§ 24. Сложение смешанных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 117–120.

Чему научишься

• Складывать смешанные числа: целые с целыми, дроби с дробями.
• Прибавлять натуральное число или обычную дробь к смешанному числу.
• Замечать, когда дробная часть «переполнилась», и переносить лишнее в целые.
• Решать уравнения и задачи, где нужно сложить смешанные числа.

Разминка

Это задания № 451, 453 и 454 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• $354 + 1239 + 646 + 761$ — как сосчитать быстро? Сложи парами: $(354 + 646) + (1239 + 761) = 1000 + 2000 = 3000$.
• А $\frac{4}{7} + \frac{15}{19} + \frac{3}{7} + \frac{4}{19}$? Тоже парами: $\left(\frac{4}{7} + \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{15}{19} + \frac{4}{19}\right) = 1 + 1 = 2$.
• Запиши $\frac{787}{25}$ смешанным числом. $787 : 25 = 31$ (ост. 12), значит, $31\frac{12}{25}$.
• А $\frac{144}{17}$? $144 : 17 = 8$ (ост. 8): $8\frac{8}{17}$.
• А $\frac{1000}{33}$? $1000 : 33 = 30$ (ост. 10): $30\frac{10}{33}$.
• Запиши $3\frac{15}{41}$ неправильной дробью. $3 \cdot 41 + 15 = 138$, то есть $\frac{138}{41}$.
• А $11\frac{9}{37}$ и $100\frac{1}{19}$? $\frac{416}{37}$ и $\frac{1901}{19}$.

💡 Заметил первые два примера? Удобно складывать «своих со своими». Сегодня так же поступим со смешанными числами: целые к целым, дроби к дробям.

Разбираемся

Целые к целым, дроби к дробям

Мама купила $2\frac{3}{4}$ кг яблок, а бабушка принесла ещё $1\frac{2}{4}$ кг. Сколько всего яблок? Разложим каждое число на части: $2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$, а $1\frac{2}{4} = 1 + \frac{2}{4}$.

Складывать можно в любом порядке. Поэтому отдельно сложим целые: $2 + 1 = 3$. И отдельно дроби: $\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$.

Получилось $3\frac{5}{4}$. Но дробь $\frac{5}{4}$ неправильная: в ней спряталась целая единица. $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$, значит, всего $3 + 1\frac{1}{4} = 4\frac{1}{4}$ кг.

📌 Как сложить смешанные числа. 1) Сложи целые части. 2) Сложи дробные части (если знаменатели разные — сначала приведи к общему). 3) Если дробь получилась неправильной, выдели из неё целое и добавь к целым. Если дробь сократимая — сократи.

Когда знаменатели разные

Возьмём пример посложнее: $2\frac{7}{24} + 5\frac{29}{32}$. Целые сложить легко. А у дробей разные знаменатели, их надо привести к общему.

⚠️ Частая ошибка. Записать ответ $7\frac{115}{96}$ и остановиться. Дробная часть смешанного числа всегда меньше единицы. Если числитель больше знаменателя — выдели целое!

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка прикидывать ответ «на глаз»: целые части $2 + 5 = 7$, две дроби вместе меньше 2, значит, ответ между 7 и 9. Такая прикидка ловит грубые ошибки.

Если слагаемое — просто число или просто дробь

Натуральное число — это смешанное число без дробной части. Поэтому $6 + 5\frac{2}{9} = 11\frac{2}{9}$: целые сложили, дробь осталась как была.

