§ 23. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 110–116.

Чему научишься

• Складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями.
• Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.
• Сокращать ответ и выделять из него целую часть.
• Решать уравнения и задачи с дробями.

Разминка

Это задания № 418–420 из прошлого урока.

• Сумма двух чисел 432, одно больше другого на 18. Какие это числа? $432 - 18 = 414$, $414 : 2 = 207$. Числа 207 и 225.
• Сумма двух чисел 537, первое меньше второго на 131. Какие числа? $537 - 131 = 406$, $406 : 2 = 203$. Числа 203 и 334.
• В полоске 7 клеток. Закрасили $\frac{2}{7}$ синим и $\frac{3}{7}$ красным. Сколько закрашено? 2 клетки + 3 клетки = 5 клеток, то есть $\frac{5}{7}$.
• У Жулдыз было $\frac{5}{9}$ ленточки, отрезали ещё $\frac{4}{9}$. Сколько осталось? 5 девятых − 4 девятых = $\frac{1}{9}$.

💡 В последних двух вопросах ты уже сложил и вычел дроби! Просто считал «клетки» и «девятые», как обычные предметы.

Разбираемся

Складываем одинаковые кусочки

Шестиугольник разрезали на 12 равных частей. 7 частей закрасили жёлтым, 3 — зелёным. Сколько закрашено? $7 + 3 = 10$ частей из 12.

Двенадцатые — это как «штуки». 7 штук да 3 штуки — 10 штук. Знаменатель только говорит, какие это штуки.

📌 Если знаменатели одинаковые, числители складывают, а знаменатель оставляют: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$.

⚠️ Частая ошибка. $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{14}$ — складывают и знаменатели. Проверь здравым смыслом: $\frac{5}{14}$ меньше половины, а $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$ — это больше половины пиццы! Знаменатель не меняется.

Вычитаем так же

Было $\frac{5}{8}$ пирога, съели $\frac{3}{8}$. Осталось $5 - 3 = 2$ восьмых: $\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{2}{8}$.

📌 $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$: из числителя вычитаем числитель, знаменатель тот же.

Разные знаменатели — сначала общий

Нельзя сразу сложить трети и четверти: кусочки разного размера. Сначала «перережем» их на одинаковые кусочки — приведём к общему знаменателю.

С вычитанием так же: $\frac{9}{10} - \frac{1}{15} = \frac{27}{30} - \frac{2}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$.

📌 Ответ всегда доводим до конца: сократимую дробь сокращаем, неправильную переводим в смешанное число.

Хитрости переместительного закона

Все законы сложения работают и для дробей. Значит, слагаемые можно менять местами и группировать как удобно:

$\frac{15}{21} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{6}{21} = \left(\frac{15}{21} + \frac{6}{21}\right) + \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{9}\right) = 1 + \frac{5}{9} = 1\frac{5}{9}$.

💡 Ищи «друзей»: дроби с одинаковым знаменателем, которые вместе дают целое.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед вычислением прикинуть ответ: «больше половины или меньше? больше 1 или меньше?». Это быстро ловит ошибку со сложением знаменателей.

Как это читать

$\frac{2}{7} + \frac{3}{8}$ — «сумма двух седьмых и трёх восьмых» или «к двум седьмым прибавить три восьмых». $\frac{5}{6} - \frac{3}{5}$ — «из пяти шестых вычесть три пятых» или «разность пяти шестых и трёх пятых».

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как складывают и вычитают дроби с одинаковыми знаменателями? Числители складывают (вычитают), знаменатель оставляют тем же.
• Как складывают и вычитают дроби с разными знаменателями? Приводят к наименьшему общему знаменателю, а потом действуют как с одинаковыми знаменателями.
• Какие законы сложения помогли посчитать $\frac{15}{21} + \frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{6}{21}$? Переместительный (поменяли слагаемые местами) и сочетательный (сгруппировали в скобки).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 421

Вычисли: 1) $\frac{1}{9} + \frac{4}{9}$; 2) $\frac{7}{8} - \frac{3}{8}$; 3) $\frac{15}{19} - \frac{6}{19}$; 4) $\frac{5}{16} + \frac{1}{16}$; 5) $\frac{3}{14} + \frac{11}{14}$; 6) $\frac{11}{21} + \frac{4}{21}$.

Как думать. Знаменатели одинаковые. Работаем только с числителями и не забываем сократить.

Решение.

