§ 21. Приведение обыкновенных дробей к общему знаменателю

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 103–105.

Чему научишься

• Понимать, что такое общий знаменатель и наименьший общий знаменатель.
• Находить дополнительный множитель для каждой дроби.
• Приводить две и три дроби к наименьшему общему знаменателю.
• Быстро замечать два удобных случая: когда один знаменатель делится на другой и когда знаменатели взаимно простые.

Разминка

Это задания № 377–380 из прошлого урока. Реши в уме, потом открой ответ.

• Верно ли, что $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$? Да: числитель и знаменатель умножили на 4.
• Верно ли, что $\frac{11}{20} = \frac{55}{100}$? Да: умножили на 5.
• Чему равно НОК (45; 225)? 225 — оно делится на 45 ($225 = 45 \cdot 5$).
• А НОК (23; 31)? Числа простые, поэтому НОК — их произведение: $23 \cdot 31 = 713$.
• НОК (34; 85)? $34 = 2 \cdot 17$, $85 = 5 \cdot 17$, значит, НОК $= 2 \cdot 5 \cdot 17 = 170$.
• Какие из чисел 4; 13; 20; 26; 51 взаимно простые? Пары 4 и 13, 4 и 51, 13 и 20, 13 и 51, 20 и 51, 26 и 51. У них нет общих делителей, кроме 1.
• Приведи $\frac{7}{9}$ к знаменателю 18; 45; 99; 117. $\frac{14}{18}$; $\frac{35}{45}$; $\frac{77}{99}$; $\frac{91}{117}$.
• Приведи $\frac{4}{15}$ к знаменателю 30; 75; 150; 165. $\frac{8}{30}$; $\frac{20}{75}$; $\frac{40}{150}$; $\frac{44}{165}$.

💡 Заметил? НОК и основное свойство дроби мы уже умеем. Сегодня просто соединим их вместе.

Разбираемся

Зачем дробям один знаменатель

Мама разрезала один пирог на 4 части, а другой — на 7. Ты съел $\frac{1}{4}$ первого, а друг — $\frac{3}{7}$ второго. Кто съел больше? Сразу не скажешь: кусочки разного размера.

Чтобы дроби можно было сравнивать, складывать и вычитать, их «нарезают» на одинаковые кусочки. Это и есть приведение к общему знаменателю. У дробей $\frac{4}{15}$ и $\frac{7}{15}$ знаменатель уже общий — 15.

Одна дробь — много записей

Дробь не меняется, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число. Посмотри: закрашенная часть полоски одна и та же.

Поэтому $\frac{1}{4}$ можно записать со знаменателем 8, 12, 16, 20, 24, 28… А $\frac{3}{7}$ — со знаменателем 14, 21, 28… Первое число, которое есть в обоих списках, — 28. Это НОК (4; 7).

📌 Любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Подойдёт любое общее кратное знаменателей. Удобнее всего самое маленькое — наименьший общий знаменатель, он равен НОК знаменателей.

Три шага к общему знаменателю

Приведём $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{7}$ к знаменателю 28.

Дополнительный множитель удобно писать маленькой цифрой над дробью, справа: $\frac{1^{\backslash 7}}{4}$, $\frac{3^{\backslash 4}}{7}$.

⚠️ Частая ошибка. Умножают только знаменатель: $\frac{1}{4} = \frac{1}{28}$. Так дробь становится в 7 раз меньше! Множитель всегда идёт и наверх, и вниз.

Два коротких пути

НОК не всегда нужно искать долго.

1. Больший знаменатель делится на меньший. Тогда он и есть общий знаменатель. У $\frac{3}{5}$ и $\frac{24}{25}$ это 25, ведь $25 : 5 = 5$.
2. Знаменатели взаимно простые. Тогда общий знаменатель — их произведение. У $\frac{2}{3}$ и $\frac{7}{8}$ это $3 \cdot 8 = 24$.

