§ 31. Десятичная дробь. Чтение и запись десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 12–16.

Чему научишься

• Узнавать десятичную дробь и отличать в ней целую и дробную части.
• Переводить дроби со знаменателем 10, 100, 1000… в запись с запятой.
• Правильно читать десятичные дроби: «нуль целых семь десятых».
• Называть разряды после запятой: десятые, сотые, тысячные…

Разминка

Это задания № 590–593 из прошлого урока.

• Сколько квадратных метров в 1 аре? В 1 гектаре? 100 м² и 10 000 м².
• Сколько кубических дециметров в 1 м³? 1000 дм³.
• 4230 м — это сколько километров и метров? 4 км 230 м.
• 37 980 кг — это сколько центнеров и килограммов? 379 ц 80 кг.
• Что больше: 6 дм² или 6000 см²? 6 дм² = 600 см², значит, больше 6000 см².

💡 Заметил? Метры в километры, граммы в килограммы — везде делим на 10, 100, 1000. Сегодня именно такие «круглые» знаменатели станут главными героями.

Разбираемся

Дроби с «круглыми» знаменателями

Давай выразим мелкие единицы через крупные:

• 9 мм = $\frac{9}{10}$ см (в сантиметре 10 мм);
• 15 м² 39 дм² = $15\frac{39}{100}$ м²;
• 18 кг 327 г = $18\frac{327}{1000}$ кг;
• 937 895 мм³ = $\frac{937,895}{1,000,000}$ м³.

Все знаменатели — 10, 100, 1000, 1 000 000. Такие дроби можно записать короче, без знаменателя, через запятую:

$\frac{9}{10} = 0{,}9$; $15\frac{39}{100} = 15{,}39$; $18\frac{327}{1000} = 18{,}327$; $\frac{937,895}{1,000,000} = 0{,}937,895$.

Это и есть десятичные дроби. До запятой — целая часть, после запятой — дробная часть.

А теперь разрежем полоску на 100 частей. Каждая клеточка — одна сотая, 0,01.

Как читать

Смешанное число и десятичную дробь читают одинаково: $7\frac{3}{10}$ и 7,3 — «семь целых три десятых».

🌟 Говори правильно. $\frac{7}{10}$ читаем «семь десятых», а 0,7 — «нуль целых семь десятых». Слова «нуль целых» обязательны!

Последнее слово при чтении зависит от того, сколько цифр после запятой: одна — «десятых», две — «сотых», три — «тысячных», четыре — «десятитысячных».

Когда цифр не хватает

Как записать $23\frac{71}{1000}$? В знаменателе три нуля, а в числителе только две цифры. Добавим нуль перед числителем: $23\frac{071}{1000} = 23{,}071$.

📌 Чтобы записать дробь со знаменателем 10, 100, 1000… десятичной:

1. после запятой должно стоять столько цифр, сколько нулей в знаменателе — не хватает, добавь нули перед числителем;
2. запиши целую часть (если её нет — пиши 0);
3. поставь запятую;
4. запиши числитель.

Ещё примеры: $\frac{7}{1000} = 0{,}007$; $14\frac{423}{1,000,000} = 14{,}000,423$.

⚠️ Частая ошибка. $\frac{7}{1000}$ записывают как 0,7. Но 0,7 — это $\frac{7}{10}$, в сто раз больше! Считай нули в знаменателе: три нуля — три цифры после запятой: 0,007.

Разряды после запятой

Справа от запятой разряды называются так: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные, стотысячные, миллионные.

Это число $38\frac{135}{100,000} = 38{,}00135$. Видишь «зеркало»? Слева от единиц — десятки, сотни, тысячи; справа от запятой — десятые, сотые, тысячные. Только «единичных» долей справа нет.

Если после запятой больше четырёх цифр, их делят на группы по три с небольшим промежутком — так легче читать: 0,937 895.