1. $\frac{1 + 4}{9} = \frac{5}{9}$.
2. $\frac{7 - 3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
3. $\frac{15 - 6}{19} = \frac{9}{19}$.
4. $\frac{5 + 1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
5. $\frac{3 + 11}{14} = \frac{14}{14} = 1$.
6. $\frac{11 + 4}{21} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$.

Ответ: 1) $\frac{5}{9}$; 2) $\frac{1}{2}$; 3) $\frac{9}{19}$; 4) $\frac{3}{8}$; 5) 1; 6) $\frac{5}{7}$.

№ 422

Вычисли: 1) $\frac{2}{5} + \frac{3}{5}$; 2) $\frac{3}{7} - \frac{2}{7}$; 3) $\frac{7}{20} - \frac{3}{20}$; 4) $\frac{1}{9} + \frac{5}{9}$; 5) $\frac{6}{23} - \frac{2}{23}$; 6) $\frac{3}{20} + \frac{7}{20}$; 7) $\frac{13}{29} - \frac{2}{29}$; 8) $\frac{11}{51} + \frac{13}{51}$; 9) $\frac{17}{72} - \frac{13}{72}$; 10) $\frac{32}{55} + \frac{23}{55}$; 11) $\frac{5}{33} + \frac{6}{33}$; 12) $\frac{13}{48} - \frac{11}{48}$.

Решение.

Ответ: 1) 1; 2) $\frac{1}{7}$; 3) $\frac{1}{5}$; 4) $\frac{2}{3}$; 5) $\frac{4}{23}$; 6) $\frac{1}{2}$; 7) $\frac{11}{29}$; 8) $\frac{8}{17}$; 9) $\frac{1}{18}$; 10) 1; 11) $\frac{1}{3}$; 12) $\frac{1}{24}$.

№ 423

Найди суммы: 1) $\frac{1}{10} + \frac{9}{100}$; 2) $\frac{27}{100} + \frac{7}{10}$; 3) $\frac{4}{5} + \frac{7}{10}$; 4) $\frac{2}{3} + \frac{5}{9}$; 5) $\frac{15}{24} + \frac{1}{6}$; 6) $\frac{5}{9} + \frac{2}{27}$.

Как думать. Везде больший знаменатель делится на меньший — он и будет общим.

Решение.

1. $\frac{10}{100} + \frac{9}{100} = \frac{19}{100}$.
2. $\frac{27}{100} + \frac{70}{100} = \frac{97}{100}$.
3. $\frac{8}{10} + \frac{7}{10} = \frac{15}{10} = 1\frac{5}{10} = 1\frac{1}{2}$.
4. $\frac{6}{9} + \frac{5}{9} = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$.
5. $\frac{15}{24} + \frac{4}{24} = \frac{19}{24}$.
6. $\frac{15}{27} + \frac{2}{27} = \frac{17}{27}$.

Ответ: 1) $\frac{19}{100}$; 2) $\frac{97}{100}$; 3) $1\frac{1}{2}$; 4) $1\frac{2}{9}$; 5) $\frac{19}{24}$; 6) $\frac{17}{27}$.

№ 424

Сложи: 1) $\frac{2}{45} + \frac{7}{9}$; 2) $\frac{2}{5} + \frac{4}{25}$; 3) $\frac{1}{6} + \frac{7}{18}$; 4) $\frac{19}{42} + \frac{6}{7}$; 5) $\frac{3}{32} + \frac{5}{8}$; 6) $\frac{3}{8} + \frac{1}{56}$.

Решение.

1. $\frac{2}{45} + \frac{35}{45} = \frac{37}{45}$.
2. $\frac{10}{25} + \frac{4}{25} = \frac{14}{25}$.
3. $\frac{3}{18} + \frac{7}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$.
4. $\frac{19}{42} + \frac{36}{42} = \frac{55}{42} = 1\frac{13}{42}$.
5. $\frac{3}{32} + \frac{20}{32} = \frac{23}{32}$.
6. $\frac{21}{56} + \frac{1}{56} = \frac{22}{56} = \frac{11}{28}$.

Ответ: 1) $\frac{37}{45}$; 2) $\frac{14}{25}$; 3) $\frac{5}{9}$; 4) $1\frac{13}{42}$; 5) $\frac{23}{32}$; 6) $\frac{11}{28}$.

№ 425

Вычти: 1) $\frac{1}{3} - \frac{1}{9}$; 2) $\frac{10}{21} - \frac{1}{3}$; 3) $\frac{14}{15} - \frac{3}{5}$; 4) $\frac{17}{18} - \frac{1}{9}$; 5) $\frac{4}{9} - \frac{13}{45}$; 6) $\frac{1}{3} - \frac{7}{30}$.

