§ 17. Основное свойство обыкновенной дроби

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 86–91.

Чему научишься

• Объяснять, почему $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$.
• Приводить дробь к новому знаменателю с помощью дополнительного множителя.
• Сокращать дроби тремя способами.
• Узнавать несократимую дробь.

Разминка

Это задания № 281–286 из прошлого урока. Делимость и НОД сегодня будут нужны на каждом шагу.

• Делится ли 34 656 на 6? Да: число чётное, а сумма цифр 24 делится на 3.
• Какое наименьшее число делится и на 20, и на 30, и на 45? 180 — это их НОК.
• Назови все общие делители 12 и 18. Какой из них наибольший? 1, 2, 3, 6. НОД = 6.
• У каких двух чисел есть общий делитель 11? Например, у 22 и 33.
• Половина отрезка в 4 см и две его четверти — это одинаковые части? Да, обе по 2 см. Значит, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$.

💡 Последний вопрос — ключ к уроку. Записи разные, а часть одна. Давай разберёмся, как это работает.

Разбираемся

Одна пицца — две записи

Разрежь пиццу на 4 равных куска и возьми один — это $\frac{1}{4}$. А теперь разрежь каждый кусок ещё на 3. Кусков стало 12, а у тебя на тарелке — 3 из них: $\frac{3}{12}$. Еды не прибавилось! Значит, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$.

Читают это так: «одна четвёртая равна трём двенадцатым» или «дроби одна четвёртая и три двенадцатых равны».

Главное правило дробей

Посмотри: из $\frac{1}{4}$ получилось $\frac{3}{12}$, когда и числитель, и знаменатель умножили на 3. И наоборот: из $\frac{3}{12}$ получается $\frac{1}{4}$, если оба числа разделить на 3.

📌 Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, получится равная дробь: $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}$.

⚠️ Частая ошибка. Умножают только знаменатель: «$\frac{1}{4} = \frac{1}{12}$». Нет! Если кусков стало в 3 раза больше, то и взять надо в 3 раза больше. Меняем оба числа и одинаково.

Новый знаменатель и «дополнительный множитель»

Хотим записать $\frac{3}{7}$ со знаменателем 28. Спрашиваем: на что умножить 7, чтобы вышло 28? $28 : 7 = 4$. На 4 умножаем и числитель:

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28}$.

Число 4 называют дополнительным множителем. Его часто пишут справа над числителем: $\frac{3^{/4}}{7} = \frac{12}{28}$.

📌 Так можно перейти только к знаменателю, который кратен старому. $\frac{3}{7}$ можно записать со знаменателем 14, 21, 28, но не 10: 10 на 7 не делится.

Сокращаем дробь

Делить числитель и знаменатель на общий делитель (больше 1) — значит сокращать дробь. Когда делить уже не на что, дробь несократимая: её числитель и знаменатель взаимно простые.

Сократим $\frac{54}{90}$. Общие делители 54 и 90: 2, 3, 6, 9, 18. Можно получить $\frac{27}{45}$, $\frac{18}{30}$, $\frac{9}{15}$, $\frac{6}{10}$, $\frac{3}{5}$. Обычно сокращают до конца — до несократимой $\frac{3}{5}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка проверить ответ «наоборот»: умножить $\frac{3}{5}$ на 18 сверху и снизу. Если вышло $\frac{54}{90}$ — сокращено верно.

🌟 Сокращение — как упаковать вещи плотнее. Дробь та же, а числа меньше и считать проще.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Приведи пример равных дробей. $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, $\frac{3}{7} = \frac{12}{28}$.
• Как можно сократить дробь? Тремя способами: по шагам с помощью признаков делимости; разложив числитель и знаменатель на простые множители; сразу разделив на их НОД.
• Какая дробь называется несократимой? Та, у которой числитель и знаменатель взаимно простые — их единственный общий делитель 1.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 287

Квадрат разбит на 36 клеток, закрашено 20. Какая часть закрашена, если считать квадрат разбитым на 36, на 18, на 9 равных частей?

