§ 28. Действия с обыкновенными дробями, нулем, натуральными и смешанными числами

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 3: Обыкновенные дроби и действия над ними. Страницы 137–141.

Чему научишься

• Находить значение длинного выражения с дробями, смешанными числами и нулём.
• Правильно выбирать порядок действий и не теряться в скобках.
• Решать уравнения, где неизвестное спрятано внутри скобок.
• Решать задачи «в … раз больше/меньше» с дробными числами.

Разминка

Это задания № 535–537 из прошлого урока.

• Сколько будет $813 \cdot 41^2 - 513 \cdot 41^2$? Выносим $41^2$ за скобки: $1681 \cdot 300 = 504,300$.
• А $79 \cdot 182 - 79^2 - 79 \cdot 103$? $79 \cdot (182 - 79 - 103) = 79 \cdot 0 = 0$. Нуль спас от долгих вычислений!
• Запиши выражением: «из 10 000 вычти частное чисел 999 и 9». $10,000 - 999 : 9 = 9889$.
• Что делаем первым в $31,440 + 1040 : (150 - 2400 : (67 + 53)) \cdot 20$? Самые внутренние скобки: $67 + 53 = 120$. Итог — $31,600$.

💡 Порядок действий для дробей тот же, что для натуральных чисел. Меняются только сами вычисления.

Разбираемся

Инструкция для длинного примера

1. Сначала действия в скобках (начиная с самых внутренних).
2. Потом умножение и деление — слева направо.
3. В конце сложение и вычитание — слева направо.

Перед началом расставь над знаками номера действий. И считай каждое действие отдельной строчкой — так легче найти ошибку.

Разберём пример

$\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{4}\right) : \left(3\frac{3}{4} - 2\frac{7}{8}\right) \cdot \left(\frac{9}{23} + 2 \cdot \frac{7}{23}\right)$

Нуль и единица — помощники

Нуль и единица часто появляются в таких примерах. Знай, как они себя ведут:

• $a + 0 = a$, $a - 0 = a$, $a - a = 0$;
• $a \cdot 0 = 0$, $0 : a = 0$ (если $a \ne 0$);
• $a \cdot 1 = a$, $a : 1 = a$, $a : a = 1$.

⚠️ Частая ошибка. На нуль делить нельзя! Выражение $5 : 0$ не имеет смысла. А вот $0 : 5 = 0$ — можно.

Например, в выражении $\frac{7}{13} - 2\frac{9}{13} : 5$ сначала делим: $\frac{35}{13} : 5 = \frac{7}{13}$. Потом $\frac{7}{13} - \frac{7}{13} = 0$ — вся скобка исчезает!

👨‍👩‍👧 Родителю. Длинные примеры утомляют. Предложите ребёнку сначала только расставить номера действий, без счёта, и проверьте порядок. Ошибки в порядке действий встречаются чаще, чем в самих вычислениях.

⚠️ Частая ошибка. В цепочке $a : b \cdot c$ делят слева направо: $(a : b) \cdot c$, а не $a : (b \cdot c)$. Проверь: $12 : 2 \cdot 3 = 18$, а не 2.

Проверь, как понял

Проверь себя

• В каком порядке выполняют действия в выражении со скобками? Сначала скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание. Действия одной ступени — слева направо.
• Чему равно произведение любого числа и нуля? Нулю.
• Можно ли делить на нуль? Нет. А нуль на любое другое число делить можно — получится 0.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 538

Найди значения: 1) $\left(3\frac{1}{5} - 1\frac{2}{3}\right) \cdot 15$; 2) $\left(2\frac{3}{7} + 1\frac{1}{2}\right) : \frac{5}{7}$; 3) $\left(5\frac{2}{5} + 9\frac{1}{6}\right) : 9\frac{32}{45}$; 4) $\left(10 - 2\frac{2}{3}\right) : 4\frac{8}{9}$.

Решение.

