§ 25. Вычитание смешанных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 121–127.

Чему научишься

• Вычитать смешанные числа: целое из целого, дробь из дроби.
• «Занимать» единицу у целой части, когда дроби не хватает.
• Вычитать смешанное число из натурального и натуральное из смешанного.
• Решать уравнения и задачи на движение по реке со смешанными числами.

Разминка

Это задания № 475–478 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• $9114 - (529 + 114)$ — как посчитать быстро? Сначала отними 114: $9114 - 114 = 9000$, потом $9000 - 529 = 8471$.
• $4637 - (137 + 763)$? $4637 - 137 = 4500$, $4500 - 763 = 3737$.
• Запиши 25 смешанным числом со знаменателем 4. $25 = 24 + 1 = 24\frac{4}{4}$.
• А со знаменателем 19? $24\frac{19}{19}$.
• Приведи $\frac{23}{40}$ и $\frac{29}{30}$ к общему знаменателю. НОК = 120: $\frac{69}{120}$ и $\frac{116}{120}$.
• Равны ли $(375 + 286) - (75 + 86)$ и $(375 - 75) + (286 - 86)$? Да, оба равны 500.

💡 Последний пример — ключ к уроку. Из суммы можно вычитать по частям: целые из целых, дроби из дробей.

Разбираемся

Шоколадки на столе

На столе лежало $3\frac{7}{8}$ шоколадки: три целые плитки и ещё одна, от которой отломили дольку (осталось 7 долек из 8). Взяли $1\frac{6}{8}$ шоколадки. Сколько осталось?

Считаем по частям. Целые плитки: $3 - 1 = 2$. Дольки: $\frac{7}{8} - \frac{6}{8} = \frac{1}{8}$. Осталось $2\frac{1}{8}$ шоколадки.

Что делать, если долек не хватает

Теперь пример хитрее: $3\frac{1}{4} - 1\frac{3}{4}$. Из $\frac{1}{4}$ нельзя отнять $\frac{3}{4}$ — долек мало! Тогда «разменяем» одну целую плитку на 4 дольки:

$3\frac{1}{4} = 2 + 1 + \frac{1}{4} = 2 + \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 2\frac{5}{4}$.

Целых стало на 1 меньше, а в числителе прибавилось столько, сколько в знаменателе. Теперь легко: $2\frac{5}{4} - 1\frac{3}{4} = 1\frac{2}{4} = 1\frac{1}{2}$.

📌 Как вычесть смешанные числа. 1) Если знаменатели разные — приведи дробные части к общему. 2) Если дробь уменьшаемого больше дроби вычитаемого — вычти целые из целых и дроби из дробей. 3) Если меньше — займи 1 у целой части: целых на 1 меньше, а к числителю прибавь знаменатель. Потом вычитай.

⚠️ Частая ошибка. В $23\frac{2}{11} - 20\frac{9}{11}$ вычесть «наоборот»: $\frac{9}{11} - \frac{2}{11}$. Так нельзя! Правильно: $23\frac{2}{11} = 22\frac{13}{11}$, и тогда $22\frac{13}{11} - 20\frac{9}{11} = 2\frac{4}{11}$.

Когда сразу не видно, какая дробь больше

Пример: $44\frac{5}{6} - 17\frac{7}{8}$. Что больше, $\frac{5}{6}$ или $\frac{7}{8}$? Сразу не скажешь. Поэтому сначала приводим к общему знаменателю.

Вычитаем из целого числа

$98 - 73\frac{4}{21}$: у 98 дробной части нет вовсе. Разменяем одну единицу на двадцать первые доли: $98 = 97\frac{21}{21}$. Дальше как обычно: $97\frac{21}{21} - 73\frac{4}{21} = 24\frac{17}{21}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. «Заём» здесь — то же, что при вычитании столбиком, только «разменивают» не десяток, а одну целую на доли. Если ребёнок путается, нарисуйте шоколадки или пиццы и разрежьте одну на доли прямо на бумаге.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как выполнить вычитание смешанных чисел? Привести дробные части к общему знаменателю. Если дробь уменьшаемого меньше — занять у целой части единицу. Потом вычесть целые из целых, дроби из дробей и сложить результаты.
• Как из смешанного числа вычесть натуральное число? А правильную дробь? Натуральное вычитаем из целой части, дробь не меняется: $7\frac{2}{5} - 4 = 3\frac{2}{5}$. Правильную дробь вычитаем из дробной части: $7\frac{4}{5} - \frac{1}{5} = 7\frac{3}{5}$. Если дробной части не хватает — сначала займи единицу: $7\frac{1}{5} - \frac{3}{5} = 6\frac{6}{5} - \frac{3}{5} = 6\frac{3}{5}$.
• Как из натурального числа вычесть смешанное? Записать натуральное число смешанным: забрать единицу и превратить её в дробь с тем же знаменателем. $8 - 2\frac{3}{7} = 7\frac{7}{7} - 2\frac{3}{7} = 5\frac{4}{7}$.
• Можно ли натуральное число записать смешанным? Да: $5 = 4\frac{3}{3} = 4\frac{10}{10}$ и так далее. Целая часть на 1 меньше, а дробь равна единице.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 479

Найди разности: 1) $5\frac{4}{7} - 5$; 2) $13\frac{18}{25} - 10$; 3) $27\frac{6}{53} - 19$; 4) $61\frac{24}{79} - 58$; 5) $141\frac{89}{90} - 84$; 6) $203\frac{64}{77} - 189$.

