§ 29. Нахождение дроби от числа и числа по его дроби

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 4: Текстовые задачи. Страницы 4–7.

Чему научишься

• Находить часть от числа: сколько минут — это $\frac{4}{9}$ урока.
• Находить целое по его части: какой длины кузнечик, если $\frac{3}{4}$ его — 3 см.
• Не путать, когда умножать на дробь, а когда делить.
• Составлять обратные задачи и проверять ими себя.

Разминка

Это задания № 554 и № 555 из прошлого урока. Реши в уме.

• Одна седьмая числа равна 27. Что это за число? $27 \cdot 7 = $ 189.
• А если одна седьмая числа равна 38? 126? $38 \cdot 7 = $ 266, $126 \cdot 7 = $ 882.
• Длина прямоугольника 18 см, ширина — одна шестая длины. Какая ширина? $18 : 6 = $ 3 см.
• Какие у него периметр и площадь? $P = 2 \cdot (18 + 3) = $ 42 см, $S = 18 \cdot 3 = $ 54 см².

💡 Заметил? Чтобы найти часть, мы делили. Чтобы найти целое по части — умножали. Сегодня то же самое, только части будут любые: $\frac{4}{9}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{5}$.

Разбираемся

Сколько минут ты работаешь сам

Урок идёт 45 минут. Самостоятельная работа заняла $\frac{4}{9}$ урока. Сколько это минут?

Одна девятая урока — это $45 : 9 = 5$ минут. А четыре девятых — в 4 раза больше: $5 \cdot 4 = 20$ минут.

То же самое можно сделать одним действием — умножить число на дробь:

$45 \cdot \frac{4}{9} = \frac{45 \cdot 4}{9} = 5 \cdot 4 = 20$ (мин).

📌 Чтобы найти дробь от числа, умножь число на эту дробь.

Какой длины кузнечик

Майский жук длиной 3 см. Это $\frac{3}{4}$ длины кузнечика. Здесь всё наоборот: часть известна, а целое — нет.

Три четверти — 3 см, значит, одна четверть — $3 : 3 = 1$ см. А весь кузнечик — 4 четверти: $1 \cdot 4 = 4$ см.

Одним действием это деление на дробь:

$3 : \frac{3}{4} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4$ (см).

📌 Чтобы найти число по его дроби, раздели на эту дробь то число, которое ей соответствует.

Как не перепутать

Задай себе вопрос: что я ищу — часть или целое?

⚠️ Частая ошибка. Видят «$\frac{3}{4}$» и сразу умножают: $3 \cdot \frac{3}{4} = 2\frac{1}{4}$ см. Кузнечик вышел короче жука! Проверяй здравым смыслом: целое всегда больше своей части (если дробь меньше 1).

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка нарисовать к задаче полоску и подписать, что известно: вся полоска или закрашенный кусок. После картинки вопрос «умножать или делить» решается сам.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как найти дробь от данного числа? Умножить число на эту дробь. Например, $\frac{3}{5}$ от 20 — это $20 \cdot \frac{3}{5} = 12$.
• Как найти число по его дроби? Разделить на дробь число, которое ей соответствует. Если $\frac{3}{5}$ числа равны 12, то число — $12 : \frac{3}{5} = 20$.

Решаем упражнения

Уровень A

В № 557–561 нужно ещё составить по две обратные задачи. Обратная задача — когда то, что было ответом, становится данным, а одно из данных надо найти.

№ 557

Машина проехала 160 км — это $\frac{4}{5}$ всего пути. Сколько километров ей ещё ехать?

Как думать. 160 км — это часть пути. Значит, сначала ищем целое делением, а потом вычитаем.

Решение.

1. Весь путь: $160 : \frac{4}{5} = 160 \cdot \frac{5}{4} = 200$ (км).
2. Осталось: $200 - 160 = 40$ (км).

Обратная задача 1. Путь 200 км. Машина проехала $\frac{4}{5}$ пути. Сколько она проехала? $200 \cdot \frac{4}{5} = 160$ км.

Обратная задача 2. Путь 200 км, машина проехала 160 км. Какую часть пути она проехала? $\frac{160}{200} = \frac{4}{5}$.

Ответ: 40 км.

№ 558

Волк весит 60 кг, барсук — $\frac{2}{5}$ массы волка. Найди массу барсука.

Как думать. Целое (волк) известно, ищем часть — умножаем.

Решение. $60 \cdot \frac{2}{5} = \frac{60 \cdot 2}{5} = 24$ (кг).