Как думать. 18 частей — значит, каждая часть из 2 клеток. 9 частей — каждая из 4 клеток. Делим закрашенные клетки на размер части.

Решение.

1. 36 частей: закрашено 20 — $\frac{20}{36}$.
2. 18 частей по 2 клетки: $20 : 2 = 10$ частей — $\frac{10}{18}$.
3. 9 частей по 4 клетки: $20 : 4 = 5$ частей — $\frac{5}{9}$.

Это одна и та же часть: $\frac{20}{36} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{20}{36}$; $\frac{10}{18}$; $\frac{5}{9}$.

№ 288

Объясни, почему верно: $\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$; $\frac{4}{7} = \frac{8}{14}$; $\frac{100}{122} = \frac{400}{488}$.

Как думать. Ищем, на какое число умножили знаменатель, и проверяем, умножили ли на него числитель.

Решение.

1. $\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$ — умножили на 3.
2. $\frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{8}{14}$ — умножили на 2.
3. $\frac{100 \cdot 4}{122 \cdot 4} = \frac{400}{488}$ — умножили на 4.

Ответ: по основному свойству дроби: числитель и знаменатель умножены на 3, на 2 и на 4.

№ 289

Верны ли равенства: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$; $\frac{7}{28} = \frac{1}{4}$; $\frac{15}{100} = \frac{3}{20}$; $\frac{200}{500} = \frac{2}{5}$?

Решение.

1. $\frac{6 : 2}{10 : 2} = \frac{3}{5}$ — верно.
2. $\frac{7 : 7}{28 : 7} = \frac{1}{4}$ — верно.
3. $\frac{15 : 5}{100 : 5} = \frac{3}{20}$ — верно.
4. $\frac{200 : 100}{500 : 100} = \frac{2}{5}$ — верно.

Ответ: все четыре равенства верны.

№ 290

Найди равные дроби среди: $\frac{2}{9}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{4}{27}$; $\frac{9}{22}$; $\frac{6}{27}$; $\frac{15}{55}$; $\frac{16}{44}$.

Как думать. Сократим каждую дробь до конца и сравним.

Решение.

• $\frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ (делим на 3);
• $\frac{15}{55} = \frac{3}{11}$ (делим на 5);
• $\frac{16}{44} = \frac{4}{11}$ — пары нет;
• $\frac{4}{27}$ и $\frac{9}{22}$ несократимы, пары нет.

Ответ: $\frac{2}{9} = \frac{6}{27}$; $\frac{3}{11} = \frac{15}{55}$.

№ 291

Приведи к знаменателю 30: $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{3}{10}$; $\frac{7}{10}$; $\frac{9}{10}$.

Как думать. Дополнительный множитель: для третей $30 : 3 = 10$, для пятых $30 : 5 = 6$, для шестых $30 : 6 = 5$, для десятых $30 : 10 = 3$.

Решение.

Ответ: $\frac{10}{30}$; $\frac{20}{30}$; $\frac{6}{30}$; $\frac{12}{30}$; $\frac{24}{30}$; $\frac{5}{30}$; $\frac{25}{30}$; $\frac{9}{30}$; $\frac{21}{30}$; $\frac{27}{30}$.

№ 292

Какую часть часа составляет один урок? Можно ли сократить эту дробь? Если да — сократи.

Как думать. В часе 60 минут. Урок в Казахстане обычно длится 45 минут (в некоторых школах — 40). Проверь, сколько длится урок у тебя.

Решение.

1. Урок 45 мин: $\frac{45}{60}$. НОД(45; 60) = 15, $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$.
2. Если урок 40 мин: $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ (делим на 20).

Ответ: $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ часа (при уроке 40 мин — $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$).

№ 293

Какую часть високосного года составляет июнь? Сократима ли дробь? Если да — сократи.