1. $3\frac{3}{15} - 1\frac{10}{15} = 1\frac{8}{15} = \frac{23}{15}$; $\frac{23}{15} \cdot 15 = 23$.
2. $2\frac{6}{14} + 1\frac{7}{14} = 3\frac{13}{14} = \frac{55}{14}$; $\frac{55}{14} \cdot \frac{7}{5} = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2}$.
3. $5\frac{12}{30} + 9\frac{5}{30} = 14\frac{17}{30} = \frac{437}{30}$; $9\frac{32}{45} = \frac{437}{45}$; $\frac{437}{30} \cdot \frac{45}{437} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
4. $10 - 2\frac{2}{3} = 7\frac{1}{3} = \frac{22}{3}$; $\frac{22}{3} \cdot \frac{9}{44} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: 1) 23; 2) $5\frac{1}{2}$; 3) $1\frac{1}{2}$; 4) $1\frac{1}{2}$.

№ 539

Составь выражение и найди его значение: 1) частное суммы $3\frac{1}{7}$ и $2\frac{1}{3}$ и числа $3\frac{2}{7}$; 2) произведение $3\frac{1}{13}$ и суммы $\frac{2}{9}$ и $1\frac{4}{5}$; 3) частное разности $13\frac{7}{12}$ и $10\frac{2}{3}$ и числа $2\frac{1}{2}$; 4) частное числа $5\frac{13}{20}$ и разности $8\frac{2}{15}$ и $\frac{3}{5}$.

Как думать. «Частное суммы … и числа …» — сумма в скобках делится на число. Первое названное действие — главное, последнее по счёту.

Решение.

1. $\left(3\frac{1}{7} + 2\frac{1}{3}\right) : 3\frac{2}{7} = \frac{115}{21} \cdot \frac{7}{23} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
2. $3\frac{1}{13} \cdot \left(\frac{2}{9} + 1\frac{4}{5}\right) = \frac{40}{13} \cdot \frac{91}{45} = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9}$.
3. $\left(13\frac{7}{12} - 10\frac{2}{3}\right) : 2\frac{1}{2} = \frac{35}{12} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
4. $5\frac{13}{20} : \left(8\frac{2}{15} - \frac{3}{5}\right) = \frac{113}{20} : \frac{113}{15} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.

Ответ: 1) $1\frac{2}{3}$; 2) $6\frac{2}{9}$; 3) $1\frac{1}{6}$; 4) $\frac{3}{4}$.

№ 540

Выполни действия в четырёх выражениях без скобок, например $\frac{9}{10} \cdot \frac{20}{27} + \frac{5}{16} : \frac{10}{24} - \frac{5}{9} \cdot 1\frac{7}{20}$ (все примеры — в решении).

Как думать. Сначала все умножения и деления (каждое — отдельно), потом складываем и вычитаем результаты.

Решение.

1. $\frac{9}{10} \cdot \frac{20}{27} + \frac{5}{16} : \frac{10}{24} - \frac{5}{9} \cdot 1\frac{7}{20} = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{3}$.
2. $\frac{69}{70} \cdot \frac{7}{23} - \frac{4}{25} : \frac{4}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{25}{36} = \frac{3}{10} - \frac{1}{5} + \frac{5}{12} = \frac{18 - 12 + 25}{60} = \frac{31}{60}$.
3. $\frac{120}{169} \cdot \frac{13}{60} + \frac{200}{243} : \frac{100}{81} - \frac{1}{13} \cdot 10 = \frac{2}{13} + \frac{2}{3} - \frac{10}{13} = \frac{2}{3} - \frac{8}{13} = \frac{26 - 24}{39} = \frac{2}{39}$.
4. $\frac{125}{147} \cdot \frac{21}{50} - \frac{70}{119} \cdot \frac{17}{210} - \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{9} = \frac{5}{14} - \frac{1}{21} - \frac{1}{6} = \frac{15 - 2 - 7}{42} = \frac{6}{42} = \frac{1}{7}$.

Ответ: 1) $\frac{2}{3}$; 2) $\frac{31}{60}$; 3) $\frac{2}{39}$; 4) $\frac{1}{7}$.

