§ 30. Задачи на совместную работу

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 4: Текстовые задачи. Страницы 8–11.

Чему научишься

• Находить производительность: какую часть работы делают за 1 час или 1 день.
• Принимать всю работу за 1, если её объём не назван.
• Решать задачи «вдвоём быстрее»: трубы, мастера, экскаваторы.
• Решать задачи на встречное движение, когда известно только время в пути.

Разминка

Это задания № 577 и № 578 из прошлого урока. Вспомни, как мы их решали.

• Оператор набирает 42 страницы за 3 ч. Сколько страниц в час? $42 : 3 = $ 14.
• Второй набирает те же 42 страницы за 6 ч. Сколько в час? $42 : 6 = $ 7.
• Сколько страниц в час наберут вдвоём? И за сколько часов весь текст? $14 + 7 = 21$ страница в час, $42 : 21 = $ 2 ч.
• Бассейн 60 м³: первая труба — за 3 ч, вторая — за 2 ч. Вместе? $20 + 30 = 50$ м³ в час, $60 : 50 = $ $1\frac{1}{5}$ ч.
• Мотоциклисты едут навстречу по дороге 30 км: один за 45 мин, другой за 36 мин. Когда встретятся? Через 20 мин.

💡 Во всех задачах одна схема: узнай, сколько делает каждый за единицу времени, сложи — и раздели всю работу на сумму.

Разбираемся

Что такое производительность

Производительность — это сколько работы делают за единицу времени: за 1 час, 1 минуту, 1 день. Оператор набирает 14 страниц в час — это его производительность.

📌 Работа = производительность · время. Отсюда: время = работа : производительность, производительность = работа : время.

Когда всё вместе быстрее

Посмотри на бассейн из разминки. Первая труба льёт по 20 м³ в час, вторая — по 30 м³, вдвоём — по 50 м³. Нажимай на точки графиков.

Чем круче идёт линия, тем быстрее работа. Линия «вместе» самая крутая: до 60 м³ она добирается всего за $1\frac{1}{5}$ ч.

А если объём не сказали?

Часто в задаче написано просто: «Бассейн наполняется первой трубой за 3 ч, второй — за 2 ч». А сколько в нём кубометров — молчок.

Не беда! Примем весь бассейн за 1. Тогда:

Время вместе: $1 : \frac{5}{6} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$ ч. Ответ тот же, что и для 60 м³! Объём бассейна на ответ не влияет.

📌 Если объём работы не указан, его принимают за 1.

⚠️ Частая ошибка. Складывают время: $3 + 2 = 5$ ч. Но вдвоём работа идёт быстрее, а не медленнее! Складывать нужно производительности, а не часы. Проверка: время вместе всегда меньше, чем у самого быстрого.

Навстречу друг другу

Тот же приём работает для движения. Один мотоциклист едет от села до села 45 мин, другой — 36 мин. Длину дороги примем за 1.

1. Скорость первого: $1 : 45 = \frac{1}{45}$ дороги в минуту.
2. Скорость второго: $1 : 36 = \frac{1}{36}$ дороги в минуту.
3. Скорость сближения: $\frac{1}{45} + \frac{1}{36} = \frac{4}{180} + \frac{5}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}$.
4. Время до встречи: $1 : \frac{1}{20} = 20$ мин.

👨‍👩‍👧 Родителю. Приведите домашний пример: «Ты моешь посуду за 30 минут, я — за 15. Вдвоём — за сколько?» ($\frac{1}{30} + \frac{1}{15} = \frac{1}{10}$, за 10 минут.) Пусть ребёнок сам проговорит, почему не 45 минут.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что такое производительность? Объём работы, который выполняют за единицу времени (за час, минуту, день).
• Как узнать объём работы за какое-то время, зная производительность? Умножить производительность на время. Например, $\frac{1}{6}$ работы в день за 4 дня — это $\frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{2}{3}$ работы.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 579

Мастер делает всю работу за 3 ч, и это $\frac{1}{2}$ времени, которое нужно ученику. Какую часть работы каждый делает за 1 ч? А вместе? За сколько часов они сделают всю работу вдвоём?

Как думать. Сначала найдём время ученика (это задача на число по дроби), потом производительности.

Решение.