Как думать. Вычитаем натуральное число только из целой части. Дробь остаётся как была.

Решение.

1. $5 - 5 = 0$, остаётся $\frac{4}{7}$.
2. $13 - 10 = 3$: $3\frac{18}{25}$.
3. $27 - 19 = 8$: $8\frac{6}{53}$.
4. $61 - 58 = 3$: $3\frac{24}{79}$.
5. $141 - 84 = 57$: $57\frac{89}{90}$.
6. $203 - 189 = 14$: $14\frac{64}{77}$.

Ответ: 1) $\frac{4}{7}$; 2) $3\frac{18}{25}$; 3) $8\frac{6}{53}$; 4) $3\frac{24}{79}$; 5) $57\frac{89}{90}$; 6) $14\frac{64}{77}$.

№ 480

Найди значения: 1) $4\frac{2}{3} - \frac{2}{3}$; 2) $9\frac{5}{9} - \frac{5}{9}$; 3) $25\frac{21}{31} - \frac{21}{31}$; 4) $75\frac{41}{69} - 3\frac{41}{69}$; 5) $40\frac{5}{106} - 11\frac{5}{106}$; 6) $8\frac{3}{7} - 2\frac{2}{7}$; 7) $20\frac{11}{13} - 9\frac{2}{13}$; 8) $10\frac{5}{17} - 4\frac{3}{17}$; 9) $19\frac{20}{29} - 1\frac{17}{29}$; 10) $83\frac{63}{101} - 19\frac{24}{101}$.

Как думать. В 1)–5) дроби одинаковые и «съедают» друг друга — остаются только целые. В 6)–10) знаменатели равны, вычитаем числители.

Решение.

1. 4; 2) 9; 3) 25; 4) $75 - 3 = 72$; 5) $40 - 11 = 29$.
2. $6\frac{1}{7}$; 7) $11\frac{9}{13}$; 8) $6\frac{2}{17}$; 9) $18\frac{3}{29}$; 10) $64\frac{39}{101}$.

Ответ: 1) 4; 2) 9; 3) 25; 4) 72; 5) 29; 6) $6\frac{1}{7}$; 7) $11\frac{9}{13}$; 8) $6\frac{2}{17}$; 9) $18\frac{3}{29}$; 10) $64\frac{39}{101}$.

№ 481

Вычисли: 1) $2\frac{7}{9} - \frac{1}{3}$; 2) $3\frac{4}{5} - \frac{2}{3}$; 3) $4\frac{5}{6} - 2\frac{1}{3}$; 4) $6\frac{4}{5} - 2\frac{3}{8}$; 5) $9\frac{1}{2} - 4\frac{3}{8}$; 6) $8\frac{19}{20} - 5\frac{7}{10}$.

Как думать. Приводим дроби к общему знаменателю. Заём здесь не понадобится: дробь уменьшаемого везде больше.

Решение.

1. $2\frac{7}{9} - \frac{3}{9} = 2\frac{4}{9}$.
2. $3\frac{12}{15} - \frac{10}{15} = 3\frac{2}{15}$.
3. $4\frac{5}{6} - 2\frac{2}{6} = 2\frac{3}{6} = 2\frac{1}{2}$.
4. $6\frac{32}{40} - 2\frac{15}{40} = 4\frac{17}{40}$.
5. $9\frac{4}{8} - 4\frac{3}{8} = 5\frac{1}{8}$.
6. $8\frac{19}{20} - 5\frac{14}{20} = 3\frac{5}{20} = 3\frac{1}{4}$.

Ответ: 1) $2\frac{4}{9}$; 2) $3\frac{2}{15}$; 3) $2\frac{1}{2}$; 4) $4\frac{17}{40}$; 5) $5\frac{1}{8}$; 6) $3\frac{1}{4}$.

№ 482

Выполни вычитание: 1) $95\frac{19}{34} - 37\frac{1}{2}$; 2) $47\frac{163}{210} - 39\frac{32}{105}$; 3) $301\frac{367}{540} - 277\frac{31}{60}$; 4) $109\frac{22}{25} - 101\frac{83}{250}$.

Как думать. Больший знаменатель делится на меньший — он и будет общим.

Решение.

1. $95\frac{19}{34} - 37\frac{17}{34} = 58\frac{2}{34} = 58\frac{1}{17}$.
2. $47\frac{163}{210} - 39\frac{64}{210} = 8\frac{99}{210} = 8\frac{33}{70}$.
3. $\frac{31}{60} = \frac{279}{540}$: $301\frac{367}{540} - 277\frac{279}{540} = 24\frac{88}{540} = 24\frac{22}{135}$.
4. $109\frac{220}{250} - 101\frac{83}{250} = 8\frac{137}{250}$.

Ответ: 1) $58\frac{1}{17}$; 2) $8\frac{33}{70}$; 3) $24\frac{22}{135}$; 4) $8\frac{137}{250}$.