№ 541

Выполни действия: 1) $1\frac{2}{9} : 3\frac{2}{3} + 4\frac{2}{5} : \left(\frac{7}{10} + 2\frac{3}{5}\right) - \left(\frac{3}{17} - 1\frac{16}{17} : 11\right)$; 2) $\frac{5}{6} + 2\frac{3}{4} : 4\frac{8}{9} \cdot 2\frac{2}{3} - 1\frac{2}{3} + \left(\frac{5}{38} \cdot 1\frac{1}{3} - \frac{10}{57}\right)$.

Как думать. Сначала скобки, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание. В обоих примерах одна скобка обращается в нуль.

Решение.

1. Разобран по шагам выше: $\frac{1}{3} + \frac{4}{3} - 0 = 1\frac{2}{3}$.
2. Скобка: $\frac{5}{38} \cdot \frac{4}{3} = \frac{10}{57}$; $\frac{10}{57} - \frac{10}{57} = 0$. Цепочка слева направо: $2\frac{3}{4} : 4\frac{8}{9} = \frac{11}{4} \cdot \frac{9}{44} = \frac{9}{16}$; $\frac{9}{16} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3}{2}$. Итог: $\frac{5}{6} + \frac{9}{6} - \frac{10}{6} + 0 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: 1) $1\frac{2}{3}$; 2) $\frac{2}{3}$.

№ 542

Найди площадь и периметр квадрата со стороной: 1) $\frac{3}{4}$ см; 2) $\frac{5}{6}$ см; 3) $\frac{9}{10}$ м; 4) $1\frac{2}{3}$ дм.

Как думать. $P = 4a$, $S = a \cdot a$.

Решение.

1. $P = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$ см; $S = \frac{9}{16}$ см².
2. $P = 4 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ см; $S = \frac{25}{36}$ см².
3. $P = 4 \cdot \frac{9}{10} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$ м; $S = \frac{81}{100}$ м².
4. $P = 4 \cdot \frac{5}{3} = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ дм; $S = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$ дм².

Ответ: 1) 3 см, $\frac{9}{16}$ см²; 2) $3\frac{1}{3}$ см, $\frac{25}{36}$ см²; 3) $3\frac{3}{5}$ м, $\frac{81}{100}$ м²; 4) $6\frac{2}{3}$ дм, $2\frac{7}{9}$ дм².

№ 543

Площадь прямоугольника $\frac{16}{75}$ м², ширина $\frac{4}{15}$ м. Найди периметр.

Решение.

1. Длина: $\frac{16}{75} : \frac{4}{15} = \frac{16}{75} \cdot \frac{15}{4} = \frac{4}{5}$ м.
2. Периметр: $2 \cdot \left(\frac{4}{5} + \frac{4}{15}\right) = 2 \cdot \frac{16}{15} = \frac{32}{15} = 2\frac{2}{15}$ м.

Ответ: $2\frac{2}{15}$ м.

№ 544

Придумай вопросы и реши: в одном ящике $4\frac{3}{5}$ кг орехов, в другом — в 5 раз больше.

Как думать. По этим данным можно спросить: сколько во втором ящике, сколько всего, на сколько во втором больше.

Решение.

1. Сколько орехов во втором ящике? $4\frac{3}{5} \cdot 5 = \frac{23}{5} \cdot 5 = 23$ кг.
2. Сколько орехов в двух ящиках? $4\frac{3}{5} + 23 = 27\frac{3}{5}$ кг.
3. На сколько во втором ящике больше? $23 - 4\frac{3}{5} = 18\frac{2}{5}$ кг.

Ответ: во втором 23 кг; всего $27\frac{3}{5}$ кг; во втором на $18\frac{2}{5}$ кг больше.

Уровень B

№ 545

Найди значения: 1) $\frac{28}{67} \cdot \left(a - 2\frac{11}{13} : b\right) : c$ при $a = 10\frac{11}{13}$, $b = \frac{1}{2}$, $c = 3\frac{1}{2}$; 2) $(12 : a + b) : 1\frac{1}{2} - c$ при $a = 3\frac{3}{5}$, $b = \frac{2}{3}$, $c = 1\frac{1}{3}$.

