§ 4. Арифметические действия с натуральными числами

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 1: Натуральные числа и нуль. Страницы 21–25.

Чему научишься

• Без ошибок расставлять порядок действий в длинном примере.
• Складывать и умножать «хитро», чтобы получались круглые числа.
• Пользоваться парами-волшебниками $2 \cdot 5$, $4 \cdot 25$, $8 \cdot 125$.
• Решать задачи в несколько действий.

Разминка

Это вопросы № 40 из прошлого урока. Вспоминаем свойства действий.

• Изменится ли сумма, если поменять слагаемые местами? Нет: $5 + 8 = 8 + 5$. Это переместительное свойство.
• В каком порядке можно сложить три числа? В любом: $(17 + 25) + 75 = 17 + (25 + 75) = 117$. Это сочетательное свойство.
• Чему равно $a + 0$? А $a - a$? $a + 0 = a$, а $a - a = 0$.
• Сколько будет $1 \cdot 999$ и $0 \cdot 999$? $1 \cdot 999 = 999$, а $0 \cdot 999 = 0$.
• Как умножить сумму на число? Умножить каждое слагаемое и сложить: $(10 + 3) \cdot 4 = 40 + 12 = 52$.

💡 Эти правила — не скучная теория. Сегодня они станут твоими «читами» для быстрого счёта.

Разбираемся

Кто ходит первым

Пример похож на очередь в столовой: у каждого действия своё место. Правила простые:

1. Сначала то, что в скобках.
2. Потом умножение и деление — слева направо.
3. В конце сложение и вычитание — слева направо.

Сравни два примера. Числа одинаковые, а ответы разные — всё из-за скобок:

• $24 \cdot 25 - (23 + 100 : 20) = 600 - (23 + 5) = 600 - 28 = 572$;
• $24 \cdot 25 - 23 + 100 : 20 = 600 - 23 + 5 = 582$.

⚠️ Частая ошибка. В примере $600 - 23 + 5$ некоторые сначала складывают $23 + 5$ и вычитают 28. Так нельзя! Без скобок сложение и вычитание идут строго слева направо: $600 - 23 = 577$, потом $577 + 5 = 582$.

Длинный пример по шагам

Вот пример посерьёзнее: $400,322 : (306 - 133) - 476,684 : 206 + 906$. Нажимай на шаги.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед вычислениями пронумеровать действия карандашом над знаками. Это 10 секунд, а ошибок становится вдвое меньше.

Хитрости быстрого счёта

Переставляй, чтобы выходили круглые числа. В сумме $4289 + 267 + 311 + 5333$ удобно сложить пары: $4289 + 311 = 4600$ и $267 + 5333 = 5600$. Дальше легко: $4600 + 5600 = 10,200$.

Дели слагаемое на части. $286 + 78$: «отщипни» от 78 кусочек 14, чтобы получить 300. $286 + 14 + 64 = 300 + 64 = 364$.

Запомни три пары.

📌 $2 \cdot 5 = 10$; $4 \cdot 25 = 100$; $8 \cdot 125 = 1000$. Увидел такую пару в произведении — перемножь её первой.

Например, $25 \cdot 36 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 36 = 100 \cdot 36 = 3600$. А $62 \cdot 5 = 31 \cdot 2 \cdot 5 = 31 \cdot 10 = 310$.

🌟 Продавцы на базаре считают так постоянно. Четыре дыни по 250 тенге? $4 \cdot 250 = 1000$ — ровно тысяча, сдачу давать не надо!

Проверь, как понял

Проверь себя

• Всегда ли нужно складывать несколько слагаемых в том порядке, как они записаны? Нет. Слагаемые можно переставлять и группировать как удобно — сумма не изменится. Так проще получать круглые числа.
• Всегда ли первыми выполняют действия в скобках? Если считаем по порядку — да. Но иногда скобки выгодно раскрыть или перегруппировать по свойствам действий: например, $4 \cdot (25 \cdot 7) = (4 \cdot 25) \cdot 7$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 41

Сложи, разбивая одно слагаемое на части: 1) $279 + 56$; 2) $313 + 88$; 3) $577 + 44$; 4) $94 + 628$; 5) $181 + 438$; 6) $166 + 255$; 7) $1205 + 796$; 8) $2088 + 233$.