Решение.

1. $\frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$.
2. $\frac{10}{21} - \frac{7}{21} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$.
3. $\frac{14}{15} - \frac{9}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
4. $\frac{17}{18} - \frac{2}{18} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6}$.
5. $\frac{20}{45} - \frac{13}{45} = \frac{7}{45}$.
6. $\frac{10}{30} - \frac{7}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{9}$; 2) $\frac{1}{7}$; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $\frac{5}{6}$; 5) $\frac{7}{45}$; 6) $\frac{1}{10}$.

№ 426

Вычисли: 1) $\frac{1}{5} - \frac{1}{6}$; 2) $\frac{3}{4} - \frac{1}{3}$; 3) $\frac{7}{9} - \frac{2}{11}$; 4) $\frac{3}{4} - \frac{4}{9}$; 5) $\frac{7}{8} - \frac{5}{12}$; 6) $\frac{11}{12} - \frac{11}{18}$.

Как думать. В пунктах 1–4 знаменатели взаимно простые — перемножаем. В 5 и 6 ищем НОК.

Решение.

1. $\frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}$.
2. $\frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$.
3. $\frac{77}{99} - \frac{18}{99} = \frac{59}{99}$.
4. $\frac{27}{36} - \frac{16}{36} = \frac{11}{36}$.
5. НОК (8; 12) = 24: $\frac{21}{24} - \frac{10}{24} = \frac{11}{24}$.
6. НОК (12; 18) = 36: $\frac{33}{36} - \frac{22}{36} = \frac{11}{36}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{30}$; 2) $\frac{5}{12}$; 3) $\frac{59}{99}$; 4) $\frac{11}{36}$; 5) $\frac{11}{24}$; 6) $\frac{11}{36}$.

№ 427

Выполни действия: 1) $\frac{7}{12} + \frac{7}{20}$; 2) $\frac{3}{8} + \frac{1}{18}$; 3) $\frac{1}{12} + \frac{11}{14}$; 4) $\frac{2}{15} + \frac{7}{12}$; 5) $\frac{9}{14} - \frac{5}{12}$; 6) $\frac{19}{75} + \frac{7}{50}$.

Решение.

1. НОК (12; 20) = 60: $\frac{35}{60} + \frac{21}{60} = \frac{56}{60} = \frac{14}{15}$.
2. НОК (8; 18) = 72: $\frac{27}{72} + \frac{4}{72} = \frac{31}{72}$.
3. НОК (12; 14) = 84: $\frac{7}{84} + \frac{66}{84} = \frac{73}{84}$.
4. НОК (15; 12) = 60: $\frac{8}{60} + \frac{35}{60} = \frac{43}{60}$.
5. НОК (14; 12) = 84: $\frac{54}{84} - \frac{35}{84} = \frac{19}{84}$.
6. НОК (75; 50) = 150: $\frac{38}{150} + \frac{21}{150} = \frac{59}{150}$.

Ответ: 1) $\frac{14}{15}$; 2) $\frac{31}{72}$; 3) $\frac{73}{84}$; 4) $\frac{43}{60}$; 5) $\frac{19}{84}$; 6) $\frac{59}{150}$.

№ 428

Вычисли: 1) $\frac{25}{28} - \frac{2}{21}$; 2) $\frac{41}{54} - \frac{35}{72}$; 3) $\frac{20}{21} - \frac{3}{14}$; 4) $\frac{40}{143} + \frac{39}{110}$; 5) $\frac{43}{140} + \frac{41}{150}$; 6) $\frac{73}{80} - \frac{37}{100}$.

Как думать. Знаменатели большие — раскладываем их на множители. Например, $143 = 11 \cdot 13$, $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$, НОК $= 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 = 1430$.

Решение.

1. НОК (28; 21) = 84: $\frac{75}{84} - \frac{8}{84} = \frac{67}{84}$.
2. НОК (54; 72) = 216: $\frac{164}{216} - \frac{105}{216} = \frac{59}{216}$.
3. НОК (21; 14) = 42: $\frac{40}{42} - \frac{9}{42} = \frac{31}{42}$.
4. НОК (143; 110) = 1430: $\frac{400}{1430} + \frac{507}{1430} = \frac{907}{1430}$.
5. НОК (140; 150) = 2100: $\frac{645}{2100} + \frac{574}{2100} = \frac{1219}{2100}$.
6. НОК (80; 100) = 400: $\frac{365}{400} - \frac{148}{400} = \frac{217}{400}$.