№ 483

Выполни действия: 1) $10\frac{5}{18} - 5\frac{8}{27}$; 2) $25\frac{7}{32} - 21\frac{1}{24}$; 3) $32\frac{8}{21} - 23\frac{7}{15}$; 4) $19\frac{7}{20} - 9\frac{1}{30}$; 5) $41\frac{9}{28} - 15\frac{2}{21}$; 6) $73\frac{5}{24} - 58\frac{19}{36}$; 7) $58\frac{11}{20} - 22\frac{29}{35}$; 8) $91\frac{37}{54} - 47\frac{11}{45}$.

Как думать. Приводим к НОЗ и смотрим, хватает ли дроби уменьшаемого. В 1), 3), 6), 7) придётся занимать единицу.

Решение.

1. НОЗ 54: $10\frac{15}{54} - 5\frac{16}{54} = 9\frac{69}{54} - 5\frac{16}{54} = 4\frac{53}{54}$.
2. НОЗ 96: $25\frac{21}{96} - 21\frac{4}{96} = 4\frac{17}{96}$.
3. НОЗ 105: $32\frac{40}{105} - 23\frac{49}{105} = 31\frac{145}{105} - 23\frac{49}{105} = 8\frac{96}{105} = 8\frac{32}{35}$.
4. НОЗ 60: $19\frac{21}{60} - 9\frac{2}{60} = 10\frac{19}{60}$.
5. НОЗ 84: $41\frac{27}{84} - 15\frac{8}{84} = 26\frac{19}{84}$.
6. НОЗ 72: $73\frac{15}{72} - 58\frac{38}{72} = 72\frac{87}{72} - 58\frac{38}{72} = 14\frac{49}{72}$.
7. НОЗ 140: $58\frac{77}{140} - 22\frac{116}{140} = 57\frac{217}{140} - 22\frac{116}{140} = 35\frac{101}{140}$.
8. НОЗ 270: $91\frac{185}{270} - 47\frac{66}{270} = 44\frac{119}{270}$.

Ответ: 1) $4\frac{53}{54}$; 2) $4\frac{17}{96}$; 3) $8\frac{32}{35}$; 4) $10\frac{19}{60}$; 5) $26\frac{19}{84}$; 6) $14\frac{49}{72}$; 7) $35\frac{101}{140}$; 8) $44\frac{119}{270}$.

№ 484

Реши уравнения: 1) $x + 5\frac{1}{8} = 10\frac{2}{9}$; 2) $x + 29\frac{7}{8} = 51\frac{5}{12}$; 3) $11\frac{1}{12} - x = 9\frac{1}{8}$; 4) $60\frac{3}{14} - x = 41\frac{4}{21}$; 5) $77\frac{4}{15} - x = 59\frac{8}{9}$; 6) $61\frac{5}{8} - x = 52\frac{1}{6}$.

Как думать. Неизвестное слагаемое = сумма − известное слагаемое. Неизвестное вычитаемое = уменьшаемое − разность.

Решение.

1. $x = 10\frac{16}{72} - 5\frac{9}{72} = 5\frac{7}{72}$.
2. $x = 51\frac{10}{24} - 29\frac{21}{24} = 50\frac{34}{24} - 29\frac{21}{24} = 21\frac{13}{24}$.
3. $x = 11\frac{2}{24} - 9\frac{3}{24} = 10\frac{26}{24} - 9\frac{3}{24} = 1\frac{23}{24}$.
4. $x = 60\frac{9}{42} - 41\frac{8}{42} = 19\frac{1}{42}$.
5. $x = 77\frac{12}{45} - 59\frac{40}{45} = 76\frac{57}{45} - 59\frac{40}{45} = 17\frac{17}{45}$.
6. $x = 61\frac{15}{24} - 52\frac{4}{24} = 9\frac{11}{24}$.

Ответ: 1) $5\frac{7}{72}$; 2) $21\frac{13}{24}$; 3) $1\frac{23}{24}$; 4) $19\frac{1}{42}$; 5) $17\frac{17}{45}$; 6) $9\frac{11}{24}$.

№ 485

Найди корни: 1) $x + 2\frac{3}{13} = 10\frac{8}{39}$; 2) $y + 8\frac{7}{12} = 10\frac{5}{24}$; 3) $x + 14\frac{2}{9} = 38\frac{1}{18}$; 4) $y + 3\frac{7}{11} = 9\frac{3}{22}$.

Как думать. Везде ищем неизвестное слагаемое. И везде придётся занимать единицу.

Решение.

1. $x = 10\frac{8}{39} - 2\frac{9}{39} = 9\frac{47}{39} - 2\frac{9}{39} = 7\frac{38}{39}$.
2. $y = 10\frac{5}{24} - 8\frac{14}{24} = 9\frac{29}{24} - 8\frac{14}{24} = 1\frac{15}{24} = 1\frac{5}{8}$.
3. $x = 38\frac{1}{18} - 14\frac{4}{18} = 37\frac{19}{18} - 14\frac{4}{18} = 23\frac{15}{18} = 23\frac{5}{6}$.
4. $y = 9\frac{3}{22} - 3\frac{14}{22} = 8\frac{25}{22} - 3\frac{14}{22} = 5\frac{11}{22} = 5\frac{1}{2}$.