А правильная дробь — это смешанное число без целой части: $3\frac{1}{8} + \frac{5}{8} = 3\frac{6}{8} = 3\frac{3}{4}$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как сложить смешанные числа другим способом? Перевести оба числа в неправильные дроби, сложить их, а ответ снова записать смешанным числом: $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = \frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$. Способ рабочий, но с большими числами неудобный.
• Как найти сумму натурального и смешанного числа? Натуральное число прибавить к целой части, а дробную часть оставить: $8 + 2\frac{3}{5} = 10\frac{3}{5}$.
• Как сложить правильную дробь и смешанное число? Сложить дробь с дробной частью, целая часть пока не меняется: $4\frac{1}{6} + \frac{2}{6} = 4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2}$. Если дроби вместе дали больше единицы, лишнюю единицу перенести в целые.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 455

Выполни сложение: 1) $3 + \frac{1}{7}$; 2) $6 + 5\frac{2}{9}$; 3) $5 + 4\frac{9}{10}$; 4) $9\frac{13}{16} + 23$; 5) $4\frac{2}{6} + 2\frac{3}{6}$; 6) $10\frac{9}{13} + 8\frac{3}{13}$; 7) $6\frac{5}{16} + 2\frac{3}{16}$; 8) $2\frac{5}{22} + 8\frac{15}{22}$; 9) $5\frac{29}{40} + 4\frac{31}{40}$.

Как думать. Знаменатели везде одинаковые. Складываем целые и числители, потом смотрим, не надо ли выделить целое или сократить.

Решение.

1. $3 + \frac{1}{7} = 3\frac{1}{7}$.
2. $6 + 5\frac{2}{9} = 11\frac{2}{9}$.
3. $5 + 4\frac{9}{10} = 9\frac{9}{10}$.
4. $9\frac{13}{16} + 23 = 32\frac{13}{16}$.
5. $4\frac{2}{6} + 2\frac{3}{6} = 6\frac{5}{6}$.
6. $10\frac{9}{13} + 8\frac{3}{13} = 18\frac{12}{13}$.
7. $6\frac{5}{16} + 2\frac{3}{16} = 8\frac{8}{16} = 8\frac{1}{2}$.
8. $2\frac{5}{22} + 8\frac{15}{22} = 10\frac{20}{22} = 10\frac{10}{11}$.
9. $5\frac{29}{40} + 4\frac{31}{40} = 9\frac{60}{40} = 9 + 1\frac{20}{40} = 10\frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $3\frac{1}{7}$; 2) $11\frac{2}{9}$; 3) $9\frac{9}{10}$; 4) $32\frac{13}{16}$; 5) $6\frac{5}{6}$; 6) $18\frac{12}{13}$; 7) $8\frac{1}{2}$; 8) $10\frac{10}{11}$; 9) $10\frac{1}{2}$.

№ 456

Найди значения: 1) $2\frac{58}{61} + 1\frac{12}{61}$; 2) $4\frac{121}{300} + 7\frac{199}{300}$; 3) $5\frac{380}{401} + 1\frac{127}{401}$; 4) $4\frac{253}{540} + 18\frac{307}{540}$.

Как думать. Знаменатели одинаковые, но числители большие. Во всех четырёх примерах дроби вместе дают больше единицы.

Решение.

1. $3\frac{70}{61} = 3 + 1\frac{9}{61} = 4\frac{9}{61}$.
2. $11\frac{320}{300} = 12\frac{20}{300} = 12\frac{1}{15}$ (сократили на 20).
3. $6\frac{507}{401} = 7\frac{106}{401}$.
4. $22\frac{560}{540} = 23\frac{20}{540} = 23\frac{1}{27}$ (сократили на 20).

Ответ: 1) $4\frac{9}{61}$; 2) $12\frac{1}{15}$; 3) $7\frac{106}{401}$; 4) $23\frac{1}{27}$.

№ 457

Найди суммы: 1) $2\frac{1}{6} + 2\frac{5}{12}$; 2) $9\frac{3}{8} + 7\frac{5}{6}$; 3) $5\frac{1}{10} + 8\frac{3}{8}$; 4) $6\frac{2}{15} + 42\frac{18}{25}$; 5) $5\frac{3}{18} + 18\frac{1}{27}$; 6) $9\frac{3}{20} + 7\frac{4}{15}$; 7) $2\frac{19}{44} + 5\frac{52}{66}$; 8) $38\frac{21}{26} + 14\frac{34}{39}$; 9) $6\frac{11}{12} + 3\frac{15}{16}$.