Ответ: 1) $\frac{67}{84}$; 2) $\frac{59}{216}$; 3) $\frac{31}{42}$; 4) $\frac{907}{1430}$; 5) $\frac{1219}{2100}$; 6) $\frac{217}{400}$.

№ 429

Назгуль прочитала $\frac{2}{5}$ книги, потом ещё $\frac{1}{5}$. Какую часть книги она прочитала?

Решение. $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$ книги.

№ 430

В первый день заасфальтировали $\frac{1}{7}$ участка дороги, во второй — $\frac{2}{7}$. Какую часть ещё осталось заасфальтировать?

Как думать. Весь участок — одно целое, то есть $\frac{7}{7}$. Вычтем из него сделанное.

Решение.

1. За два дня: $\frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.
2. Осталось: $\frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$ участка.

№ 431

В первый день продали $\frac{2}{11}$ привезённой обуви, во второй — $\frac{3}{11}$. Какую часть продали за два дня?

Решение. $\frac{2}{11} + \frac{3}{11} = \frac{5}{11}$.

Ответ: $\frac{5}{11}$ обуви.

№ 432

За первую минуту бегун пробежал $\frac{2}{9}$ дистанции, за вторую — $\frac{5}{9}$. Какую часть он пробежал за две минуты?

Решение. $\frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$ дистанции.

№ 433

Экскаватор в первый день выкопал $\frac{3}{10}$ котлована, во второй — $\frac{1}{15}$. Какую часть он выкопал за два дня?

Решение. НОК (10; 15) = 30: $\frac{9}{30} + \frac{2}{30} = \frac{11}{30}$.

Ответ: $\frac{11}{30}$ котлована.

№ 434

Реши уравнения: 1) $\frac{9}{16} - x = \frac{1}{2}$; 2) $x + \frac{2}{3} = \frac{7}{8}$; 3) $\frac{1}{2} + x = \frac{23}{24}$; 4) $x - \frac{3}{8} = \frac{1}{4}$.

Как думать. Правила те же, что для натуральных чисел. Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое. Неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность. Неизвестное уменьшаемое = разность + вычитаемое.

Решение.

1. $x = \frac{9}{16} - \frac{1}{2} = \frac{9}{16} - \frac{8}{16} = \frac{1}{16}$.
2. $x = \frac{7}{8} - \frac{2}{3} = \frac{21}{24} - \frac{16}{24} = \frac{5}{24}$.
3. $x = \frac{23}{24} - \frac{1}{2} = \frac{23}{24} - \frac{12}{24} = \frac{11}{24}$.
4. $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{8} = \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{16}$; 2) $\frac{5}{24}$; 3) $\frac{11}{24}$; 4) $\frac{5}{8}$.

№ 435

Найди корни: 1) $\frac{1}{4} + y = \frac{3}{7}$; 2) $y - \frac{5}{12} = \frac{3}{10}$; 3) $y + \frac{4}{11} = \frac{3}{5}$; 4) $\frac{4}{15} + y = \frac{11}{25}$.

Решение.

1. $y = \frac{3}{7} - \frac{1}{4} = \frac{12}{28} - \frac{7}{28} = \frac{5}{28}$.
2. $y = \frac{3}{10} + \frac{5}{12} = \frac{18}{60} + \frac{25}{60} = \frac{43}{60}$.
3. $y = \frac{3}{5} - \frac{4}{11} = \frac{33}{55} - \frac{20}{55} = \frac{13}{55}$.
4. $y = \frac{11}{25} - \frac{4}{15} = \frac{33}{75} - \frac{20}{75} = \frac{13}{75}$.

Ответ: 1) $\frac{5}{28}$; 2) $\frac{43}{60}$; 3) $\frac{13}{55}$; 4) $\frac{13}{75}$.

Уровень B

№ 436

Вычисли: 1) $\frac{5}{8} + \frac{5}{6} + \frac{7}{12}$; 2) $\frac{1}{5} + \frac{3}{8} - \frac{2}{9}$; 3) $\frac{1}{4} + \frac{2}{9} - \frac{5}{36}$; 4) $\frac{3}{4} + \frac{4}{5} + \frac{1}{20}$; 5) $\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{9}$; 6) $\frac{4}{15} + \frac{2}{5} + \frac{7}{10}$.

