§ 3. Сравнение натуральных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 1: Натуральные числа и нуль. Страницы 17–20.

Чему научишься

• Сравнивать любые натуральные числа — по счёту, по записи и по координатному лучу.
• Правильно читать неравенства вслух: «тридцать четыре меньше ста двадцати трёх».
• Записывать и читать двойные неравенства вроде $14 < 19 < 22$.
• Находить все числа, которые «помещаются» между двумя данными.

Разминка

Это задания № 24–26 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Какое водохранилище больше: Братское (5470 км²) или Бухтарминское (5490 км²)? Бухтарминское: 5490 > 5470.
• Что больше: 672 или 7002? 7002 — в нём четыре цифры, а в 672 только три.
• Верно ли, что $1028 > 1208$? Нет. Тысячи равны, а сотен 0 < 2. Значит, $1028 < 1208$.
• Верно ли, что $99,888 > 99,988$? Нет. Сравниваем слева: 9 = 9, 9 = 9, а потом 8 < 9. Значит, $99,888 < 99,988$.

💡 Ты уже сравниваешь числа «на автомате». Сегодня разложим этот автомат на правила — тогда он не подведёт даже на числах с десятью цифрами.

Разбираемся

Кто раньше — тот меньше

Почему 20 больше 17? Да просто при счёте ты говоришь «17» раньше, чем «20». Это первое правило.

📌 Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счёте называют раньше.

Нуль меньше любого натурального числа: его «называют» ещё до единицы.

Считаем цифры

Что больше: 1001 или 999? Досчитывать долго. Зато видно: в 1001 четыре цифры, а в 999 — три.

📌 Больше то число, в записи которого больше разрядов.

А если цифр поровну, как в 2821 и 2819? Идём слева направо и ищем первую разницу. Тысячи 2 = 2, сотни 8 = 8, десятки 2 > 1. Всё: $2821 > 2819$. Единицы уже не смотрим.

📌 При одинаковом числе разрядов больше то число, у которого больше первая (слева) несовпадающая цифра. Если все цифры совпали — числа равны.

Попробуй сам:

⚠️ Частая ошибка. Сравнивают последние цифры: «2819 больше, ведь 9 больше 1». Сравнивать надо слева, со старших разрядов — как ищешь слово в словаре по первой букве.

Сравниваем по лучу

На координатном луче числа стоят по порядку. Значит, левее — меньше, правее — больше.

📌 Из двух чисел на луче меньше то, что левее, и больше то, что правее.

Двойное неравенство

19 стоит между 14 и 22. Это можно записать одной строкой: $14 < 19 < 22$. Такая запись называется двойным неравенством. Число посередине больше левого и меньше правого.

Как это прочитать вслух

🌟 Говорим правильно. $34 < 123$ слева направо: «тридцать четыре меньше ста двадцати трёх». Справа налево: «сто двадцать три больше тридцати четырёх». Первое число — как обычно, второе — с вопросом «кого? чего?».

🌟 Двойное неравенство $14 < 19 < 22$ читаем с середины: «девятнадцать больше четырнадцати, но меньше двадцати двух». Или: «девятнадцать меньше двадцати двух, но больше четырнадцати».

👨‍👩‍👧 Родителю. Дети часто читают «тридцать четыре меньше сто двадцать три». Попросите повторить с вопросом «меньше чего?» — и окончание встанет на место.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Есть ли число меньше любого натурального? Да, нуль. И вообще, самое маленькое натуральное — 1, а 0 меньше его.
• Как сравнивают числа с одинаковым количеством разрядов? Слева направо, разряд за разрядом. Больше то число, у которого первая несовпавшая цифра больше.
• Когда пишут двойное неравенство? Когда одно число сравнивают сразу с двумя: одно меньше его, другое больше. Например, $14 < 19 < 22$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 27

По таблице населения (§ 1, № 3) сравни, где живёт больше людей: 1) Индия (1 282 790 000) или Китай (1 374 220 000); 2) Казахстан (17 651 300) или Монголия (3 061 425); 3) Россия (146 495 530) или Япония (126 880 000).

Как думать. Во втором случае цифр разное количество. В первом и третьем — одинаковое, сравниваем слева.

Решение.

1. Цифр поровну, миллиарды 1 = 1, сотни миллионов 2 < 3. Индия меньше: $1,282,790,000 < 1,374,220,000$.
2. В 17 651 300 восемь цифр, в 3 061 425 — семь. $17,651,300 > 3,061,425$.
3. Сотни миллионов 1 = 1, десятки миллионов 4 > 2. $146,495,530 > 126,880,000$.

Ответ: 1) в Китае; 2) в Казахстане; 3) в России.

№ 28

Прочитай двойные неравенства: 1) $17 < 25 < 29$; 2) $76 < 78 < 94$; 3) $101 < 136 < 450$; 4) $829 < 1033 < 2005$.