👨‍👩‍👧 Родителю. Десятичные дроби вокруг нас: цены, вес на весах в магазине, результаты забегов. Попросите ребёнка прочитать вслух вес покупки на чеке — «один целая двести пятьдесят тысячных килограмма». Так правило быстро становится привычным.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как можно записать число, у которого знаменатель дробной части равен 10? Десятичной дробью с одной цифрой после запятой: $3\frac{7}{10} = 3{,}7$.
• Сколько цифр может быть после запятой? Сколько угодно: одна, две, десять…
• Как называют разряды десятичной дроби? Какая тут закономерность? Целая часть — как у натуральных чисел: единицы, десятки, сотни. Дробная — десятые, сотые, тысячные… Названия «зеркальные»: десятки — десятые, сотни — сотые, тысячи — тысячные.
• Сколько знаков после запятой, если знаменатель 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000? Соответственно 1, 2, 3, 4, 5, 6 — столько, сколько нулей в знаменателе.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 594

Прочитай дроби: 25,4; 0,136; 103,15; 8,234; 1,39; 267,267; 1015,1; 307,3078; 36,04; 0,003; 181,105; 0,0809; 200,7001.

Как думать. Читаем целую часть со словом «целых», потом дробную как обычное число и добавляем название последнего разряда.

Решение.

1. 25,4 — двадцать пять целых четыре десятых.
2. 0,136 — нуль целых сто тридцать шесть тысячных.
3. 103,15 — сто три целых пятнадцать сотых.
4. 8,234 — восемь целых двести тридцать четыре тысячных.
5. 1,39 — одна целая тридцать девять сотых.
6. 267,267 — двести шестьдесят семь целых двести шестьдесят семь тысячных.
7. 1015,1 — одна тысяча пятнадцать целых одна десятая.
8. 307,3078 — триста семь целых три тысячи семьдесят восемь десятитысячных.
9. 36,04 — тридцать шесть целых четыре сотых.
10. 0,003 — нуль целых три тысячных.
11. 181,105 — сто восемьдесят одна целая сто пять тысячных.
12. 0,0809 — нуль целых восемьсот девять десятитысячных.
13. 200,7001 — двести целых семь тысяч одна десятитысячная.

Ответ: прочитано выше.

№ 595

В числе 987,654 321 найди цифру в разрядах: 1) сотых; 2) десятых; 3) тысячных; 4) десятитысячных; 5) стотысячных; 6) миллионных.

Решение. После запятой по порядку: 6 — десятые, 5 — сотые, 4 — тысячные, 3 — десятитысячные, 2 — стотысячные, 1 — миллионные.

Ответ: 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 3; 5) 2; 6) 1.

№ 596

Запиши числами: средняя глубина океанов — три целых девять десятых километра; скорость Земли вокруг Солнца — двадцать девять целых семьдесят восемь сотых километра в секунду; объём Бухтарминского водохранилища — сорок девять целых шестьдесят две сотых кубического километра.

Решение. 1) 3,9 км; 2) 29,78 км/с; 3) 49,62 км³.

Ответ: 3,9 км; 29,78 км/с; 49,62 км³.

🌟 Бухтарминское водохранилище — на Иртыше, в Восточно-Казахстанской области. Это одно из самых больших водохранилищ Казахстана.

№ 597

Запиши десятичной дробью и прочитай: $\frac{5}{10}$, $\frac{31}{100}$, $\frac{419}{1000}$, $\frac{81}{100}$, $5\frac{7}{10}$, $6\frac{37}{100}$, $8\frac{111}{1000}$, $\frac{97}{100}$, $\frac{23}{100}$, $\frac{271}{1000}$, $\frac{93}{10,000}$, $\frac{619}{100,000}$, $21\frac{614}{1000}$, $3\frac{706}{1000}$, $13\frac{23}{100}$, $9\frac{8007}{100,000}$.

Как думать. Считаем нули в знаменателе — столько цифр будет после запятой. Не хватает цифр — добавляем нули перед числителем.

Решение.

Ответ: 0,5; 0,31; 0,419; 0,81; 5,7; 6,37; 8,111; 0,97; 0,23; 0,271; 0,0093; 0,00619; 21,614; 3,706; 13,23; 9,08007.