💡 Хитрость: возьми больший знаменатель и умножай его на 2, 3, 4… пока не разделится на меньший. Для 6 и 8: 8 — нет, 16 — нет, 24 — да!

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка вслух назвать дополнительный множитель для каждой дроби, прежде чем умножать. Большинство ошибок в этой теме — от пропущенного или перепутанного множителя.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю? 1) Найти НОК знаменателей — это наименьший общий знаменатель. 2) Разделить его на каждый знаменатель — получить дополнительные множители. 3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её множитель.
• Можно ли любые две дроби привести к общему знаменателю? Да. Подходит любое общее кратное знаменателей, например их произведение.
• Почему $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{7}$ можно привести к 28, 56 и другим числам? Потому что все эти числа делятся и на 4, и на 7. Самое маленькое из них — 28.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 382

Приведи к наименьшему общему знаменателю: 1) $\frac{24}{25}$ и $\frac{3}{5}$; 2) $\frac{11}{36}$ и $\frac{7}{12}$; 3) $\frac{3}{4}$ и $\frac{19}{40}$; 4) $\frac{5}{6}$ и $\frac{31}{42}$; 5) $\frac{9}{20}$ и $\frac{13}{40}$; 6) $\frac{17}{25}$ и $\frac{1}{100}$; 7) $\frac{23}{32}$ и $\frac{1}{96}$; 8) $\frac{69}{70}$ и $\frac{139}{140}$.

Как думать. Везде больший знаменатель делится на меньший. Значит, он и есть общий знаменатель. Меняем только вторую дробь.

Решение.

1. $\frac{24}{25}$ и $\frac{15}{25}$ (множитель 5).
2. $\frac{11}{36}$ и $\frac{21}{36}$ (множитель 3).
3. $\frac{30}{40}$ и $\frac{19}{40}$ (множитель 10).
4. $\frac{35}{42}$ и $\frac{31}{42}$ (множитель 7).
5. $\frac{18}{40}$ и $\frac{13}{40}$ (множитель 2).
6. $\frac{68}{100}$ и $\frac{1}{100}$ (множитель 4).
7. $\frac{69}{96}$ и $\frac{1}{96}$ (множитель 3).
8. $\frac{138}{140}$ и $\frac{139}{140}$ (множитель 2).

Ответ: 1) $\frac{24}{25}$, $\frac{15}{25}$; 2) $\frac{11}{36}$, $\frac{21}{36}$; 3) $\frac{30}{40}$, $\frac{19}{40}$; 4) $\frac{35}{42}$, $\frac{31}{42}$; 5) $\frac{18}{40}$, $\frac{13}{40}$; 6) $\frac{68}{100}$, $\frac{1}{100}$; 7) $\frac{69}{96}$, $\frac{1}{96}$; 8) $\frac{138}{140}$, $\frac{139}{140}$.

№ 383

Приведи к наименьшему общему знаменателю: 1) $\frac{7}{8}$ и $\frac{2}{3}$; 2) $\frac{6}{7}$ и $\frac{4}{5}$; 3) $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{9}$; 4) $\frac{8}{11}$ и $\frac{5}{6}$; 5) $\frac{9}{10}$ и $\frac{1}{3}$; 6) $\frac{11}{15}$ и $\frac{4}{7}$; 7) $\frac{5}{8}$ и $\frac{1}{11}$; 8) $\frac{17}{20}$ и $\frac{2}{9}$.

Как думать. Здесь знаменатели взаимно простые. Общий знаменатель — их произведение. Множитель для первой дроби — второй знаменатель, и наоборот.

Решение.