Обратная задача 1. Барсук весит 24 кг — это $\frac{2}{5}$ массы волка. Сколько весит волк? $24 : \frac{2}{5} = 60$ кг.

Обратная задача 2. Волк весит 60 кг, барсук — 24 кг. Какую часть массы волка составляет барсук? $\frac{24}{60} = \frac{2}{5}$.

Ответ: 24 кг.

№ 559

Озеро Балхаш длиной 600 км. Длина озера Зайсан — $\frac{1}{6}$ длины Балхаша. Какова длина Зайсана?

Как думать. Ищем часть от известного целого.

Решение. $600 \cdot \frac{1}{6} = 100$ (км).

Обратная задача 1. Зайсан длиной 100 км — это $\frac{1}{6}$ Балхаша. Какой длины Балхаш? $100 : \frac{1}{6} = 600$ км.

Обратная задача 2. Балхаш — 600 км, Зайсан — 100 км. Какую часть Балхаша составляет Зайсан? $\frac{100}{600} = \frac{1}{6}$.

Ответ: 100 км.

🌟 Балхаш — удивительное озеро: его западная часть пресная, а восточная — солоноватая. Таких озёр на планете очень мало.

№ 560

Рябине 100 лет — это $\frac{2}{3}$ продолжительности жизни берёзы. Сколько живёт берёза?

Как думать. 100 лет — часть жизни берёзы. Ищем целое — делим на дробь.

Решение. $100 : \frac{2}{3} = 100 \cdot \frac{3}{2} = 150$ (лет).

Обратная задача 1. Берёза живёт 150 лет, рябина — $\frac{2}{3}$ этого срока. Сколько живёт рябина? $150 \cdot \frac{2}{3} = 100$ лет.

Обратная задача 2. Рябина живёт 100 лет, берёза — 150 лет. Какую часть жизни берёзы составляет жизнь рябины? $\frac{100}{150} = \frac{2}{3}$.

Ответ: 150 лет.

№ 561

Утром в музее было 27 школьников, после обеда — $\frac{1}{3}$ от этого числа. Сколько школьников пришло после обеда?

Решение. $27 \cdot \frac{1}{3} = 9$ (школьников).

Обратная задача 1. После обеда пришло 9 школьников — это $\frac{1}{3}$ утренних. Сколько было утром? $9 : \frac{1}{3} = 27$.

Обратная задача 2. Утром 27 школьников, после обеда 9. Какую часть утренних составляют послеобеденные? $\frac{9}{27} = \frac{1}{3}$.

Ответ: 9 школьников.

№ 562

В парке 639 деревьев. Берёзы — $\frac{7}{9}$ всех деревьев, остальные — клёны. Сколько берёз и сколько клёнов?

Как думать. Берёзы — часть от 639. Клёны — всё остальное.

Решение.

1. Берёз: $639 \cdot \frac{7}{9} = 71 \cdot 7 = 497$.
2. Клёнов: $639 - 497 = 142$.

Ответ: 497 берёз и 142 клёна.

№ 563

Скорпион длиной до 18 см — это $\frac{1}{6}$ длины его древних предков, ракоскорпионов. Какой длины был ракоскорпион?

Как думать. 18 см — часть. Ищем целое.

Решение. $18 : \frac{1}{6} = 18 \cdot 6 = 108$ (см).

Ответ: 108 см — больше метра!

№ 564

Хвоя сосны меняется раз в 2 года — это от $\frac{1}{3}$ до $\frac{2}{5}$ срока жизни хвои ели. Сколько лет живёт хвоя ели?

Как думать. 2 года — часть срока ели, причём часть «плавает». Найдём целое для каждой дроби.

Решение.

1. Если 2 года — это $\frac{1}{3}$: $2 : \frac{1}{3} = 6$ (лет).
2. Если 2 года — это $\frac{2}{5}$: $2 : \frac{2}{5} = 2 \cdot \frac{5}{2} = 5$ (лет).

Ответ: от 5 до 6 лет.

№ 565

Ворона летит со скоростью 50 км/ч — это $\frac{5}{9}$ скорости утки. Скорость утки — $\frac{5}{7}$ скорости чайки. Найди скорость чайки.

Как думать. Идём по цепочке: от вороны к утке, от утки к чайке. Оба раза ищем целое по части.

Решение.

1. Утка: $50 : \frac{5}{9} = 50 \cdot \frac{9}{5} = 90$ (км/ч).
2. Чайка: $90 : \frac{5}{7} = 90 \cdot \frac{7}{5} = 126$ (км/ч).