Уровень B

№ 598

В числе 9 043 206 отдели запятой одну цифру справа и прочитай. Потом сдвигай запятую каждый раз на одну цифру влево и называй, что получилось.

Решение.

1. 904 320,6 — девятьсот четыре тысячи триста двадцать целых шесть десятых.
2. 90 432,06 — девяносто тысяч четыреста тридцать две целых шесть сотых.
3. 9043,206 — девять тысяч сорок три целых двести шесть тысячных.
4. 904,3206 — девятьсот четыре целых три тысячи двести шесть десятитысячных.
5. 90,43206 — девяносто целых сорок три тысячи двести шесть стотысячных.
6. 9,043206 — девять целых сорок три тысячи двести шесть миллионных.
7. 0,9043206 — нуль целых девять миллионов сорок три тысячи двести шесть десятимиллионных.

Ответ: записано выше.

💡 Каждый сдвиг запятой влево уменьшает число в 10 раз. Это пригодится очень скоро!

№ 599

Запиши десятичной дробью суммы: 1) $\frac{7}{100} + \frac{11}{100}$; 2) $70 + \frac{481}{10,000}$; 3) $5 + \frac{17}{1000}$; 4) $11 + \frac{17}{1000} + \frac{17}{1000}$.

Решение.

1. $\frac{7}{100} + \frac{11}{100} = \frac{18}{100} = 0{,}18$.
2. $70 + \frac{481}{10,000} = 70\frac{0481}{10,000} = 70{,}0481$.
3. $5 + \frac{17}{1000} = 5\frac{017}{1000} = 5{,}017$.
4. $11 + \frac{34}{1000} = 11{,}034$.

Ответ: 1) 0,18; 2) 70,0481; 3) 5,017; 4) 11,034.

№ 600

Выдели целую часть и запиши десятичной дробью: $\frac{73}{10}$, $\frac{231}{10}$, $\frac{459}{100}$, $\frac{963}{100}$, $\frac{1115}{100}$, $\frac{3329}{1000}$, $\frac{6552}{1000}$, $\frac{78,787}{1000}$, $\frac{50,032}{10,000}$, $\frac{81,193}{10,000}$, $\frac{223,399}{10,000}$, $\frac{555,553}{100,000}$.

Как думать. При делении на 10, 100, 1000 целая часть — это «левые» цифры числителя, а остаток — столько правых цифр, сколько нулей в знаменателе.

Решение.

1. $\frac{73}{10} = 7\frac{3}{10} = 7{,}3$
2. $\frac{231}{10} = 23\frac{1}{10} = 23{,}1$
3. $\frac{459}{100} = 4\frac{59}{100} = 4{,}59$
4. $\frac{963}{100} = 9\frac{63}{100} = 9{,}63$
5. $\frac{1115}{100} = 11\frac{15}{100} = 11{,}15$
6. $\frac{3329}{1000} = 3\frac{329}{1000} = 3{,}329$
7. $\frac{6552}{1000} = 6\frac{552}{1000} = 6{,}552$
8. $\frac{78,787}{1000} = 78\frac{787}{1000} = 78{,}787$
9. $\frac{50,032}{10,000} = 5\frac{32}{10,000} = 5{,}0032$
10. $\frac{81,193}{10,000} = 8\frac{1193}{10,000} = 8{,}1193$
11. $\frac{223,399}{10,000} = 22\frac{3399}{10,000} = 22{,}3399$
12. $\frac{555,553}{100,000} = 5\frac{55,553}{100,000} = 5{,}55553$

Ответ: 7,3; 23,1; 4,59; 9,63; 11,15; 3,329; 6,552; 78,787; 5,0032; 8,1193; 22,3399; 5,55553.

№ 601

Вырази и запиши десятичной дробью: 1) в сантиметрах: 9 мм, 29 мм, 31 мм, 256 мм, 491 мм, 12 см 3 мм, 8 см 5 мм; 2) в центнерах: 3 ц 24 кг, 11 ц 8 кг, 5 ц 24 кг, 632 кг, 3750 кг, 41 141 кг; 3) в минутах: 2 мин 33 с, 18 с, 5 мин 42 с, 9 мин 54 с.