1. $8 \cdot 3 = 24$: $\frac{21}{24}$ и $\frac{16}{24}$.
2. $7 \cdot 5 = 35$: $\frac{30}{35}$ и $\frac{28}{35}$.
3. $5 \cdot 9 = 45$: $\frac{27}{45}$ и $\frac{20}{45}$.
4. $11 \cdot 6 = 66$: $\frac{48}{66}$ и $\frac{55}{66}$.
5. $10 \cdot 3 = 30$: $\frac{27}{30}$ и $\frac{10}{30}$.
6. $15 \cdot 7 = 105$: $\frac{77}{105}$ и $\frac{60}{105}$.
7. $8 \cdot 11 = 88$: $\frac{55}{88}$ и $\frac{8}{88}$.
8. $20 \cdot 9 = 180$: $\frac{153}{180}$ и $\frac{40}{180}$.

Ответ: 1) $\frac{21}{24}$, $\frac{16}{24}$; 2) $\frac{30}{35}$, $\frac{28}{35}$; 3) $\frac{27}{45}$, $\frac{20}{45}$; 4) $\frac{48}{66}$, $\frac{55}{66}$; 5) $\frac{27}{30}$, $\frac{10}{30}$; 6) $\frac{77}{105}$, $\frac{60}{105}$; 7) $\frac{55}{88}$, $\frac{8}{88}$; 8) $\frac{153}{180}$, $\frac{40}{180}$.

№ 384

Приведи к наименьшему общему знаменателю: 1) $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{6}$; 2) $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{8}$; 3) $\frac{9}{10}$ и $\frac{1}{4}$; 4) $\frac{2}{15}$ и $\frac{1}{6}$; 5) $\frac{11}{12}$ и $\frac{3}{8}$; 6) $\frac{1}{16}$ и $\frac{5}{12}$; 7) $\frac{13}{18}$ и $\frac{1}{10}$; 8) $\frac{5}{24}$ и $\frac{15}{16}$.

Как думать. Это «трудный» случай: у знаменателей есть общий делитель, но один на другой не делится. Перемножать их невыгодно — знаменатель выйдет не наименьший. Ищем НОК: больший знаменатель умножаем на 2, 3… пока не разделится на меньший.

Решение.

1. НОК (4; 6) = 12: $\frac{9}{12}$ и $\frac{2}{12}$.
2. НОК (6; 8) = 24: $\frac{20}{24}$ и $\frac{21}{24}$.
3. НОК (10; 4) = 20: $\frac{18}{20}$ и $\frac{5}{20}$.
4. НОК (15; 6) = 30: $\frac{4}{30}$ и $\frac{5}{30}$.
5. НОК (12; 8) = 24: $\frac{22}{24}$ и $\frac{9}{24}$.
6. НОК (16; 12) = 48: $\frac{3}{48}$ и $\frac{20}{48}$.
7. НОК (18; 10) = 90: $\frac{65}{90}$ и $\frac{9}{90}$.
8. НОК (24; 16) = 48: $\frac{10}{48}$ и $\frac{45}{48}$.

Ответ: 1) $\frac{9}{12}$, $\frac{2}{12}$; 2) $\frac{20}{24}$, $\frac{21}{24}$; 3) $\frac{18}{20}$, $\frac{5}{20}$; 4) $\frac{4}{30}$, $\frac{5}{30}$; 5) $\frac{22}{24}$, $\frac{9}{24}$; 6) $\frac{3}{48}$, $\frac{20}{48}$; 7) $\frac{65}{90}$, $\frac{9}{90}$; 8) $\frac{10}{48}$, $\frac{45}{48}$.

⚠️ Частая ошибка. Для $\frac{5}{6}$ и $\frac{7}{8}$ берут знаменатель $6 \cdot 8 = 48$. Это общий знаменатель, но не наименьший. Числа выйдут большими, и потом придётся сокращать.

№ 385

Приведи к наименьшему общему знаменателю: 1) $\frac{119}{300}$ и $\frac{23}{60}$; 2) $\frac{3}{25}$ и $\frac{5}{16}$; 3) $\frac{29}{40}$ и $\frac{17}{30}$; 4) $\frac{33}{100}$ и $\frac{77}{900}$; 5) $\frac{2}{55}$ и $\frac{7}{66}$; 6) $\frac{11}{16}$ и $\frac{9}{88}$.