Как думать. Начинаем с числа посередине, остальные — с вопросом «чего?».

Решение.

1. Двадцать пять больше семнадцати, но меньше двадцати девяти.
2. Семьдесят восемь больше семидесяти шести, но меньше девяноста четырёх.
3. Сто тридцать шесть больше ста одного, но меньше четырёхсот пятидесяти.
4. Тысяча тридцать три больше восьмисот двадцати девяти, но меньше двух тысяч пяти.

Ответ: прочитано выше.

№ 29

Запиши двойным неравенством: 1) 24 больше 19, но меньше 27; 2) 33 больше 32, но меньше 34; 3) 51 больше 49, но меньше 56; 4) 86 больше 77, но меньше 88.

Как думать. Число, о котором говорят, ставим в середину. Меньшее — слева, большее — справа.

Решение.

1. $19 < 24 < 27$
2. $32 < 33 < 34$
3. $49 < 51 < 56$
4. $77 < 86 < 88$

Ответ: $19 < 24 < 27$; $32 < 33 < 34$; $49 < 51 < 56$; $77 < 86 < 88$.

№ 30

По координатному лучу из № 16 сравни: 1) массу гуся (10 кг) с массами курицы (5 кг) и индюка (20 кг); 2) длины прыжков: тушканчик 2 м, кенгуру 7 м, гепард 10 м, антилопа 11 м. Запиши все возможные двойные неравенства.

Как думать. Двойное неравенство — это три числа по порядку. Из четырёх прыжков выбираем любые три и выстраиваем слева направо, как на луче.

Решение.

1. Птицы: гусь между курицей и индюком — $5 < 10 < 20$ (или $20 > 10 > 5$).

2. Прыжки: из четырёх чисел 2, 7, 10, 11 можно выбрать три четырьмя способами:

   • $2 < 7 < 10$
   • $2 < 7 < 11$
   • $2 < 10 < 11$
   • $7 < 10 < 11$

   Каждое можно записать и наоборот, знаком «>»: например, $11 > 10 > 7$.

Ответ: 1) $5 < 10 < 20$; 2) $2 < 7 < 10$, $2 < 7 < 11$, $2 < 10 < 11$, $7 < 10 < 11$.

№ 31

Составь двойное неравенство из чисел: 1) 11; 20; 26; 2) 15; 9; 17; 3) 43; 39; 40; 4) 500; 200; 450.

Как думать. Расставляем три числа по возрастанию и ставим между ними «<».

Решение.

1. $11 < 20 < 26$
2. $9 < 15 < 17$
3. $39 < 40 < 43$
4. $200 < 450 < 500$

Ответ: $11 < 20 < 26$; $9 < 15 < 17$; $39 < 40 < 43$; $200 < 450 < 500$.

№ 32

Реки Ишим, Сырдарья и Урал текут по Казахстану. Их длины соответственно 2528 км, 2219 км и 2450 км. Назови длину каждой реки и сравни длины двойным неравенством.

Как думать. «Соответственно» — значит, по порядку: первая река — первое число и так далее.

Решение.

1. Ишим — 2528 км, Сырдарья — 2219 км, Урал — 2450 км.
2. Все числа четырёхзначные, тысячи равны. Сравниваем сотни: 2 < 4 < 5.
3. По возрастанию: $2219 < 2450 < 2528$.

Ответ: Ишим 2528 км, Сырдарья 2219 км, Урал 2450 км; $2219 < 2450 < 2528$ (Сырдарья < Урал < Ишим).

🌟 В разных справочниках длины рек немного отличаются: например, для Урала часто пишут 2428 км, а для Ишима — 2450 км. Реки меняют русло, а учёные по-разному считают, где исток. Здесь мы решаем по данным задачи.

Уровень B

№ 33

Какое натуральное число можно поставить вместо $x$: 1) $x < 2$; 2) $x < 6$?

Как думать. Натуральные числа начинаются с 1. Нуль не берём.

Решение.

1. Меньше 2 только одно натуральное число — 1.
2. Меньше 6: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1) $x = 1$; 2) $x$ = 1, 2, 3, 4 или 5.

№ 34

Назови три натуральных числа, при которых верно: 1) $x < 1001$; 2) $x > 999$.

Как думать. Подходящих чисел много, нужно назвать любые три.

Решение.

1. Например, 1, 500, 1000 — все меньше 1001.
2. Например, 1000, 2026, 1 000 000 — все больше 999.

Ответ: например, 1) 1; 500; 1000; 2) 1000; 2026; 1 000 000.

💡 Заметь: число 1000 подходит в оба пункта. Оно единственное, для которого $999 < x < 1001$.

№ 35

Перечисли все натуральные $y$, при которых верно: 1) $13 < y < 19$; 2) $31 < y < 37$; 3) $289 < y < 294$; 4) $1100 < y < 1103$.