Как думать. Смотрим, сколько одному числу не хватает до круглого, и берём это из другого.

Решение.

1. $279 + 21 + 35 = 300 + 35 = 335$;
2. $313 + 87 + 1 = 400 + 1 = 401$;
3. $577 + 23 + 21 = 600 + 21 = 621$;
4. $628 + 72 + 22 = 700 + 22 = 722$;
5. $181 + 19 + 419 = 200 + 419 = 619$;
6. $166 + 34 + 221 = 200 + 221 = 421$;
7. $796 + 4 + 1201 = 800 + 1201 = 2001$;
8. $2088 + 12 + 221 = 2100 + 221 = 2321$.

Ответ: 335; 401; 621; 722; 619; 421; 2001; 2321.

№ 42

В 2015 году в городах жили около 9647 тыс. человек — на 1854 тыс. больше, чем в сёлах. Сколько всего людей жило в республике?

Как думать. «На 1854 больше» — значит, сельских жителей на 1854 тыс. меньше, чем городских.

Решение.

1. Сельское население: $9647 - 1854 = 7793$ тыс.
2. Всё население: $9647 + 7793 = 17,440$ тыс.

Ответ: около 17 440 тыс. человек.

№ 43

На севере Казахстана 21 580 озёр общей площадью 15 623 км², в центре и на юге — 17 554 озера площадью 4658 км². Придумай вопрос и реши задачу.

Как думать. По двум парам чисел можно спросить «сколько всего» или «на сколько больше».

Решение. Вопрос 1: сколько всего озёр? $21,580 + 17,554 = 39,134$. Вопрос 2: какова их общая площадь? $15,623 + 4658 = 20,281$ км². Можно спросить и так: на сколько на севере озёр больше? $21,580 - 17,554 = 4026$.

Ответ: 39 134 озера; 20 281 км² (и на 4026 озёр больше на севере).

№ 44

Не считая, сравни: 1) $938 - (235 + 127)$ и $938 - 235 + 127$; 2) $(938 + 235) - 127$ и $938 + (235 - 127)$.

Как думать. Следим за числом 127: его отнимают или прибавляют?

Решение.

1. В первом выражении 127 вычитают (вместе с 235), а во втором — прибавляют. Значит, первое меньше.
2. В обоих к 938 прибавляют 235 и отнимают 127. Значения равны.

Ответ: 1) первое меньше ($576 < 830$); 2) равны.

№ 45

Вычисли: 1) $(127 + 89) \cdot 305 - 42,993$; 2) $59,057 : 73 + 239 \cdot 49$; 3) $139,725 : 405 - 151,892 : 508$; 4) $7410 + 51,642 : (517 + 389)$; 5) $81 \cdot (2423 - 1879) : 36$; 6) $(10,034 - 17,514 : 21) \cdot 25$.

Решение.

1. $127 + 89 = 216$; $216 \cdot 305 = 65,880$; $65,880 - 42,993 = 22,887$;
2. $59,057 : 73 = 809$; $239 \cdot 49 = 11,711$; $809 + 11,711 = 12,520$;
3. $139,725 : 405 = 345$; $151,892 : 508 = 299$; $345 - 299 = 46$;
4. $517 + 389 = 906$; $51,642 : 906 = 57$; $7410 + 57 = 7467$;
5. $2423 - 1879 = 544$; $81 \cdot 544 = 44,064$; $44,064 : 36 = 1224$;
6. $17,514 : 21 = 834$; $10,034 - 834 = 9200$; $9200 \cdot 25 = 230,000$.

Ответ: 22 887; 12 520; 46; 7467; 1224; 230 000.