Решение. В июне 30 дней, в високосном году 366. $\frac{30}{366}$: оба числа делятся на 6. $\frac{30 : 6}{366 : 6} = \frac{5}{61}$. Число 61 простое, дальше не сокращается.

Ответ: $\frac{30}{366} = \frac{5}{61}$.

№ 294

Сократи: 1) $\frac{2}{6}$; $\frac{3}{9}$; $\frac{4}{12}$; $\frac{5}{25}$; $\frac{6}{48}$; $\frac{10}{90}$; 2) $\frac{6}{14}$; $\frac{10}{22}$; $\frac{12}{14}$; $\frac{14}{16}$; $\frac{18}{28}$; $\frac{20}{26}$.

Как думать. В первой строке числитель сам является делителем знаменателя — делим на него. Во второй все числа чётные — делим на 2.

Решение.

1. $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{9}$;
2. $\frac{3}{7}$; $\frac{5}{11}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{7}{8}$; $\frac{9}{14}$; $\frac{10}{13}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{1}{9}$; 2) $\frac{3}{7}$; $\frac{5}{11}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{7}{8}$; $\frac{9}{14}$; $\frac{10}{13}$.

№ 295

Сократи: 1) $\frac{6}{9}$; $\frac{12}{15}$; $\frac{18}{21}$; $\frac{30}{33}$; $\frac{24}{27}$; $\frac{36}{39}$; 2) $\frac{5}{15}$; $\frac{10}{35}$; $\frac{6}{18}$; $\frac{14}{49}$; $\frac{16}{40}$; $\frac{100}{200}$.

Решение.

1. Всё делим на 3: $\frac{2}{3}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{10}{11}$; $\frac{8}{9}$; $\frac{12}{13}$.
2. $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ (на 5); $\frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ (на 5); $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ (на 6); $\frac{14}{49} = \frac{2}{7}$ (на 7); $\frac{16}{40} = \frac{2}{5}$ (на 8); $\frac{100}{200} = \frac{1}{2}$ (на 100).

Ответ: 1) $\frac{2}{3}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{10}{11}$; $\frac{8}{9}$; $\frac{12}{13}$; 2) $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{7}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{7}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{1}{2}$.

№ 296

Сократи: $\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6}$; $\frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 4}$; $\frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 2}$; $\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 7}$.

Как думать. Не спеши перемножать! Ищи множитель сверху и множитель снизу с общим делителем и сокращай их.

Решение.

1. 2 и 6 делим на 2: $\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{5}{9}$;
2. 2 и 4 делим на 2: $\frac{1 \cdot 7}{9 \cdot 2} = \frac{7}{18}$;
3. 5 и 20 делим на 5: $\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$;
4. 3 и 9 делим на 3: $\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 7} = \frac{4}{21}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$; $\frac{7}{18}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{4}{21}$.

№ 297

Сократи: $\frac{10 \cdot 3}{23 \cdot 10}$; $\frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 30}$; $\frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 16}$; $\frac{8 \cdot 9}{27 \cdot 16}$.

Решение.

1. Десятки сверху и снизу сокращаются: $\frac{3}{23}$;
2. 10 и 30 делим на 10: $\frac{1 \cdot 2}{21 \cdot 3} = \frac{2}{63}$;
3. 4 и 16 — на 4, 5 и 15 — на 5: $\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$;
4. 8 и 16 — на 8, 9 и 27 — на 9: $\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{3}{23}$; $\frac{2}{63}$; $\frac{1}{12}$; $\frac{1}{6}$.

№ 298

Сократи, если можно: $\frac{32}{46}$; $\frac{10}{80}$; $\frac{135}{315}$; $\frac{142}{204}$; $\frac{225}{425}$.

Решение.