Как думать. 1 см = 10 мм, 1 ц = 100 кг. С минутами хитрее: в минуте 60 секунд, а не 10 или 100. Сначала сокращаем дробь, потом приводим к знаменателю 10 или 100.

Решение.

1. 9 мм = $\frac{9}{10}$ см = 0,9 см; 29 мм = 2,9 см; 31 мм = 3,1 см; 256 мм = 25,6 см; 491 мм = 49,1 см; 12 см 3 мм = 12,3 см; 8 см 5 мм = 8,5 см.

2. 3 ц 24 кг = $3\frac{24}{100}$ ц = 3,24 ц; 11 ц 8 кг = 11,08 ц; 5 ц 24 кг = 5,24 ц; 632 кг = 6,32 ц; 3750 кг = 37,5 ц; 41 141 кг = 411,41 ц.

3. 2 мин 33 с = $2\frac{33}{60} = 2\frac{11}{20} = 2\frac{55}{100}$ = 2,55 мин; 18 с = $\frac{18}{60} = \frac{3}{10}$ = 0,3 мин; 5 мин 42 с = $5\frac{42}{60} = 5\frac{7}{10}$ = 5,7 мин; 9 мин 54 с = $9\frac{54}{60} = 9\frac{9}{10}$ = 9,9 мин.

Ответ: 1) 0,9; 2,9; 3,1; 25,6; 49,1; 12,3; 8,5 см; 2) 3,24; 11,08; 5,24; 6,32; 37,5; 411,41 ц; 3) 2,55; 0,3; 5,7; 9,9 мин.

⚠️ Частая ошибка. 2 мин 33 с записывают как 2,33 мин. Но 33 секунды — это $\frac{33}{60}$ минуты, а не $\frac{33}{100}$!

№ 602

Вычисли и запиши ответ десятичной дробью: 1) $8\frac{1}{2} + 1\frac{2}{5}$; 2) $10\frac{1}{4} - 6\frac{1}{5}$; 3) $11\frac{5}{8} + 8\frac{101}{125}$; 4) $21\frac{15}{16} - 19\frac{3}{125}$.

Как думать. Приведём дроби сразу к знаменателю 10, 100, 1000 или 10 000 — тогда ответ легко записать с запятой.

Решение.

1. $8\frac{5}{10} + 1\frac{4}{10} = 9\frac{9}{10} = 9{,}9$.
2. $10\frac{5}{20} - 6\frac{4}{20} = 4\frac{1}{20} = 4\frac{5}{100} = 4{,}05$.
3. $11\frac{625}{1000} + 8\frac{808}{1000} = 20\frac{433}{1000} = 20{,}433$.
4. $\frac{15}{16} = \frac{9375}{10,000}$, $\frac{3}{125} = \frac{240}{10,000}$; $21\frac{9375}{10,000} - 19\frac{240}{10,000} = 2\frac{9135}{10,000} = 2{,}9135$.

Ответ: 1) 9,9; 2) 4,05; 3) 20,433; 4) 2,9135.

Уровень C

№ 603

Приведи к знаменателю 10, 100, 1000… и запиши десятичной дробью: $\frac{3}{5}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{13}{20}$, $\frac{3}{25}$, $\frac{19}{40}$, $\frac{103}{125}$, $\frac{7}{250}$, $\frac{492}{500}$, $\frac{83}{400}$, $\frac{1231}{2500}$.

Как думать. Ищем, на что умножить знаменатель, чтобы получилось 10, 100, 1000 или 10 000. На то же число умножаем числитель.

Решение.