Как думать. Большие знаменатели удобно разложить на множители. $55 = 5 \cdot 11$, $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$, значит, НОК $= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 330$.

Решение.

1. 300 делится на 60: знаменатель 300; $\frac{119}{300}$ и $\frac{115}{300}$.
2. 25 и 16 взаимно простые: $25 \cdot 16 = 400$; $\frac{48}{400}$ и $\frac{125}{400}$.
3. НОК (40; 30) = 120: $\frac{87}{120}$ и $\frac{68}{120}$.
4. 900 делится на 100: $\frac{297}{900}$ и $\frac{77}{900}$.
5. НОК (55; 66) = 330: $\frac{12}{330}$ и $\frac{35}{330}$.
6. $16 = 2^4$, $88 = 2^3 \cdot 11$, НОК $= 16 \cdot 11 = 176$: $\frac{121}{176}$ и $\frac{18}{176}$.

Ответ: 1) $\frac{119}{300}$, $\frac{115}{300}$; 2) $\frac{48}{400}$, $\frac{125}{400}$; 3) $\frac{87}{120}$, $\frac{68}{120}$; 4) $\frac{297}{900}$, $\frac{77}{900}$; 5) $\frac{12}{330}$, $\frac{35}{330}$; 6) $\frac{121}{176}$, $\frac{18}{176}$.

№ 386

Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю и отметь их на координатном луче: 1) $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{2}{9}$; 2) $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{4}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{8}$; 3) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{12}$; 4) $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{12}$.

Как думать. Общий знаменатель покажет, на сколько частей делить единичный отрезок. Удобно взять отрезок длиной 9, 8 или 12 клеток — по числу частей.

Решение.

1. Знаменатель 9: $\frac{6}{9}$; $\frac{3}{9}$; $\frac{1}{9}$; $\frac{2}{9}$. Единичный отрезок — 9 клеток. Точки на 1-м, 2-м, 3-м и 6-м делениях.
2. Знаменатель 8: $\frac{6}{8}$; $\frac{2}{8}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{5}{8}$. Отрезок — 8 клеток. Точки на 2-м, 3-м, 5-м и 6-м делениях.
3. Знаменатель 12: $\frac{6}{12}$; $\frac{8}{12}$; $\frac{2}{12}$; $\frac{1}{12}$. Отрезок — 12 клеток. Точки на 1-м, 2-м, 6-м и 8-м делениях.
4. Знаменатель 12: $\frac{6}{12}$; $\frac{8}{12}$; $\frac{9}{12}$; $\frac{1}{12}$. Точки на 1-м, 6-м, 8-м и 9-м делениях.

Ответ: 1) $\frac{6}{9}$, $\frac{3}{9}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{2}{9}$; 2) $\frac{6}{8}$, $\frac{2}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$; 3) $\frac{6}{12}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{2}{12}$, $\frac{1}{12}$; 4) $\frac{6}{12}$, $\frac{8}{12}$, $\frac{9}{12}$, $\frac{1}{12}$.

Уровень B

№ 387

Приведи к наименьшему общему знаменателю три дроби: 1) $\frac{3}{4}$; $\frac{5}{8}$; $\frac{17}{32}$; 2) $\frac{5}{6}$; $\frac{7}{9}$; $\frac{15}{36}$; 3) $\frac{7}{72}$; $\frac{2}{9}$; $\frac{3}{8}$; 4) $\frac{67}{120}$; $\frac{11}{24}$; $\frac{29}{30}$.

Как думать. Проверь самый большой знаменатель: делится ли он на остальные? Во всех четырёх пунктах — да.

Решение.

