§ 19. Перевод неправильной дроби в смешанное число и смешанного числа в неправильную дробь

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 96–99.

Чему научишься

• Выделять целую часть из неправильной дроби: $\frac{59}{9} = 6\frac{5}{9}$.
• Превращать смешанное число обратно в дробь: $5\frac{7}{9} = \frac{52}{9}$.
• Понимать, что частное и остаток — это целая часть и числитель.
• Отвечать дробью на вопрос «во сколько раз больше?», когда нацело не делится.

Разминка

Это задания № 342–345 из прошлого урока. Деление с остатком — главный инструмент сегодня.

• $29 : 7$? 4 (ост. 1). $31 : 19$? 1 (ост. 12). $89 : 37$? 2 (ост. 15).
• $127 : 100$? 1 (ост. 27). $405 : 53$? 7 (ост. 34). $601 : 71$? 8 (ост. 33).
• $49 : 10$, $348 : 25$, $1000 : 99$? 4 (ост. 9); 13 (ост. 23); 10 (ост. 10).
• Какое делимое, если делитель 10, частное 12, остаток 7? $10 \cdot 12 + 7 = 127$.

💡 Посмотри: $\frac{127}{100}$ — это $127 : 100 = 1$ (ост. 27). А в смешанном числе $1\frac{27}{100}$ те же самые 1 и 27! Сегодня разберёмся, почему.

Разбираемся

Семь груш на четверых

Мама принесла 7 груш, а детей четверо. Каждому дают по целой груше — ушло 4. Оставшиеся 3 груши режут на 4 части каждую: получилось 12 четвертинок, каждому по 3. Итого у каждого $1\frac{3}{4}$ груши.

С другой стороны, $7 : 4 = \frac{7}{4}$. Значит, $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.

Частное — целая часть, остаток — числитель

Запишем $7 : 4 = 1$ (ост. 3) и сравним с $1\frac{3}{4}$. Частное 1 стало целой частью. Остаток 3 стал числителем. А делитель 4 остался знаменателем.

📌 Как выделить целую часть. Раздели числитель на знаменатель с остатком. Частное — целая часть, остаток — числитель, знаменатель не меняется.

А теперь обратно

Как из $1\frac{3}{4}$ снова получить $\frac{7}{4}$? В одной целой груше 4 четвертинки. Добавим ещё 3 — получится $1 \cdot 4 + 3 = 7$ четвертинок, то есть $\frac{7}{4}$.

📌 Смешанное число → неправильная дробь. Целую часть умножь на знаменатель и прибавь числитель. Результат — новый числитель. Знаменатель тот же: $5\frac{7}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{52}{9}$.

⚠️ Частая ошибка. Пишут $5\frac{7}{9} = \frac{5 + 7}{9} = \frac{12}{9}$ — забывают умножить. Проверка простая: $5\frac{7}{9}$ больше 5, а $\frac{12}{9}$ чуть больше 1. Не сходится!

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка объяснить на конфетах: «В коробке 8 конфет. У тебя 2 целые коробки и 3 конфеты — сколько всего конфет?» Это ровно $2\frac{3}{8} = \frac{19}{8}$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как перевести неправильную дробь в смешанное число? Разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное — целая часть, остаток — числитель, знаменатель прежний.
• Как записать смешанное число неправильной дробью? Целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель — это новый числитель. Знаменатель не меняется.
• Как выделить целую часть из неправильной дроби? Это то же самое, что перевести её в смешанное число: делим с остатком.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 346

Проверь равенства: $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$; $\frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$; $\frac{28}{5} = 5\frac{3}{5}$; $\frac{51}{10} = 5\frac{1}{10}$; $\frac{77}{12} = 6\frac{5}{12}$; $\frac{150}{13} = 11\frac{7}{13}$.

Как думать. Дели числитель на знаменатель с остатком и сравнивай.

Решение.

1. $9 : 5 = 1$ (ост. 4) — верно.
2. $15 : 7 = 2$ (ост. 1) — верно.
3. $28 : 5 = 5$ (ост. 3) — верно.
4. $51 : 10 = 5$ (ост. 1) — верно.
5. $77 : 12 = 6$ (ост. 5), так как $12 \cdot 6 = 72$ — верно.
6. $150 : 13 = 11$ (ост. 7), так как $13 \cdot 11 = 143$ — верно.

Ответ: все шесть равенств верны.

№ 347

Проверь равенства: $7\frac{1}{5} = \frac{36}{5}$; $4\frac{3}{10} = \frac{43}{10}$; $9\frac{6}{7} = \frac{69}{7}$; $12\frac{3}{5} = \frac{63}{5}$; $10\frac{8}{9} = \frac{98}{9}$; $14\frac{2}{11} = \frac{156}{11}$.

Как думать. Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель.

Решение.