Как думать. Знаменатели разные: сначала находим НОК, приводим дроби, потом складываем. В 5) и 7) дробь сначала удобно сократить.

Решение.

1. НОЗ 12: $\frac{2}{12} + \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$; ответ $4\frac{7}{12}$.
2. НОЗ 24: $\frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{29}{24} = 1\frac{5}{24}$; $16 + 1\frac{5}{24} = 17\frac{5}{24}$.
3. НОЗ 40: $\frac{4}{40} + \frac{15}{40} = \frac{19}{40}$; ответ $13\frac{19}{40}$.
4. НОЗ 75: $\frac{10}{75} + \frac{54}{75} = \frac{64}{75}$; ответ $48\frac{64}{75}$.
5. $\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$; НОЗ 54: $\frac{9}{54} + \frac{2}{54} = \frac{11}{54}$; ответ $23\frac{11}{54}$.
6. НОЗ 60: $\frac{9}{60} + \frac{16}{60} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$; ответ $16\frac{5}{12}$.
7. $\frac{52}{66} = \frac{26}{33}$; НОЗ 132: $\frac{57}{132} + \frac{104}{132} = \frac{161}{132} = 1\frac{29}{132}$; $7 + 1\frac{29}{132} = 8\frac{29}{132}$.
8. НОЗ 78: $\frac{63}{78} + \frac{68}{78} = \frac{131}{78} = 1\frac{53}{78}$; $52 + 1\frac{53}{78} = 53\frac{53}{78}$.
9. НОЗ 48: $\frac{44}{48} + \frac{45}{48} = \frac{89}{48} = 1\frac{41}{48}$; $9 + 1\frac{41}{48} = 10\frac{41}{48}$.

Ответ: 1) $4\frac{7}{12}$; 2) $17\frac{5}{24}$; 3) $13\frac{19}{40}$; 4) $48\frac{64}{75}$; 5) $23\frac{11}{54}$; 6) $16\frac{5}{12}$; 7) $8\frac{29}{132}$; 8) $53\frac{53}{78}$; 9) $10\frac{41}{48}$.

№ 458

Реши уравнения: 1) $x - 2\frac{7}{12} = 5\frac{3}{18}$; 2) $x - 26\frac{7}{21} = 100\frac{5}{28}$; 3) $x - 37\frac{17}{54} = 15\frac{16}{45}$; 4) $x - 33\frac{21}{25} = 42\frac{17}{35}$.

Как думать. $x$ здесь — уменьшаемое. Чтобы его найти, к разности прибавляем вычитаемое.

Решение.

1. $x = 5\frac{3}{18} + 2\frac{7}{12} = 5\frac{6}{36} + 2\frac{21}{36} = 7\frac{27}{36} = 7\frac{3}{4}$.
2. $x = 100\frac{5}{28} + 26\frac{1}{3} = 100\frac{15}{84} + 26\frac{28}{84} = 126\frac{43}{84}$.
3. $x = 15\frac{16}{45} + 37\frac{17}{54} = 15\frac{96}{270} + 37\frac{85}{270} = 52\frac{181}{270}$.
4. $x = 42\frac{17}{35} + 33\frac{21}{25} = 42\frac{85}{175} + 33\frac{147}{175} = 75\frac{232}{175} = 76\frac{57}{175}$.

Ответ: 1) $7\frac{3}{4}$; 2) $126\frac{43}{84}$; 3) $52\frac{181}{270}$; 4) $76\frac{57}{175}$.

№ 459

Два одинаковых сосуда наполнили водой. Из одного израсходовали $\frac{5}{7}$ воды, из другого — $\frac{5}{9}$. Придумай вопросы и реши.

Как думать. Сосуды одинаковые, поэтому «целое» у них общее — один полный сосуд. Можно спросить, из какого взяли больше, сколько взяли всего и сколько осталось.

Решение.