1. $\frac{32}{46} = \frac{16}{23}$ (на 2);
2. $\frac{10}{80} = \frac{1}{8}$ (на 10);
3. $135 = 3^3 \cdot 5$, $315 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$, НОД = 45: $\frac{135}{315} = \frac{3}{7}$;
4. $142 = 2 \cdot 71$, $204 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 17$: $\frac{142}{204} = \frac{71}{102}$;
5. НОД(225; 425) = 25: $\frac{225}{425} = \frac{9}{17}$.

Ответ: $\frac{16}{23}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{3}{7}$; $\frac{71}{102}$; $\frac{9}{17}$.

№ 299

Сократи, если можно: $\frac{21}{49}$; $\frac{41}{282}$; $\frac{45}{702}$; $\frac{23}{32}$; $\frac{36}{54}$.

Решение.

1. $\frac{21}{49} = \frac{3}{7}$ (на 7);
2. 41 — простое, а $282 = 2 \cdot 3 \cdot 47$ на 41 не делится: дробь несократима;
3. $45 = 3^2 \cdot 5$, $702 = 2 \cdot 3^3 \cdot 13$, НОД = 9: $\frac{45}{702} = \frac{5}{78}$;
4. 23 — простое, 32 на него не делится: несократима;
5. НОД(36; 54) = 18: $\frac{36}{54} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$; несократима; $\frac{5}{78}$; несократима; $\frac{2}{3}$.

№ 300

Какую часть месяца составляют сутки?

Как думать. Месяцы бывают разной длины: 30, 31, 28 или 29 дней.

Решение. В месяце из 30 дней сутки — $\frac{1}{30}$ месяца; из 31 дня — $\frac{1}{31}$; в феврале — $\frac{1}{28}$ или $\frac{1}{29}$.

Ответ: $\frac{1}{30}$ (или $\frac{1}{31}$, $\frac{1}{28}$, $\frac{1}{29}$ — смотря какой месяц).

№ 301

1) Торт разрезали на 12 равных кусков, съели 8. Какая часть осталась? 2) Арбуз разрезали на равные куски, съели 10, осталось 5. Какая часть осталась?

Решение.

1. Осталось $12 - 8 = 4$ куска из 12: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
2. Всего кусков $10 + 5 = 15$, осталось 5: $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{3}$ торта; 2) $\frac{1}{3}$ арбуза.

№ 302

Участок разделили на равные грядки: на 2 — горох, на 4 — фасоль, на 6 — морковь. Какую часть участка заняли под каждую культуру?

Решение. Всего грядок $2 + 4 + 6 = 12$.

1. Горох: $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$;
2. фасоль: $\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$;
3. морковь: $\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$.

№ 303

Какие из дробей $\frac{1527}{2103}$; $\frac{2545}{3505}$; $\frac{1018}{1402}$ можно сократить на 2, на 3, на 5? Сократи их. Простыми или составными окажутся числитель и знаменатель?

Как думать. Проверяем признаки делимости у обоих чисел дроби.

Решение.

1. На 2: только $\frac{1018}{1402}$ (оба чётные). $\frac{1018 : 2}{1402 : 2} = \frac{509}{701}$.
2. На 3: только $\frac{1527}{2103}$ (суммы цифр 15 и 6). $\frac{1527 : 3}{2103 : 3} = \frac{509}{701}$.
3. На 5: только $\frac{2545}{3505}$ (оба на 5). $\frac{2545 : 5}{3505 : 5} = \frac{509}{701}$.
4. По таблице простых чисел 509 и 701 — простые.

Ответ: на 2 — $\frac{1018}{1402}$, на 3 — $\frac{1527}{2103}$, на 5 — $\frac{2545}{3505}$; все три равны $\frac{509}{701}$; 509 и 701 — простые числа.

💡 Три совсем разные на вид дроби оказались одной и той же дробью $\frac{509}{701}$!

№ 304

Убедись, что дроби несократимы: $\frac{13 + 4}{13 \cdot 4}$; $\frac{23 + 6}{23 \cdot 6}$; $\frac{31 + 10}{30 - 10}$.