Как думать. Подставляем числа вместо букв и считаем по порядку действий.

Решение.

1. $2\frac{11}{13} : \frac{1}{2} = \frac{37}{13} \cdot 2 = \frac{74}{13} = 5\frac{9}{13}$; $10\frac{11}{13} - 5\frac{9}{13} = 5\frac{2}{13} = \frac{67}{13}$; $\frac{28}{67} \cdot \frac{67}{13} = \frac{28}{13}$; $\frac{28}{13} : \frac{7}{2} = \frac{28}{13} \cdot \frac{2}{7} = \frac{8}{13}$.
2. $12 : \frac{18}{5} = 12 \cdot \frac{5}{18} = \frac{10}{3}$; $\frac{10}{3} + \frac{2}{3} = 4$; $4 : \frac{3}{2} = \frac{8}{3}$; $\frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: 1) $\frac{8}{13}$; 2) $1\frac{1}{3}$.

№ 546

Реши уравнения: 1) $\left(y + \frac{5}{7}\right) \cdot \frac{1}{3} = 2\frac{4}{9}$; 2) $\left(\frac{5}{12} - x\right) : \frac{1}{2} = \frac{2}{9}$; 3) $\left(1\frac{16}{25} + x\right) - \frac{4}{5} = 4\frac{2}{25}$; 4) $\frac{4}{15} - \left(y + \frac{3}{25}\right) = \frac{1}{25}$; 5) $\left(8\frac{3}{14} - y\right) : \frac{3}{7} = 17$; 6) $3\frac{1}{16} : \left(x - \frac{5}{16}\right) = \frac{7}{8}$.

Как думать. Скобку считаем одним неизвестным «кирпичиком». Сначала находим скобку, потом — само неизвестное.

Решение.

1. $y + \frac{5}{7} = 2\frac{4}{9} : \frac{1}{3} = \frac{22}{9} \cdot 3 = \frac{22}{3}$; $y = \frac{22}{3} - \frac{5}{7} = \frac{154 - 15}{21} = \frac{139}{21} = 6\frac{13}{21}$.
2. $\frac{5}{12} - x = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{9}$; $x = \frac{15}{36} - \frac{4}{36} = \frac{11}{36}$.
3. $1\frac{16}{25} + x = 4\frac{2}{25} + \frac{20}{25} = 4\frac{22}{25}$; $x = 4\frac{22}{25} - 1\frac{16}{25} = 3\frac{6}{25}$.
4. $y + \frac{3}{25} = \frac{4}{15} - \frac{1}{25} = \frac{20 - 3}{75} = \frac{17}{75}$; $y = \frac{17}{75} - \frac{9}{75} = \frac{8}{75}$.
5. $8\frac{3}{14} - y = 17 \cdot \frac{3}{7} = \frac{51}{7} = 7\frac{4}{14}$; $y = 8\frac{3}{14} - 7\frac{4}{14} = \frac{17}{14} - \frac{4}{14} = \frac{13}{14}$.
6. $x - \frac{5}{16} = 3\frac{1}{16} : \frac{7}{8} = \frac{49}{16} \cdot \frac{8}{7} = \frac{7}{2} = \frac{56}{16}$; $x = \frac{56}{16} + \frac{5}{16} = \frac{61}{16} = 3\frac{13}{16}$.

Ответ: 1) $6\frac{13}{21}$; 2) $\frac{11}{36}$; 3) $3\frac{6}{25}$; 4) $\frac{8}{75}$; 5) $\frac{13}{14}$; 6) $3\frac{13}{16}$.

№ 547

Придумай вопросы и реши: верёвку длиной $16\frac{7}{10}$ м разрезали на 3 части. Первая часть $3\frac{3}{5}$ м, вторая — в 3 раза длиннее.

Как думать. Естественные вопросы: какова длина второй части? какова длина третьей?

Решение.