Ответ: 1) $7\frac{38}{39}$; 2) $1\frac{5}{8}$; 3) $23\frac{5}{6}$; 4) $5\frac{1}{2}$.

№ 486

От верёвки длиной $10\frac{3}{5}$ м отрезали $8\frac{1}{6}$ м. Сколько осталось? Составь обратные задачи.

Решение. $10\frac{18}{30} - 8\frac{5}{30} = 2\frac{13}{30}$ м.

Обратные задачи.

1. Отрезали $8\frac{1}{6}$ м, осталось $2\frac{13}{30}$ м. Какой длины была верёвка? $8\frac{5}{30} + 2\frac{13}{30} = 10\frac{18}{30} = 10\frac{3}{5}$ м.
2. Верёвка $10\frac{3}{5}$ м, осталось $2\frac{13}{30}$ м. Сколько отрезали? $10\frac{18}{30} - 2\frac{13}{30} = 8\frac{5}{30} = 8\frac{1}{6}$ м.

Ответ: $2\frac{13}{30}$ м.

№ 487

Товар с тарой весит $35\frac{4}{15}$ кг, без тары — $29\frac{1}{5}$ кг. Найди массу тары. Составь обратные задачи.

Решение. $35\frac{4}{15} - 29\frac{3}{15} = 6\frac{1}{15}$ кг.

Обратные задачи.

1. Товар $29\frac{1}{5}$ кг, тара $6\frac{1}{15}$ кг. Сколько весит товар с тарой? $29\frac{3}{15} + 6\frac{1}{15} = 35\frac{4}{15}$ кг.
2. С тарой $35\frac{4}{15}$ кг, тара $6\frac{1}{15}$ кг. Сколько весит товар? $35\frac{4}{15} - 6\frac{1}{15} = 29\frac{3}{15} = 29\frac{1}{5}$ кг.

Ответ: $6\frac{1}{15}$ кг.

№ 488

Собственная скорость теплохода $28\frac{5}{6}$ км/ч, скорость течения $2\frac{2}{3}$ км/ч. Найди скорость по течению и против течения.

Как думать. По течению река помогает: скорости складываем. Против течения — мешает: вычитаем.

Решение.

1. По течению: $28\frac{5}{6} + 2\frac{4}{6} = 30\frac{9}{6} = 31\frac{3}{6} = 31\frac{1}{2}$ км/ч.
2. Против течения: $28\frac{5}{6} - 2\frac{4}{6} = 26\frac{1}{6}$ км/ч.

Ответ: $31\frac{1}{2}$ км/ч и $26\frac{1}{6}$ км/ч.

№ 489

Одна бригада собрала $41\frac{3}{4}$ т картофеля, другая — на $2\frac{1}{2}$ т меньше. Сколько собрали обе? Составь обратные задачи.

Решение.

1. Вторая бригада: $41\frac{3}{4} - 2\frac{2}{4} = 39\frac{1}{4}$ т.
2. Обе: $41\frac{3}{4} + 39\frac{1}{4} = 80\frac{4}{4} = 81$ т.

Обратные задачи.

1. Обе бригады собрали 81 т, первая — $41\frac{3}{4}$ т. На сколько меньше собрала вторая? Вторая: $80\frac{4}{4} - 41\frac{3}{4} = 39\frac{1}{4}$ т; разница $41\frac{3}{4} - 39\frac{1}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$ т.
2. Обе собрали 81 т, вторая — на $2\frac{1}{2}$ т меньше первой, а именно $39\frac{1}{4}$ т. Сколько собрала первая? $39\frac{1}{4} + 2\frac{2}{4} = 41\frac{3}{4}$ т.

Ответ: 81 т.

№ 490

Лодка плывёт по течению со скоростью $6\frac{4}{5}$ км/ч, скорость течения $2\frac{1}{4}$ км/ч. Найди скорость против течения. Составь обратные задачи.

Как думать. Сначала «уберём» течение и найдём собственную скорость лодки. Потом вычтем течение ещё раз.

Решение.

1. Собственная скорость: $6\frac{16}{20} - 2\frac{5}{20} = 4\frac{11}{20}$ км/ч.
2. Против течения: $4\frac{11}{20} - 2\frac{5}{20} = 2\frac{6}{20} = 2\frac{3}{10}$ км/ч.

Обратная задача. Против течения лодка идёт со скоростью $2\frac{3}{10}$ км/ч, течение $2\frac{1}{4}$ км/ч. Какова скорость по течению? Собственная: $2\frac{6}{20} + 2\frac{5}{20} = 4\frac{11}{20}$ км/ч; по течению: $4\frac{11}{20} + 2\frac{5}{20} = 6\frac{16}{20} = 6\frac{4}{5}$ км/ч.

Ответ: $2\frac{3}{10}$ км/ч.

💡 Заметил? Скорость по течению и против течения отличаются на две скорости течения: $6\frac{4}{5} - 2\frac{3}{10} = 4\frac{1}{2} = 2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{4}$.

