§ 18. Правильные и неправильные обыкновенные дроби. Смешанные числа

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 92–95.

Чему научишься

• Отличать правильную дробь от неправильной с одного взгляда.
• Понимать, почему $\frac{7}{7} = 1$.
• Читать и записывать смешанные числа вроде $3\frac{1}{2}$.
• Называть у смешанного числа целую и дробную части.

Разминка

Это задания № 323–325 из прошлого урока: вспоминаем деление с остатком. Сегодня оно пригодится.

• Верно ли: $37 : 4 = 8$ (ост. 5)? Нет! Остаток 5 больше делителя 4. Правильно: $37 : 4 = 9$ (ост. 1).
• А $67 : 9 = 7$ (ост. 4)? Верно: $9 \cdot 7 + 4 = 67$.
• $154 : 12 = 12$ (ост. 10) и $170 : 13 = 13$ (ост. 1)? Оба верны: $144 + 10 = 154$, $169 + 1 = 170$.
• Раздели с остатком 227 на 15, 260 на 16, 371 на 19, 402 на 20. 15 (ост. 2); 16 (ост. 4); 19 (ост. 10); 20 (ост. 2).
• $42,305 : 6$? 7050 (ост. 5). Проверка: $6 \cdot 7050 + 5 = 42,305$. Остальные: $56,327 : 8 = 7040$ (ост. 7); $21,283 : 7 = 3040$ (ост. 3); $322,802 : 4 = 80,700$ (ост. 2).

💡 Главное правило деления с остатком: остаток всегда меньше делителя. Запомни его — на следующем уроке оно станет ключом к смешанным числам.

Разбираемся

Дроби бывают «скромные» и «жадные»

Посмотри на дроби $\frac{2}{3}$, $\frac{7}{10}$, $\frac{19}{20}$. У каждой числитель меньше знаменателя. Такие дроби меньше целого, их называют правильными.

А теперь $\frac{5}{3}$, $\frac{9}{4}$, $\frac{17}{15}$, $\frac{18}{18}$. Тут числитель больше знаменателя или равен ему. Это неправильные дроби: они равны целому или даже больше.

📌 Правильная дробь: числитель меньше знаменателя. Неправильная: числитель больше или равен знаменателю.

Почему $\frac{6}{6} = 1$

Разрежь лепёшку на 6 равных кусков и возьми все 6. У тебя снова целая лепёшка! Так и $\frac{14}{14} = 1$, и $\frac{127}{127} = 1$. В общем виде: $\frac{a}{a} = 1$. Только $a$ не может быть нулём — делить на нуль нельзя.

Три с половиной ягоды

Асем и Зарина делят поровну 7 ягод клубники. Можно разрезать каждую ягоду пополам: выйдет 14 половинок, каждой по 7. Значит, у каждой $\frac{7}{2}$ ягоды: $7 : 2 = \frac{7}{2}$.

А можно иначе: сначала взять по 3 целые ягоды, а последнюю разрезать. Тогда у каждой $3 + \frac{1}{2}$ ягоды. Эту сумму пишут коротко: $3\frac{1}{2}$ и читают «три целых одна вторая».

📌 Число, у которого есть целая часть и дробная часть, называют смешанным. В $3\frac{1}{2}$ целая часть — 3, дробная — $\frac{1}{2}$.

⚠️ Частая ошибка. $3\frac{1}{2}$ — это не «3 умножить на $\frac{1}{2}$»! Между частями спрятан знак плюс: $3\frac{1}{2} = 3 + \frac{1}{2}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Спросите за ужином: «Ты съел два целых баурсака и ещё половинку — как это записать?» Если ребёнок пишет $2\frac{1}{2}$, тема понята.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Какую дробь называют правильной? Ту, у которой числитель меньше знаменателя. Например, $\frac{3}{5}$.
• Какую дробь называют неправильной? Ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему: $\frac{7}{5}$, $\frac{5}{5}$.
• Когда дробь равна 1? Когда числитель равен знаменателю: $\frac{a}{a} = 1$.
• Какие числа называют смешанными? Те, что состоят из целой и дробной частей: $4\frac{5}{7}$.
• Какой знак пропускают между целой и дробной частью? Знак сложения: $4\frac{5}{7} = 4 + \frac{5}{7}$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 326