Как думать. Три дроби сразу приводим к одному общему знаменателю — НОК всех трёх.

Решение.

1. Знаменатель 24: $\frac{15}{24} + \frac{20}{24} + \frac{14}{24} = \frac{49}{24} = 2\frac{1}{24}$.
2. Знаменатель 360: $\frac{72}{360} + \frac{135}{360} - \frac{80}{360} = \frac{127}{360}$.
3. Знаменатель 36: $\frac{9}{36} + \frac{8}{36} - \frac{5}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
4. Знаменатель 20: $\frac{15}{20} + \frac{16}{20} + \frac{1}{20} = \frac{32}{20} = 1\frac{12}{20} = 1\frac{3}{5}$.
5. Знаменатель 36: $\frac{27}{36} + \frac{15}{36} - \frac{4}{36} = \frac{38}{36} = 1\frac{2}{36} = 1\frac{1}{18}$.
6. Знаменатель 30: $\frac{8}{30} + \frac{12}{30} + \frac{21}{30} = \frac{41}{30} = 1\frac{11}{30}$.

Ответ: 1) $2\frac{1}{24}$; 2) $\frac{127}{360}$; 3) $\frac{1}{3}$; 4) $1\frac{3}{5}$; 5) $1\frac{1}{18}$; 6) $1\frac{11}{30}$.

№ 437

Вычисли: 1) $\frac{1}{2} + \frac{4}{7} - \frac{3}{14}$; 2) $\frac{1}{5} - \frac{2}{15} + \frac{1}{30}$; 3) $\frac{1}{10} + \frac{7}{20} - \frac{2}{40}$; 4) $\frac{17}{20} - \frac{3}{10} - \frac{11}{60}$; 5) $\frac{3}{20} + \frac{7}{10} - \frac{3}{40}$; 6) $\frac{9}{40} + \frac{3}{4} - \frac{19}{20}$.

Решение.

1. $\frac{7}{14} + \frac{8}{14} - \frac{3}{14} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$.
2. $\frac{6}{30} - \frac{4}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
3. $\frac{4}{40} + \frac{14}{40} - \frac{2}{40} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$.
4. $\frac{51}{60} - \frac{18}{60} - \frac{11}{60} = \frac{22}{60} = \frac{11}{30}$.
5. $\frac{6}{40} + \frac{28}{40} - \frac{3}{40} = \frac{31}{40}$.
6. $\frac{9}{40} + \frac{30}{40} - \frac{38}{40} = \frac{1}{40}$.

Ответ: 1) $\frac{6}{7}$; 2) $\frac{1}{10}$; 3) $\frac{2}{5}$; 4) $\frac{11}{30}$; 5) $\frac{31}{40}$; 6) $\frac{1}{40}$.

№ 438

Вычисли: 1) $\frac{79}{80} - \left(\frac{3}{16} + \frac{39}{80}\right)$; 2) $\frac{2}{45} + \left(\frac{41}{45} - \frac{7}{9}\right)$; 3) $\frac{7}{15} - \left(\frac{2}{15} + \frac{1}{5}\right)$; 4) $\frac{3}{16} + \left(\frac{15}{16} - \frac{5}{8}\right)$.

Как думать. Сначала действие в скобках, потом второе.

Решение.

1. Скобка: $\frac{15}{80} + \frac{39}{80} = \frac{54}{80}$. Затем $\frac{79}{80} - \frac{54}{80} = \frac{25}{80} = \frac{5}{16}$.
2. Скобка: $\frac{41}{45} - \frac{35}{45} = \frac{6}{45}$. Затем $\frac{2}{45} + \frac{6}{45} = \frac{8}{45}$.
3. Скобка: $\frac{2}{15} + \frac{3}{15} = \frac{5}{15}$. Затем $\frac{7}{15} - \frac{5}{15} = \frac{2}{15}$.
4. Скобка: $\frac{15}{16} - \frac{10}{16} = \frac{5}{16}$. Затем $\frac{3}{16} + \frac{5}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $\frac{5}{16}$; 2) $\frac{8}{45}$; 3) $\frac{2}{15}$; 4) $\frac{1}{2}$.

№ 439

Выполни действия: 1) $\frac{31}{60} + \left(\frac{7}{20} + \frac{11}{60}\right)$; 2) $\frac{53}{54} - \left(\frac{1}{6} + \frac{7}{9}\right)$; 3) $\frac{13}{35} + \left(\frac{23}{35} - \frac{2}{7}\right)$; 4) $\frac{7}{16} - \left(\frac{3}{4} - \frac{5}{16}\right)$.