Уровень B

№ 491

Выполни действия: 1) 12 м $- 5\frac{3}{4}$ м; 2) $8\frac{1}{8}$ дм $- 2\frac{1}{4}$ дм; 3) $5\frac{3}{4}$ см $- 4\frac{1}{8}$ см; 4) 6 ч $- \frac{2}{7}$ ч; 5) $3\frac{1}{2}$ ч $- 2\frac{3}{4}$ ч; 6) 9 ч $- 5\frac{1}{4}$ ч.

Как думать. Единицы одинаковые, поэтому просто вычитаем числа. Где у уменьшаемого нет дроби или её мало — занимаем единицу.

Решение.

1. $11\frac{4}{4} - 5\frac{3}{4} = 6\frac{1}{4}$ м.
2. $8\frac{1}{8} - 2\frac{2}{8} = 7\frac{9}{8} - 2\frac{2}{8} = 5\frac{7}{8}$ дм.
3. $5\frac{6}{8} - 4\frac{1}{8} = 1\frac{5}{8}$ см.
4. $5\frac{7}{7} - \frac{2}{7} = 5\frac{5}{7}$ ч.
5. $3\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = \frac{3}{4}$ ч.
6. $8\frac{4}{4} - 5\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$ ч.

Ответ: 1) $6\frac{1}{4}$ м; 2) $5\frac{7}{8}$ дм; 3) $1\frac{5}{8}$ см; 4) $5\frac{5}{7}$ ч; 5) $\frac{3}{4}$ ч (45 мин); 6) $3\frac{3}{4}$ ч.

№ 492

Найди значения: 1) $19\frac{5}{6} - 6\frac{1}{12} - 2\frac{7}{9}$; 2) $11\frac{7}{10} - 5\frac{7}{30} - 3\frac{4}{15}$; 3) $9\frac{14}{15} - 2\frac{1}{5} - 4\frac{7}{10}$; 4) $20\frac{3}{8} - \left(6 - 2\frac{1}{6}\right)$; 5) $28\frac{1}{20} - \left(7 - 2\frac{8}{15}\right)$; 6) $29\frac{3}{25} - \left(4 - 2\frac{1}{5}\right)$.

Как думать. Без скобок — по порядку слева направо. Со скобками — сначала скобки.

Решение.

1. $19\frac{10}{12} - 6\frac{1}{12} = 13\frac{9}{12} = 13\frac{3}{4}$; $13\frac{27}{36} - 2\frac{28}{36} = 12\frac{63}{36} - 2\frac{28}{36} = 10\frac{35}{36}$.
2. $11\frac{21}{30} - 5\frac{7}{30} = 6\frac{14}{30} = 6\frac{7}{15}$; $6\frac{7}{15} - 3\frac{4}{15} = 3\frac{3}{15} = 3\frac{1}{5}$.
3. $9\frac{14}{15} - 2\frac{3}{15} = 7\frac{11}{15}$; $7\frac{22}{30} - 4\frac{21}{30} = 3\frac{1}{30}$.
4. Скобка: $5\frac{6}{6} - 2\frac{1}{6} = 3\frac{5}{6}$. Затем $20\frac{9}{24} - 3\frac{20}{24} = 19\frac{33}{24} - 3\frac{20}{24} = 16\frac{13}{24}$.
5. Скобка: $6\frac{15}{15} - 2\frac{8}{15} = 4\frac{7}{15}$. Затем $28\frac{3}{60} - 4\frac{28}{60} = 27\frac{63}{60} - 4\frac{28}{60} = 23\frac{35}{60} = 23\frac{7}{12}$.
6. Скобка: $3\frac{5}{5} - 2\frac{1}{5} = 1\frac{4}{5}$. Затем $29\frac{3}{25} - 1\frac{20}{25} = 28\frac{28}{25} - 1\frac{20}{25} = 27\frac{8}{25}$.

Ответ: 1) $10\frac{35}{36}$; 2) $3\frac{1}{5}$; 3) $3\frac{1}{30}$; 4) $16\frac{13}{24}$; 5) $23\frac{7}{12}$; 6) $27\frac{8}{25}$.

№ 493

Вычисли: 1) $4\frac{2}{9} + 5\frac{2}{3} - 1\frac{4}{9}$; 2) $9 - 4\frac{2}{17} + 2\frac{3}{17}$; 3) $5\frac{3}{5} - 2\frac{6}{11} + 3\frac{3}{5}$; 4) $4\frac{3}{8} + 3\frac{7}{8} - 1\frac{3}{7}$; 5) $20 - 3\frac{8}{15} + 10\frac{4}{15}$; 6) $30 - 15\frac{9}{10} - 12\frac{3}{10}$; 7) $15\frac{7}{11} - 4\frac{9}{16} + 3\frac{4}{11}$; 8) $49 - 19\frac{3}{5} - 2\frac{2}{5}$; 9) $12\frac{4}{13} - 2\frac{13}{20} + 3\frac{9}{13}$; 10) $29\frac{11}{17} - 4\frac{5}{24} + 10\frac{6}{17}$.

Как думать. Ищи числа с одинаковыми знаменателями: их удобно объединить. В 7), 9), 10) два слагаемых вместе дают целое число!