Из дробей $\frac{1}{2}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{6}{5}$; $\frac{7}{11}$; $\frac{19}{20}$; $\frac{23}{18}$; $\frac{11}{41}$; $\frac{7}{5}$; $\frac{201}{200}$; $\frac{91}{91}$ выбери правильные и неправильные.

Как думать. Сравни числитель (верх) со знаменателем (низ). Верх меньше — дробь правильная.

Решение.

1. Правильные: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{7}{11}$, $\frac{19}{20}$, $\frac{11}{41}$.
2. Неправильные: $\frac{6}{5}$, $\frac{23}{18}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{201}{200}$, $\frac{91}{91}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{2}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{7}{11}$; $\frac{19}{20}$; $\frac{11}{41}$; 2) $\frac{6}{5}$; $\frac{23}{18}$; $\frac{7}{5}$; $\frac{201}{200}$; $\frac{91}{91}$.

№ 327

Прочитай смешанные числа $3\frac{1}{4}$; $8\frac{5}{7}$; $7\frac{1}{12}$; $9\frac{7}{9}$; $41\frac{7}{16}$; $81\frac{13}{25}$ и назови их целую и дробную части.

Решение.

Ответ: в таблице.

№ 328

Запиши смешанные числа: две целых три пятых; шесть целых четыре девятых; четырнадцать целых три сотых; сто целых одна десятая; двадцать пять целых двадцать три двадцать пятых; шестьсот целых шесть сотых.

Как думать. Число перед словом «целых» — целая часть. Дальше идут числитель и знаменатель: «три пятых» — это $\frac{3}{5}$.

Решение. 1) $2\frac{3}{5}$; 2) $6\frac{4}{9}$; 3) $14\frac{3}{100}$; 4) $100\frac{1}{10}$; 5) $25\frac{23}{25}$; 6) $600\frac{6}{100}$.

Ответ: $2\frac{3}{5}$; $6\frac{4}{9}$; $14\frac{3}{100}$; $100\frac{1}{10}$; $25\frac{23}{25}$; $600\frac{6}{100}$.

№ 329

1) Назови все неправильные дроби с числителем 7. 2) Все правильные дроби со знаменателем 11. 3) Несколько дробей, равных единице.

Как думать. У неправильной дроби знаменатель не больше числителя. Значит, при числителе 7 знаменатель может быть от 1 до 7.

Решение.

1. $\frac{7}{1}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{7}{4}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{7}{7}$ — всего 7 дробей.
2. Числитель от 1 до 10: $\frac{1}{11}$, $\frac{2}{11}$, $\frac{3}{11}$, …, $\frac{10}{11}$ — всего 10 дробей.
3. Например, $\frac{2}{2}$, $\frac{5}{5}$, $\frac{100}{100}$.

Ответ: 1) $\frac{7}{1}$; $\frac{7}{2}$; …; $\frac{7}{7}$; 2) $\frac{1}{11}$; $\frac{2}{11}$; …; $\frac{10}{11}$; 3) например, $\frac{2}{2}$; $\frac{5}{5}$; $\frac{100}{100}$.

№ 330

Запиши суммы смешанными числами и прочитай их: $2 + \frac{1}{4}$; $4 + \frac{2}{7}$; $1 + \frac{3}{11}$; $3 + \frac{4}{7}$; $8 + \frac{8}{9}$; $9 + \frac{2}{5}$; $205 + \frac{35}{81}$; $20 + \frac{1}{9}$; $59 + \frac{1}{9}$; $61 + \frac{8}{9}$; $88 + \frac{7}{25}$; $7 + \frac{3}{5}$.