1. $7 \cdot 5 + 1 = 36$ — верно.
2. $4 \cdot 10 + 3 = 43$ — верно.
3. $9 \cdot 7 + 6 = 69$ — верно.
4. $12 \cdot 5 + 3 = 63$ — верно.
5. $10 \cdot 9 + 8 = 98$ — верно.
6. $14 \cdot 11 + 2 = 156$ — верно.

Ответ: все шесть равенств верны.

№ 348

Переведи в смешанные числа: $\frac{13}{4}$; $\frac{19}{7}$; $\frac{35}{9}$; $\frac{68}{11}$; $\frac{91}{16}$; $\frac{141}{10}$; $\frac{171}{13}$; $\frac{337}{16}$; $\frac{905}{31}$; $\frac{1000}{29}$.

Как думать. Каждый раз делим с остатком.

Решение.

Ответ: $3\frac{1}{4}$; $2\frac{5}{7}$; $3\frac{8}{9}$; $6\frac{2}{11}$; $5\frac{11}{16}$; $14\frac{1}{10}$; $13\frac{2}{13}$; $21\frac{1}{16}$; $29\frac{6}{31}$; $34\frac{14}{29}$.

№ 349

Запиши неправильными дробями: $3\frac{3}{4}$; $5\frac{7}{10}$; $14\frac{4}{5}$; $8\frac{7}{12}$; $24\frac{3}{4}$; $15\frac{3}{7}$; $9\frac{9}{11}$; $14\frac{20}{21}$; $12\frac{3}{23}$; $15\frac{5}{24}$.

Как думать. Целая часть × знаменатель + числитель.

Решение.

1. $3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$
2. $5\frac{7}{10} = \frac{50 + 7}{10} = \frac{57}{10}$
3. $14\frac{4}{5} = \frac{70 + 4}{5} = \frac{74}{5}$
4. $8\frac{7}{12} = \frac{96 + 7}{12} = \frac{103}{12}$
5. $24\frac{3}{4} = \frac{96 + 3}{4} = \frac{99}{4}$
6. $15\frac{3}{7} = \frac{105 + 3}{7} = \frac{108}{7}$
7. $9\frac{9}{11} = \frac{99 + 9}{11} = \frac{108}{11}$
8. $14\frac{20}{21} = \frac{294 + 20}{21} = \frac{314}{21}$
9. $12\frac{3}{23} = \frac{276 + 3}{23} = \frac{279}{23}$
10. $15\frac{5}{24} = \frac{360 + 5}{24} = \frac{365}{24}$

Ответ: $\frac{15}{4}$; $\frac{57}{10}$; $\frac{74}{5}$; $\frac{103}{12}$; $\frac{99}{4}$; $\frac{108}{7}$; $\frac{108}{11}$; $\frac{314}{21}$; $\frac{279}{23}$; $\frac{365}{24}$.

№ 350

Запиши частное дробью и выдели целую часть: $8 : 5$; $17 : 6$; $26 : 7$; $49 : 9$; $65 : 8$; $81 : 13$; $131 : 10$; $202 : 15$; $427 : 24$.

Решение. 1) $\frac{8}{5} = 1\frac{3}{5}$; 2) $\frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}$; 3) $\frac{26}{7} = 3\frac{5}{7}$; 4) $\frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$; 5) $\frac{65}{8} = 8\frac{1}{8}$; 6) $\frac{81}{13} = 6\frac{3}{13}$; 7) $\frac{131}{10} = 13\frac{1}{10}$; 8) $\frac{202}{15} = 13\frac{7}{15}$; 9) $\frac{427}{24} = 17\frac{19}{24}$.

Ответ: $1\frac{3}{5}$; $2\frac{5}{6}$; $3\frac{5}{7}$; $5\frac{4}{9}$; $8\frac{1}{8}$; $6\frac{3}{13}$; $13\frac{1}{10}$; $13\frac{7}{15}$; $17\frac{19}{24}$.

№ 351

1 м³ сухой сосны весит 650 кг, сырой — 750 кг; тополя — 600 кг и 800 кг; берёзы — 800 кг и 950 кг. Во сколько раз сырое дерево тяжелее сухого?

Как думать. «Во сколько раз» — значит делим большее на меньшее. Нацело не делится — пишем дробь, сокращаем и выделяем целую часть.

Решение.

1. Сосна: $750 : 650 = \frac{750}{650} = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13}$.
2. Тополь: $800 : 600 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
3. Берёза: $950 : 800 = \frac{95}{80} = \frac{19}{16} = 1\frac{3}{16}$.

Ответ: в $1\frac{2}{13}$ раза; в $1\frac{1}{3}$ раза; в $1\frac{3}{16}$ раза.

🌟 Сырое дерево тяжелее из-за воды. Поэтому дрова для печи в ауле сушат всё лето — сухие горят лучше и весят меньше.