Как думать. Вычисляем числитель и знаменатель. Если числитель простой и знаменатель на него не делится — дробь несократима.

Решение.

1. $\frac{17}{52}$: 17 — простое, $52 = 2^2 \cdot 13$ — общих делителей нет;
2. $\frac{29}{138}$: 29 — простое, $138 = 2 \cdot 3 \cdot 23$ — общих делителей нет;
3. $\frac{41}{20}$: 41 — простое, 20 на него не делится.

Ответ: все три дроби несократимы.

№ 305

Убедись, что дроби несократимы: $\frac{71 - 10}{41 - 10}$; $\frac{41 + 6}{53 \cdot 6}$; $\frac{101 + 2}{109 - 2}$.

Решение.

1. $\frac{61}{31}$: оба числа простые и разные;
2. $\frac{47}{318}$: 47 — простое, $318 = 2 \cdot 3 \cdot 53$;
3. $\frac{103}{107}$: оба числа простые и разные.

Ответ: все три дроби несократимы.

№ 306

Выполни действия в скобках и сократи: $\frac{7 \cdot (90 + 19)}{(63 + 94) \cdot 7}$; $\frac{(735 - 622) \cdot 31}{31 \cdot (239 - 112)}$.

Как думать. Одинаковые множители сверху и снизу (7 и 31) сразу сокращаем.

Решение.

1. $\frac{7 \cdot 109}{157 \cdot 7} = \frac{109}{157}$;
2. $\frac{113 \cdot 31}{31 \cdot 127} = \frac{113}{127}$.

Ответ: $\frac{109}{157}$; $\frac{113}{127}$.

№ 307

Выполни действия в скобках и сократи: $\frac{(111 + 172) \cdot 89}{(111 + 182) \cdot 89}$; $\frac{(719 - 18) \cdot 137}{(719 - 10) \cdot 137}$.

Решение.

1. $\frac{283 \cdot 89}{293 \cdot 89} = \frac{283}{293}$;
2. $\frac{701 \cdot 137}{709 \cdot 137} = \frac{701}{709}$.

Ответ: $\frac{283}{293}$; $\frac{701}{709}$.

№ 308

Выполни действия в скобках и сократи: $\frac{(241 - 230) \cdot (487 + 222)}{(499 - 468) \cdot (1000 - 291)}$; $\frac{(10000 - 9987) \cdot (528 + 379)}{(1996 - 1979) \cdot (10000 - 9093)}$.

Решение.

1. $\frac{11 \cdot 709}{31 \cdot 709} = \frac{11}{31}$;
2. $10000 - 9987 = 13$, $528 + 379 = 907$, $1996 - 1979 = 17$, $10000 - 9093 = 907$: $\frac{13 \cdot 907}{17 \cdot 907} = \frac{13}{17}$.

Ответ: $\frac{11}{31}$; $\frac{13}{17}$.

№ 309

Выполни действия в скобках и сократи: $\frac{(2000 - 1993) \cdot (1011 - 789)}{(2008 - 1989) \cdot (139 + 83)}$; $\frac{(1002 - 997) \cdot (1233 - 678)}{(1111 - 1082) \cdot (477 + 78)}$.

Решение.

1. $\frac{7 \cdot 222}{19 \cdot 222} = \frac{7}{19}$;
2. $\frac{5 \cdot 555}{29 \cdot 555} = \frac{5}{29}$.

Ответ: $\frac{7}{19}$; $\frac{5}{29}$.

№ 310

Прямоугольник 3 × 8 клеток, закрашено 15 клеток. Какая часть закрашена? Запиши дробями с разными знаменателями.

Как думать. Всего $3 \cdot 8 = 24$ клетки, закрашено $4 + 5 + 6 = 15$. Сокращаем и умножаем — получаем разные записи одной дроби.

