§ 20. Изображение обыкновенных дробей и смешанных чисел на координатном луче

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 100–102.

Чему научишься

• Отмечать на луче дроби вроде $\frac{3}{5}$ и смешанные числа вроде $1\frac{3}{5}$.
• Выбирать удобный единичный отрезок под знаменатель.
• Читать координату точки, которая стоит между целыми числами.
• Видеть, что $\frac{1}{2}$ и $\frac{4}{8}$ — одна и та же точка.

Разминка

Это задания № 360–364 из прошлого урока.

• Приведи $\frac{3}{4}$ к знаменателю 36. $36 : 4 = 9$, значит, $\frac{27}{36}$.
• Приведи $\frac{5}{7}$ к знаменателю 56. Множитель 8: $\frac{40}{56}$.
• Какие координаты у точек на рисунке 37: $A$ на 4-м делении, $B$ на 7-м, $C$ на 11-м? $A(4)$, $B(7)$, $C(11)$.
• Отрезок 12 см. Какая его часть — 1 см? $\frac{1}{12}$. А $\frac{7}{12}$ отрезка — это 7 см.

💡 Последний вопрос — ключ к уроку. Разделил единичный отрезок на 12 равных частей — и каждая часть стала $\frac{1}{12}$.

Разбираемся

Режем единичный отрезок

Ты уже умеешь ставить на луч целые числа: 1, 2, 3… А куда поставить $\frac{1}{5}$? Раздели отрезок от 0 до 1 на 5 равных частей. Первое деление — это и есть $\frac{1}{5}$. Так Алия отметила точку $A\left(\frac{1}{5}\right)$.

Чтобы получить $\frac{4}{5}$, отсчитай от нуля 4 такие части. Попробуй сам:

📌 Знаменатель говорит, на сколько частей делить единичный отрезок. Числитель — сколько таких частей отсчитать от нуля.

Какой отрезок удобен

Есену надо отметить $\frac{1}{6}$, $\frac{5}{6}$ и $1\frac{1}{3}$. Удобно взять единичный отрезок в 6 клеток: одна клетка — $\frac{1}{6}$, две клетки — $\frac{1}{3}$. Алие с её пятыми долями подойдут 5 или 10 клеток. Мише с седьмыми — 7 клеток.

💡 Бери единичный отрезок из стольких клеток, сколько в знаменателе (или вдвое больше). Тогда не придётся делить клетку на кусочки.

Смешанное число — за единицей

Где $1\frac{3}{5}$? Сначала проходим целую единицу — до точки 1. Потом отрезок от 1 до 2 тоже делим на 5 частей и отсчитываем ещё 3.

⚠️ Частая ошибка. Ставят $1\frac{3}{5}$ между 0 и 1 — на месте $\frac{3}{5}$. Помни: смешанное число всегда правее единицы.

Одна точка — разные имена

Посмотри на луч, где единичный отрезок поделён на 8 частей. Точка на 4-м делении — это $\frac{4}{8}$. Но 4 части из 8 — ровно половина. Значит, это и $\frac{2}{4}$, и $\frac{1}{2}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Нарисуйте с ребёнком луч на тетрадном листе: 1 = 8 клеток. Пусть отметит $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{4}{8}$ разными цветами. Когда все три попадут в одну точку, равенство дробей станет очевидным.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Почему координата точки на 4-м делении из 8 равна $\frac{2}{4}$ или $\frac{1}{2}$? Это $\frac{4}{8}$ — половина единичного отрезка. Если объединять деления по два, получится 4 части, и точка будет на 2-й: $\frac{2}{4}$. А половина — это $\frac{1}{2}$.
• Как ещё записать координату точки за единицей (на рисунке — $\frac{10}{8}$)? Выделим целую часть: $\frac{10}{8} = 1\frac{2}{8} = 1\frac{1}{4}$.
• Где точка со смешанной координатой относительно точки 1? Правее неё: смешанное число больше 1.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 365

1) Координаты точек $A$, $C$, $D$, $E$ на рис. 40 (отрезок от 0 до 1 поделён на 10 частей; $A$ — 3-е деление, $C$ — 6-е, $D$ — 8-е, $E$ — 10-е). 2) Координаты $M$, $K$, $N$, $P$ на рис. 41 (единица — 9 делений; $M$ — 3-е, $K$ — 6-е, $N$ — 8-е, $P$ — 10-е). 3) Расстояния от $O$ до $E$, $F$, $T$, $S$ на рис. 42 (единица — 6 делений; $E$ — 3-е, $F$ — 5-е, $T$ — 6-е, $S$ — 10-е).