1. 32 делится на 4 и 8: $\frac{24}{32}$; $\frac{20}{32}$; $\frac{17}{32}$.
2. 36 делится на 6 и 9: $\frac{30}{36}$; $\frac{28}{36}$; $\frac{15}{36}$.
3. 72 делится на 9 и 8: $\frac{7}{72}$; $\frac{16}{72}$; $\frac{27}{72}$.
4. 120 делится на 24 и 30: $\frac{67}{120}$; $\frac{55}{120}$; $\frac{116}{120}$.

Ответ: 1) $\frac{24}{32}$, $\frac{20}{32}$, $\frac{17}{32}$; 2) $\frac{30}{36}$, $\frac{28}{36}$, $\frac{15}{36}$; 3) $\frac{7}{72}$, $\frac{16}{72}$, $\frac{27}{72}$; 4) $\frac{67}{120}$, $\frac{55}{120}$, $\frac{116}{120}$.

№ 388

Приведи к наименьшему общему знаменателю: 1) $\frac{3}{11}$; $\frac{2}{13}$; $\frac{4}{5}$; 2) $\frac{5}{16}$; $\frac{6}{7}$; $\frac{2}{9}$; 3) $\frac{13}{15}$; $\frac{5}{8}$; $\frac{1}{11}$; 4) $\frac{7}{19}$; $\frac{3}{4}$; $\frac{1}{9}$.

Как думать. Все знаменатели попарно взаимно простые. Общий знаменатель — произведение всех трёх. Множитель каждой дроби — произведение двух других знаменателей.

Решение.

1. $11 \cdot 13 \cdot 5 = 715$. Множители: 65, 55, 143. Получаем $\frac{195}{715}$; $\frac{110}{715}$; $\frac{572}{715}$.
2. $16 \cdot 7 \cdot 9 = 1008$. Множители: 63, 144, 112. Получаем $\frac{315}{1008}$; $\frac{864}{1008}$; $\frac{224}{1008}$.
3. $15 \cdot 8 \cdot 11 = 1320$. Множители: 88, 165, 120. Получаем $\frac{1144}{1320}$; $\frac{825}{1320}$; $\frac{120}{1320}$.
4. $19 \cdot 4 \cdot 9 = 684$. Множители: 36, 171, 76. Получаем $\frac{252}{684}$; $\frac{513}{684}$; $\frac{76}{684}$.

Ответ: 1) $\frac{195}{715}$, $\frac{110}{715}$, $\frac{572}{715}$; 2) $\frac{315}{1008}$, $\frac{864}{1008}$, $\frac{224}{1008}$; 3) $\frac{1144}{1320}$, $\frac{825}{1320}$, $\frac{120}{1320}$; 4) $\frac{252}{684}$, $\frac{513}{684}$, $\frac{76}{684}$.

№ 389

Приведи к наименьшему общему знаменателю: 1) $\frac{3}{10}$; $\frac{5}{12}$; $\frac{11}{15}$; 2) $\frac{1}{18}$; $\frac{5}{12}$; $\frac{3}{16}$; 3) $\frac{11}{16}$; $\frac{17}{24}$; $\frac{19}{30}$; 4) $\frac{13}{15}$; $\frac{9}{20}$; $\frac{24}{25}$.

Как думать. Здесь ни один короткий путь не подходит. Раскладываем знаменатели на простые множители и находим НОК.

Решение.

1. НОК (10; 12; 15) = 60. Множители 6, 5, 4: $\frac{18}{60}$; $\frac{25}{60}$; $\frac{44}{60}$.
2. $18 = 2 \cdot 3^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $16 = 2^4$; НОК $= 2^4 \cdot 3^2 = 144$. Множители 8, 12, 9: $\frac{8}{144}$; $\frac{60}{144}$; $\frac{27}{144}$.
3. НОК = 240 (смотри по шагам выше): $\frac{165}{240}$; $\frac{170}{240}$; $\frac{152}{240}$.
4. $15 = 3 \cdot 5$, $20 = 2^2 \cdot 5$, $25 = 5^2$; НОК $= 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300$. Множители 20, 15, 12: $\frac{260}{300}$; $\frac{135}{300}$; $\frac{288}{300}$.