Решение.

1. Скобка: $\frac{21}{60} + \frac{11}{60} = \frac{32}{60}$. Затем $\frac{31}{60} + \frac{32}{60} = \frac{63}{60} = 1\frac{3}{60} = 1\frac{1}{20}$.
2. Скобка: $\frac{9}{54} + \frac{42}{54} = \frac{51}{54}$. Затем $\frac{53}{54} - \frac{51}{54} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$.
3. Скобка: $\frac{23}{35} - \frac{10}{35} = \frac{13}{35}$. Затем $\frac{13}{35} + \frac{13}{35} = \frac{26}{35}$.
4. Скобка: $\frac{12}{16} - \frac{5}{16} = \frac{7}{16}$. Затем $\frac{7}{16} - \frac{7}{16} = 0$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{20}$; 2) $\frac{1}{27}$; 3) $\frac{26}{35}$; 4) 0.

№ 440

Запиши в виде суммы двух дробей: 1) $\frac{5}{11}$; 2) $\frac{7}{9}$; 3) $\frac{9}{13}$; 4) $\frac{6}{17}$.

Как думать. Проще всего оставить тот же знаменатель и разбить числитель на два слагаемых.

Решение.

1. $\frac{5}{11} = \frac{2}{11} + \frac{3}{11}$.
2. $\frac{7}{9} = \frac{2}{9} + \frac{5}{9}$.
3. $\frac{9}{13} = \frac{4}{13} + \frac{5}{13}$.
4. $\frac{6}{17} = \frac{1}{17} + \frac{5}{17}$.

Ответ: например, $\frac{2}{11} + \frac{3}{11}$; $\frac{2}{9} + \frac{5}{9}$; $\frac{4}{13} + \frac{5}{13}$; $\frac{1}{17} + \frac{5}{17}$. Есть и другие варианты.

№ 441

Какую дробь надо прибавить к 1) $\frac{8}{9}$; 2) $\frac{3}{5}$; 3) $\frac{10}{19}$; 4) $\frac{8}{13}$; 5) $\frac{41}{50}$; 6) $\frac{58}{69}$, чтобы получилась 1?

Как думать. Единица — это дробь, где числитель равен знаменателю. Не хватает «знаменатель минус числитель» частей.

Решение. 1) $\frac{9}{9} - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$; 2) $\frac{2}{5}$; 3) $\frac{9}{19}$; 4) $\frac{5}{13}$; 5) $\frac{9}{50}$; 6) $\frac{11}{69}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{9}$; 2) $\frac{2}{5}$; 3) $\frac{9}{19}$; 4) $\frac{5}{13}$; 5) $\frac{9}{50}$; 6) $\frac{11}{69}$.

№ 442

Число увеличили на $\frac{5}{12}$ и получили $\frac{17}{36}$. Какое число было?

Как думать. Составим уравнение: $x + \frac{5}{12} = \frac{17}{36}$.

Решение. $x = \frac{17}{36} - \frac{5}{12} = \frac{17}{36} - \frac{15}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$.

№ 443

В банке $\frac{7}{16}$ кг мёда. Пустая банка легче мёда на $\frac{3}{20}$ кг. Найди массу банки с мёдом.

Как думать. Два шага: сначала узнаём массу пустой банки, потом прибавляем мёд.

Решение.

1. Пустая банка: $\frac{7}{16} - \frac{3}{20} = \frac{35}{80} - \frac{12}{80} = \frac{23}{80}$ кг.
2. С мёдом: $\frac{7}{16} + \frac{23}{80} = \frac{35}{80} + \frac{23}{80} = \frac{58}{80} = \frac{29}{40}$ кг.

Ответ: $\frac{29}{40}$ кг.

⚠️ Частая ошибка. Отвечают $\frac{23}{80}$ кг — это только пустая банка. Перечитай вопрос: нужна банка с мёдом.

№ 444

За первый час Жанболат сделал $\frac{1}{5}$ домашнего задания, за второй — на $\frac{1}{6}$ задания меньше. Какую часть он сделал за 2 ч?

Решение.

1. Второй час: $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}$.
2. Всего: $\frac{1}{5} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30} + \frac{1}{30} = \frac{7}{30}$.

Ответ: $\frac{7}{30}$ домашнего задания.

№ 445

Найди значения: 1) $k + \frac{3}{4}$ при $k = \frac{5}{6}$; 2) $\frac{9}{10} - k$ при $k = \frac{1}{6}$.

