§ 26. Умножение обыкновенных дробей и смешанных чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 128–131.

Чему научишься

• Умножать дробь на дробь: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.
• Сокращать до умножения, чтобы не возиться с большими числами.
• Умножать дробь на натуральное число.
• Умножать смешанные числа, превращая их в неправильные дроби.

Разминка

Это задания № 502–503 из прошлого урока и несколько своих вопросов.

• Шестиугольник разбит на 6 равных треугольников, закрашены 4. Какая часть закрашена? $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
• Квадрат разбит на 6 равных частей. Сколькими способами можно закрасить $\frac{5}{6}$ квадрата? Закрашиваем 5 частей из 6, то есть оставляем белой одну. Выбрать её можно 6 способами.
• Как найти площадь прямоугольника? Длину умножить на ширину: $S = a \cdot b$.
• Запиши $2\frac{1}{3}$ неправильной дробью. $\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
• Сколько будет $\frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9}$? $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. А ведь это $\frac{2}{9} \cdot 3$!

💡 Площадь — это умножение. Если стороны прямоугольника — дроби, то площадь подскажет, как умножать дроби. С этого и начнём.

Разбираемся

Квадрат, порезанный на кусочки

Возьмём квадрат со стороной $e$. Разрежем его на 3 полоски по ширине и на 6 полосок по высоте. Получится $3 \cdot 6 = 18$ одинаковых прямоугольничков. Закрасим угол: 2 полоски из 3 по ширине и 4 полоски из 6 по высоте.

Способ 1 — по формуле. Ширина закрашенного прямоугольника $\frac{2}{3}e$, высота $\frac{4}{6}e$. Площадь — их произведение: $\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot e^2$.

Способ 2 — считаем кусочки. Закрашено $2 \cdot 4 = 8$ прямоугольничков из 18. Значит, это $\frac{8}{18}$ площади квадрата, то есть $\frac{8}{18} \cdot e^2$.

Площадь одна и та же, поэтому $\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{18}$. Посмотри: $8 = 4 \cdot 2$ — это числители, а $18 = 6 \cdot 3$ — знаменатели!

📌 Чтобы умножить дробь на дробь, перемножь числители и запиши результат наверх, а знаменатели — вниз: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

Сначала сокращай, потом умножай

Посчитаем $\frac{27}{32} \cdot \frac{24}{45}$. Если перемножать в лоб, выйдет $\frac{648}{1440}$ — и потом долго сокращать. Хитрее сократить заранее, крест-накрест:

• 27 и 45 делятся на 9: остаётся 3 и 5;
• 24 и 32 делятся на 8: остаётся 3 и 4.

$\frac{27}{32} \cdot \frac{24}{45} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 5} = \frac{9}{20}$.

⚠️ Частая ошибка. Сокращать можно только числитель со знаменателем (верх с низом). Два числителя между собой не сокращают: в $\frac{4}{7} \cdot \frac{2}{9}$ четвёрку и двойку трогать нельзя.

Дробь умножить на целое число

Любое натуральное число — это дробь со знаменателем 1: $3 = \frac{3}{1}$. Поэтому

$\frac{11}{12} \cdot 3 = \frac{11 \cdot 3}{12} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.

📌 Дробь умножаем на натуральное число так: числитель умножаем на это число, а знаменатель не трогаем.

Представь: у тебя 3 коробки конфет, в каждой $\frac{11}{12}$ кг. Всего $\frac{33}{12}$ кг. Знаменатель остался «двенадцатыми», просто двенадцатых стало в 3 раза больше.

Смешанные числа — переодень в неправильные дроби

Со смешанными числами напрямую не умножают. Сначала превращаем их в неправильные дроби:

$3\frac{3}{5} \cdot 9\frac{1}{6} = \frac{18}{5} \cdot \frac{55}{6} = \frac{3 \cdot 11}{1 \cdot 1} = 33$.

⚠️ Частая ошибка. «$2\frac{1}{2} \cdot 2\frac{1}{2} = 4\frac{1}{4}$» — перемножили целые части и дробные отдельно. Так нельзя! Правильно: $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверьте, как ребёнок сокращает: он должен делить число сверху и число снизу на одно и то же. Хорошая привычка — перед умножением спросить себя: «Что тут можно сократить?»