Решение. $\frac{15}{24}$; сократим на 3: $\frac{5}{8}$; умножим $\frac{5}{8}$ на 2: $\frac{10}{16}$.

Ответ: $\frac{15}{24} = \frac{5}{8} = \frac{10}{16}$.

Уровень B

№ 311

Выпиши все натуральные $a$, меньшие знаменателя, при которых дробь сократима: $\frac{a}{9}$; $\frac{a}{16}$; $\frac{a}{24}$; $\frac{a}{30}$.

Как думать. Дробь сократима, если у $a$ и знаменателя есть общий простой делитель. $9 = 3^2$, $16 = 2^4$, $24 = 2^3 \cdot 3$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Решение.

1. $\frac{a}{9}$: $a$ делится на 3 — 3, 6;
2. $\frac{a}{16}$: $a$ чётное — 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14;
3. $\frac{a}{24}$: $a$ делится на 2 или на 3 — 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22;
4. $\frac{a}{30}$: $a$ делится на 2, 3 или 5 — 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28.

Ответ: списки выше.

💡 Проще найти «лишние» числа. Для 30 несократимы только $a$ = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Все остальные от 1 до 29 подходят.

№ 312

Найди $x$: $\frac{4}{9} = \frac{x}{36}$; $\frac{5}{12} = \frac{25}{x}$; $\frac{x}{8} = \frac{21}{56}$; $\frac{3}{x} = \frac{75}{100}$.

Как думать. Находим, во сколько раз изменилось известное число, и меняем так же второе.

Решение.

1. $36 : 9 = 4$, $x = 4 \cdot 4 = 16$;
2. $25 : 5 = 5$, $x = 12 \cdot 5 = 60$;
3. $\frac{21}{56} = \frac{3}{8}$ (на 7), $x = 3$;
4. $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$ (на 25), $x = 4$.

Ответ: 16; 60; 3; 4.

№ 313

Сократи: $\frac{3a}{33c}$; $\frac{12x}{45y}$; $\frac{20b}{320a}$; $\frac{24y}{18a}$.

Как думать. Буквы разные — их не трогаем. Сокращаем только числа.

Решение.

1. На 3: $\frac{a}{11c}$;
2. на 3: $\frac{4x}{15y}$;
3. на 20: $\frac{b}{16a}$;
4. на 6: $\frac{4y}{3a}$.

Ответ: $\frac{a}{11c}$; $\frac{4x}{15y}$; $\frac{b}{16a}$; $\frac{4y}{3a}$.

№ 314

Сократи: $\frac{2b}{44a}$; $\frac{16x}{42c}$; $\frac{80a}{350x}$; $\frac{36a}{22b}$.

Решение.

1. На 2: $\frac{b}{22a}$;
2. на 2: $\frac{8x}{21c}$;
3. на 10: $\frac{8a}{35x}$;
4. на 2: $\frac{18a}{11b}$.

Ответ: $\frac{b}{22a}$; $\frac{8x}{21c}$; $\frac{8a}{35x}$; $\frac{18a}{11b}$.

№ 315

Замени букву числом: $\frac{3}{5} = \frac{x}{75}$; $\frac{7}{y} = \frac{28}{36}$; $\frac{6}{11} = \frac{54}{x}$.

Решение.

1. $75 : 5 = 15$, $x = 3 \cdot 15 = 45$;
2. $28 : 7 = 4$, $y = 36 : 4 = 9$;
3. $54 : 6 = 9$, $x = 11 \cdot 9 = 99$.

Ответ: 45; 9; 99.

№ 316

Замени букву числом: $\frac{3}{8} = \frac{y}{88}$; $\frac{x}{48} = \frac{3}{8}$; $\frac{24}{78} = \frac{12}{y}$.

Решение.

1. $88 : 8 = 11$, $y = 3 \cdot 11 = 33$;
2. $48 : 8 = 6$, $x = 3 \cdot 6 = 18$;
3. $24 : 12 = 2$, $y = 78 : 2 = 39$.