1. Какова длина второй части? $3\frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{18}{5} \cdot 3 = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5}$ м.
2. Какова длина третьей части? $16\frac{7}{10} - 3\frac{6}{10} - 10\frac{8}{10} = 13\frac{1}{10} - 10\frac{8}{10} = 2\frac{3}{10}$ м.

Ответ: вторая часть $10\frac{4}{5}$ м, третья — $2\frac{3}{10}$ м.

№ 548

В двух сосудах 35 л жидкости. В одном её в $1\frac{1}{3}$ раза меньше, чем в другом. Сколько литров в каждом?

Как думать. Если в первом в $1\frac{1}{3}$ раза меньше, то во втором в $1\frac{1}{3}$ раза больше, чем в первом.

Решение.

1. Пусть в меньшем $x$ л, тогда в большем $1\frac{1}{3}x$ л. Вместе: $2\frac{1}{3}x = 35$.
2. $x = 35 : \frac{7}{3} = 35 \cdot \frac{3}{7} = 15$ л.
3. В большем: $15 \cdot \frac{4}{3} = 20$ л. Проверка: $15 + 20 = 35$ ✓.

Ответ: 15 л и 20 л.

№ 549

Собственная скорость катера $15\frac{3}{5}$ км/ч, течение $1\frac{1}{2}$ км/ч. Найди скорость по течению и против. На сколько километров больше катер пройдёт за 3 ч по течению, чем против?

Как думать. По течению река помогает — скорости складываем, против — мешает, вычитаем. Разница скоростей — две скорости течения.

Решение.

1. По течению: $15\frac{3}{5} + 1\frac{1}{2} = 15\frac{6}{10} + 1\frac{5}{10} = 17\frac{1}{10}$ км/ч.
2. Против: $15\frac{6}{10} - 1\frac{5}{10} = 14\frac{1}{10}$ км/ч.
3. За 3 ч: $17\frac{1}{10} \cdot 3 = 51\frac{3}{10}$ км и $14\frac{1}{10} \cdot 3 = 42\frac{3}{10}$ км.
4. Разница: $51\frac{3}{10} - 42\frac{3}{10} = 9$ км.

Ответ: $17\frac{1}{10}$ км/ч; $14\frac{1}{10}$ км/ч; на 9 км.

№ 550

Автобус едет со скоростью 54 км/ч. Сколько он проедет за $t$ ч? Заполни таблицу для $t = \frac{1}{6}; \frac{1}{3}; \frac{1}{2}; 2; 3; 6$.

Как думать. Путь = скорость · время: $s = 54 \cdot t$.

Решение.

Ответ: 9; 18; 27; 108; 162; 324 км.

Уровень C

№ 551

Ателье шьёт 12 мужских костюмов. На брюки идёт $1\frac{1}{10}$ м ткани, на пиджак $2\frac{1}{5}$ м, на жилет $\frac{7}{10}$ м. Сколько ткани нужно?

Решение.

1. На один костюм: $1\frac{1}{10} + 2\frac{2}{10} + \frac{7}{10} = 3\frac{10}{10} = 4$ м.
2. На 12 костюмов: $4 \cdot 12 = 48$ м.

Ответ: 48 м.

№ 552

Верно ли, что значение выражения $1\frac{4}{5} + 4\frac{8}{23} \cdot 1\frac{29}{40} : 8\frac{1}{28} - 2\frac{1}{30}$, увеличенное в 150 раз, равно наименьшему трёхзначному числу?

Как думать. Наименьшее трёхзначное число — 100. Считаем выражение по порядку: сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание.

Решение.

1. $4\frac{8}{23} \cdot 1\frac{29}{40} = \frac{100}{23} \cdot \frac{69}{40} = \frac{15}{2}$.
2. $\frac{15}{2} : 8\frac{1}{28} = \frac{15}{2} \cdot \frac{28}{225} = \frac{14}{15}$.
3. $1\frac{4}{5} + \frac{14}{15} - 2\frac{1}{30} = \frac{54}{30} + \frac{28}{30} - \frac{61}{30} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}$.
4. $\frac{7}{10} \cdot 150 = 105$.