1. Из какого сосуда взяли больше? $\frac{5}{7} > \frac{5}{9}$: числители равны, а у первой дроби знаменатель меньше. Из первого.
2. На сколько больше? $\frac{5}{7} - \frac{5}{9} = \frac{45}{63} - \frac{35}{63} = \frac{10}{63}$ сосуда.
3. Сколько воды израсходовали всего? $\frac{45}{63} + \frac{35}{63} = \frac{80}{63} = 1\frac{17}{63}$ сосуда.
4. Сколько воды осталось в двух сосудах? В первом $\frac{2}{7}$, во втором $\frac{4}{9}$: $\frac{18}{63} + \frac{28}{63} = \frac{46}{63}$ сосуда.

Ответ: например, всего израсходовали $1\frac{17}{63}$ сосуда, осталось $\frac{46}{63}$ сосуда; из первого взяли на $\frac{10}{63}$ сосуда больше.

№ 460

Три ленты одинаковой длины: розовая, синяя, зелёная. От розовой отрезали $\frac{1}{12}$, от синей — $\frac{5}{6}$, от зелёной — $\frac{4}{9}$. Придумай вопросы и реши.

Как думать. За целое берём одну ленту. Общий знаменатель для 12, 6 и 9 — это 36.

Решение.

1. От какой ленты отрезали больше всего? $\frac{1}{12} = \frac{3}{36}$, $\frac{5}{6} = \frac{30}{36}$, $\frac{4}{9} = \frac{16}{36}$. Больше всего — от синей.
2. Сколько отрезали всего? $\frac{3}{36} + \frac{30}{36} + \frac{16}{36} = \frac{49}{36} = 1\frac{13}{36}$ ленты.
3. Сколько осталось от трёх лент? Остатки: $\frac{11}{12}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{5}{9}$. Вместе $\frac{33}{36} + \frac{6}{36} + \frac{20}{36} = \frac{59}{36} = 1\frac{23}{36}$ ленты.
4. Проверка: $1\frac{13}{36} + 1\frac{23}{36} = 2\frac{36}{36} = 3$ ленты ✓.

Ответ: например, больше всего отрезали от синей; всего отрезали $1\frac{13}{36}$ ленты, осталось $1\frac{23}{36}$ ленты.

№ 461

На костюмы для девушек ушло $10\frac{2}{15}$ м ткани, для юношей — $8\frac{7}{10}$ м. Сколько ткани ушло всего?

Решение. $10\frac{2}{15} + 8\frac{7}{10} = 10\frac{4}{30} + 8\frac{21}{30} = 18\frac{25}{30} = 18\frac{5}{6}$ м.

Ответ: $18\frac{5}{6}$ м.

№ 462

С одного поля собрали $13\frac{5}{9}$ т пшеницы, с другого — на $11\frac{1}{6}$ т больше. Сколько собрали с двух полей?

Как думать. Сначала узнаём урожай второго поля, потом складываем оба.

Решение.

1. Второе поле: $13\frac{5}{9} + 11\frac{1}{6} = 13\frac{10}{18} + 11\frac{3}{18} = 24\frac{13}{18}$ т.
2. Оба поля: $13\frac{10}{18} + 24\frac{13}{18} = 37\frac{23}{18} = 38\frac{5}{18}$ т.

Ответ: $38\frac{5}{18}$ т.

Уровень B

№ 463

Найди суммы: 1) $4\frac{3}{5} + 2\frac{5}{7} + 5\frac{9}{35}$; 2) $1\frac{2}{3} + 6\frac{4}{15} + 8\frac{17}{45}$; 3) $8\frac{3}{40} + 12\frac{11}{20} + 6\frac{7}{80}$; 4) $5\frac{7}{20} + 20\frac{4}{15} + 12\frac{11}{60}$; 5) $5\frac{2}{5} + 19\frac{9}{10} + 4\frac{33}{50}$; 6) $31\frac{7}{9} + 4\frac{11}{27} + 35\frac{43}{54}$.

Как думать. Три слагаемых — тот же приём: все целые вместе, все дроби вместе. Удобно, что больший знаменатель в каждом примере уже делится на остальные.