№ 352

Глубина Каспийского моря около 1027 м, озера Балхаш — 27 м. Во сколько раз Каспий глубже?

Решение. $1027 : 27 = 38$ (ост. 1), значит, $\frac{1027}{27} = 38\frac{1}{27}$.

Ответ: в $38\frac{1}{27}$ раза.

№ 353

Авианосец идёт со скоростью 30 узлов, это 56 км/ч. Сколько км/ч в одном узле?

Решение. $56 : 30 = \frac{56}{30} = \frac{28}{15} = 1\frac{13}{15}$ км/ч.

Ответ: $1\frac{13}{15}$ км/ч.

№ 354

Волк бегает со скоростью от 15 до 20 км/ч и без отдыха пробегает до 200 км. Сколько времени он может бежать?

Как думать. Время = путь : скорость. Скорость бывает разной, поэтому ответ — промежуток.

Решение.

1. Быстро (20 км/ч): $200 : 20 = 10$ ч.
2. Медленно (15 км/ч): $200 : 15 = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$ ч, то есть 13 ч 20 мин.

Ответ: от 10 ч до $13\frac{1}{3}$ ч.

Уровень B

№ 355

Запиши неправильными дробями: $11\frac{9}{11}$; $12\frac{7}{12}$; $13\frac{11}{13}$; $14\frac{3}{14}$; $15\frac{8}{15}$; $16\frac{13}{16}$.

Как думать. Тут целая часть равна знаменателю, значит, надо возвести его в квадрат: $11 \cdot 11 = 121$.

Решение. 1) $\frac{121 + 9}{11} = \frac{130}{11}$; 2) $\frac{144 + 7}{12} = \frac{151}{12}$; 3) $\frac{169 + 11}{13} = \frac{180}{13}$; 4) $\frac{196 + 3}{14} = \frac{199}{14}$; 5) $\frac{225 + 8}{15} = \frac{233}{15}$; 6) $\frac{256 + 13}{16} = \frac{269}{16}$.

Ответ: $\frac{130}{11}$; $\frac{151}{12}$; $\frac{180}{13}$; $\frac{199}{14}$; $\frac{233}{15}$; $\frac{269}{16}$.

№ 356

Найди числитель неправильной дроби, равной: $101\frac{1}{30}$; $190\frac{9}{10}$; $30\frac{3}{100}$; $50\frac{1}{20}$; $125\frac{11}{80}$; $40\frac{111}{250}$.

Решение. 1) $101 \cdot 30 + 1 = 3031$; 2) $190 \cdot 10 + 9 = 1909$; 3) $30 \cdot 100 + 3 = 3003$; 4) $50 \cdot 20 + 1 = 1001$; 5) $125 \cdot 80 + 11 = 10,011$; 6) $40 \cdot 250 + 111 = 10,111$.

Ответ: 3031; 1909; 3003; 1001; 10 011; 10 111.

№ 357

Средняя и наибольшая продолжительность жизни: жираф 12 и 25 лет, белка 7 и 15 лет, ящерица 7 и 12 лет, журавль 13 и 50 лет. Во сколько раз наибольшая больше средней?

Решение.

1. Жираф: $\frac{25}{12} = 2\frac{1}{12}$.
2. Белка: $\frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$.
3. Ящерица: $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$.
4. Журавль: $\frac{50}{13} = 3\frac{11}{13}$.

Ответ: в $2\frac{1}{12}$; $2\frac{1}{7}$; $1\frac{5}{7}$; $3\frac{11}{13}$ раза.

Уровень C

№ 358

Раздели наибольшее четырёхзначное число на наибольшее чётное двузначное, запиши частное дробью и выдели целую часть.

Как думать. Не попадись: 99 — нечётное число.

Решение. $\frac{9999}{98} = 102\frac{3}{98}$.

Ответ: $\frac{9999}{98} = 102\frac{3}{98}$.

№ 359

800 кг овощей раскладывают в ящики по 19 кг. Сколько нужно ящиков?

Как думать. Задача с подвохом! Остаток тоже надо куда-то положить.

Решение. $800 : 19 = 42$ (ост. 2), то есть $\frac{800}{19} = 42\frac{2}{19}$. 42 ящика заполнятся полностью, а 2 кг пойдут в ещё один ящик: $42 + 1 = 43$.

Ответ: 43 ящика.

⚠️ Частая ошибка. Ответ «42» — тогда 2 кг овощей останутся на полу. Если спрашивают «сколько нужно», неполный ящик тоже считается.

Готовимся к следующей теме

№ 360

Приведи дроби: 1) $\frac{1}{2}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{7}{9}$; $\frac{11}{12}$; $\frac{17}{18}$ к знаменателю 36; 2) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{4}{7}$; $\frac{5}{14}$; $\frac{8}{21}$; $\frac{1}{6}$ к знаменателю 42.