1. $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6$
2. $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0{,}25$
3. $\frac{13}{20} = \frac{65}{100} = 0{,}65$
4. $\frac{3}{25} = \frac{12}{100} = 0{,}12$
5. $\frac{19}{40} = \frac{475}{1000} = 0{,}475$
6. $\frac{103}{125} = \frac{824}{1000} = 0{,}824$
7. $\frac{7}{250} = \frac{28}{1000} = 0{,}028$
8. $\frac{492}{500} = \frac{984}{1000} = 0{,}984$
9. $\frac{83}{400} = \frac{2075}{10,000} = 0{,}2075$
10. $\frac{1231}{2500} = \frac{4924}{10,000} = 0{,}4924$

Ответ: 0,6; 0,25; 0,65; 0,12; 0,475; 0,824; 0,028; 0,984; 0,2075; 0,4924.

№ 604

Запиши $3\frac{1}{40}$ и $3\frac{5}{200}$ десятичными дробями. Почему получилось одно и то же?

Решение.

1. $3\frac{1}{40} = 3\frac{25}{1000} = 3{,}025$ (умножили на 25).
2. $3\frac{5}{200} = 3\frac{25}{1000} = 3{,}025$ (умножили на 5).
3. Это одно и то же число: если сократить $\frac{5}{200}$ на 5, получится $\frac{1}{40}$.

Ответ: обе равны 3,025, потому что $\frac{5}{200} = \frac{1}{40}$.

Подготовь сообщение

№ 605

Подготовь рассказ о Симоне Стевине — нидерландском математике и инженере, который ввёл десятичные дроби в европейскую математику в книге «Десятая» (1585).

Как думать. Хорошее сообщение отвечает на три вопроса: кто он, что придумал, почему это важно. Даты и факты сверь по энциклопедии.

Решение. Пример сообщения:

Симон Стевин жил в 1548–1620 годах в Нидерландах, родился в городе Брюгге. Он был бухгалтером, инженером и математиком: строил плотины и укрепления, изучал, как давит вода, и даже придумал повозку под парусом. В 1585 году он выпустил небольшую книгу «Десятая». В ней он показал, что считать с дробями со знаменателями 10, 100, 1000 намного проще, и предложил записывать их без знаменателя. Запятой у него ещё не было: номера разрядов он писал в кружочках над цифрами. Но именно с его книги десятичные дроби стали привычными в Европе. Сегодня ими пользуются все — от продавца до космического инженера.

Ответ: пример сообщения выше.

🌟 Ещё раньше, в XV веке, десятичными дробями пользовался учёный ал-Каши из Самарканда, работавший в обсерватории Улугбека. Стевин открыл их Европе заново.

Готовимся к следующей теме

№ 606

Наибольшая глубина: Японское море — 3699 м, Средиземное — 5121 м, Чёрное — 2210 м, Баренцево — 600 м. Запиши моря по убыванию глубины.

Решение. Сравниваем числа: $5121 > 3699 > 2210 > 600$.

Ответ: Средиземное, Японское, Чёрное, Баренцево.

№ 607

Выпиши дроби, у которых в разряде сотых чётная цифра, а в разряде тысячных — нечётная: 3,940; 0,876; 5,2394; 0,56 766; 8,235; 6,198; 4,7139; 5,23 941; 0,413; 9,401; 0,2945; 1,699 508; 5,403; 7,005; 2,1107; 17,286.

Как думать. Смотрим только на вторую и третью цифры после запятой. Нуль — чётная цифра!

Решение. Подходят: 0,56 766 (6 и 7); 9,401 (0 и 1); 5,403 (0 и 3); 7,005 (0 и 5). У остальных либо сотые нечётные (например, 0,876: сотые 7), либо тысячные чётные (3,940: тысячные 0; 17,286: тысячные 6).

Ответ: 0,56 766; 9,401; 5,403; 7,005.

Шпаргалка

• $\frac{9}{10} = 0{,}9$; $15\frac{39}{100} = 15{,}39$; $\frac{7}{1000} = 0{,}007$.
• Нет целой части — пиши 0 перед запятой.
• Последнее слово при чтении — название последнего разряда.
• Длинную дробную часть делят на группы по три цифры.
• Дробь вроде $\frac{3}{5}$ сначала приводим к $\frac{6}{10}$, потом пишем 0,6.

Мини-тест