Решение.

1. Целые: 11. Дроби (НОЗ 35): $\frac{21 + 25 + 9}{35} = \frac{55}{35} = 1\frac{20}{35} = 1\frac{4}{7}$. Итого $12\frac{4}{7}$.
2. Целые: 15. Дроби (НОЗ 45): $\frac{30 + 12 + 17}{45} = \frac{59}{45} = 1\frac{14}{45}$. Итого $16\frac{14}{45}$.
3. Целые: 26. Дроби (НОЗ 80): $\frac{6 + 44 + 7}{80} = \frac{57}{80}$. Итого $26\frac{57}{80}$.
4. Целые: 37. Дроби (НОЗ 60): $\frac{21 + 16 + 11}{60} = \frac{48}{60} = \frac{4}{5}$. Итого $37\frac{4}{5}$.
5. Целые: 28. Дроби (НОЗ 50): $\frac{20 + 45 + 33}{50} = \frac{98}{50} = 1\frac{48}{50} = 1\frac{24}{25}$. Итого $29\frac{24}{25}$.
6. Целые: 70. Дроби (НОЗ 54): $\frac{42 + 22 + 43}{54} = \frac{107}{54} = 1\frac{53}{54}$. Итого $71\frac{53}{54}$.

Ответ: 1) $12\frac{4}{7}$; 2) $16\frac{14}{45}$; 3) $26\frac{57}{80}$; 4) $37\frac{4}{5}$; 5) $29\frac{24}{25}$; 6) $71\frac{53}{54}$.

№ 464

Выполни сложение: 1) $3\frac{161}{175} + \left(53\frac{13}{25} + 18\frac{34}{35}\right)$; 2) $9\frac{21}{25} + \left(30\frac{4}{15} + 18\frac{64}{75}\right)$; 3) $78\frac{37}{48} + \left(39\frac{23}{24} + 14\frac{15}{16}\right)$; 4) $304\frac{59}{80} + \left(99\frac{21}{40} + 14\frac{127}{160}\right)$.

Как думать. Сначала скобки, потом первое слагаемое. Знаменатель первого слагаемого подсказывает общий знаменатель для всего примера.

Решение.

1. Скобка: $53\frac{91}{175} + 18\frac{170}{175} = 71\frac{261}{175} = 72\frac{86}{175}$. Затем $3\frac{161}{175} + 72\frac{86}{175} = 75\frac{247}{175} = 76\frac{72}{175}$.
2. Скобка: $30\frac{20}{75} + 18\frac{64}{75} = 48\frac{84}{75} = 49\frac{9}{75} = 49\frac{3}{25}$. Затем $9\frac{21}{25} + 49\frac{3}{25} = 58\frac{24}{25}$.
3. Скобка: $39\frac{46}{48} + 14\frac{45}{48} = 53\frac{91}{48} = 54\frac{43}{48}$. Затем $78\frac{37}{48} + 54\frac{43}{48} = 132\frac{80}{48} = 133\frac{32}{48} = 133\frac{2}{3}$.
4. Скобка: $99\frac{84}{160} + 14\frac{127}{160} = 113\frac{211}{160} = 114\frac{51}{160}$. Затем $304\frac{118}{160} + 114\frac{51}{160} = 418\frac{169}{160} = 419\frac{9}{160}$.

Ответ: 1) $76\frac{72}{175}$; 2) $58\frac{24}{25}$; 3) $133\frac{2}{3}$; 4) $419\frac{9}{160}$.

№ 465

Сложи удобным способом: 1) $\left(8\frac{13}{20} + 11\frac{19}{30}\right) + \left(9\frac{7}{20} + 12\frac{11}{30}\right)$; 2) $\left(21\frac{22}{35} + 5\frac{17}{21}\right) + \left(9\frac{13}{35} + 24\frac{4}{21}\right)$.

Как думать. Переставим слагаемые так, чтобы дроби с одинаковыми знаменателями встали рядом. Они дают ровно по единице!

Решение.