Переместительное и сочетательное свойства умножения работают и для дробей. Можно менять множители местами, если так удобнее сокращать.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как умножить обыкновенные дроби? Числитель умножить на числитель, знаменатель на знаменатель. Первое произведение — новый числитель, второе — новый знаменатель.
• Как умножить дробь на натуральное число? Умножить на него числитель, а знаменатель оставить тем же.
• Как умножить смешанные числа? Записать их неправильными дробями и перемножить по правилу для дробей.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 504

Найди произведения: 1) $\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7}$; 2) $\frac{4}{7} \cdot \frac{21}{40}$; 3) $\frac{27}{32} \cdot \frac{8}{9}$; 4) $\frac{5}{11} \cdot \frac{22}{25}$; 5) $\frac{8}{35} \cdot \frac{5}{12}$.

Как думать. Перед умножением ищем, что сокращается крест-накрест.

Решение.

1. $\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{4}{7}$ (6 и 3 сократили на 3).
2. $\frac{4}{7} \cdot \frac{21}{40} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 10} = \frac{3}{10}$.
3. $\frac{27}{32} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$.
4. $\frac{5}{11} \cdot \frac{22}{25} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$.
5. $\frac{8}{35} \cdot \frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{2}{21}$.

Ответ: 1) $\frac{4}{7}$; 2) $\frac{3}{10}$; 3) $\frac{3}{4}$; 4) $\frac{2}{5}$; 5) $\frac{2}{21}$.

№ 505

Умножь: 1) $\frac{7}{9} \cdot 6$; 2) $4 \cdot \frac{3}{20}$; 3) $\frac{5}{6} \cdot 3$; 4) $14 \cdot \frac{7}{16}$; 5) $27 \cdot \frac{2}{9}$.

Как думать. Целое число умножаем только на числитель. Но сначала проверь, не сокращается ли оно со знаменателем.

Решение.

1. $\frac{7 \cdot 6}{9} = \frac{7 \cdot 2}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$.
2. $\frac{4 \cdot 3}{20} = \frac{3}{5}$.
3. $\frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
4. $\frac{14 \cdot 7}{16} = \frac{7 \cdot 7}{8} = \frac{49}{8} = 6\frac{1}{8}$.
5. $\frac{27 \cdot 2}{9} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: 1) $4\frac{2}{3}$; 2) $\frac{3}{5}$; 3) $2\frac{1}{2}$; 4) $6\frac{1}{8}$; 5) 6.

№ 506

Перемножь 12 пар смешанных чисел — от $1\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{5}$ до $7\frac{5}{9} \cdot 1\frac{1}{17}$ (все пары — в таблице ниже).

Как думать. Каждое смешанное число переводим в неправильную дробь, потом сокращаем и умножаем.

Решение.

Ответ: 1) $1\frac{1}{2}$; 2) 7; 3) $2\frac{4}{7}$; 4) 12; 5) $4\frac{4}{7}$; 6) $5\frac{1}{2}$; 7) $4\frac{1}{2}$; 8) $5\frac{5}{6}$; 9) 4; 10) $3\frac{1}{2}$; 11) 53; 12) 8.

№ 507

Вычисли: 1) $12 \cdot 2\frac{1}{6}$; 2) $14 \cdot 2\frac{11}{14}$; 3) $5 \cdot 2\frac{1}{25}$; 4) $24 \cdot 5\frac{5}{12}$; 5) $11 \cdot 1\frac{1}{22}$; 6) $15 \cdot 1\frac{1}{30}$.

Как думать. Можно перевести в неправильную дробь. А можно хитрее — по распределительному свойству: $12 \cdot 2\frac{1}{6} = 12 \cdot 2 + 12 \cdot \frac{1}{6}$.

Решение.

1. $24 + 2 = 26$.
2. $28 + 11 = 39$.
3. $10 + \frac{5}{25} = 10\frac{1}{5}$.
4. $120 + 10 = 130$.
5. $11 + \frac{11}{22} = 11\frac{1}{2}$.
6. $15 + \frac{15}{30} = 15\frac{1}{2}$.

Ответ: 1) 26; 2) 39; 3) $10\frac{1}{5}$; 4) 130; 5) $11\frac{1}{2}$; 6) $15\frac{1}{2}$.

№ 508

Реши уравнения: 1) $x : \frac{9}{10} = 1$; 2) $x : 19 = \frac{16}{19}$; 3) $x : 3 = \frac{5}{9}$; 4) $x : \frac{1}{4} = 4$; 5) $x : \frac{7}{13} = 1$; 6) $x : \frac{2}{18} = 18$; 7) $x : 10 = \frac{1}{25}$; 8) $x : \frac{3}{10} = 2$.

Как думать. $x$ — делимое. Чтобы найти делимое, частное умножаем на делитель.