1. Время ученика: $3 : \frac{1}{2} = 6$ (ч).
2. Мастер за 1 ч: $\frac{1}{3}$ работы. Ученик: $\frac{1}{6}$ работы.
3. Вместе за 1 ч: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ работы.
4. Вся работа вместе: $1 : \frac{1}{2} = 2$ (ч).

Ответ: мастер — $\frac{1}{3}$, ученик — $\frac{1}{6}$, вместе — $\frac{1}{2}$ работы за час; вдвоём — за 2 ч.

№ 580

Две грейдерные машины выравнивают дорогу. Первая сделает всю работу за 36 дней, вторая — за 45 дней. Придумай вопрос и реши задачу.

Как думать. Самый естественный вопрос: «За сколько дней они выровняют дорогу, если будут работать вместе?»

Решение.

1. Первая за день: $\frac{1}{36}$ дороги. Вторая: $\frac{1}{45}$.
2. Вместе за день: $\frac{1}{36} + \frac{1}{45} = \frac{5}{180} + \frac{4}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}$.
3. Время: $1 : \frac{1}{20} = 20$ (дней).

Ответ: вопрос «за сколько дней выровняют вместе?»; 20 дней.

№ 581

Грузовик проезжает путь между пунктами за 9 ч, легковая — за 6 ч. Через сколько часов они встретятся, если выедут навстречу друг другу одновременно?

Решение.

1. Путь — 1. Грузовик за час: $\frac{1}{9}$, легковая: $\frac{1}{6}$.
2. Сближение за час: $\frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{2}{18} + \frac{3}{18} = \frac{5}{18}$.
3. Время: $1 : \frac{5}{18} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$ (ч) — это 3 ч 36 мин.

Ответ: через $3\frac{3}{5}$ ч.

№ 582

Два автомата за 3 мин закрывают 567 банок, причём первый за минуту закрывает на 9 банок больше второго. 1) Сколько банок в минуту закрывает каждый? 2) За сколько минут они вместе закроют 3780 банок?

Как думать. Здесь объём работы известен — 567 банок. Найдём общую производительность, а потом разделим её на две части с разницей 9.

Решение.

1. Вместе за минуту: $567 : 3 = 189$ банок.
2. Если убрать разницу: $189 - 9 = 180$ — это два одинаковых «вторых». Второй: $180 : 2 = 90$ банок в минуту.
3. Первый: $90 + 9 = 99$ банок в минуту.
4. 3780 банок: $3780 : 189 = 20$ (мин).

Ответ: 1) 99 и 90 банок в минуту; 2) за 20 мин.

№ 583

Катер проходит по озеру от пристани до пристани за 18 мин, лодка — за 36 мин. Через сколько минут они встретятся, выйдя навстречу друг другу одновременно?

Решение.

1. Катер за минуту: $\frac{1}{18}$ пути, лодка: $\frac{1}{36}$.
2. Сближение: $\frac{1}{18} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
3. Время: $1 : \frac{1}{12} = 12$ (мин).

Ответ: через 12 мин.

Уровень B

№ 584

Три экскаватора роют котлован: первый в одиночку — за 10 дней, второй — за 12, третий — за 15. За сколько дней выроют вместе?

Решение.

1. За день: $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{15}$ котлована.
2. Вместе: $\frac{6}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$.
3. Время: $1 : \frac{1}{4} = 4$ (дня).

Ответ: за 4 дня.

№ 585

Первая швея выполнит заказ за 20 дней. Второй нужно $\frac{3}{5}$ этого времени, третьей — в $2\frac{1}{2}$ раза больше, чем второй. За сколько дней сделают заказ все трое вместе?

Как думать. Время второй и третьей швеи надо сначала вычислить. Дальше — как обычно.

Решение.

1. Вторая: $20 \cdot \frac{3}{5} = 12$ (дней). Третья: $12 \cdot 2\frac{1}{2} = 30$ (дней).
2. Вместе за день: $\frac{1}{20} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} = \frac{1}{6}$.
3. Время: $1 : \frac{1}{6} = 6$ (дней).

Ответ: за 6 дней.

Уровень C

№ 586

Аквариум наполняется двумя кранами за 5 ч, одним первым краном — за 6 ч. За сколько часов наполнит аквариум один второй кран?

Как думать. Здесь наоборот: известна общая производительность. Вычитаем из неё первый кран — остаётся второй.

Решение.