Как думать. Сначала посчитай, на сколько частей поделена единица, — это знаменатель. Номер деления — числитель.

Решение.

1. Рис. 40: $A\left(\frac{3}{10}\right)$, $C\left(\frac{6}{10}\right)$, $D\left(\frac{8}{10}\right)$, $E(1)$.
2. Рис. 41: $M\left(\frac{3}{9}\right)$, $K\left(\frac{6}{9}\right)$, $N\left(\frac{8}{9}\right)$, $P\left(\frac{10}{9}\right) = P\left(1\frac{1}{9}\right)$.
3. Рис. 42: $OE = \frac{3}{6}$ (это $\frac{1}{2}$), $OF = \frac{5}{6}$, $OT = 1$, $OS = \frac{10}{6} = 1\frac{4}{6} = 1\frac{2}{3}$ единичного отрезка.

Ответ: 1) $\frac{3}{10}$; $\frac{6}{10}$; $\frac{8}{10}$; 1; 2) $\frac{3}{9}$; $\frac{6}{9}$; $\frac{8}{9}$; $1\frac{1}{9}$; 3) $\frac{1}{2}$; $\frac{5}{6}$; 1; $1\frac{2}{3}$.

№ 366

Единичный отрезок 4 см. Отметь $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{8}$; $\frac{6}{8}$; $\frac{7}{8}$.

Как думать. 4 см = 40 мм. Делим на 8 частей: каждая $\frac{1}{8}$ — это 5 мм.

Решение. $\frac{3}{8}$ — 15 мм от нуля; $\frac{5}{8}$ — 25 мм; $\frac{6}{8}$ — 30 мм; $\frac{7}{8}$ — 35 мм.

Ответ: точки на расстоянии 1,5 см; 2,5 см; 3 см; 3,5 см от начала луча.

№ 367

Единичный отрезок 8 см. Отметь $\frac{1}{2}$; $\frac{8}{16}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{4}$. Какие дроби попали в одну точку?

Как думать. Переведи дроби в сантиметры: 8 см делим на знаменатель и умножаем на числитель.

Решение.

1. $\frac{1}{2}$: $8 : 2 = 4$ см.
2. $\frac{8}{16}$: $8 : 16$ — это полсантиметра, а $8$ таких — 4 см.
3. $\frac{1}{4}$: 2 см; $\frac{3}{4}$: 6 см.

Ответ: $\frac{1}{2}$ и $\frac{8}{16}$ — одна точка (4 см от начала): $\frac{1}{2} = \frac{8}{16}$.

№ 368

Отметь точки $A\left(\frac{1}{9}\right)$, $B\left(\frac{2}{9}\right)$, $C\left(\frac{4}{9}\right)$, $D\left(\frac{7}{9}\right)$.

Как думать. Удобно взять единичный отрезок 9 клеток: одна клетка — $\frac{1}{9}$.

Решение. От нуля отсчитываем 1, 2, 4 и 7 клеток.

Ответ: $A$ — 1 клетка, $B$ — 2, $C$ — 4, $D$ — 7 клеток от начала.

№ 369

Отметь на луче $1\frac{1}{8}$; $1\frac{3}{8}$; $1\frac{1}{4}$; $1\frac{7}{8}$; $1\frac{3}{4}$.

Как думать. Все числа между 1 и 2. Делим отрезок от 1 до 2 на 8 частей. Четверти переводим в восьмые: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$, $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$.

Решение. После точки 1 отсчитываем: $1\frac{1}{8}$ — 1 часть, $1\frac{1}{4}$ — 2 части, $1\frac{3}{8}$ — 3 части, $1\frac{3}{4}$ — 6 частей, $1\frac{7}{8}$ — 7 частей. Удобный единичный отрезок — 8 клеток.

Ответ: точки на 1, 2, 3, 6 и 7 делениях правее единицы.

№ 370

Запиши координаты точек на рис. 43: единица поделена на 7 частей, $A$ — 4-е деление, $B$ — 5-е, $C$ — 9-е, $D$ — 10-е.