Решение.

1. $x = 1 \cdot \frac{9}{10} = \frac{9}{10}$.
2. $x = \frac{16}{19} \cdot 19 = 16$.
3. $x = \frac{5}{9} \cdot 3 = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
4. $x = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
5. $x = 1 \cdot \frac{7}{13} = \frac{7}{13}$.
6. $x = 18 \cdot \frac{2}{18} = 2$.
7. $x = \frac{1}{25} \cdot 10 = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
8. $x = 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: 1) $\frac{9}{10}$; 2) 16; 3) $1\frac{2}{3}$; 4) 1; 5) $\frac{7}{13}$; 6) 2; 7) $\frac{2}{5}$; 8) $\frac{3}{5}$.

№ 509

1) Дыня весит $3\frac{1}{2}$ кг, арбуз — в 4 раза больше. Сколько весят вместе? 2) Тыква весит $2\frac{4}{5}$ кг, арбуз — в 5 раз больше. Сколько вместе?

Как думать. Если арбуз весит как 4 дыни, то вместе с дыней это 5 дынь. Можно сразу умножить на 5.

Решение.

1. Арбуз: $3\frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{7}{2} \cdot 4 = 14$ кг. Вместе: $14 + 3\frac{1}{2} = 17\frac{1}{2}$ кг.
2. Арбуз: $2\frac{4}{5} \cdot 5 = \frac{14}{5} \cdot 5 = 14$ кг. Вместе: $14 + 2\frac{4}{5} = 16\frac{4}{5}$ кг.

Ответ: 1) $17\frac{1}{2}$ кг; 2) $16\frac{4}{5}$ кг.

Уровень B

№ 510

Вычисли степени: 1) $\left(\frac{1}{4}\right)^2$; 2) $\left(\frac{1}{9}\right)^3$; 3) $\left(\frac{2}{5}\right)^3$; 4) $\left(\frac{4}{7}\right)^3$; 5) $\left(1\frac{1}{2}\right)^2$; 6) $\left(1\frac{1}{6}\right)^2$; 7) $\left(2\frac{1}{3}\right)^3$; 8) $\left(3\frac{1}{2}\right)^3$.

Как думать. Степень — это умножение числа само на себя. У дроби в степень возводим и числитель, и знаменатель.

Решение.

1. $\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16}$.
2. $\frac{1}{9 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{1}{729}$.
3. $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{8}{125}$.
4. $\frac{64}{343}$.
5. $\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.
6. $\left(\frac{7}{6}\right)^2 = \frac{49}{36} = 1\frac{13}{36}$.
7. $\left(\frac{7}{3}\right)^3 = \frac{343}{27} = 12\frac{19}{27}$.
8. $\left(\frac{7}{2}\right)^3 = \frac{343}{8} = 42\frac{7}{8}$.

Ответ: 1) $\frac{1}{16}$; 2) $\frac{1}{729}$; 3) $\frac{8}{125}$; 4) $\frac{64}{343}$; 5) $2\frac{1}{4}$; 6) $1\frac{13}{36}$; 7) $12\frac{19}{27}$; 8) $42\frac{7}{8}$.

№ 511

Найди значения: 1) $\left(\frac{2}{7} + 3\frac{1}{2}\right) \cdot 4\frac{2}{3}$; 2) $\left(4\frac{1}{5} - 2\frac{3}{4}\right) \cdot 2\frac{2}{19}$; 3) $\left(5\frac{6}{7} + 3\frac{5}{21}\right) \cdot 2\frac{1}{10}$; 4) $\left(7\frac{5}{12} - 3\frac{1}{6}\right) \cdot 2\frac{2}{17}$.

Как думать. Сначала действие в скобках, потом умножение.

Решение.

1. $3\frac{11}{14} \cdot 4\frac{2}{3} = \frac{53}{14} \cdot \frac{14}{3} = \frac{53}{3} = 17\frac{2}{3}$.
2. $4\frac{4}{20} - 2\frac{15}{20} = 1\frac{9}{20} = \frac{29}{20}$; $\frac{29}{20} \cdot \frac{40}{19} = \frac{58}{19} = 3\frac{1}{19}$.
3. $5\frac{18}{21} + 3\frac{5}{21} = 9\frac{2}{21} = \frac{191}{21}$; $\frac{191}{21} \cdot \frac{21}{10} = \frac{191}{10} = 19\frac{1}{10}$.
4. $7\frac{5}{12} - 3\frac{2}{12} = 4\frac{3}{12} = 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$; $\frac{17}{4} \cdot \frac{36}{17} = 9$.