№ 46

Вычисли удобно: 1) $7 \cdot 65 + 7 \cdot 35 + 3 \cdot 35 + 3 \cdot 55$; 2) $8 \cdot 3 + 3 \cdot 93 + 8 \cdot 97 + 3 \cdot 7$; 3) $37 \cdot 49 + 37 \cdot 51 + 63 \cdot 49 + 51 \cdot 63$; 4) $819 \cdot 73 + 181 \cdot 27 + 73 \cdot 181 + 27 \cdot 819$.

Как думать. Собираем слагаемые с одинаковым множителем и выносим его: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.

Решение.

1. $7 \cdot (65 + 35) + 3 \cdot (35 + 55) = 700 + 270 = 970$;
2. $8 \cdot (3 + 97) + 3 \cdot (93 + 7) = 800 + 300 = 1100$;
3. $37 \cdot (49 + 51) + 63 \cdot (49 + 51) = 3700 + 6300 = 10,000$;
4. $819 \cdot (73 + 27) + 181 \cdot (27 + 73) = 81,900 + 18,100 = 100,000$.

Ответ: 970; 1100; 10 000; 100 000.

💡 Вот он, фокус из начала урока! В пункте 3 вышло ровно 10 000.

№ 47

Найди произведения с помощью пар $2 \cdot 5$, $4 \cdot 25$, $8 \cdot 125$: 1) $9 \cdot 2 \cdot 5$; 2) $8 \cdot 4 \cdot 25$; 3) $9 \cdot 25 \cdot 4$; 4) $3 \cdot 125 \cdot 8$; 5) $7 \cdot 4 \cdot 25$; 6) $6 \cdot 8 \cdot 125$; 7) $11 \cdot 2 \cdot 5$; 8) $13 \cdot 4 \cdot 25$; 9) $21 \cdot 8 \cdot 125$.

Решение. 1) $9 \cdot 10 = 90$; 2) $8 \cdot 100 = 800$; 3) $9 \cdot 100 = 900$; 4) $3 \cdot 1000 = 3000$; 5) $7 \cdot 100 = 700$; 6) $6 \cdot 1000 = 6000$; 7) $11 \cdot 10 = 110$; 8) $13 \cdot 100 = 1300$; 9) $21 \cdot 1000 = 21,000$.

Ответ: 90; 800; 900; 3000; 700; 6000; 110; 1300; 21 000.

№ 48

Умножь по образцу $62 \cdot 5 = 31 \cdot 2 \cdot 5 = 310$: 1) $32 \cdot 5$; 2) $82 \cdot 5$; 3) $24 \cdot 5$; 4) $16 \cdot 25$; 5) $28 \cdot 25$; 6) $44 \cdot 25$; 7) $125 \cdot 16$; 8) $125 \cdot 88$; 9) $72 \cdot 125$.

Как думать. Из первого числа «достаём» нужного напарника: двойку для 5, четвёрку для 25, восьмёрку для 125.

Решение.

1. $16 \cdot 2 \cdot 5 = 160$; 2) $41 \cdot 10 = 410$; 3) $12 \cdot 10 = 120$;
2. $4 \cdot 4 \cdot 25 = 400$; 5) $7 \cdot 100 = 700$; 6) $11 \cdot 100 = 1100$;
3. $2 \cdot 8 \cdot 125 = 2000$; 8) $11 \cdot 1000 = 11,000$; 9) $9 \cdot 1000 = 9000$.

Ответ: 160; 410; 120; 400; 700; 1100; 2000; 11 000; 9000.

№ 49

1) Деревья на 61 а дают кислород для 122 человек. Сколько площади нужно на одного? 2) Дятел за день уничтожает до 900 короедов. Сколько уничтожат 2 дятла за 10 дней и 30 дятлов за неделю? 3) До опыления пчела делает 437 взмахов в секунду, после — 325. На сколько больше взмахов до опыления за минуту и за час?