Решение.

1. $4\frac{2}{9} + 5\frac{6}{9} = 9\frac{8}{9}$; $9\frac{8}{9} - 1\frac{4}{9} = 8\frac{4}{9}$.
2. $8\frac{17}{17} - 4\frac{2}{17} = 4\frac{15}{17}$; $4\frac{15}{17} + 2\frac{3}{17} = 6\frac{18}{17} = 7\frac{1}{17}$.
3. $5\frac{33}{55} - 2\frac{30}{55} = 3\frac{3}{55}$; $3\frac{3}{55} + 3\frac{33}{55} = 6\frac{36}{55}$.
4. $4\frac{3}{8} + 3\frac{7}{8} = 7\frac{10}{8} = 8\frac{1}{4}$; $8\frac{7}{28} - 1\frac{12}{28} = 7\frac{35}{28} - 1\frac{12}{28} = 6\frac{23}{28}$.
5. $19\frac{15}{15} - 3\frac{8}{15} = 16\frac{7}{15}$; $16\frac{7}{15} + 10\frac{4}{15} = 26\frac{11}{15}$.
6. $15\frac{9}{10} + 12\frac{3}{10} = 27\frac{12}{10} = 28\frac{1}{5}$; $30 - 28\frac{1}{5} = 29\frac{5}{5} - 28\frac{1}{5} = 1\frac{4}{5}$.
7. $15\frac{7}{11} + 3\frac{4}{11} = 19$; $19 - 4\frac{9}{16} = 18\frac{16}{16} - 4\frac{9}{16} = 14\frac{7}{16}$.
8. $19\frac{3}{5} + 2\frac{2}{5} = 22$; $49 - 22 = 27$.
9. $12\frac{4}{13} + 3\frac{9}{13} = 16$; $16 - 2\frac{13}{20} = 15\frac{20}{20} - 2\frac{13}{20} = 13\frac{7}{20}$.
10. $29\frac{11}{17} + 10\frac{6}{17} = 40$; $40 - 4\frac{5}{24} = 35\frac{19}{24}$.

Ответ: 1) $8\frac{4}{9}$; 2) $7\frac{1}{17}$; 3) $6\frac{36}{55}$; 4) $6\frac{23}{28}$; 5) $26\frac{11}{15}$; 6) $1\frac{4}{5}$; 7) $14\frac{7}{16}$; 8) 27; 9) $13\frac{7}{20}$; 10) $35\frac{19}{24}$.

№ 494

Найди значения: 1) $59\frac{25}{64} - \left(32\frac{3}{16} + 4\frac{1}{64}\right)$; 2) $32\frac{2}{45} + \left(20\frac{5}{9} - 18\frac{4}{5}\right)$; 3) $37\frac{29}{36} - \left(4\frac{5}{18} + 1\frac{31}{48}\right)$; 4) $\left(40\frac{61}{80} - 7\frac{17}{20}\right) + 25\frac{3}{40}$.

Решение.

1. Скобка: $32\frac{12}{64} + 4\frac{1}{64} = 36\frac{13}{64}$. Затем $59\frac{25}{64} - 36\frac{13}{64} = 23\frac{12}{64} = 23\frac{3}{16}$.
2. Скобка: $20\frac{25}{45} - 18\frac{36}{45} = 19\frac{70}{45} - 18\frac{36}{45} = 1\frac{34}{45}$. Затем $32\frac{2}{45} + 1\frac{34}{45} = 33\frac{36}{45} = 33\frac{4}{5}$.
3. Скобка (НОЗ 144): $4\frac{40}{144} + 1\frac{93}{144} = 5\frac{133}{144}$. Затем $37\frac{116}{144} - 5\frac{133}{144} = 36\frac{260}{144} - 5\frac{133}{144} = 31\frac{127}{144}$.
4. Скобка: $40\frac{61}{80} - 7\frac{68}{80} = 39\frac{141}{80} - 7\frac{68}{80} = 32\frac{73}{80}$. Затем $32\frac{73}{80} + 25\frac{6}{80} = 57\frac{79}{80}$.

Ответ: 1) $23\frac{3}{16}$; 2) $33\frac{4}{5}$; 3) $31\frac{127}{144}$; 4) $57\frac{79}{80}$.

№ 495

Реши уравнения: 1) $\left(x - 3\frac{9}{13}\right) + 5\frac{10}{13} = 12\frac{4}{13}$; 2) $\left(3\frac{9}{16} - y\right) + 4\frac{9}{16} = 5\frac{7}{16}$; 3) $13\frac{16}{27} + \left(x - 2\frac{17}{27}\right) = 30\frac{5}{27}$; 4) $\left(y - 2\frac{4}{25}\right) + 4\frac{7}{25} = 14\frac{6}{25}$.

Как думать. Скобку считаем одним неизвестным слагаемым. Сначала находим скобку, потом $x$ или $y$.

Решение.