Решение. $A\left(\frac{4}{7}\right)$, $B\left(\frac{5}{7}\right)$. Точка $C$ — 9 частей: $\frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$. Точка $D$ — $\frac{10}{7} = 1\frac{3}{7}$.

Ответ: $A\left(\frac{4}{7}\right)$; $B\left(\frac{5}{7}\right)$; $C\left(1\frac{2}{7}\right)$; $D\left(1\frac{3}{7}\right)$.

№ 371

1) Дроби со знаменателем 13 между $\frac{5}{13}$ и $\frac{12}{13}$. 2) Дроби со знаменателем 20 между $\frac{9}{20}$ и $\frac{19}{20}$.

Как думать. Знаменатель одинаковый — значит, числитель должен быть больше 5, но меньше 12 (и больше 9, но меньше 19). Сами концы не берём.

Решение.

1. $\frac{6}{13}$, $\frac{7}{13}$, $\frac{8}{13}$, $\frac{9}{13}$, $\frac{10}{13}$, $\frac{11}{13}$.
2. $\frac{10}{20}$, $\frac{11}{20}$, $\frac{12}{20}$, $\frac{13}{20}$, $\frac{14}{20}$, $\frac{15}{20}$, $\frac{16}{20}$, $\frac{17}{20}$, $\frac{18}{20}$.

Ответ: 1) от $\frac{6}{13}$ до $\frac{11}{13}$ (6 дробей); 2) от $\frac{10}{20}$ до $\frac{18}{20}$ (9 дробей).

Уровень B

№ 372

Отрезок от 5 до 6 разделили на 3 равные части, а каждую ещё на 4. Запиши числа во всех полученных точках.

Как думать. $3 \cdot 4 = 12$ — всего 12 маленьких частей, каждая $\frac{1}{12}$.

Решение. Точки: $5\frac{1}{12}$, $5\frac{2}{12}$, $5\frac{3}{12}$, $5\frac{4}{12}$, $5\frac{5}{12}$, $5\frac{6}{12}$, $5\frac{7}{12}$, $5\frac{8}{12}$, $5\frac{9}{12}$, $5\frac{10}{12}$, $5\frac{11}{12}$. Неправильными дробями: $\frac{61}{12}$, $\frac{62}{12}$, …, $\frac{71}{12}$. Границы больших частей: $5\frac{4}{12} = 5\frac{1}{3}$ и $5\frac{8}{12} = 5\frac{2}{3}$.

Ответ: от $5\frac{1}{12}$ до $5\frac{11}{12}$ с шагом $\frac{1}{12}$ (то есть $\frac{61}{12}$ … $\frac{71}{12}$).

№ 373

По лучу (рис. 44: единица поделена на 10 частей, отмечены $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{5}$) найди дробь: 1) больше $\frac{1}{5}$, но меньше $\frac{3}{5}$; 2) больше $\frac{3}{5}$, но меньше $\frac{4}{5}$.

Как думать. Между соседними пятыми есть ещё одна десятая: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$, $\frac{4}{5} = \frac{8}{10}$.

Решение.

1. $\frac{1}{5} = \frac{2}{10}$, $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$. Между ними $\frac{3}{10}$, $\frac{4}{10}$ (это $\frac{2}{5}$), $\frac{5}{10}$.
2. Между $\frac{6}{10}$ и $\frac{8}{10}$ — только $\frac{7}{10}$.

Ответ: 1) например, $\frac{2}{5}$ (или $\frac{3}{10}$, $\frac{1}{2}$); 2) $\frac{7}{10}$.

№ 374

Точка $B$ между 7 и 8: от 7 правее на 4 деления, от 8 левее на 5 делений. Найди её координату.

Как думать. От 7 до 8 всего $4 + 5 = 9$ делений. Значит, одно деление — $\frac{1}{9}$.

Решение. $B = 7 + \frac{4}{9} = 7\frac{4}{9}$.

Ответ: $B\left(7\frac{4}{9}\right)$.

Уровень C

№ 375

Отрезок от 25 до 30 разделили на 20 равных частей. Найди точку на 13 делений левее 28 и точку на 9 делений правее 27.

Как думать. Сначала узнай цену одного деления.