Ответ: 1) $17\frac{2}{3}$; 2) $3\frac{1}{19}$; 3) $19\frac{1}{10}$; 4) 9.

№ 512

Ширина прямоугольника $\frac{9}{25}$ см, длина в 5 раз больше. Найди площадь.

Решение.

1. Длина: $\frac{9}{25} \cdot 5 = \frac{9}{5}$ см $= 1\frac{4}{5}$ см.
2. Площадь: $\frac{9}{5} \cdot \frac{9}{25} = \frac{81}{125}$ см².

Ответ: $\frac{81}{125}$ см².

№ 513

Найди значения девяти произведений из трёх множителей, например $2\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{32} \cdot 5\frac{1}{3}$ (все примеры — в решении).

Как думать. Три дроби пишем под одной чертой и сокращаем любое число сверху с любым числом снизу.

Решение.

1. $2\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{32} \cdot 5\frac{1}{3} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{32} \cdot \frac{16}{3} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 16}{3 \cdot 32 \cdot 3} = 4$.
2. $4\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{77} \cdot \frac{7}{20} = \frac{22 \cdot 15 \cdot 7}{5 \cdot 77 \cdot 20} = \frac{3}{10}$.
3. $\frac{18}{25} \cdot \frac{10}{27} \cdot 7\frac{1}{2} = \frac{18 \cdot 10 \cdot 15}{25 \cdot 27 \cdot 2} = 2$.
4. $5\frac{2}{5} \cdot \frac{40}{81} \cdot \frac{15}{16} = \frac{27 \cdot 40 \cdot 15}{5 \cdot 81 \cdot 16} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
5. $6\frac{1}{4} \cdot 1\frac{1}{35} \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{25}{4} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{7}{3} = 15$.
6. $12\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{25} \cdot \frac{7}{18} = \frac{90}{7} \cdot \frac{2}{25} \cdot \frac{7}{18} = \frac{2}{5}$.
7. $\frac{15}{16} \cdot 1\frac{13}{27} \cdot 2\frac{4}{25} = \frac{15}{16} \cdot \frac{40}{27} \cdot \frac{54}{25} = 3$.
8. $3\frac{9}{10} \cdot \frac{8}{13} \cdot 4\frac{1}{6} = \frac{39}{10} \cdot \frac{8}{13} \cdot \frac{25}{6} = 10$.
9. $8\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{11} = \frac{25}{3} \cdot \frac{11}{5} \cdot \frac{12}{11} = 20$.

Ответ: 1) 4; 2) $\frac{3}{10}$; 3) 2; 4) $2\frac{1}{2}$; 5) 15; 6) $\frac{2}{5}$; 7) 3; 8) 10; 9) 20.

Уровень C

№ 514

1) Число $a$ больше 1. Сравни $a^2$ и $a^3$. 2) Число $b$ меньше 1. Сравни $b^2$ и $b^3$.

Как думать. $a^3 = a^2 \cdot a$. Умножаем на число больше 1 — результат растёт. На число меньше 1 — уменьшается. Проверь на примерах: $2^2 = 4$, $2^3 = 8$; $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$, $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

Решение.

1. $a^3 = a^2 \cdot a$, и $a > 1$, значит $a^3 > a^2$.
2. $b^3 = b^2 \cdot b$, и $b < 1$, значит $b^3 < b^2$ (если $b$ не равно 0; при $b = 0$ оба равны нулю).

Ответ: 1) $a^2 < a^3$; 2) $b^2 > b^3$ (при $b \ne 0$).

№ 515

Ширина прямоугольного параллелепипеда $4\frac{1}{2}$ см, длина в $1\frac{5}{27}$ раза больше ширины, высота «в $\frac{3}{8}$ раза больше» длины. Найди объём.

Как думать. В условии опечатка: длину сравнивают с шириной (сравнивать длину саму с собой нельзя). «В $\frac{3}{8}$ раза больше» значит: умножить на $\frac{3}{8}$.

Решение.

1. Длина: $\frac{9}{2} \cdot \frac{32}{27} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$ см.
2. Высота: $\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{8} = 2$ см.
3. Объём: $\frac{9}{2} \cdot \frac{16}{3} \cdot 2 = 48$ см³.

Ответ: 48 см³.

№ 516

Верно ли, что $1\frac{1}{24} \cdot 1\frac{29}{40} \cdot 1\frac{127}{161} : 4\frac{3}{5} : \frac{25}{966}$ равно кубу числа 3?