Как думать. Убираем знак «плюс» — и готово.

Решение. 1) $2\frac{1}{4}$; 2) $4\frac{2}{7}$; 3) $1\frac{3}{11}$; 4) $3\frac{4}{7}$; 5) $8\frac{8}{9}$; 6) $9\frac{2}{5}$; 7) $205\frac{35}{81}$; 8) $20\frac{1}{9}$; 9) $59\frac{1}{9}$; 10) $61\frac{8}{9}$; 11) $88\frac{7}{25}$; 12) $7\frac{3}{5}$. Читаем, например: «двести пять целых тридцать пять восемьдесят первых».

Ответ: $2\frac{1}{4}$; $4\frac{2}{7}$; $1\frac{3}{11}$; $3\frac{4}{7}$; $8\frac{8}{9}$; $9\frac{2}{5}$; $205\frac{35}{81}$; $20\frac{1}{9}$; $59\frac{1}{9}$; $61\frac{8}{9}$; $88\frac{7}{25}$; $7\frac{3}{5}$.

№ 331

Запиши смешанные числа суммой целой и дробной частей: $4\frac{6}{7}$; $1\frac{11}{13}$; $9\frac{25}{109}$; $12\frac{19}{52}$; $17\frac{62}{63}$; $6\frac{4}{7}$; $3\frac{3}{20}$; $2\frac{27}{100}$; $60\frac{91}{207}$; $35\frac{85}{209}$.

Как думать. Это № 330 наоборот: возвращаем спрятанный плюс.

Решение. 1) $4 + \frac{6}{7}$; 2) $1 + \frac{11}{13}$; 3) $9 + \frac{25}{109}$; 4) $12 + \frac{19}{52}$; 5) $17 + \frac{62}{63}$; 6) $6 + \frac{4}{7}$; 7) $3 + \frac{3}{20}$; 8) $2 + \frac{27}{100}$; 9) $60 + \frac{91}{207}$; 10) $35 + \frac{85}{209}$.

Ответ: записи выше.

№ 332

Запиши: 1) две правильные дроби со знаменателем 9; 2) две неправильные со знаменателем 9; 3) дробь со знаменателем 9, равную 1.

Решение. 1) Числитель меньше 9: например, $\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{9}$. 2) Числитель 9 или больше: например, $\frac{10}{9}$ и $\frac{13}{9}$. 3) Такая дробь одна: $\frac{9}{9}$.

Ответ: например, $\frac{2}{9}$, $\frac{5}{9}$; $\frac{10}{9}$, $\frac{13}{9}$; $\frac{9}{9}$.

№ 333

Запиши три правильные и три неправильные дроби, у которых сумма числителя и знаменателя равна 20.

Как думать. Раскладываем 20 на два слагаемых. Меньшее наверх — дробь правильная, большее наверх — неправильная.

Решение.

1. $1 + 19$, $3 + 17$, $9 + 11$ → правильные $\frac{1}{19}$, $\frac{3}{17}$, $\frac{9}{11}$.
2. Переворачиваем: $\frac{19}{1}$, $\frac{17}{3}$, $\frac{11}{9}$ — неправильные. Подходит и $\frac{10}{10}$.

Ответ: например, $\frac{1}{19}$, $\frac{3}{17}$, $\frac{9}{11}$ и $\frac{19}{1}$, $\frac{17}{3}$, $\frac{11}{9}$.

№ 334

Запиши по три дроби, у которых: 1) числитель больше знаменателя на 4; 2) знаменатель больше числителя на 15; 3) числитель больше знаменателя в 5 раз; 4) знаменатель больше числителя в 3 раза. Какие из них правильные?

Решение.

1. $\frac{5}{1}$, $\frac{7}{3}$, $\frac{9}{5}$ — неправильные (верх больше).
2. $\frac{1}{16}$, $\frac{2}{17}$, $\frac{5}{20}$ — правильные.
3. $\frac{5}{1}$, $\frac{10}{2}$, $\frac{15}{3}$ — неправильные.
4. $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{6}$, $\frac{5}{15}$ — правильные.

