§ 22. Сравнение обыкновенных дробей и смешанных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 106–109.

Чему научишься

• Сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями.
• Сравнивать дроби с одинаковыми числителями.
• Сравнивать дроби с разными знаменателями через общий знаменатель.
• Сравнивать смешанные числа.

Разминка

Это задания № 393, 395 и 397 из прошлого урока, плюс два вопроса на дроби.

• Какой океан мельче всех: Атлантический (3597 м), Индийский (3711 м), Тихий (3976 м) или Северный Ледовитый (1225 м)? Северный Ледовитый: у 1225 в разряде тысяч всего 1.
• Один оператор набирает 36 страниц за 9 ч, другой — за 6 ч. Кто быстрее? Второй: 6 страниц в час против 4.
• Что больше: $1000 - (58 \cdot 101 - 5000)$ или $(8989 : 89 + 98) - 158$? Первое: $142 > 41$.
• Приведи $\frac{2}{3}$ к знаменателю 6. $\frac{4}{6}$ — множитель 2.
• Какой общий знаменатель у $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$? 12.

💡 Сравнивать натуральные числа ты умеешь давно. Сегодня то же самое, только с дробями. А общий знаменатель из прошлого урока станет главным инструментом.

Разбираемся

Одинаковые знаменатели — смотри на числитель

Пиццу разрезали на 7 равных кусков. Ты взял 5, а брат — 3. У кого больше? Конечно, у тебя: кусочки одинаковые, а у тебя их больше.

На координатном луче $\frac{5}{7}$ тоже стоит правее, чем $\frac{3}{7}$.

📌 Если знаменатели равны, больше та дробь, у которой больше числитель: $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$.

Одинаковые числители — ловушка!

Теперь арбуз. Треть арбуза — это 1 кусок из 3. Пятая часть — 1 кусок из 5. Чем на большее число частей режешь, тем мельче каждый кусок.

📌 Если числители равны, больше та дробь, у которой меньше знаменатель: $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.

⚠️ Частая ошибка. «$\frac{1}{5}$ больше, потому что 5 больше 3». Нет! Знаменатель — это на сколько частей делим. Больше частей — каждая меньше.

Разные знаменатели — приводим к общему

Как сравнить $\frac{2}{3}$ и $\frac{5}{6}$? Приведём к знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$. Теперь $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$, значит, $\frac{2}{3} < \frac{5}{6}$.

📌 Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, приведи их к общему знаменателю. Потом сравни числители.

Смешанные числа — сначала целые

Сравниваем $14\frac{6}{7}$ и $17\frac{1}{2}$. Целые части разные: 14 < 17. Дальше смотреть не нужно — $14\frac{6}{7} < 17\frac{1}{2}$.

А $73\frac{2}{3}$ и $73\frac{1}{3}$? Целые части равны, сравниваем дробные: $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$. Значит, $73\frac{2}{3} > 73\frac{1}{3}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Хорошая проверка — «пирожная»: спросите, что ребёнок выберет, $\frac{1}{4}$ торта или $\frac{1}{6}$. Если выбирает $\frac{1}{6}$ «потому что больше», нарисуйте два торта и разрежьте.

Как это читать

Неравенство $\frac{8}{51} > \frac{5}{43}$ можно прочитать так: «восемь пятьдесят первых больше пяти сорок третьих». Или наоборот: «пять сорок третьих меньше восьми пятьдесят первых».

💡 Обрати внимание на окончания: «больше пяти сорок третьих», «меньше восьми пятьдесят первых».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как сравнивают дроби с равными знаменателями? Сравнивают числители: больше та дробь, у которой числитель больше.
• Как сравнивают дроби с разными знаменателями? Приводят к общему знаменателю, а потом сравнивают числители.
• Почему при равных числителях больше дробь с меньшим знаменателем? Знаменатель показывает, на сколько частей разделили целое. Чем частей меньше, тем каждая крупнее. А взяли одинаковое число частей.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 399

Торт разрезали на 10 равных частей. Что больше: 1) $\frac{1}{10}$ или $\frac{3}{10}$; 2) $\frac{9}{10}$ или $\frac{7}{10}$; 3) $\frac{5}{10}$ или $\frac{3}{10}$?

Как думать. Куски одинаковые. Больше та часть, где кусков больше.

Решение. 1) $3 > 1$, значит, $\frac{3}{10}$ больше. 2) $9 > 7$ — больше $\frac{9}{10}$. 3) $5 > 3$ — больше $\frac{5}{10}$.