Ответ: 33; 18; 39.

№ 317

Сократи: $\frac{2^2 \cdot 7}{2 \cdot 7^2}$; $\frac{3^2 \cdot 5^4}{3 \cdot 5^2}$; $\frac{3^2 \cdot 7 \cdot 13^2}{3 \cdot 11 \cdot 13^3}$.

Как думать. Степень — это повторённый множитель. Из одинаковых множителей сверху и снизу вычёркиваем столько, сколько есть в меньшей степени.

Решение.

1. $\frac{2 \cdot 2 \cdot 7}{2 \cdot 7 \cdot 7}$: вычёркиваем одну 2 и одну 7 — $\frac{2}{7}$;
2. $\frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 5}$: остаётся $3 \cdot 5^2 = 75$;
3. вычёркиваем одну 3 и две 13: $\frac{3 \cdot 7}{11 \cdot 13} = \frac{21}{143}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$; 75; $\frac{21}{143}$.

№ 318

Сократи: $\frac{2^5 \cdot 5^2 \cdot 17}{2^3 \cdot 5^2 \cdot 17}$; $\frac{3^2 \cdot 11 \cdot 17^3}{3 \cdot 14 \cdot 17^3}$; $\frac{2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^4}{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5^4}$.

Решение.

1. $5^2$ и 17 сокращаются целиком, от двоек остаётся $2^2$: ответ 4;
2. $17^3$ сокращается, от троек остаётся одна: $\frac{3 \cdot 11}{14} = \frac{33}{14}$;
3. $5^4$ сокращается; двоек сверху остаётся $2^2$, троек снизу — одна: $\frac{4}{3}$.

Ответ: 4; $\frac{33}{14}$; $\frac{4}{3}$.

№ 319

Сократи: $\frac{7 \cdot 5^2 \cdot 13^4}{7^2 \cdot 5^2 \cdot 13^3}$; $\frac{5^3 \cdot 13^3 \cdot 19^2}{5^4 \cdot 13^2 \cdot 19^2}$; $\frac{7^5 \cdot 23^2 \cdot 19^2}{7^4 \cdot 23^3 \cdot 19^2}$.

Решение.

1. Сверху остаётся одна 13, снизу — одна 7: $\frac{13}{7}$;
2. сверху остаётся одна 13, снизу — одна 5: $\frac{13}{5}$;
3. сверху остаётся одна 7, снизу — одна 23: $\frac{7}{23}$.

Ответ: $\frac{13}{7}$; $\frac{13}{5}$; $\frac{7}{23}$.

Уровень C

№ 320

Вынеси общий множитель в числителе и сократи: $\frac{10 \cdot 12 + 10 \cdot 6}{9 \cdot 30}$; $\frac{19 \cdot 4 + 19 \cdot 9}{38 \cdot 26}$; $\frac{17 \cdot 8 - 17 \cdot 3}{17 \cdot 6}$.

Как думать. Распределительное свойство: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$. Числитель станет произведением — тогда его можно сокращать.

Решение.

1. $\frac{10 \cdot (12 + 6)}{9 \cdot 30} = \frac{10 \cdot 18}{9 \cdot 30}$. 10 и 30 — на 10, 18 и 9 — на 9: $\frac{2}{3}$;
2. $\frac{19 \cdot 13}{38 \cdot 26}$. 19 и 38 — на 19, 13 и 26 — на 13: $\frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$;
3. $\frac{17 \cdot 5}{17 \cdot 6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{5}{6}$.

⚠️ Частая ошибка. Сокращать слагаемое нельзя! В $\frac{10 \cdot 12 + 10 \cdot 6}{9 \cdot 30}$ сначала собери числитель в произведение, а только потом сокращай.