1. $\left(8\frac{13}{20} + 9\frac{7}{20}\right) + \left(11\frac{19}{30} + 12\frac{11}{30}\right) = 18 + 24 = 42$.
2. $\left(21\frac{22}{35} + 9\frac{13}{35}\right) + \left(5\frac{17}{21} + 24\frac{4}{21}\right) = 31 + 30 = 61$.

Ответ: 1) 42; 2) 61.

№ 466

Реши уравнения: 1) $x - 24\frac{5}{8} = 30\frac{5}{6} + 41\frac{7}{12}$; 2) $x - 49\frac{7}{12} = 51\frac{5}{6} + 10\frac{1}{18}$; 3) $x - 92\frac{3}{10} = 8\frac{19}{20} + 4\frac{2}{15}$; 4) $x - 44\frac{13}{15} = 44\frac{1}{21} + 50\frac{2}{35}$.

Как думать. Сначала считаем правую часть — это разность. Потом $x$ = разность + вычитаемое.

Решение.

1. Правая часть: $30\frac{10}{12} + 41\frac{7}{12} = 71\frac{17}{12} = 72\frac{5}{12}$. $x = 72\frac{10}{24} + 24\frac{15}{24} = 96\frac{25}{24} = 97\frac{1}{24}$.
2. Правая часть: $51\frac{15}{18} + 10\frac{1}{18} = 61\frac{16}{18} = 61\frac{8}{9}$. $x = 61\frac{32}{36} + 49\frac{21}{36} = 110\frac{53}{36} = 111\frac{17}{36}$.
3. Правая часть: $8\frac{57}{60} + 4\frac{8}{60} = 12\frac{65}{60} = 13\frac{1}{12}$. $x = 13\frac{5}{60} + 92\frac{18}{60} = 105\frac{23}{60}$.
4. Правая часть: $44\frac{5}{105} + 50\frac{6}{105} = 94\frac{11}{105}$. $x = 94\frac{11}{105} + 44\frac{91}{105} = 138\frac{102}{105} = 138\frac{34}{35}$.

Ответ: 1) $97\frac{1}{24}$; 2) $111\frac{17}{36}$; 3) $105\frac{23}{60}$; 4) $138\frac{34}{35}$.

№ 467

Числа записали в ряд. Первое равно $\frac{3}{4}$, каждое следующее на $\frac{4}{5}$ больше предыдущего. Какое число стоит пятым?

Как думать. От первого числа до пятого — 4 шага по $\frac{4}{5}$. В двадцатых долях: $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$, $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$.

Решение.

1. Первое: $\frac{15}{20}$.
2. Второе: $\frac{15}{20} + \frac{16}{20} = \frac{31}{20} = 1\frac{11}{20}$.
3. Третье: $1\frac{11}{20} + \frac{16}{20} = 1\frac{27}{20} = 2\frac{7}{20}$.
4. Четвёртое: $2\frac{7}{20} + \frac{16}{20} = 2\frac{23}{20} = 3\frac{3}{20}$.
5. Пятое: $3\frac{3}{20} + \frac{16}{20} = 3\frac{19}{20}$.

Ответ: $3\frac{19}{20}$.

№ 468

Камень падает в колодец: за первую секунду пролетает $4\frac{1}{5}$ м, за каждую следующую — на $6\frac{1}{4}$ м больше, чем за предыдущую. Воды он коснулся через 5 с. Какова глубина колодца до воды?

Как думать. Каждую секунду камень летит быстрее. Найдём путь за каждую из 5 секунд и сложим: это и есть глубина.

Решение. За секунды камень пролетает $4\frac{1}{5}$; $10\frac{9}{20}$; $16\frac{7}{10}$; $22\frac{19}{20}$; $29\frac{1}{5}$ м. Вместе: $81\frac{50}{20} = 83\frac{1}{2}$ м.

Ответ: $83\frac{1}{2}$ м (за последнюю, пятую секунду камень пролетел $29\frac{1}{5}$ м).