Ответ: 1) $\frac{3}{10}$; 2) $\frac{9}{10}$; 3) $\frac{5}{10}$.

№ 400

Сравни: 1) $\frac{11}{17}$ и $\frac{9}{17}$; 2) $\frac{125}{233}$ и $\frac{124}{233}$; 3) $\frac{100}{101}$ и $\frac{99}{101}$; 4) $\frac{1569}{2014}$ и $\frac{1567}{2014}$.

Как думать. Знаменатели везде одинаковые. Не пугайся больших чисел — сравниваем только числители.

Решение. 1) $11 > 9$; 2) $125 > 124$; 3) $100 > 99$; 4) $1569 > 1567$.

Ответ: 1) $\frac{11}{17} > \frac{9}{17}$; 2) $\frac{125}{233} > \frac{124}{233}$; 3) $\frac{100}{101} > \frac{99}{101}$; 4) $\frac{1569}{2014} > \frac{1567}{2014}$.

№ 401

Какие натуральные $x$ подходят: 1) $\frac{9}{16} < \frac{x}{16} < \frac{13}{16}$; 2) $\frac{23}{30} < \frac{x}{30} < \frac{29}{30}$?

Как думать. Знаменатели равны, значит, $x$ стоит между числителями. Неравенства строгие — сами 9 и 13 не берём.

Решение. 1) $9 < x < 13$: $x = 10, 11, 12$. 2) $23 < x < 29$: $x = 24, 25, 26, 27, 28$.

Ответ: 1) 10; 11; 12; 2) 24; 25; 26; 27; 28.

№ 402

Расставь по возрастанию: $\frac{12}{15}$; $\frac{3}{15}$; $\frac{6}{15}$; $\frac{4}{15}$; $\frac{1}{15}$; $\frac{2}{15}$; $\frac{11}{15}$; $\frac{7}{15}$.

Как думать. Знаменатель у всех 15. Достаточно расставить числители: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 12.

Решение. $\frac{1}{15} < \frac{2}{15} < \frac{3}{15} < \frac{4}{15} < \frac{6}{15} < \frac{7}{15} < \frac{11}{15} < \frac{12}{15}$.

Ответ: $\frac{1}{15}$; $\frac{2}{15}$; $\frac{3}{15}$; $\frac{4}{15}$; $\frac{6}{15}$; $\frac{7}{15}$; $\frac{11}{15}$; $\frac{12}{15}$.

№ 403

Сравни: 1) $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{4}$; 2) $\frac{2}{3}$ и $\frac{7}{9}$; 3) $\frac{1}{16}$ и $\frac{7}{8}$; 4) $\frac{7}{9}$ и $\frac{17}{18}$; 5) $\frac{7}{12}$ и $\frac{8}{9}$; 6) $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{10}$; 7) $\frac{5}{24}$ и $\frac{3}{16}$; 8) $\frac{1}{20}$ и $\frac{2}{15}$.

Как думать. Знаменатели разные. Приводим к общему и сравниваем числители.

Решение.

1. $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$; $\frac{5}{8} < \frac{6}{8}$.
2. $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$; $\frac{6}{9} < \frac{7}{9}$.
3. $\frac{7}{8} = \frac{14}{16}$; $\frac{1}{16} < \frac{14}{16}$.
4. $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$; $\frac{14}{18} < \frac{17}{18}$.
5. Знаменатель 36: $\frac{21}{36} < \frac{32}{36}$.
6. Знаменатель 90: $\frac{20}{90} > \frac{9}{90}$.
7. Знаменатель 48: $\frac{10}{48} > \frac{9}{48}$.
8. Знаменатель 60: $\frac{3}{60} < \frac{8}{60}$.

Ответ: 1) <; 2) <; 3) <; 4) <; 5) <; 6) >; 7) >; 8) <.

№ 404

Расставь по возрастанию: $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{5}$; $\frac{3}{10}$; $\frac{4}{15}$; $\frac{7}{30}$.

Как думать. Пять дробей с разными знаменателями. Переводим всех в тридцатые.

Решение. $\frac{10}{30}$; $\frac{12}{30}$; $\frac{9}{30}$; $\frac{8}{30}$; $\frac{7}{30}$. По возрастанию числителей: 7, 8, 9, 10, 12.

Ответ: $\frac{7}{30}$; $\frac{4}{15}$; $\frac{3}{10}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{5}$.

№ 405

Ерлан идёт из школы домой $\frac{3}{20}$ ч, Марат — $\frac{7}{10}$ ч. Кто тратит больше времени?

Как думать. Сравним дроби, приведя их к знаменателю 20.