№ 321

Вынеси общий множитель в числителе и сократи: $\frac{8 \cdot 5 + 8 \cdot 2}{28 \cdot 6}$; $\frac{16 \cdot 28 - 16 \cdot 3}{16 \cdot 20}$; $\frac{9a + 9b}{27c}$.

Решение.

1. $\frac{8 \cdot 7}{28 \cdot 6} = \frac{56}{168} = \frac{1}{3}$;
2. $\frac{16 \cdot 25}{16 \cdot 20} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}$;
3. $\frac{9 \cdot (a + b)}{27c} = \frac{a + b}{3c}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{5}{4}$; $\frac{a + b}{3c}$.

№ 322

Какие натуральные $x$, не больше знаменателя, делают дробь сократимой: $\frac{x}{10}$; $\frac{x}{15}$; $\frac{x}{12}$; $\frac{x}{20}$?

Как думать. Как в № 311, но теперь $x$ может быть равен знаменателю: дробь $\frac{10}{10}$ тоже сокращается.

Решение.

1. $10 = 2 \cdot 5$: 2, 4, 5, 6, 8, 10;
2. $15 = 3 \cdot 5$: 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15;
3. $12 = 2^2 \cdot 3$: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12;
4. $20 = 2^2 \cdot 5$: 2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20.

Ответ: списки выше.

Готовимся к следующей теме

№ 323

Проверь деление с остатком: $37 : 4 = 8$ (ост. 5); $67 : 9 = 7$ (ост. 4); $154 : 12 = 12$ (ост. 10); $170 : 13 = 13$ (ост. 1).

Как думать. Две проверки: остаток должен быть меньше делителя, и «делитель · частное + остаток» должно дать делимое.

Решение.

1. Остаток 5 больше делителя 4 — неверно. Правильно: $37 : 4 = 9$ (ост. 1);
2. $9 \cdot 7 + 4 = 67$, $4 < 9$ — верно;
3. $12 \cdot 12 + 10 = 154$, $10 < 12$ — верно;
4. $13 \cdot 13 + 1 = 170$, $1 < 13$ — верно.

Ответ: неверно только первое (остаток больше делителя); остальные верны.

№ 324

Раздели с остатком: 227 на 15; 260 на 16; 371 на 19; 402 на 20.

Решение.

1. $15 \cdot 15 = 225$: $227 : 15 = 15$ (ост. 2);
2. $16 \cdot 16 = 256$: $260 : 16 = 16$ (ост. 4);
3. $19 \cdot 19 = 361$: $371 : 19 = 19$ (ост. 10);
4. $20 \cdot 20 = 400$: $402 : 20 = 20$ (ост. 2).

Ответ: 15 (ост. 2); 16 (ост. 4); 19 (ост. 10); 20 (ост. 2).

№ 325

Раздели с остатком и сделай проверку: $42,305 : 6$; $56,327 : 8$; $21,283 : 7$; $322,802 : 4$.

Решение.

1. $42,305 : 6 = 7050$ (ост. 5). Проверка: $6 \cdot 7050 + 5 = 42,305$;
2. $56,327 : 8 = 7040$ (ост. 7). Проверка: $8 \cdot 7040 + 7 = 56,327$;
3. $21,283 : 7 = 3040$ (ост. 3). Проверка: $7 \cdot 3040 + 3 = 21,283$;
4. $322,802 : 4 = 80,700$ (ост. 2). Проверка: $4 \cdot 80,700 + 2 = 322,802$.

Ответ: 7050 (ост. 5); 7040 (ост. 7); 3040 (ост. 3); 80 700 (ост. 2).

Шпаргалка

• Числитель и знаменатель умножаем или делим на одно и то же число — дробь не меняется.
• Новый знаменатель должен быть кратен старому. Множитель = новый : старый.
• Сокращать можно по шагам (признаки делимости), через разложение или сразу на НОД.
• В произведениях сокращаем множители, в суммах — только после вынесения общего множителя.
• Сокращаем до несократимой дроби.

Мини-тест