$ = 68; 102 и $b$ = 17; 34 найди НОК и НОД. Сравни НОК · НОД с $a \cdot b$.

Как думать. Для каждой из 8 пар считаем НОК и НОД, перемножаем и сравниваем с произведением самих чисел.

Решение.

Ответ: во всех случаях НОК · НОД $= a \cdot b$.

№ 254

Какой общий вывод можно сделать по результатам № 253?

Решение. Произведение НОК и НОД двух чисел всегда равно произведению самих чисел: НОК $(a; b) \cdot$ НОД $(a; b) = a \cdot b$. Почему так? В НОД идут общие множители, в НОК — все остальные плюс общие. Вместе они собирают все множители $a$ и $b$.

Ответ: НОК $(a; b) \cdot$ НОД $(a; b) = a \cdot b$.

💡 Этим удобно пользоваться: зная НОД, НОК найдёшь делением. Например, НОД (8; 12) = 4, значит, НОК $= 8 \cdot 12 : 4 = 24$.

№ 255

По результатам № 253 сравни: НОК $(a; b)$ и $a$; НОД $(a; b)$ и $b$, если $a > b$.

Решение. В таблице НОК всегда не меньше $a$: он больше $a$ (84 > 21) или равен ему, когда $a$ делится на $b$ (68 = 68). НОД всегда не больше $b$: он меньше $b$ (3 < 12) или равен ему (17 = 17).

Ответ: НОК $(a; b) \geq a$; НОД $(a; b) \leq b$.

Готовимся к следующей теме

№ 256

В книге 140 страниц. Айман в первый день прочитала половину книги, во второй — половину оставшегося, в третий — остальное. Сколько страниц в третий день?

Решение.

1. Первый день: $140 : 2 = 70$ страниц. Осталось $140 - 70 = 70$.
2. Второй день: $70 : 2 = 35$. Осталось $70 - 35 = 35$.
3. Третий день — эти 35 страниц.

Ответ: 35 страниц.

№ 257

Привезли 40 кг овощей. До обеда продали четверть, после обеда — половину остатка. Сколько осталось?

Решение.

1. До обеда: $40 : 4 = 10$ кг. Осталось $40 - 10 = 30$ кг.
2. После обеда: $30 : 2 = 15$ кг. Осталось $30 - 15 = 15$ кг.

Ответ: 15 кг.

№ 258

Путь 48 км. Шестую часть туристы прошли пешком, половину пути проехали на автобусе. Сколько ещё осталось?

Решение.

1. Пешком: $48 : 6 = 8$ км.
2. На автобусе: $48 : 2 = 24$ км.
3. Осталось: $48 - 8 - 24 = 16$ км.

Ответ: 16 км.

⚠️ Частая ошибка. Здесь «половина» — от всего пути, а не от остатка. Сравни с № 256, где половину брали от оставшегося.

№ 259

В библиотеке 20 000 книг. Десятая часть — художественные, остальные — учебные. Сколько учебных книг?

Решение.

1. Художественных: $20,000 : 10 = 2000$.
2. Учебных: $20,000 - 2000 = 18,000$.

Ответ: 18 000 книг.

Шпаргалка

• НОД не больше меньшего числа, НОК не меньше большего.
• Если $a$ делится на $b$: НОД $= b$, НОК $= a$.
• У взаимно простых чисел НОК — их произведение.
• «Разделить поровну на наибольшее число групп» — ищем НОД.
• «Когда снова совпадёт», «наименьшее число, которое делится на…» — ищем НОК.

Мини-тест