1. Скобка: $12\frac{4}{13} - 5\frac{10}{13} = 11\frac{17}{13} - 5\frac{10}{13} = 6\frac{7}{13}$. $x = 6\frac{7}{13} + 3\frac{9}{13} = 9\frac{16}{13} = 10\frac{3}{13}$.
2. Скобка: $5\frac{7}{16} - 4\frac{9}{16} = 4\frac{23}{16} - 4\frac{9}{16} = \frac{14}{16}$. $y = 3\frac{9}{16} - \frac{14}{16} = 2\frac{25}{16} - \frac{14}{16} = 2\frac{11}{16}$.
3. Скобка: $30\frac{5}{27} - 13\frac{16}{27} = 29\frac{32}{27} - 13\frac{16}{27} = 16\frac{16}{27}$. $x = 16\frac{16}{27} + 2\frac{17}{27} = 18\frac{33}{27} = 19\frac{6}{27} = 19\frac{2}{9}$.
4. Скобка: $14\frac{6}{25} - 4\frac{7}{25} = 13\frac{31}{25} - 4\frac{7}{25} = 9\frac{24}{25}$. $y = 9\frac{24}{25} + 2\frac{4}{25} = 11\frac{28}{25} = 12\frac{3}{25}$.

Ответ: 1) $10\frac{3}{13}$; 2) $2\frac{11}{16}$; 3) $19\frac{2}{9}$; 4) $12\frac{3}{25}$.

№ 496

Выполни действия: 1) $9 - \frac{2}{3} + 6\frac{7}{24} - 2\frac{1}{4}$; 2) $8\frac{13}{30} + 13\frac{4}{5} - 5\frac{5}{6} + \frac{7}{10}$; 3) $17\frac{3}{4} - 9\frac{1}{32} + 4\frac{3}{8} - 5\frac{3}{16}$; 4) $21\frac{4}{15} + 1\frac{5}{6} - 9\frac{7}{30} + 16\frac{7}{24}$.

Как думать. Действия идут по порядку слева направо. Каждый шаг — обычное сложение или вычитание смешанных чисел.

Решение.

1. $9 - \frac{2}{3} = 8\frac{1}{3}$; $8\frac{8}{24} + 6\frac{7}{24} = 14\frac{15}{24} = 14\frac{5}{8}$; $14\frac{5}{8} - 2\frac{2}{8} = 12\frac{3}{8}$.
2. $8\frac{13}{30} + 13\frac{24}{30} = 21\frac{37}{30} = 22\frac{7}{30}$; $22\frac{7}{30} - 5\frac{25}{30} = 21\frac{37}{30} - 5\frac{25}{30} = 16\frac{12}{30} = 16\frac{2}{5}$; $16\frac{4}{10} + \frac{7}{10} = 16\frac{11}{10} = 17\frac{1}{10}$.
3. $17\frac{24}{32} - 9\frac{1}{32} = 8\frac{23}{32}$; $8\frac{23}{32} + 4\frac{12}{32} = 12\frac{35}{32} = 13\frac{3}{32}$; $13\frac{3}{32} - 5\frac{6}{32} = 12\frac{35}{32} - 5\frac{6}{32} = 7\frac{29}{32}$.
4. $21\frac{8}{30} + 1\frac{25}{30} = 22\frac{33}{30} = 23\frac{1}{10}$; $23\frac{3}{30} - 9\frac{7}{30} = 22\frac{33}{30} - 9\frac{7}{30} = 13\frac{26}{30} = 13\frac{13}{15}$; $13\frac{104}{120} + 16\frac{35}{120} = 29\frac{139}{120} = 30\frac{19}{120}$.

Ответ: 1) $12\frac{3}{8}$; 2) $17\frac{1}{10}$; 3) $7\frac{29}{32}$; 4) $30\frac{19}{120}$.

№ 497

Алия собирала клубнику с четырёх грядок. С первой — $5\frac{4}{5}$ кг, со второй — на $\frac{1}{4}$ кг меньше, с третьей — на $\frac{3}{10}$ кг больше, чем с первых двух вместе, с четвёртой — на $2\frac{3}{10}$ кг меньше, чем с третьей. Сколько всего?

Как думать. Знаменатели 5, 4 и 10 — общий для них 20. Сумма первых двух грядок нужна и для третьей грядки, и для итога.

Решение. 1-я — $5\frac{4}{5}$ кг, 2-я — $5\frac{11}{20}$ кг, 3-я — $11\frac{13}{20}$ кг, 4-я — $9\frac{7}{20}$ кг. Всего $32\frac{7}{20}$ кг.

Ответ: $32\frac{7}{20}$ кг.

№ 498

На уроки ушло $2\frac{2}{3}$ ч: математика — $1\frac{1}{3}$ ч, история — $\frac{7}{12}$ ч, остальное — литература. Сколько времени ушло на литературу?

Решение.

1. Без математики: $2\frac{2}{3} - 1\frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$ ч.
2. Без истории: $1\frac{4}{12} - \frac{7}{12} = \frac{16}{12} - \frac{7}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ ч.

Ответ: $\frac{3}{4}$ ч, то есть 45 минут.

Уровень C

№ 499

Как изменится сумма двух чисел, если одно слагаемое: 1) увеличить на $7\frac{6}{11}$, другое — на $4\frac{2}{3}$; 2) уменьшить на $7\frac{6}{11}$, другое — на $4\frac{2}{3}$; 3) первое увеличить на $7\frac{6}{11}$, другое уменьшить на $4\frac{2}{3}$; 4) первое уменьшить на $7\frac{6}{11}$, другое увеличить на $4\frac{2}{3}$?