Решение. $\frac{7}{10} = \frac{14}{20}$. $\frac{3}{20} < \frac{14}{20}$, значит, $\frac{3}{20} < \frac{7}{10}$. Для наглядности: $\frac{3}{20}$ ч — это 9 минут, а $\frac{7}{10}$ ч — 42 минуты.

Ответ: Марат.

№ 406

Сравни: 1) $9\frac{1}{6}$ и $2\frac{4}{7}$; 2) $8\frac{3}{8}$ и $8\frac{11}{24}$; 3) $5\frac{1}{4}$ и $7\frac{5}{8}$; 4) $4\frac{3}{7}$ и $4\frac{13}{14}$.

Как думать. Разные целые части — решают они. Равные — сравниваем дробные части.

Решение.

1. $9 > 2$, значит, $9\frac{1}{6} > 2\frac{4}{7}$.
2. Целые равны. $\frac{3}{8} = \frac{9}{24} < \frac{11}{24}$, значит, $8\frac{3}{8} < 8\frac{11}{24}$.
3. $5 < 7$, значит, $5\frac{1}{4} < 7\frac{5}{8}$.
4. Целые равны. $\frac{3}{7} = \frac{6}{14} < \frac{13}{14}$, значит, $4\frac{3}{7} < 4\frac{13}{14}$.

Ответ: 1) >; 2) <; 3) <; 4) <.

№ 407

При каких натуральных $a$ дробь $\frac{a}{23}$ меньше $\frac{6}{23}$? Запиши эти дроби.

Как думать. Знаменатели равны, значит, $a < 6$. Натуральные числа начинаются с 1.

Решение. $a = 1, 2, 3, 4, 5$.

Ответ: $\frac{1}{23}$; $\frac{2}{23}$; $\frac{3}{23}$; $\frac{4}{23}$; $\frac{5}{23}$.

№ 408

При каких натуральных $b$ дробь $\frac{b}{37}$ больше $\frac{15}{37}$, но меньше $\frac{19}{37}$? Запиши эти дроби.

Решение. Нужно $15 < b < 19$: $b = 16, 17, 18$.

Ответ: $\frac{16}{37}$; $\frac{17}{37}$; $\frac{18}{37}$.

№ 409

Сравни дроби с равными числителями: 1) $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$; 2) $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{9}$; 3) $\frac{2}{13}$ и $\frac{2}{3}$; 4) $\frac{4}{5}$ и $\frac{4}{7}$; 5) $\frac{11}{13}$ и $\frac{11}{15}$; 6) $\frac{8}{15}$ и $\frac{8}{11}$; 7) $\frac{3}{10}$ и $\frac{3}{7}$; 8) $\frac{5}{8}$ и $\frac{5}{11}$; 9) $\frac{20}{13}$ и $\frac{20}{17}$; 10) $\frac{6}{5}$ и $\frac{6}{7}$; 11) $\frac{29}{53}$ и $\frac{29}{49}$; 12) $\frac{9}{50}$ и $\frac{9}{64}$.

Как думать. Числители равны. Больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Решение.

1. $5 > 3$, значит, $\frac{1}{5} < \frac{1}{3}$.
2. $7 < 9$: $\frac{1}{7} > \frac{1}{9}$.
3. $13 > 3$: $\frac{2}{13} < \frac{2}{3}$.
4. $5 < 7$: $\frac{4}{5} > \frac{4}{7}$.
5. $13 < 15$: $\frac{11}{13} > \frac{11}{15}$.
6. $15 > 11$: $\frac{8}{15} < \frac{8}{11}$.
7. $10 > 7$: $\frac{3}{10} < \frac{3}{7}$.
8. $8 < 11$: $\frac{5}{8} > \frac{5}{11}$.
9. $13 < 17$: $\frac{20}{13} > \frac{20}{17}$.
10. $5 < 7$: $\frac{6}{5} > \frac{6}{7}$.
11. $53 > 49$: $\frac{29}{53} < \frac{29}{49}$.
12. $50 < 64$: $\frac{9}{50} > \frac{9}{64}$.

Ответ: 1) <; 2) >; 3) <; 4) >; 5) >; 6) <; 7) <; 8) >; 9) >; 10) >; 11) <; 12) >.

Уровень B

№ 410

Верно ли, что: 1) всякая правильная дробь меньше 1; 2) неправильная дробь всегда больше 1; 3) некоторые неправильные дроби меньше 1; 4) любая правильная дробь меньше любой неправильной; 5) неправильная дробь может быть меньше 2?