Ответ: неверно: получается 105, а не 100.

№ 553

Верно ли, что значение выражения $6\frac{6}{7} : 1\frac{47}{49} : \frac{8}{15} : 13\frac{1}{8} + 1\frac{1}{2}$: 1) увеличенное на $5\frac{1}{2}$, равно наименьшему простому двузначному числу; 2) увеличенное в $3\frac{1}{2}$ раза, равно наибольшему простому однозначному числу?

Как думать. Наименьшее простое двузначное число — 11, наибольшее простое однозначное — 7. Деления в цепочке выполняем слева направо.

Решение.

1. $\frac{48}{7} : \frac{96}{49} = \frac{48}{7} \cdot \frac{49}{96} = \frac{7}{2}$.
2. $\frac{7}{2} : \frac{8}{15} = \frac{7}{2} \cdot \frac{15}{8} = \frac{105}{16}$.
3. $\frac{105}{16} : 13\frac{1}{8} = \frac{105}{16} \cdot \frac{8}{105} = \frac{1}{2}$.
4. $\frac{1}{2} + 1\frac{1}{2} = 2$.
5. $2 + 5\frac{1}{2} = 7\frac{1}{2} \ne 11$ — неверно.
6. $2 \cdot 3\frac{1}{2} = 7$ — верно.

Ответ: значение выражения 2; 1) неверно ($7\frac{1}{2}$, а не 11); 2) верно (7).

Готовимся к следующей теме

№ 554

Найди число, седьмая часть которого равна 27; 38; 126.

Как думать. Одна седьмая часть известна — значит, всё число в 7 раз больше.

Решение. $27 \cdot 7 = 189$; $38 \cdot 7 = 266$; $126 \cdot 7 = 882$.

Ответ: 189; 266; 882.

№ 555

Длина прямоугольника 18 см, ширина — шестая часть длины. Найди периметр и площадь.

Решение.

1. Ширина: $18 : 6 = 3$ см.
2. Периметр: $2 \cdot (18 + 3) = 42$ см.
3. Площадь: $18 \cdot 3 = 54$ см².

Ответ: 42 см; 54 см².

Математика в профессии повара

№ 556

По таблице «сколько граммов продукта в стакане и в чайной ложке» и рецепту блинов на 1 кг (мука 350 г, яйцо 1 шт., маргарин 25 г, молоко или вода 580 г, сахар 20 г, соль 10 г, дрожжи 25 г): 1) какие продукты есть в таблице; 2) что удобнее мерить стаканом, а что ложкой; 3) сколько брать на $2\frac{1}{2}$ кг блинов.

Как думать. Блинов в $2\frac{1}{2}$ раза больше — каждого продукта тоже в $2\frac{1}{2}$ раза больше. Большие количества удобно мерить стаканом (беру стакан «до верха»), маленькие — чайной ложкой.

Решение.

1. В таблице есть: мука, молоко (вода), сахар, соль; маргарин можно считать «жиром». Яиц и дрожжей в таблице нет.
2. Стаканом удобно мерить муку и молоко, ложкой — сахар, соль и маргарин.
3. Пересчёт на $2\frac{1}{2}$ кг и перевод в стаканы и ложки:

Ответ: мука — около $5\frac{5}{6}$ стакана, молоко — $5\frac{4}{5}$ стакана, сахар — 10 ч. л., соль — около 4 ч. л., маргарин — $62\frac{1}{2}$ г (около $12\frac{1}{2}$ ч. л.).

🌟 Математика в жизни моей семьи: спроси маму или бабушку, по какому рецепту она печёт блины или баурсаки. Пересчитай его на гостей — на вдвое или в полтора раза больше порций.

Шпаргалка

• Сначала скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание.
• Действия одной ступени — слева направо.
• Каждое действие считай отдельной строчкой.
• Произведение с нулём равно нулю; на нуль делить нельзя.
• В уравнении со скобками сначала найди скобку целиком.

Мини-тест