Как думать. Узнай, во сколько раз новый знаменатель больше старого (дополнительный множитель), и умножь на него числитель.

Решение.

1. $\frac{1}{2} = \frac{18}{36}$; $\frac{3}{4} = \frac{27}{36}$; $\frac{5}{6} = \frac{30}{36}$; $\frac{7}{9} = \frac{28}{36}$; $\frac{11}{12} = \frac{33}{36}$; $\frac{17}{18} = \frac{34}{36}$.
2. $\frac{1}{2} = \frac{21}{42}$; $\frac{2}{3} = \frac{28}{42}$; $\frac{4}{7} = \frac{24}{42}$; $\frac{5}{14} = \frac{15}{42}$; $\frac{8}{21} = \frac{16}{42}$; $\frac{1}{6} = \frac{7}{42}$.

Ответ: 1) $\frac{18}{36}$; $\frac{27}{36}$; $\frac{30}{36}$; $\frac{28}{36}$; $\frac{33}{36}$; $\frac{34}{36}$; 2) $\frac{21}{42}$; $\frac{28}{42}$; $\frac{24}{42}$; $\frac{15}{42}$; $\frac{16}{42}$; $\frac{7}{42}$.

№ 361

Приведи дроби: 1) $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{7}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{14}$; $\frac{13}{28}$ к знаменателю 56; 2) $\frac{4}{8}$; $\frac{2}{9}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{5}{12}$; $\frac{11}{18}$; $\frac{7}{36}$ к знаменателю 72.

Решение.

1. $\frac{3}{8} = \frac{21}{56}$; $\frac{5}{7} = \frac{40}{56}$; $\frac{1}{4} = \frac{14}{56}$; $\frac{1}{14} = \frac{4}{56}$; $\frac{13}{28} = \frac{26}{56}$.
2. $\frac{4}{8} = \frac{36}{72}$; $\frac{2}{9} = \frac{16}{72}$; $\frac{1}{6} = \frac{12}{72}$; $\frac{5}{12} = \frac{30}{72}$; $\frac{11}{18} = \frac{44}{72}$; $\frac{7}{36} = \frac{14}{72}$.

Ответ: 1) $\frac{21}{56}$; $\frac{40}{56}$; $\frac{14}{56}$; $\frac{4}{56}$; $\frac{26}{56}$; 2) $\frac{36}{72}$; $\frac{16}{72}$; $\frac{12}{72}$; $\frac{30}{72}$; $\frac{44}{72}$; $\frac{14}{72}$.

№ 362

Отметь на координатном луче точки $F(11)$, $E(22)$, $K(33)$.

Как думать. Числа большие, поэтому удобно взять единичный отрезок маленьким — например, 2 мм или одну клетку на 2 единицы.

Решение. Чертим луч с началом $O$. Если 1 клетка = 2 единицы, то $F$ — на $5\frac{1}{2}$ клетках от $O$, $E$ — на 11 клетках, $K$ — на $16\frac{1}{2}$ клетках. Заметь: $E$ вдвое дальше от $O$, чем $F$, а $K$ — втрое.

Ответ: точки $F$, $E$, $K$ на расстоянии 11, 22 и 33 единичных отрезков от $O$.

№ 363

Запиши координаты точек $A$, $B$, $C$ на рисунке: луч с одинаковыми делениями, $A$ — на 4-м делении, $B$ — на 7-м (под ней число 7), $C$ — на 11-м.

Как думать. Под $B$ стоит 7, и до неё ровно 7 делений. Значит, одно деление — это 1.

Решение. $A$ — 4 деления, $B$ — 7, $C$ — 11.

Ответ: $A(4)$, $B(7)$, $C(11)$.

№ 364

Отрезок $AB$ = 12 см. Какую часть $AB$ составляет 1 см? Построй отрезок $CD$, равный $\frac{5}{12}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{11}{12}$ от $AB$.

Как думать. 12 см — это 12 частей по 1 см. Одна часть — $\frac{1}{12}$.

Решение. 1 см — это $\frac{1}{12}$ отрезка $AB$. Тогда $\frac{5}{12}$ от $AB$ — это 5 см, $\frac{7}{12}$ — 7 см, $\frac{11}{12}$ — 11 см. Чертим по линейке отрезки $CD$ этих длин.

Ответ: $\frac{1}{12}$; $CD$ = 5 см, 7 см, 11 см.

Шпаргалка

• $\frac{a}{b}$: делим $a : b$ с остатком → частное — целая часть, остаток — числитель.
• $n\frac{c}{b} = \frac{n \cdot b + c}{b}$.
• Знаменатель при переводе не меняется никогда.
• «Во сколько раз», когда не делится нацело, — ответ смешанным числом.

Мини-тест