Ответ: в пунктах 1 и 3 дроби неправильные, в пунктах 2 и 4 — правильные (примеры выше).

№ 335

Запиши числа 1; 3; 17 дробями со знаменателями 1, 2, 3, 10, 100. Какие из дробей правильные?

Как думать. Число $n$ — это $n$ целых. В одном целом $d$ частей по $\frac{1}{d}$. Значит, числитель равен $n \cdot d$.

Решение.

Ответ: дроби в таблице; все они неправильные — каждая равна 1 или больше.

№ 336

Замени дроби натуральными числами: $\frac{14}{2}$; $\frac{56}{4}$; $\frac{35}{7}$; $\frac{120}{20}$; $\frac{88}{8}$; $\frac{98}{7}$; $\frac{60}{15}$; $\frac{207}{9}$; $\frac{420}{60}$; $\frac{609}{203}$.

Как думать. Дробная черта — это знак деления. Делим числитель на знаменатель.

Решение. $14 : 2 = 7$; $56 : 4 = 14$; $35 : 7 = 5$; $120 : 20 = 6$; $88 : 8 = 11$; $98 : 7 = 14$; $60 : 15 = 4$; $207 : 9 = 23$; $420 : 60 = 7$; $609 : 203 = 3$.

Ответ: 7; 14; 5; 6; 11; 14; 4; 23; 7; 3.

Уровень B

№ 337

Запиши смешанное число: 1) знаменатель 4, числитель на 1 меньше, целая часть в 2 раза больше знаменателя; 2) целая часть 13, знаменатель больше неё на 5, числитель на 7 меньше знаменателя; 3) знаменатель 19, он на 2 больше и числителя, и целой части; 4) числитель 49, он на 1 меньше знаменателя, а целая часть равна сумме числителя и знаменателя.

Как думать. Находим по очереди знаменатель, числитель и целую часть, потом собираем число.

Решение.

1. Знаменатель 4, числитель $4 - 1 = 3$, целая часть $4 \cdot 2 = 8$ → $8\frac{3}{4}$.
2. Целая часть 13, знаменатель $13 + 5 = 18$, числитель $18 - 7 = 11$ → $13\frac{11}{18}$.
3. Знаменатель 19, числитель и целая часть $19 - 2 = 17$ → $17\frac{17}{19}$.
4. Числитель 49, знаменатель $49 + 1 = 50$, целая часть $49 + 50 = 99$ → $99\frac{49}{50}$.

Ответ: $8\frac{3}{4}$; $13\frac{11}{18}$; $17\frac{17}{19}$; $99\frac{49}{50}$.

№ 338

При каких $x$ дробь $\frac{10 + x}{16}$ правильная, а дробь $\frac{18}{x + 11}$ неправильная?

Как думать. Правильная — верх меньше низа. Неправильная — верх больше низа или равен ему. Подбираем $x$ среди чисел 0, 1, 2, …

Решение.

1. Нужно $10 + x < 16$, то есть $x < 6$: $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
2. Нужно $18 \ge x + 11$, то есть $x \le 7$: $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Ответ: 1) $x = 0; 1; 2; 3; 4; 5$; 2) $x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7$.

№ 339

При каких натуральных $n$ дробь $\frac{11 - n}{24}$ правильная, а дробь $\frac{15}{9 - n}$ неправильная?

Как думать. Числитель и знаменатель дроби — натуральные числа, то есть не меньше 1.

Решение.

1. $11 - n$ всегда меньше 24. Но числитель должен быть не меньше 1, значит, $n \le 10$. Подходят $n = 1, 2, …, 10$.
2. Знаменатель $9 - n$ не меньше 1, значит, $n \le 8$. При этом знаменатель не больше 8, а 15 больше него. Подходят $n = 1, 2, …, 8$.