Как думать. Знак «<» строгий: сами крайние числа не подходят. Выписываем всё, что строго между ними.

Решение.

1. 14, 15, 16, 17, 18.
2. 32, 33, 34, 35, 36.
3. 290, 291, 292, 293.
4. 1101, 1102.

Ответ: 1) 14; 15; 16; 17; 18; 2) 32; 33; 34; 35; 36; 3) 290; 291; 292; 293; 4) 1101; 1102.

№ 36

На луче (рис. 12) деления 0, 1, …, 8; подписаны 0, 3, $a$ (5-е деление), 6 и $b$ (8-е деление). Сравни: 1) $a$ и 3; 2) $a$ и 6; 3) $a$ и $b$; 4) $b$ и 3.

Как думать. Даже не зная $a$ и $b$, видим, кто левее, а кто правее. А можно и вычислить: $a$ на 5-м делении, $b$ на 8-м.

Решение.

1. $a$ правее 3: $a > 3$.
2. $a$ левее 6: $a < 6$.
3. $a$ левее $b$: $a < b$.
4. $b$ правее 3: $b > 3$.

Ответ: $a > 3$; $a < 6$; $a < b$; $b > 3$ (здесь $a = 5$, $b = 8$).

Уровень C

№ 37

На луче (рис. 13) отмечены 0 и правее — точки $a$, $b$, $c$ (слева направо). Запиши все возможные двойные неравенства.

Как думать. На луче четыре числа: 0, $a$, $b$, $c$. Любые три из них в порядке «слева направо» дают двойное неравенство.

Решение. Выбираем три числа из четырёх — получается четыре варианта:

1. $0 < a < b$
2. $0 < a < c$
3. $0 < b < c$
4. $a < b < c$

Каждое можно записать и справа налево: например, $c > b > a$.

Ответ: $0 < a < b$; $0 < a < c$; $0 < b < c$; $a < b < c$ (и те же со знаком «>»).

№ 38

Какое натуральное $a$ делает верными сразу три неравенства: $23 < a < 49$, $35 < a < 200$ и $47 < a < 61$?

Как думать. $a$ должно быть больше всех левых чисел и меньше всех правых.

Решение. $a > 47$ и $a < 49$, значит, $a = 48$.

Ответ: 48.

Подготовь сообщение

№ 39

Расскажи о Томасе Гарриоте, который ввёл знаки неравенства, и о Роберте Рекорде, который ввёл знак равенства.

Как думать. Пара фактов о каждом и история знака. Даты сверь по энциклопедии.

Решение. Пример сообщения:

Роберт Рекорд (1510—1558) — английский врач и математик. Он писал учебники для простых людей на родном языке, а не на латыни. В 1557 году в книге «Точило разума» он впервые использовал знак «=». Рекорд объяснил выбор так: нет ничего более равного, чем две параллельные чёрточки.

Томас Гарриот (1560—1621) — английский математик и астроном. Он одним из первых смотрел на Луну в телескоп и рисовал её карту. Гарриот придумал знаки «>» и «<». Книга с ними вышла уже после его смерти, в 1631 году.

Ответ: пример выше.

🌟 Подсказка, как не путать «<» и «>»: острый конец смотрит на меньшее число, а раскрытый «клюв» — на большее.

Готовимся к следующей теме

№ 40

Найди в справочнике ответы на 13 вопросов о свойствах сложения, вычитания, умножения и деления.

Как думать. Это свойства, которые ты знаешь с начальной школы. Каждое проверь на маленьких числах.

Решение.

1. Если поменять слагаемые местами, сумма не изменится: $a + b = b + a$.
2. Три числа можно складывать в любом порядке: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
3. $a + 0 = a$.
4. Вычесть сумму из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Вычесть число из суммы: $(a + b) - c = (a - c) + b$ или $a + (b - c)$.
5. $a - 0 = a$.
6. $a - a = 0$.
7. Не всегда. Вычитать $c$ из слагаемого можно, только если это слагаемое не меньше $c$. Например, в $(2 + 9) - 5$ вычесть 5 из 2 нельзя, а из 9 — можно.
8. От перестановки множителей произведение не меняется: $ab = ba$.
9. $1 \cdot a = a$; $0 \cdot a = 0$.
10. $a : 1 = a$.
11. $a : a = 1$.
12. Три числа можно умножать в любом порядке: $(ab)c = a(bc)$.
13. Каждое слагаемое (уменьшаемое и вычитаемое) умножают на число и результаты складывают (вычитают): $(a + b)c = ac + bc$, $(a - b)c = ac - bc$.

Ответ: ответы выше.

Шпаргалка

• 0 меньше любого натурального числа.
• 1001 > 999: четыре цифры больше, чем три.
• 2821 > 2819: первая разница — в десятках.
• В двойном неравенстве меньшее число слева, большее справа.
• В $a < y < b$ сами числа $a$ и $b$ не подходят.

Мини-тест