Ответ: 1) $\frac{18}{60}$, $\frac{25}{60}$, $\frac{44}{60}$; 2) $\frac{8}{144}$, $\frac{60}{144}$, $\frac{27}{144}$; 3) $\frac{165}{240}$, $\frac{170}{240}$, $\frac{152}{240}$; 4) $\frac{260}{300}$, $\frac{135}{300}$, $\frac{288}{300}$.

№ 390

Из дробей $\frac{3}{25}$; $\frac{2}{35}$; $\frac{7}{10}$; $\frac{13}{14}$; $\frac{1}{30}$; $\frac{3}{20}$ выбери две, у которых наименьший общий знаменатель равен: 1) 70; 2) 140; 3) 150.

Как думать. Смотрим только на знаменатели: 25, 35, 10, 14, 30, 20. Оба знаменателя пары должны делить нужное число, а их НОК — быть равен ему.

Решение.

1. Делители 70 среди знаменателей: 35, 10, 14. НОК (35; 10) = 70, НОК (35; 14) = 70, НОК (10; 14) = 70. Подходит любая пара, например $\frac{2}{35}$ и $\frac{7}{10}$.
2. Делители 140: 35, 10, 14, 20. НОК 140 дают пары (35; 20) и (14; 20): $\frac{2}{35}$ и $\frac{3}{20}$ или $\frac{13}{14}$ и $\frac{3}{20}$.
3. Делители 150: 25, 10, 30. НОК (25; 30) = 150, а у других пар меньше. Это $\frac{3}{25}$ и $\frac{1}{30}$.

Ответ: 1) например, $\frac{2}{35}$ и $\frac{7}{10}$ (подходят также $\frac{2}{35}$ и $\frac{13}{14}$, $\frac{7}{10}$ и $\frac{13}{14}$); 2) $\frac{2}{35}$ и $\frac{3}{20}$ или $\frac{13}{14}$ и $\frac{3}{20}$; 3) $\frac{3}{25}$ и $\frac{1}{30}$.

Уровень C

№ 391

При каком $x$ верно равенство $\frac{x}{4} = \frac{72}{a}$, если $a$ — наибольшее двузначное число, кратное 4?

Как думать. Сначала найдём $a$, потом сократим дробь $\frac{72}{a}$ до знаменателя 4.

Решение.

1. $96 = 4 \cdot 24$, а 100 уже трёхзначное. Значит, $a = 96$.
2. $\frac{72}{96}$: делим числитель и знаменатель на 24, получаем $\frac{3}{4}$.
3. $\frac{x}{4} = \frac{3}{4}$, значит, $x = 3$.

Ответ: $x = 3$.

№ 392

1) Для верного равенства $\frac{a}{5} = \frac{48}{c}$ выбери утверждение: «$a$ кратно 5» или «$c$ кратно 5». Объясни. 2) Найди $c$, если $a$ — наименьшее составное число.

Как думать. Задача на смекалку. Подумай, как из $\frac{a}{5}$ получить $\frac{48}{c}$: по основному свойству дроби числитель и знаменатель умножают на одно и то же число.

Решение.

1. Пусть $\frac{48}{c}$ получили из $\frac{a}{5}$ умножением на число $k$. Тогда $48 = a \cdot k$ и $c = 5 \cdot k$. Значит, $c$ кратно 5. А $a$ — делитель 48, и на 5 он не делится.
2. Наименьшее составное число — 4. Значит, $\frac{4}{5} = \frac{48}{c}$. Числитель увеличился в $48 : 4 = 12$ раз, значит, и знаменатель тоже: $c = 5 \cdot 12 = 60$.