Решение. Деление — $\frac{1}{4}$. Первая точка: $28 - 3\frac{1}{4} = 24\frac{3}{4}$ (она чуть левее 25 — деления продолжаются за край отрезка). Вторая: $27 + 2\frac{1}{4} = 29\frac{1}{4}$.

Ответ: $24\frac{3}{4}$ и $29\frac{1}{4}$.

№ 376

Точка $C$ между 11 и 14: от 11 правее на 9 делений, от 14 левее на 3 деления. Её координата?

Как думать. От 11 до 14 — $9 + 3 = 12$ делений на 3 единицы. Значит, в одной единице 4 деления.

Решение. Одно деление — $\frac{1}{4}$. $C = 11 + \frac{9}{4} = 11 + 2\frac{1}{4} = 13\frac{1}{4}$. Проверка: $14 - \frac{3}{4} = 13\frac{1}{4}$ ✓.

Ответ: $C\left(13\frac{1}{4}\right)$.

Готовимся к следующей теме

№ 377

Верно ли: $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$; $\frac{11}{20} = \frac{55}{100}$?

Решение. 1) $\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$ — верно. 2) $\frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100}$ — верно.

Ответ: оба равенства верны.

№ 378

Найди НОК (45; 225), НОК (23; 31), НОК (34; 85).

Решение.

1. 225 делится на 45 ($45 \cdot 5 = 225$), значит, НОК = 225.
2. 23 и 31 — простые, НОК $= 23 \cdot 31 = 713$.
3. $34 = 2 \cdot 17$, $85 = 5 \cdot 17$, НОК $= 2 \cdot 5 \cdot 17 = 170$.

Ответ: 225; 713; 170.

№ 379

Какие из чисел 4; 13; 20; 26; 51 взаимно простые?

Как думать. Разложим на множители: $4 = 2 \cdot 2$, $13$ — простое, $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$, $26 = 2 \cdot 13$, $51 = 3 \cdot 17$. Пара взаимно проста, если общих множителей нет.

Решение. Взаимно простые пары: 4 и 13; 4 и 51; 13 и 20; 13 и 51; 20 и 51; 26 и 51. Не подходят: 4 и 20, 4 и 26, 20 и 26 (общий множитель 2), 13 и 26 (общий 13).

Ответ: 4 и 13; 4 и 51; 13 и 20; 13 и 51; 20 и 51; 26 и 51.

№ 380

Приведи: 1) $\frac{7}{9}$ к знаменателям 18; 45; 99; 117; 2) $\frac{4}{15}$ к знаменателям 30; 75; 150; 165.

Решение.

1. Множители 2, 5, 11, 13: $\frac{14}{18}$; $\frac{35}{45}$; $\frac{77}{99}$; $\frac{91}{117}$.
2. Множители 2, 5, 10, 11: $\frac{8}{30}$; $\frac{20}{75}$; $\frac{40}{150}$; $\frac{44}{165}$.

Ответ: 1) $\frac{14}{18}$; $\frac{35}{45}$; $\frac{77}{99}$; $\frac{91}{117}$; 2) $\frac{8}{30}$; $\frac{20}{75}$; $\frac{40}{150}$; $\frac{44}{165}$.

№ 381

Приведи: 1) $\frac{20}{31}$ к знаменателям 62; 124; 279; 310; 2) $\frac{25}{44}$ к знаменателям 132; 220; 396; 484.

Решение.

1. Множители 2, 4, 9, 10: $\frac{40}{62}$; $\frac{80}{124}$; $\frac{180}{279}$; $\frac{200}{310}$.
2. Множители 3, 5, 9, 11: $\frac{75}{132}$; $\frac{125}{220}$; $\frac{225}{396}$; $\frac{275}{484}$.

Ответ: 1) $\frac{40}{62}$; $\frac{80}{124}$; $\frac{180}{279}$; $\frac{200}{310}$; 2) $\frac{75}{132}$; $\frac{125}{220}$; $\frac{225}{396}$; $\frac{275}{484}$.

Шпаргалка

• Дробь $\frac{a}{b}$: делим единицу на $b$ частей и отсчитываем $a$.
• Удобный единичный отрезок — столько клеток, сколько в знаменателе (или кратно ему).
• $1\frac{3}{5}$: проходим 1, потом ещё $\frac{3}{5}$.
• Точка между 7 и 8 на 4-м делении из 9 — это $7\frac{4}{9}$.

Мини-тест