Как думать. Вспомни: у правильной дроби числитель меньше знаменателя — она меньше 1. У неправильной числитель больше знаменателя или равен ему — она больше 1 или равна 1.

Решение.

1. Верно.
2. Неверно: $\frac{5}{5} = 1$, а это не больше 1.
3. Неверно: неправильная дробь не бывает меньше 1.
4. Верно: правильная меньше 1, а неправильная не меньше 1.
5. Верно: например, $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} < 2$.

Ответ: верны 1, 4 и 5.

№ 411

Сравни с $\frac{1}{2}$ дроби: $\frac{3}{8}$; $\frac{10}{19}$; $\frac{22}{45}$; $\frac{41}{80}$; $\frac{245}{504}$.

Как думать. Хитрость: удвой числитель и сравни со знаменателем. Если вдвое больший числитель меньше знаменателя — дробь меньше половины.

Решение.

1. $3 \cdot 2 = 6 < 8$: $\frac{3}{8} < \frac{1}{2}$.
2. $10 \cdot 2 = 20 > 19$: $\frac{10}{19} > \frac{1}{2}$.
3. $22 \cdot 2 = 44 < 45$: $\frac{22}{45} < \frac{1}{2}$.
4. $41 \cdot 2 = 82 > 80$: $\frac{41}{80} > \frac{1}{2}$.
5. $245 \cdot 2 = 490 < 504$: $\frac{245}{504} < \frac{1}{2}$.

Ответ: меньше $\frac{1}{2}$: $\frac{3}{8}$, $\frac{22}{45}$, $\frac{245}{504}$; больше $\frac{1}{2}$: $\frac{10}{19}$, $\frac{41}{80}$.

№ 412

Найди натуральное $x$, при котором дроби равны: 1) $\frac{x}{25}$ и $\frac{12}{25}$; 2) $\frac{9}{24}$ и $\frac{x}{32}$; 3) $\frac{18}{x}$ и $\frac{8}{16}$; 4) $\frac{14}{21}$ и $\frac{22}{x}$.

Как думать. Сначала сократи известную дробь, потом «растяни» её до нужного числителя или знаменателя.

Решение.

1. Знаменатели равны — числители тоже: $x = 12$.
2. $\frac{9}{24} = \frac{3}{8}$. $32 = 8 \cdot 4$, значит, $x = 3 \cdot 4 = 12$.
3. $\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$. $18 = 1 \cdot 18$, значит, $x = 2 \cdot 18 = 36$.
4. $\frac{14}{21} = \frac{2}{3}$. $22 = 2 \cdot 11$, значит, $x = 3 \cdot 11 = 33$.

Ответ: 1) 12; 2) 12; 3) 36; 4) 33.

№ 413

Подбери по три дроби $x$: 1) $\frac{1}{3} < x < \frac{3}{4}$; 2) $\frac{1}{8} < x < \frac{3}{4}$.

Как думать. Приведём границы к общему знаменателю — между числителями появятся «свободные места».

Решение.

1. Знаменатель 12: $\frac{4}{12} < x < \frac{9}{12}$. Подходят $\frac{5}{12}$, $\frac{6}{12}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{8}{12}$. Возьмём $\frac{5}{12}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{12}$.
2. Знаменатель 8: $\frac{1}{8} < x < \frac{6}{8}$. Подходят $\frac{2}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{4}{8}$, $\frac{5}{8}$. Возьмём $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$.

Ответ: например, 1) $\frac{5}{12}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{7}{12}$; 2) $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$.

💡 Ответов бесконечно много! Например, между $\frac{1}{3}$ и $\frac{3}{4}$ лежат и $\frac{2}{5}$, и $\frac{3}{5}$, и $\frac{2}{3}$.

№ 414

Сравни время полётов космонавтов: 1) $144\frac{31}{60}$ ч и $144\frac{59}{60}$ ч; 2) $26\frac{1}{30}$ ч и $26\frac{4}{5}$ ч; 3) $190\frac{1}{20}$ ч и $190\frac{4}{15}$ ч; 4) $70\frac{19}{20}$ ч и $70\frac{5}{6}$ ч.

Как думать. Целые части везде равны. Сравниваем дробные части. Удобно перевести их в шестидесятые — это минуты!

Решение.

1. $\frac{31}{60} < \frac{59}{60}$: 144 ч 31 мин меньше, чем 144 ч 59 мин.
2. $\frac{4}{5} = \frac{24}{30}$; $\frac{1}{30} < \frac{24}{30}$.
3. $\frac{1}{20} = \frac{3}{60}$, $\frac{4}{15} = \frac{16}{60}$; $3 < 16$.
4. $\frac{19}{20} = \frac{57}{60}$, $\frac{5}{6} = \frac{50}{60}$; $57 > 50$.