Как думать. Сумма меняется ровно настолько, насколько вместе изменились слагаемые. Если одно растёт, а другое падает, — смотрим на разницу изменений. Проверь на числах: $10 + 10 = 20$, а $(10 + 3) + (10 - 1) = 22$.

Решение.

1. $7\frac{6}{11} + 4\frac{2}{3} = 7\frac{18}{33} + 4\frac{22}{33} = 11\frac{40}{33} = 12\frac{7}{33}$. Сумма увеличится на $12\frac{7}{33}$.
2. Сумма уменьшится на те же $12\frac{7}{33}$.
3. $7\frac{18}{33} - 4\frac{22}{33} = 6\frac{51}{33} - 4\frac{22}{33} = 2\frac{29}{33}$. Прибавили больше, чем отняли: сумма увеличится на $2\frac{29}{33}$.
4. Отняли больше, чем прибавили: сумма уменьшится на $2\frac{29}{33}$.

Ответ: 1) увеличится на $12\frac{7}{33}$; 2) уменьшится на $12\frac{7}{33}$; 3) увеличится на $2\frac{29}{33}$; 4) уменьшится на $2\frac{29}{33}$.

№ 500

Верно ли, что $17\frac{3}{15} - 8\frac{7}{20} + \left(9\frac{11}{15} - \left(2\frac{1}{15} - 1\frac{37}{90}\right)\right) - 1\frac{17}{60}$ равно НОД(80; 176)?

Как думать. Найдём НОД и посчитаем выражение по действиям: сначала внутренние скобки, потом слева направо.

Решение. НОД(80; 176) = 16. Значение выражения $16\frac{29}{45}$ (все шаги — в виджете выше). $16\frac{29}{45} \ne 16$.

Ответ: неверно: выражение равно $16\frac{29}{45}$, а НОД(80; 176) = 16.

Готовимся к следующей теме

№ 501

Математика в строительстве. 1. Плитки для пола (мм): № 1 — 300×300, № 2 — 400×300, № 3 — 250×250, № 4 — 300×200, № 5 — 200×200, № 6 — 200×150, № 7 — 200×100. Какое наименьшее число плиток нужно на пол площадью 500 м²? Предложи два варианта укладки. 2. Стену 9 м² надо выложить плиткой: I — 20×10 см по 250 тг, II — 30×10 см по 420 тг, III — 25×18 см по 600 тг. Какую плитку выгоднее купить?

Как думать. Чем больше плитка, тем меньше штук. Число плиток = площадь пола : площадь одной плитки. Для стены сравниваем, сколько стоит вся облицовка каждой плиткой.

Решение.

1. Самая большая плитка — № 2: $400 \cdot 300 = 120,000$ мм² $= 0{,}12$ м². $500 : 0{,}12 \approx 4166{,}7$, значит, нужно не меньше 4167 плиток (крайние плитки придётся подрезать).
2. Варианты для пола 25 м × 20 м:
   • плитка № 3 (25 × 25 см): вдоль 25 м — 100 плиток, вдоль 20 м — 80; всего $100 \cdot 80 = 8000$ плиток, без подрезки;
   • плитка № 5 (20 × 20 см): $125 \cdot 100 = 12,500$ плиток, тоже без подрезки.
3. Стена 9 м² = 90 000 см².
   • I: плитка 200 см², нужно $90,000 : 200 = 450$ шт., стоимость $450 \cdot 250 = 112,500$ тг.
   • II: плитка 300 см², нужно 300 шт., $300 \cdot 420 = 126,000$ тг.
   • III: плитка 450 см², нужно 200 шт., $200 \cdot 600 = 120,000$ тг.

Ответ: 1) не меньше 4167 плиток № 2; варианты: 8000 плиток № 3 или 12 500 плиток № 5 на пол 25 × 20 м; 2) выгоднее плитка I (20 × 10 см) — 112 500 тг.

🌟 На стройке плитку всегда берут с запасом 5–10 %: часть бьётся при резке. Спроси дома, сколько плитки покупали для ванной!

№ 502

Какая часть правильного шестиугольника закрашена? Он разбит на 6 равных треугольников, закрашены 4.

Решение. Закрашено 4 части из 6: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$ шестиугольника.

№ 503

Квадрат разделили на 6 равных прямоугольников (2 столбца по 3). Сколькими способами можно закрасить $\frac{5}{6}$ квадрата?

Как думать. Закрасить 5 частей из 6 — то же, что выбрать одну часть, которая останется белой.

Решение. Белой может остаться любая из 6 частей. Значит, способов 6.

Ответ: 6 способов.

Шпаргалка

• Целые вычитаем из целых, дроби — из дробей.
• Разные знаменатели → приводим к НОЗ.
• Дробь уменьшаемого меньше → занимаем 1: $5\frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}$.
• Натуральное число пишем смешанным: $9 = 8\frac{7}{7}$.
• Проверяем ответ сложением.

Мини-тест