Как думать. Здесь есть деление дробей — это тема следующего урока. Делить на дробь — значит умножать на «перевёрнутую» дробь. Куб тройки: $3^3 = 27$.

Решение.

1. Переводим: $\frac{25}{24} \cdot \frac{69}{40} \cdot \frac{288}{161} : \frac{23}{5} : \frac{25}{966}$.
2. Деление заменяем умножением: $\frac{25}{24} \cdot \frac{69}{40} \cdot \frac{288}{161} \cdot \frac{5}{23} \cdot \frac{966}{25}$.
3. Раскладываем: $69 = 3 \cdot 23$, $161 = 7 \cdot 23$, $966 = 42 \cdot 23$, $288 = 24 \cdot 12$. Сокращаем 25, 24, обе «23» и 7.
4. Остаётся $\frac{3 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 6}{40} = \frac{1080}{40} = 27$.

Ответ: да, верно: значение равно $27 = 3^3$.

Математика в профессии повара

№ 517

Варенье: на 1 кг груш — $4\frac{1}{2}$ стакана сахара и $3\frac{1}{4}$ стакана воды; на 5 кг айвы — 6 кг сахара и $1\frac{4}{5}$ л воды плюс 1 стакан (1 стакан — 200 г). 1) Составь нормы для 5 кг груш. 2) Сравни воду и сахар для 5 кг груш и 5 кг айвы.

Как думать. Груш в 5 раз больше — всего берём в 5 раз больше. 200 г воды — это 200 мл, то есть $\frac{1}{5}$ л.

Решение.

1. Сахар: $4\frac{1}{2} \cdot 5 = 22\frac{1}{2}$ стакана; это $22\frac{1}{2} \cdot 200 = 4500$ г $= 4\frac{1}{2}$ кг.
2. Вода: $3\frac{1}{4} \cdot 5 = 16\frac{1}{4}$ стакана; это 3250 г, примерно $3\frac{1}{4}$ л.

3. Айва: воды $1\frac{4}{5}$ л $+ \frac{1}{5}$ л $= 2$ л, сахара 6 кг.
4. Сравниваем: на груши сахара нужно на $6 - 4\frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$ кг меньше, а воды на $3\frac{1}{4} - 2 = 1\frac{1}{4}$ л больше.

Ответ: для 5 кг груш — $22\frac{1}{2}$ стакана сахара и $16\frac{1}{4}$ стакана воды; сахара на $1\frac{1}{2}$ кг меньше, чем для айвы, воды — на $1\frac{1}{4}$ л больше.

🌟 Айва — твёрдый и терпкий фрукт. Поэтому сахара на неё кладут больше: в сиропе айва становится мягкой и сладкой.

Готовимся к следующей теме

№ 518

Запиши неправильной дробью: 1) $8\frac{2}{3}$; 2) $9\frac{1}{7}$; 3) $10\frac{2}{13}$; 4) $101\frac{1}{6}$.

Как думать. Целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель.

Решение.

1. $\frac{8 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{26}{3}$.
2. $\frac{9 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{64}{7}$.
3. $\frac{10 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{132}{13}$.
4. $\frac{101 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{607}{6}$.

Ответ: 1) $\frac{26}{3}$; 2) $\frac{64}{7}$; 3) $\frac{132}{13}$; 4) $\frac{607}{6}$.

№ 519

Сравни: 1) $\frac{5}{7}$ и $\frac{7}{5}$; 2) $\frac{11}{20}$ и $\frac{20}{11}$; 3) $\frac{123}{400}$ и $\frac{400}{123}$. Найди произведение каждой пары.

Как думать. В каждой паре первая дробь правильная (меньше 1), вторая — неправильная (больше 1).

Решение.

1. $\frac{5}{7} < \frac{7}{5}$; $\frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{35}{35} = 1$.
2. $\frac{11}{20} < \frac{20}{11}$; $\frac{11 \cdot 20}{20 \cdot 11} = 1$.
3. $\frac{123}{400} < \frac{400}{123}$; произведение тоже равно 1.

Ответ: во всех парах первая дробь меньше; все произведения равны 1.

💡 Заметил? Если дробь «перевернуть» и умножить на исходную, всегда выходит 1. Такие числа называют взаимно обратными — о них следующий урок.

Шпаргалка

• $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.
• $\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$.
• Смешанные числа перед умножением записываем неправильными дробями.
• Сокращаем до умножения — так числа остаются маленькими.
• Целые и дробные части отдельно не перемножают.

Мини-тест