Ответ: 1) $144\frac{31}{60} < 144\frac{59}{60}$; 2) $26\frac{1}{30} < 26\frac{4}{5}$; 3) $190\frac{1}{20} < 190\frac{4}{15}$; 4) $70\frac{19}{20} > 70\frac{5}{6}$.

🌟 Первый космонавт-казах Тохтар Аубакиров полетел в космос в 1991 году с Байконура — космодрома в Казахстане.

Уровень C

№ 415

Измерь в метрах 10 своих шагов и 10 шагов друга. Чей шаг длиннее?

Как думать. Отметь мелом старт, пройди 10 обычных шагов, отметь финиш и измерь рулеткой. Длина одного шага — эта длина, делённая на 10.

Решение. Пример: твои 10 шагов — 5 м, значит, шаг — $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ м. У друга 10 шагов — 6 м, шаг — $\frac{6}{10}$ м. $\frac{6}{10} > \frac{5}{10}$ — у друга шаг длиннее.

Ответ: у каждого свой; сравнивай дроби с одинаковым знаменателем 10.

№ 416

Верёвку 5 м разрезали на 9 равных частей, а верёвку 7 м — на 12 равных частей. У какой верёвки части короче?

Как думать. Длина одной части — это длина верёвки, делённая на число частей. Получатся дроби $\frac{5}{9}$ м и $\frac{7}{12}$ м.

Решение.

1. Часть первой: $5 : 9 = \frac{5}{9}$ м. Часть второй: $7 : 12 = \frac{7}{12}$ м.
2. Общий знаменатель 36: $\frac{5}{9} = \frac{20}{36}$, $\frac{7}{12} = \frac{21}{36}$.
3. $\frac{20}{36} < \frac{21}{36}$.

Ответ: части пятиметровой верёвки короче.

№ 417

На луче два отрезка: первый от 18 до 22, второй от 19 до 20. Первый разделили на 6 равных частей, второй — на 10. Запиши координаты середин отрезков дробями и сравни их.

Как думать. Середина отрезка — на середине делений: у первого после 3 делений из 6, у второго — после 5 из 10.

Решение.

1. Первый отрезок длиной $22 - 18 = 4$, одно деление — $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Середина: $18 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 18 + 2 = 20$, или $18\frac{6}{3}$.
2. Второй отрезок длиной 1, одно деление — $\frac{1}{10}$. Середина: $19\frac{5}{10} = 19\frac{1}{2}$.
3. Сравниваем: $20 > 19\frac{1}{2}$.

Ответ: середина первого — 20, второго — $19\frac{5}{10}$; $20 > 19\frac{5}{10}$.

Готовимся к следующей теме

№ 418

1) Сумма двух натуральных чисел 432, первое больше второго на 18. 2) Сумма двух чисел 537, первое меньше второго на 131. Найди числа.

Как думать. Если убрать из суммы разницу, останутся два одинаковых числа — меньших.

Решение.

1. $432 - 18 = 414$; $414 : 2 = 207$ — второе; $207 + 18 = 225$ — первое.
2. $537 - 131 = 406$; $406 : 2 = 203$ — первое; $203 + 131 = 334$ — второе.

Ответ: 1) 225 и 207; 2) 203 и 334.

№ 419

Нарисуй прямоугольник 7 клеток на 1 клетку. Закрась $\frac{2}{7}$ синим и $\frac{3}{7}$ красным. Сколько частей закрашено?

Решение. Одна клетка — $\frac{1}{7}$. Синим — 2 клетки, красным — 3. Всего $2 + 3 = 5$ клеток, то есть $\frac{5}{7}$ прямоугольника.

Ответ: 5 частей из 7, то есть $\frac{5}{7}$.

№ 420

У Жулдыз осталось $\frac{5}{9}$ ленточки. Для другой поделки нужно ещё $\frac{4}{9}$. Какая часть ленточки останется?

Решение. Девятых было 5, отрежут 4. Останется $5 - 4 = 1$ девятая.

Ответ: $\frac{1}{9}$ ленточки.

Шпаргалка

• Знаменатели равны — сравниваем числители.
• Числители равны — больше та, у которой знаменатель меньше.
• Всё разное — приводим к общему знаменателю.
• Смешанные числа: решает целая часть, а если она одинаковая — дробная.
• Правильная дробь всегда меньше неправильной.

Мини-тест