Ответ: 1) $c$ кратно 5; 2) $c = 60$.

💡 Хитрый случай для любознательных: если $a = 240$, то $\frac{240}{5} = \frac{48}{1}$, и кратно 5 уже $a$. Но когда дробь «растягивают» умножением, кратно 5 именно $c$.

Готовимся к следующей теме

№ 393

Расставь океаны по возрастанию глубины: Атлантический — 3597 м, Индийский — 3711 м, Тихий — 3976 м, Северный Ледовитый — 1225 м.

Как думать. Все числа четырёхзначные. Сравниваем по разрядам слева направо.

Решение. 1225 < 3597 < 3711 < 3976.

Ответ: Северный Ледовитый, Атлантический, Индийский, Тихий.

🌟 Это средние глубины. Самое глубокое место на планете — Марианская впадина в Тихом океане, почти 11 км!

№ 394

Найди значения двух выражений и сравни: $((16,000 : 32 - 1640 : 82) : 15 \cdot 7000 - 192,000) : 40$ и $((97,264 : 8 + 1,284,200 : 100) : 1000 \cdot 7 + 947) \cdot 100$.

Решение. Первое:

1. $16,000 : 32 = 500$; $1640 : 82 = 20$; $500 - 20 = 480$.
2. $480 : 15 = 32$; $32 \cdot 7000 = 224,000$.
3. $224,000 - 192,000 = 32,000$; $32,000 : 40 = 800$.

Второе:

1. $97,264 : 8 = 12,158$; $1,284,200 : 100 = 12,842$; сумма $25,000$.
2. $25,000 : 1000 = 25$; $25 \cdot 7 = 175$; $175 + 947 = 1122$.
3. $1122 \cdot 100 = 112,200$.

Ответ: $800 < 112,200$.

№ 395

36 страниц один оператор набирает за 9 ч, другой — за 6 ч. Сравни их производительность.

Как думать. Производительность — сколько страниц набирают за 1 час.

Решение. Первый: $36 : 9 = 4$ страницы в час. Второй: $36 : 6 = 6$ страниц в час. $4 < 6$.

Ответ: у второго производительность больше (6 страниц в час против 4).

№ 396

Реши уравнения и запиши корни в порядке убывания: 1) $319 + x = 502$; 2) $10,000 - x = 1096$; 3) $x \cdot 205 = 2255$; 4) $3417 : x = 17$.

Решение.

1. $x = 502 - 319 = 183$.
2. $x = 10,000 - 1096 = 8904$.
3. $x = 2255 : 205 = 11$.
4. $x = 3417 : 17 = 201$.

Ответ: 8904; 201; 183; 11.

№ 397

Сравни: $1000 - (58 \cdot 101 - 5000)$ и $(8989 : 89 + 98) - 158$.

Решение.

1. $58 \cdot 101 = 5858$; $5858 - 5000 = 858$; $1000 - 858 = 142$.
2. $8989 : 89 = 101$; $101 + 98 = 199$; $199 - 158 = 41$.

Ответ: $142 > 41$, первое выражение больше.

№ 398

Узнай рост четырёх одноклассников и вместе со своим ростом расставь по убыванию.

Как думать. Измерь рост рулеткой у стены, лучше в сантиметрах. Потом сравни числа.

Решение. Пример: Айгерим — 148 см, Даниял — 141 см, ты — 145 см, Тимур — 152 см, Мадина — 139 см. По убыванию: 152; 148; 145; 141; 139.

Ответ: у каждого свой; например, Тимур, Айгерим, ты, Даниял, Мадина.

Шпаргалка

• Наименьший общий знаменатель = НОК знаменателей.
• Дополнительный множитель = общий знаменатель : знаменатель дроби.
• Умножаем на множитель и числитель, и знаменатель.
• Больший знаменатель делится на меньший — он и есть общий.
• Знаменатели взаимно простые — перемножаем их.

Мини-тест