1. Оба крана за час: $\frac{1}{5}$ аквариума. Первый: $\frac{1}{6}$.
2. Второй: $\frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}$.
3. Время: $1 : \frac{1}{30} = 30$ (ч).

Ответ: за 30 ч.

№ 587

Два трактора вспахали поле за 6 ч. Первый один вспахал бы его за 15 ч. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Вопрос: «За сколько часов вспахал бы поле один второй трактор?» Решаем, как № 586.

Решение.

1. Вместе за час: $\frac{1}{6}$ поля. Первый: $\frac{1}{15}$.
2. Второй: $\frac{1}{6} - \frac{1}{15} = \frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$.
3. Время второго: $1 : \frac{1}{10} = 10$ (ч).

Ответ: вопрос «за сколько часов вспашет второй трактор?»; 10 ч.

№ 588

Бассейн наполняется через две трубы за $3\frac{1}{3}$ ч, через одну первую — за 6 ч. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Время вместе — смешанное число. Чтобы найти общую производительность, делим 1 на $3\frac{1}{3}$.

Решение.

1. Вместе за час: $1 : \frac{10}{3} = \frac{3}{10}$.
2. Вторая труба: $\frac{3}{10} - \frac{1}{6} = \frac{2}{15}$.
3. Время: $1 : \frac{2}{15} = 7\frac{1}{2}$ (ч).

Ответ: вопрос «за сколько часов наполнит бассейн вторая труба?»; $7\frac{1}{2}$ ч.

№ 589

Первая бригада сажала деревья 10 дней. Вторая работает в $1\frac{1}{2}$ раза медленнее. Придумай вопрос и реши.

Как думать. «В $1\frac{1}{2}$ раза медленнее» значит: та же работа займёт в $1\frac{1}{2}$ раза больше времени. Вопрос: «За сколько дней посадят деревья обе бригады вместе?»

Решение.

1. Время второй: $10 \cdot 1\frac{1}{2} = 15$ (дней).
2. Вместе за день: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.
3. Время: $1 : \frac{1}{6} = 6$ (дней).

Ответ: вопрос «за сколько дней справятся вместе?»; 6 дней.

🌟 В Казахстане весной проходят субботники: сажают деревья целыми классами. Подумай, как здесь работает наша формула: чем больше людей, тем больше общая производительность.

Готовимся к следующей теме

№ 590

Заполни таблицу: 1 а = … м², 1 га = … м², 1 м³ = … дм³.

Решение. Ар — квадрат 10 м на 10 м: 100 м². Гектар — квадрат 100 м на 100 м: 10 000 м². Кубометр — куб 10 дм на 10 дм на 10 дм: 1000 дм³.

Ответ: 1 а = 100 м²; 1 га = 10 000 м²; 1 м³ = 1000 дм³.

№ 591

Вставь числа: 4230 м = … км … м; 37 980 кг = … ц … кг.

Решение. 1 км = 1000 м, поэтому 4230 м = 4 км 230 м. 1 ц = 100 кг, поэтому 37 980 кг = 379 ц 80 кг.

Ответ: 4 км 230 м; 379 ц 80 кг.

№ 592

Сравни: 1) 499 ц и 4 т 99 ц; 2) 6 дм² и 6000 см².

Как думать. Переводим всё в одни единицы.

Решение.

1. 4 т 99 ц = 40 ц + 99 ц = 139 ц. 499 ц > 139 ц.
2. 6 дм² = 600 см². 600 см² < 6000 см².

Ответ: 1) 499 ц > 4 т 99 ц; 2) 6 дм² < 6000 см².

№ 593

Вычисли: 1) 821 400 мм + 218 600 мм − 7 м; 2) 200 т + 30 т · 3 − 19 000 кг.

Решение.

1. $821,400 + 218,600 = 1,040,000$ мм = 1040 м. $1040 - 7 = 1033$ м.
2. $30 \cdot 3 = 90$ т; $200 + 90 = 290$ т; 19 000 кг = 19 т; $290 - 19 = 271$ т.

Ответ: 1) 1033 м; 2) 271 т.

Шпаргалка

• Один делает работу за $a$ ч — за час он делает $\frac{1}{a}$ работы.
• Вместе за час: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$.
• Время вместе: $1 : \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$.
• Известно «вместе» и «первый» — вычитаем, чтобы найти второго.
• Время вместе всегда меньше, чем у самого быстрого.

Мини-тест