👨‍👩‍👧 Родителю. Здесь легко перепутать «путь за пятую секунду» и «путь за пять секунд». Спросите ребёнка: глубина колодца — это весь путь камня или только последний кусок?

№ 469

Пятеро бегунов пробежали свои этапы эстафеты за $4\frac{13}{60}$, $4\frac{1}{4}$, $4\frac{1}{12}$, $4\frac{1}{10}$ и $4\frac{2}{15}$ мин. Кто был быстрее всех? Сколько длилась вся эстафета?

Как думать. У всех по 4 целых минуты, сравниваем только дроби. Удобно перевести их в шестидесятые доли: $\frac{1}{60}$ мин — это 1 секунда.

Решение.

1. Дроби: $\frac{13}{60}$, $\frac{15}{60}$, $\frac{5}{60}$, $\frac{6}{60}$, $\frac{8}{60}$. Меньше всех $\frac{5}{60}$ — у третьего бегуна (4 мин 5 с).
2. Вся эстафета: $4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20$ мин и ещё $\frac{13 + 15 + 5 + 6 + 8}{60} = \frac{47}{60}$ мин. Итого $20\frac{47}{60}$ мин.

Ответ: быстрее всех третий; вся эстафета — $20\frac{47}{60}$ мин.

№ 470

Бесплатно в самолёте можно провезти не больше 30 кг. У пассажира чемоданы $13\frac{2}{3}$ кг и $11\frac{1}{6}$ кг и сумка $5\frac{8}{9}$ кг. Придётся ли доплатить?

Решение. $13\frac{12}{18} + 11\frac{3}{18} + 5\frac{16}{18} = 29\frac{31}{18} = 30\frac{13}{18}$ кг. Это больше 30 кг на $\frac{13}{18}$ кг.

Ответ: да, багаж весит $30\frac{13}{18}$ кг — перевес $\frac{13}{18}$ кг.

№ 471

Ширина огороженного прямоугольного участка $19\frac{3}{4}$ м, длина на $5\frac{2}{3}$ м больше. Найди периметр.

Как думать. Периметр — сумма всех четырёх сторон: двух длин и двух ширин.

Решение.

1. Длина: $19\frac{9}{12} + 5\frac{8}{12} = 24\frac{17}{12} = 25\frac{5}{12}$ м.
2. Длина + ширина: $25\frac{5}{12} + 19\frac{9}{12} = 44\frac{14}{12} = 45\frac{1}{6}$ м.
3. Периметр: $45\frac{1}{6} + 45\frac{1}{6} = 90\frac{2}{6} = 90\frac{1}{3}$ м.

Ответ: $90\frac{1}{3}$ м.

Уровень C

№ 472

В первый день убрали урожай с $5\frac{9}{16}$ га, во второй — на $\frac{7}{24}$ га больше, в третий — на $\frac{3}{8}$ га больше, чем за первые два дня вместе. Со скольких гектаров убрали урожай за три дня?

Как думать. Сумма первых двух дней понадобится дважды: для третьего дня и для итога. Поэтому найдём её отдельно.

Решение. 2-й день $5\frac{41}{48}$ га; два дня вместе $11\frac{5}{12}$ га; 3-й день $11\frac{19}{24}$ га; всего $11\frac{5}{12} + 11\frac{19}{24} = 23\frac{5}{24}$ га.

Ответ: $23\frac{5}{24}$ га.

№ 473

Мама заплатила 2700 тг за 6 столовых ложек и 2200 тг за 8 чайных. Придумай вопросы и реши.

Как думать. Здесь всё в целых числах. Спросить можно о цене одной ложки, разнице в цене и общей покупке.

Решение.

1. Сколько стоит одна столовая ложка? $2700 : 6 = 450$ тг.
2. Сколько стоит одна чайная ложка? $2200 : 8 = 275$ тг.
3. На сколько столовая ложка дороже чайной? $450 - 275 = 175$ тг.
4. Сколько мама заплатила за всю покупку? $2700 + 2200 = 4900$ тг.