Ответ: 126 км/ч.

Уровень B

№ 566

Поезд шёл 3 ч по 40 км в час и прошёл $\frac{1}{5}$ пути. Какой длины весь путь?

Решение.

1. За 3 ч поезд прошёл $40 \cdot 3 = 120$ (км).
2. Это $\frac{1}{5}$ пути, значит, весь путь: $120 : \frac{1}{5} = 600$ (км).

Ответ: 600 км.

№ 567

Рулон обоев — 25 м. На обрезки ушла $\frac{1}{25}$ каждого рулона. Сколько сантиметров обрезков с одного рулона?

Как думать. Ищем часть от 25 м, а ответ нужен в сантиметрах — не забудь перевести.

Решение. $25 \cdot \frac{1}{25} = 1$ (м) $= 100$ см.

Ответ: 100 см.

№ 568

Сначала израсходовали $\frac{2}{5}$ проволоки, потом — $\frac{7}{10}$ от остатка. Какая часть проволоки осталась?

Как думать. Вся проволока — 1. Важно: вторая дробь берётся не от всей проволоки, а от остатка.

Решение.

1. После первого раза осталось: $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.
2. Второй раз израсходовали: $\frac{3}{5} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{50}$.
3. Осталось: $\frac{3}{5} - \frac{21}{50} = \frac{30}{50} - \frac{21}{50} = \frac{9}{50}$.

Ответ: $\frac{9}{50}$ проволоки.

⚠️ Частая ошибка. Складывают $\frac{2}{5} + \frac{7}{10} = \frac{11}{10}$ — больше целой проволоки! Это сигнал: вторая дробь считается от остатка.

№ 569

От рулона ткани отрезали $\frac{1}{4}$, потом ещё $\frac{1}{4}$ от остатка. Какая часть ткани осталась? Отрезали больше половины или меньше?

Решение.

1. После первого раза осталось $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
2. Второй раз отрезали $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$.
3. Осталось $\frac{3}{4} - \frac{3}{16} = \frac{12}{16} - \frac{3}{16} = \frac{9}{16}$.
4. Отрезали $1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$. Половина — это $\frac{8}{16}$, значит, отрезали меньше половины.

Ответ: осталось $\frac{9}{16}$; отрезали меньше половины.

№ 570

Привезли 60 коробок кружек по 6 штук в каждой. Пиал — $\frac{1}{3}$ от числа кружек. Сколько пиал?

Решение.

1. Кружек: $60 \cdot 6 = 360$.
2. Пиал: $360 \cdot \frac{1}{3} = 120$.

Ответ: 120 пиал.

№ 571

Посадили 6 кустов акации — это $\frac{1}{7}$ числа кустов шиповника. Жасмина — на 9 кустов больше, чем акации и шиповника вместе. Сколько кустов жасмина?

Решение.

1. Шиповника: $6 : \frac{1}{7} = 42$ куста.
2. Акации и шиповника вместе: $6 + 42 = 48$.
3. Жасмина: $48 + 9 = 57$.

Ответ: 57 кустов.

№ 572

В Красной книге Северо-Казахстанской области 12 видов зверей. Зайцеобразные — $\frac{1}{6}$ из них, парнокопытные — $\frac{1}{3}$. Сколько видов тех и других?

Решение.

1. Зайцеобразных: $12 \cdot \frac{1}{6} = 2$ вида.
2. Парнокопытных: $12 \cdot \frac{1}{3} = 4$ вида.

Ответ: 2 вида зайцеобразных и 4 вида парнокопытных.

Уровень C

№ 573

Трава при сушке теряет $\frac{2}{3}$ массы. Сколько тонн сена выйдет из $5\frac{1}{4}$ т травы?

Как думать. Если ушло $\frac{2}{3}$, то осталась $\frac{1}{3}$. Сено — это $\frac{1}{3}$ травы.

Решение.

1. Остаётся $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ массы.
2. Сена: $5\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{21}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$ (т).

Ответ: $1\frac{3}{4}$ т.

№ 574

Сахарный песок при переработке в рафинад теряет $\frac{2}{5}$ массы. Сколько песка нужно на 26 кг рафинада?

Как думать. Рафинад — это то, что осталось, то есть $\frac{3}{5}$ песка. Ищем целое по части.

Решение.

1. Остаётся $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ массы.
2. Песка: $26 : \frac{3}{5} = 26 \cdot \frac{5}{3} = \frac{130}{3} = 43\frac{1}{3}$ (кг).

Ответ: $43\frac{1}{3}$ кг.