Как думать. В 1) 61 на 122 нацело не делится, поэтому переводим ары в квадратные метры.

Решение.

1. 61 а = 6100 м²; $6100 : 122 = 50$ м².
2. Два дятла за 10 дней: $900 \cdot 2 \cdot 10 = 18,000$. Тридцать дятлов за 7 дней: $900 \cdot 30 \cdot 7 = 189,000$.
3. За секунду разница $437 - 325 = 112$ взмахов. За минуту: $112 \cdot 60 = 6720$. За час: $6720 \cdot 60 = 403,200$.

Ответ: 1) 50 м²; 2) 18 000 и 189 000 короедов; 3) а) на 6720; б) на 403 200 взмахов.

🌟 1 ар — это «сотка», квадрат 10 м на 10 м, то есть 100 м². Одному человеку хватает кислорода от деревьев на половине сотки.

№ 50

Вычисли: 1) $14,065 : 29 + 378 \cdot 207 - 78,729$; 2) $22,351 - 258 \cdot 86 - 50,158 : 809$; 3) $11,707 : 23 + 4687 : 43 - 609$; 4) $89 \cdot 805 - 908 \cdot 67 + 2507$.

Решение.

1. $485 + 78,246 = 78,731$; $78,731 - 78,729 = 2$;
2. $258 \cdot 86 = 22,188$; $22,351 - 22,188 = 163$; $50,158 : 809 = 62$; $163 - 62 = 101$;
3. $509 + 109 = 618$; $618 - 609 = 9$;
4. $71,645 - 60,836 = 10,809$; $10,809 + 2507 = 13,316$.

Ответ: 2; 101; 9; 13 316.

№ 51

Вычисли: 1) $(254 \cdot 26 + 1547) : 429 + 971$; 2) $(600 - 11,552 : 38) + 704 \cdot 23$; 3) $37 \cdot 902 - (8282 : 82 + 32,273)$; 4) $10,000 - (515 + 37,125 : 25)$.

Решение.

1. $6604 + 1547 = 8151$; $8151 : 429 = 19$; $19 + 971 = 990$;
2. $11,552 : 38 = 304$; $600 - 304 = 296$; $704 \cdot 23 = 16,192$; $296 + 16,192 = 16,488$;
3. $8282 : 82 = 101$; $101 + 32,273 = 32,374$; $37 \cdot 902 = 33,374$; $33,374 - 32,374 = 1000$;
4. $37,125 : 25 = 1485$; $515 + 1485 = 2000$; $10,000 - 2000 = 8000$.

Ответ: 990; 16 488; 1000; 8000.

№ 52

Вычисли: 1) $400,322 : (59 \cdot 101 - 3645) + 827$; 2) $1128 + 266,832 : (8460 - 302 \cdot 27)$; 3) $2000 - (55,022 : 451 + 93) : 215$; 4) $(95,882 : 382 + 181,897) : 258 - 599$.

Решение.

1. $59 \cdot 101 = 5959$; $5959 - 3645 = 2314$; $400,322 : 2314 = 173$; $173 + 827 = 1000$;
2. $302 \cdot 27 = 8154$; $8460 - 8154 = 306$; $266,832 : 306 = 872$; $1128 + 872 = 2000$;
3. $55,022 : 451 = 122$; $122 + 93 = 215$; $215 : 215 = 1$; $2000 - 1 = 1999$;
4. $95,882 : 382 = 251$; $251 + 181,897 = 182,148$; $182,148 : 258 = 706$; $706 - 599 = 107$.

Ответ: 1000; 2000; 1999; 107.

Уровень B

№ 53

1) Лошадь выпивает за глоток 500 см³ воды, а в сутки ей нужно 20 л. Сколько глотков? 2) Сосна за каждые 10 месяцев вырастает на 80 см, ель — на 20 см. На сколько они вырастут за год? 3) По запасам урана Казахстан на 2-м месте в мире. Это в 3 раза выше места по газу и на 5 мест выше места по нефти. Какие места по газу и нефти?