Ответ: например, столовая ложка — 450 тг, чайная — 275 тг, столовая дороже на 175 тг; всего 4900 тг.

№ 474

Верно ли, что $5\frac{1}{15} + 7\frac{7}{20} + 10\frac{11}{15} + 5\frac{47}{60} + 1\frac{1}{15}$ равно НОК(5; 6)?

Как думать. НОК(5; 6) = 30. Считаем сумму, группируя дроби с одинаковым знаменателем.

Решение.

1. Целые: $5 + 7 + 10 + 5 + 1 = 28$.
2. Пятнадцатые: $\frac{1}{15} + \frac{11}{15} + \frac{1}{15} = \frac{13}{15} = \frac{52}{60}$.
3. Остальные: $\frac{7}{20} + \frac{47}{60} = \frac{21}{60} + \frac{47}{60} = \frac{68}{60}$.
4. Все дроби: $\frac{52}{60} + \frac{68}{60} = \frac{120}{60} = 2$. Сумма: $28 + 2 = 30$.

Ответ: верно, сумма равна 30 = НОК(5; 6).

Готовимся к следующей теме

№ 475

Вычисли: 1) $9114 - (529 + 114)$; 2) $2398 - (389 + 698)$; 3) $4637 - (137 + 763)$; 4) $5942 - (942 + 924)$.

Как думать. Вычесть сумму — то же, что вычесть каждое слагаемое по очереди. Начни с того, которое даёт «круглое» число.

Решение.

1. $9114 - 114 - 529 = 9000 - 529 = 8471$.
2. $2398 - 698 - 389 = 1700 - 389 = 1311$.
3. $4637 - 137 - 763 = 4500 - 763 = 3737$.
4. $5942 - 942 - 924 = 5000 - 924 = 4076$.

Ответ: 1) 8471; 2) 1311; 3) 3737; 4) 4076.

№ 476

Запиши 25 как смешанное число, у которого знаменатель дробной части 4, 19, 97 (как в образце $41 = 40\frac{23}{23}$).

Как думать. Забираем у 25 одну единицу и записываем её дробью, где числитель равен знаменателю.

Решение. $25 = 24 + 1 = 24\frac{4}{4} = 24\frac{19}{19} = 24\frac{97}{97}$.

Ответ: $24\frac{4}{4}$; $24\frac{19}{19}$; $24\frac{97}{97}$.

💡 Этот трюк — «разменять» одну единицу на дробь — главный секрет следующего урока, про вычитание.

№ 477

Приведи к наименьшему общему знаменателю: 1) $\frac{23}{40}$ и $\frac{29}{30}$; 2) $\frac{2}{187}$ и $\frac{16}{55}$.

Решение.

1. НОК(40; 30) = 120: $\frac{23}{40} = \frac{69}{120}$, $\frac{29}{30} = \frac{116}{120}$.
2. $187 = 11 \cdot 17$, $55 = 5 \cdot 11$, НОК $= 5 \cdot 11 \cdot 17 = 935$: $\frac{2}{187} = \frac{10}{935}$, $\frac{16}{55} = \frac{272}{935}$.

Ответ: 1) $\frac{69}{120}$ и $\frac{116}{120}$; 2) $\frac{10}{935}$ и $\frac{272}{935}$.

№ 478

Сравни $(375 + 286) - (75 + 86)$ и $(375 - 75) + (286 - 86)$.

Решение. Первое: $661 - 161 = 500$. Второе: $300 + 200 = 500$. Значения равны.

Ответ: равны (оба 500).

💡 Видишь? Из суммы можно вычитать «по частям»: большое из большого, малое из малого. Так же будем вычитать смешанные числа: целое из целого, дробь из дроби.

Шпаргалка

• Смешанное число = целая часть + дробная часть.
• Целые складываем с целыми, дроби — с дробями.
• Разные знаменатели → приводим к НОЗ.
• Получилась неправильная дробь → выделяем целое: $7\frac{9}{8} = 8\frac{1}{8}$.
• Сократимую дробь в ответе сокращаем.

Мини-тест