№ 575

Луг — $\frac{4}{9}$ земли хозяйства, пашня — $\frac{3}{7}$, остальное — лес. Луг больше пашни на 20 га. Найди площадь всей земли и площадь леса.

Как думать. Задача повышенной трудности. 20 га — это не луг и не пашня, а разница между ними. Найдём, какую долю земли составляет эта разница.

Решение.

1. $\frac{4}{9} - \frac{3}{7} = \frac{1}{63}$ — эта доля равна 20 га.
2. Вся земля: $20 : \frac{1}{63} = 1260$ (га).
3. Лес: $1 - \frac{4}{9} - \frac{3}{7} = \frac{8}{63}$; $1260 \cdot \frac{8}{63} = 160$ (га).

Проверка: луг $1260 \cdot \frac{4}{9} = 560$ га, пашня $1260 \cdot \frac{3}{7} = 540$ га, разница 20 га ✓; $560 + 540 + 160 = 1260$ ✓.

Ответ: 1260 га; лес — 160 га.

Математика в профессии повара

№ 576

По рецепту выходит 16 бауырсаков: мука 500 г, молоко $\frac{3}{10}$, масло 20 г, дрожжи 20 г, сахар 1 ст. л., соль 1 ч. л., вода $\frac{1}{20}$, яйцо 1 шт. Нужно испечь бауырсаки на 12 человек, по 4 штуки на каждого. Составь таблицу продуктов, узнай цены и посчитай стоимость.

Как думать. Сначала узнаём, сколько бауырсаков нужно и во сколько раз это больше, чем по рецепту. Потом каждый продукт умножаем на это число.

Решение.

1. Нужно бауырсаков: $12 \cdot 4 = 48$ штук.
2. Это больше рецепта в $48 : 16 = 3$ раза. Каждый продукт берём втрое больше.

3. Цены у каждого свои — узнай их в ближайшем магазине. Пример (цены примерные): мука 1 кг 500 г — 450 тг; молоко около 1 л — 450 тг; масло 60 г — 250 тг; дрожжи 60 г — 200 тг; 3 яйца — 180 тг; сахар и соль — около 30 тг. Итого: $450 + 450 + 250 + 200 + 180 + 30 = 1560$ тг.

Ответ: каждого продукта нужно втрое больше, чем в рецепте (таблица выше); стоимость зависит от цен, в нашем примере — около 1560 тг.

🌟 Математика в жизни семьи. Испеките бауырсаки вместе! Пусть ребёнок сам пересчитает рецепт на вашу семью: сколько человек, сколько штук на каждого, во сколько раз больше рецепта.

Готовимся к следующей теме

№ 577

1) Один оператор набирает 42 страницы за 3 ч, другой — за 6 ч. За сколько часов они наберут текст вдвоём? 2) Бассейн на 60 м³ первая труба наполняет за 3 ч, вторая — за 2 ч. За сколько часов наполнят обе?

Как думать. Узнаём, сколько каждый делает за 1 час, складываем — и делим всю работу на общую скорость.

Решение.

1. Первый оператор: $42 : 3 = 14$ страниц в час. Второй: $42 : 6 = 7$ страниц в час. Вместе: $14 + 7 = 21$ страница в час. Время: $42 : 21 = 2$ (ч).

2. Первая труба: $60 : 3 = 20$ м³ в час. Вторая: $60 : 2 = 30$ м³ в час. Вместе: 50 м³ в час. Время: $60 : 50 = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ (ч) — это 1 ч 12 мин.

Ответ: 1) 2 ч; 2) $1\frac{1}{5}$ ч.

№ 578

Между сёлами 30 км. Один мотоциклист проезжает этот путь за 45 мин, другой — за 36 мин. Через сколько минут они встретятся, если выедут навстречу друг другу одновременно?

Решение.

1. Скорость первого: $30 : 45 = \frac{2}{3}$ км в минуту.
2. Скорость второго: $30 : 36 = \frac{5}{6}$ км в минуту.
3. Скорость сближения: $\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ км в минуту.
4. Время до встречи: $30 : \frac{3}{2} = 30 \cdot \frac{2}{3} = 20$ (мин).

Ответ: через 20 мин.

Шпаргалка

• Дробь от числа: $a \cdot \frac{m}{n}$.
• Число по дроби: $b : \frac{m}{n}$.
• Ищешь часть — умножай. Ищешь целое — дели.
• «Потеряло $\frac{2}{5}$» значит «осталось $\frac{3}{5}$».
• Проверяй ответ обратной задачей.

Мини-тест