Как думать. В 1) сначала одинаковые единицы. В 2) находим рост за 1 месяц. В 3) помни: «выше» место — это меньший номер.

Решение.

1. 20 л = 20 000 см³; $20,000 : 500 = 40$ глотков.
2. Сосна за месяц: $80 : 10 = 8$ см, за год $8 \cdot 12 = 96$ см. Ель за месяц: $20 : 10 = 2$ см, за год $2 \cdot 12 = 24$ см. Вместе $96 + 24 = 120$ см.
3. Место по газу: $2 \cdot 3 = 6$. Место по нефти: $2 + 5 = 7$.

Ответ: 1) 40 глотков; 2) сосна на 96 см, ель на 24 см (вместе 120 см); 3) 6-е место по газу, 7-е по нефти.

№ 54

Выполни действия: 1) $33 \cdot 17 - 21 \cdot 19 + 2020 : 10 + 4157$; 2) $1288 : 23 + 81 \cdot 29 - 42 \cdot 28 - 799$; 3) $4590 : 45 + 203 \cdot 78 - 11,888$; 4) $100,209 - 58 \cdot 405 - 62,293 : 77$.

Решение.

1. $561 - 399 + 202 + 4157 = 4521$;
2. $56 + 2349 - 1176 - 799 = 430$;
3. $102 + 15,834 - 11,888 = 4048$;
4. $100,209 - 23,490 - 809 = 75,910$.

Ответ: 4521; 430; 4048; 75 910.

№ 55

Вычисли: 1) $(1001 - 535) \cdot (3539 - 34 \cdot 98) : 699$; 2) $(2122 - 1904) \cdot (104 \cdot 66 - 6660) : 327$; 3) $(4704 : 98 + 330) \cdot 309 : (901 - 334)$; 4) $606 \cdot (1111 - 943) : (8180 - 38 \cdot 202)$; 5) $(599 \cdot 237 + 63,921) : (4004 - 3662) \cdot 25$; 6) $42,849 : 4761 \cdot (7854 + 399 \cdot 499) : (289 + 222)$; 7) $(100,000 - 601 \cdot 142 + 83,889) : (1255 - 334)$; 8) $3333 - 2999 + (308 \cdot 613 + 1196) : 190 + 7777$.

Решение.

1. $466 \cdot 207 = 96,462$; $96,462 : 699 = 138$;
2. $218 \cdot 204 = 44,472$; $44,472 : 327 = 136$;
3. $48 + 330 = 378$; $378 \cdot 309 = 116,802$; $116,802 : 567 = 206$;
4. $606 \cdot 168 = 101,808$; $8180 - 7676 = 504$; $101,808 : 504 = 202$;
5. $141,963 + 63,921 = 205,884$; $205,884 : 342 = 602$; $602 \cdot 25 = 15,050$;
6. $42,849 : 4761 = 9$; $7854 + 199,101 = 206,955$; $9 \cdot 206,955 = 1,862,595$; $1,862,595 : 511 = 3645$;
7. $100,000 - 85,342 + 83,889 = 98,547$; $98,547 : 921 = 107$;
8. $188,804 + 1196 = 190,000$; $190,000 : 190 = 1000$; $334 + 1000 + 7777 = 9111$.

Ответ: 138; 136; 206; 202; 15 050; 3645; 107; 9111.

⚠️ Частая ошибка. В 5) после деления на 342 ещё нужно умножить на 25. Деление и умножение идут слева направо — по очереди, а не «сначала умножение».

Уровень C

№ 56

Найди значения: 1) $(409 \cdot (2000 - 1769) + 55,521) : (204 + 4796)$; 2) $(613 \cdot 308 + (8888 + 2308)) - 194,472 : 222$; 3) $((134,550 : (500 - 86) + 1675) + 8000) : 125 + 20$.

Как думать. Скобки внутри скобок — как матрёшка. Открываем с самой маленькой, внутренней.

Решение.