Решение.

1. $\frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$.
2. $\frac{9}{10} - \frac{1}{6} = \frac{27}{30} - \frac{5}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$.

Ответ: 1) $1\frac{7}{12}$; 2) $\frac{11}{15}$.

№ 446

Найди: 1) $a + b - c$ при $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{4}{5}$, $c = \frac{1}{12}$; 2) $a - b + c$ при $a = \frac{2}{7}$, $b = \frac{1}{6}$, $c = \frac{1}{9}$.

Решение.

1. Знаменатель 60: $\frac{20}{60} + \frac{48}{60} - \frac{5}{60} = \frac{63}{60} = 1\frac{3}{60} = 1\frac{1}{20}$.
2. НОК (7; 6; 9) = 126: $\frac{36}{126} - \frac{21}{126} + \frac{14}{126} = \frac{29}{126}$.

Ответ: 1) $1\frac{1}{20}$; 2) $\frac{29}{126}$.

№ 447

Реши уравнения: 1) $x + \frac{4}{21} = \frac{2}{3} + \frac{2}{7}$; 2) $y + \frac{1}{4} = \frac{4}{5} - \frac{3}{10}$; 3) $\left(\frac{4}{5} - x\right) + \frac{13}{20} = \frac{7}{10}$; 4) $\frac{2}{3} - \left(\frac{2}{9} + x\right) = \frac{1}{3}$.

Как думать. Сначала упрощаем правую часть. Если неизвестное спрятано в скобке, считаем скобку целиком как неизвестное.

Решение.

1. Правая часть: $\frac{14}{21} + \frac{6}{21} = \frac{20}{21}$. Тогда $x = \frac{20}{21} - \frac{4}{21} = \frac{16}{21}$.
2. Правая часть: $\frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Тогда $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
3. Скобка $= \frac{7}{10} - \frac{13}{20} = \frac{14}{20} - \frac{13}{20} = \frac{1}{20}$. Тогда $x = \frac{4}{5} - \frac{1}{20} = \frac{16}{20} - \frac{1}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
4. Скобка $= \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Тогда $x = \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} - \frac{2}{9} = \frac{1}{9}$.

Ответ: 1) $\frac{16}{21}$; 2) $\frac{1}{4}$; 3) $\frac{3}{4}$; 4) $\frac{1}{9}$.

Уровень C

№ 448

В первый день продали $\frac{2}{15}$ т овощей, во второй — на $\frac{1}{21}$ т больше, в третий — на $\frac{4}{35}$ т меньше, чем в первый и второй вместе. Сколько тонн продали в третий день?

Как думать. Идём по дням: второй день через первый, третий — через сумму первых двух. Общий знаменатель для 15, 21 и 35 — 105.

Решение.

1. Второй день: $\frac{2}{15} + \frac{1}{21} = \frac{14}{105} + \frac{5}{105} = \frac{19}{105}$ т.
2. Первый и второй вместе: $\frac{14}{105} + \frac{19}{105} = \frac{33}{105} = \frac{11}{35}$ т.
3. Третий день: $\frac{11}{35} - \frac{4}{35} = \frac{7}{35} = \frac{1}{5}$ т.

Ответ: $\frac{1}{5}$ т.

№ 449

Запиши все дроби, у которых числитель — наименьшее простое число, а знаменатель — двузначное число, кратное 31. Найди сумму этих дробей.

Как думать. Наименьшее простое число — 2. Двузначные кратные 31: 31, 62, 93 (124 уже трёхзначное).

Решение.

1. Дроби: $\frac{2}{31}$; $\frac{2}{62}$; $\frac{2}{93}$.
2. НОК (31; 62; 93) = 186: $\frac{12}{186} + \frac{6}{186} + \frac{4}{186} = \frac{22}{186} = \frac{11}{93}$.

Ответ: $\frac{2}{31}$, $\frac{2}{62}$, $\frac{2}{93}$; сумма $\frac{11}{93}$.

№ 450

Самал к задуманному числу прибавила $\frac{5}{33}$, из суммы вычла $\frac{9}{10}$, к результату прибавила $\frac{47}{330}$ и получила 1. Какое число она задумала?

Как думать. Задача «с конца»: каждое действие заменяем обратным и идём назад от единицы. Общий знаменатель всех дробей — 330.

Решение.