Ответ: 1) $n = 1; 2; …; 10$; 2) $n = 1; 2; …; 8$.

Уровень C

№ 340

Запиши все правильные дроби: знаменатель — наименьшее двузначное простое число, числители — простые числа.

Как думать. Наименьшее двузначное простое число — 11. Простые числа меньше 11: 2, 3, 5, 7.

Решение. $\frac{2}{11}$, $\frac{3}{11}$, $\frac{5}{11}$, $\frac{7}{11}$.

Ответ: $\frac{2}{11}$; $\frac{3}{11}$; $\frac{5}{11}$; $\frac{7}{11}$.

№ 341

Запиши все неправильные дроби: числитель — НОД (34; 85), знаменатели — числа, кратные трём.

Как думать. Сначала найди числитель, потом подбери знаменатели, которые не больше него.

Решение. НОД (34; 85) = 17. Знаменатели: 3, 6, 9, 12, 15.

Ответ: $\frac{17}{3}$; $\frac{17}{6}$; $\frac{17}{9}$; $\frac{17}{12}$; $\frac{17}{15}$.

Готовимся к следующей теме

№ 342

Замени дроби частным и раздели с остатком: $\frac{29}{7}$; $\frac{31}{19}$; $\frac{89}{37}$.

Как думать. $\frac{29}{7}$ — это $29 : 7$.

Решение. 1) $29 : 7 = 4$ (ост. 1); 2) $31 : 19 = 1$ (ост. 12); 3) $89 : 37 = 2$ (ост. 15).

Ответ: 4 (ост. 1); 1 (ост. 12); 2 (ост. 15).

№ 343

То же для $\frac{127}{100}$; $\frac{405}{53}$; $\frac{601}{71}$.

Решение. 1) $127 : 100 = 1$ (ост. 27); 2) $405 : 53 = 7$ (ост. 34), так как $53 \cdot 7 = 371$; 3) $601 : 71 = 8$ (ост. 33), так как $71 \cdot 8 = 568$.

Ответ: 1 (ост. 27); 7 (ост. 34); 8 (ост. 33).

№ 344

Раздели с остатком: $49 : 10$; $348 : 25$; $1000 : 99$.

Решение. 1) $49 : 10 = 4$ (ост. 9); 2) $348 : 25 = 13$ (ост. 23), так как $25 \cdot 13 = 325$; 3) $1000 : 99 = 10$ (ост. 10), так как $99 \cdot 10 = 990$.

Ответ: 4 (ост. 9); 13 (ост. 23); 10 (ост. 10).

№ 345

Найди неизвестные числа в таблице (делимое; делитель; частное; остаток): (40; 9; 6; ?), (61; 8; ?; 5), (94; ?; 7; 3), (?; 10; 12; 7).

Как думать. Пригодится формула: делимое = делитель · частное + остаток.

Решение.

1. $40 : 9$: $9 \cdot 4 = 36$, остаток 4. Частное 6 здесь не выходит: $9 \cdot 6 = 54$, это больше 40. Похоже на опечатку. Если делимое 60, то $60 : 9 = 6$ (ост. 6).
2. $61 - 5 = 56$, $56 : 8 = 7$ — частное 7.
3. $94 - 3 = 91$, $91 : 7 = 13$ — делитель 13.
4. $10 \cdot 12 + 7 = 127$ — делимое 127.

Ответ: 1) $40 : 9 = 4$ (ост. 4) (при частном 6 и делимом 60 остаток 6); 2) 7; 3) 13; 4) 127.

Шпаргалка

• Правильная дробь меньше 1, неправильная — равна 1 или больше.
• Числитель равен знаменателю — дробь равна 1.
• $4\frac{5}{7} = 4 + \frac{5}{7}$: 4 — целая часть, $\frac{5}{7}$ — дробная.
• Дробная часть смешанного числа — всегда правильная дробь.

Мини-тест