1. $2000 - 1769 = 231$; $409 \cdot 231 = 94,479$; $94,479 + 55,521 = 150,000$; $204 + 4796 = 5000$; $150,000 : 5000 = 30$;
2. $613 \cdot 308 = 188,804$; $8888 + 2308 = 11,196$; $188,804 + 11,196 = 200,000$; $194,472 : 222 = 876$; $200,000 - 876 = 199,124$;
3. по шагам выше — 100.

Ответ: 30; 199 124; 100.

Подготовь сообщение

№ 57

Расскажи об Уильяме Оутреде и Готфриде Лейбнице, которые ввели знаки умножения и деления, и о Яне Видмане, который стал писать плюс и минус.

Как думать. Найди в энциклопедии по 2–3 факта о каждом. Даты лучше сверить с источником.

Решение. Пример сообщения:

«Знаки + и − впервые напечатал чешский математик Ян Видман в 1489 году в книге о торговом счёте. Купцы отмечали ими лишний и недостающий вес товара. Англичанин Уильям Оутред (1575–1660) в 1631 году предложил косой крестик × для умножения. Немецкий учёный Готфрид Лейбниц (1646–1716) заметил, что × легко спутать с буквой x, и стал писать точку. Он же ввёл двоеточие для деления».

Ответ: пример сообщения выше.

Готовимся к следующей теме

№ 58

1) Приведи примеры числовых выражений. Как найти их значение? 2) Приведи примеры буквенных выражений. Как найти их значение?

Решение.

1. Числовые выражения: $25 + 17$, $(100 - 36) : 8$. Значение находим, выполнив действия по порядку: 42 и 8.
2. Буквенные: $a + 5$, $3 \cdot b - 2$. Чтобы найти значение, подставляем число вместо буквы. При $a = 10$: $10 + 5 = 15$.

Ответ: примеры выше.

№ 59

Сравни, не вычисляя: 1) $875 + 328 + 451$ и $451 + 328 + 875$; 2) $875 + 328 + 451$ и $451 + 328 + 895$; 3) $(736 + 487) \cdot 236$ и $736 + 487 \cdot 236$; 4) $(736 + 487) \cdot 236$ и $736 \cdot 236 + 487 \cdot 236$.

Решение.

1. Те же слагаемые в другом порядке — равны.
2. Во втором вместо 875 стоит 895 — второе больше.
3. В первом 736 тоже умножают на 236, а во втором просто прибавляют — первое больше.
4. Это распределительное свойство — равны.

Ответ: 1) $=$; 2)

№ 60

Вычисли удобно: 1) $2 \cdot (50 \cdot 73,596)$; 2) $(25 \cdot 37,896) \cdot 4$; 3) $(4873 \cdot 125) \cdot 8$; 4) $(200 - 25) \cdot 4$; 5) $(100 + 125) \cdot 8$; 6) $638 \cdot 87 + 362 \cdot 87$.

Решение.

1. $(2 \cdot 50) \cdot 73,596 = 7,359,600$;
2. $(25 \cdot 4) \cdot 37,896 = 3,789,600$;
3. $(125 \cdot 8) \cdot 4873 = 4,873,000$;
4. $200 \cdot 4 - 25 \cdot 4 = 800 - 100 = 700$;
5. $100 \cdot 8 + 125 \cdot 8 = 800 + 1000 = 1800$;
6. $(638 + 362) \cdot 87 = 1000 \cdot 87 = 87,000$.

Ответ: 7 359 600; 3 789 600; 4 873 000; 700; 1800; 87 000.

Шпаргалка

• Сначала скобки, потом умножение и деление, потом сложение и вычитание.
• Слагаемые и множители можно переставлять и группировать.
• Ищи пары, дающие круглые числа: $2 \cdot 5$, $4 \cdot 25$, $8 \cdot 125$.
• Одинаковый множитель выноси за скобки: $37 \cdot 49 + 37 \cdot 51 = 37 \cdot 100$.

Мини-тест