1. До последнего шага было: $1 - \frac{47}{330} = \frac{283}{330}$.
2. До вычитания $\frac{9}{10}$: $\frac{283}{330} + \frac{297}{330} = \frac{580}{330}$.
3. До прибавления $\frac{5}{33}$: $\frac{580}{330} - \frac{50}{330} = \frac{530}{330} = \frac{53}{33} = 1\frac{20}{33}$.
4. Проверка: $\frac{530}{330} + \frac{50}{330} - \frac{297}{330} + \frac{47}{330} = \frac{330}{330} = 1$ ✓.

Ответ: $1\frac{20}{33}$.

Готовимся к следующей теме

№ 451

Вычисли: 1) $354 + 1239 + 646 + 761$; 2) $\frac{4}{7} + \frac{15}{19} + \frac{3}{7} + \frac{4}{19}$.

Как думать. Группируем «друзей», которые дают круглое число.

Решение.

1. $(354 + 646) + (1239 + 761) = 1000 + 2000 = 3000$.
2. $\left(\frac{4}{7} + \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{15}{19} + \frac{4}{19}\right) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 1) 3000; 2) 2.

№ 452

Сократи: 1) $\frac{15 \cdot 7}{30 \cdot 4}$; 2) $\frac{15 \cdot 11}{18 \cdot 33}$; 3) $\frac{7 \cdot 9 \cdot 25}{21 \cdot 3 \cdot 50}$; 4) $\frac{16 \cdot 13 \cdot 23}{69 \cdot 8 \cdot 26}$; 5) $\frac{29 \cdot 5 \cdot 13}{52 \cdot 20 \cdot 58}$; 6) $\frac{37 \cdot 39 \cdot 75}{111 \cdot 42 \cdot 100}$.

Как думать. Не перемножай! Сокращай множители сверху и снизу попарно.

Решение.

1. $15$ и $30$ сокращаем на 15: $\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 4} = \frac{7}{8}$.
2. $\frac{15}{18} = \frac{5}{6}$, $\frac{11}{33} = \frac{1}{3}$: $\frac{5 \cdot 1}{6 \cdot 3} = \frac{5}{18}$.
3. $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$, $\frac{9}{3} = 3$, $\frac{25}{50} = \frac{1}{2}$: $\frac{1 \cdot 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.
4. $\frac{16}{8} = 2$, $\frac{13}{26} = \frac{1}{2}$, $\frac{23}{69} = \frac{1}{3}$: $\frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{3}$.
5. $\frac{29}{58} = \frac{1}{2}$, $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$, $\frac{13}{52} = \frac{1}{4}$: $\frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{32}$.
6. $\frac{37}{111} = \frac{1}{3}$, $\frac{39}{42} = \frac{13}{14}$, $\frac{75}{100} = \frac{3}{4}$: $\frac{1 \cdot 13 \cdot 3}{3 \cdot 14 \cdot 4} = \frac{13}{56}$.

Ответ: 1) $\frac{7}{8}$; 2) $\frac{5}{18}$; 3) $\frac{1}{2}$; 4) $\frac{1}{3}$; 5) $\frac{1}{32}$; 6) $\frac{13}{56}$.

№ 453

Запиши смешанным числом: 1) $\frac{787}{25}$; 2) $\frac{144}{17}$; 3) $\frac{1000}{33}$.

Решение.

1. $787 : 25 = 31$ (ост. 12): $31\frac{12}{25}$.
2. $144 : 17 = 8$ (ост. 8): $8\frac{8}{17}$.
3. $1000 : 33 = 30$ (ост. 10): $30\frac{10}{33}$.

Ответ: 1) $31\frac{12}{25}$; 2) $8\frac{8}{17}$; 3) $30\frac{10}{33}$.

№ 454

Запиши неправильной дробью: $3\frac{15}{41}$; $11\frac{9}{37}$; $100\frac{1}{19}$.

Решение.

1. $3 \cdot 41 + 15 = 138$: $\frac{138}{41}$.
2. $11 \cdot 37 + 9 = 416$: $\frac{416}{37}$.
3. $100 \cdot 19 + 1 = 1901$: $\frac{1901}{19}$.

Ответ: $\frac{138}{41}$; $\frac{416}{37}$; $\frac{1901}{19}$.

Шпаргалка

• Знаменатели равны — складываем или вычитаем только числители.
• Знаменатели разные — приводим к наименьшему общему знаменателю.
• Ответ сокращаем, неправильную дробь превращаем в смешанное число.
• Переставляй и группируй слагаемые, чтобы получались целые.
• Уравнения решаются по тем же правилам, что с натуральными числами.

Мини-тест