§ 32. Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 17–19.

Чему научишься

• Записывать любую десятичную дробь обыкновенной: 0,33 → $\frac{33}{100}$.
• Превращать десятичную дробь с целой частью в смешанное число: 5,3 → $5\frac{3}{10}$.
• Сокращать то, что получилось: 0,375 → $\frac{3}{8}$.
• Сравнивать и считать с такими дробями, когда удобнее обыкновенная запись.

Разминка

Это задания № 606 и 607 из прошлого урока, плюс пара своих вопросов.

• Расставь моря по убыванию глубины: Японское — 3699 м, Средиземное — 5121 м, Чёрное — 2210 м, Баренцево — 600 м. Средиземное (5121), Японское (3699), Чёрное (2210), Баренцево (600).
• У какой из дробей 9,401 и 0,876 в разряде сотых чётная цифра, а в разряде тысячных — нечётная? У 9,401: сотых 0 (чётная), тысячных 1 (нечётная). У 0,876 тысячных 6 — чётная, не подходит.
• Найди в списке 3,940; 0,56 766; 5,403; 7,005; 17,286 все дроби с тем же свойством. 0,56 766; 5,403; 7,005.
• Как прочитать 0,07? «Ноль целых семь сотых».
• Сократи $\frac{25}{100}$. Делим на 25: $\frac{1}{4}$.

💡 Заметил? Читая 0,07 как «семь сотых», ты уже почти записал обыкновенную дробь $\frac{7}{100}$. Сегодня весь урок построен на этой подсказке.

Разбираемся

Прочитай — и запиши

Мама купила 0,75 кг конфет. Сколько это в обыкновенных дробях? Прочитай вслух: «ноль целых семьдесят пять сотых». Так и пишем: $\frac{75}{100}$. Сократим на 25 — получится $\frac{3}{4}$ кг.

Правило в два шага

📌 Как перевести десятичную дробь в обыкновенную:

1. целую часть оставь как есть;
2. цифры после запятой — в числитель; в знаменатель — 1 и столько нулей, сколько цифр после запятой. Потом, если можно, сократи.

Смотри, как это работает:

• $10{,}63 = 10\frac{63}{100}$ — после запятой 2 цифры, значит 100.
• $1{,}531 = 1\frac{531}{1000}$ — 3 цифры, значит 1000.
• $3{,}5 = 3\frac{5}{10} = 3\frac{1}{2}$ — сократили на 5.
• $0{,}038 = \frac{38}{1000} = \frac{19}{500}$ — целая часть 0, её не пишем.

Считай цифры, а не числитель

В дроби 1,049 после запятой три цифры: 0, 4, 9. Значит, знаменатель 1000. А в числитель идёт 49 — нуль впереди не пишут: $1{,}049 = 1\frac{49}{1000}$.

⚠️ Частая ошибка. «В числителе 49 — две цифры, значит знаменатель 100». Нет! Нули считай по количеству цифр после запятой, а не в числителе. $1{,}049 = 1\frac{49}{1000}$, а $1\frac{49}{100}$ — это 1,49.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка сначала прочитать дробь вслух («одна целая сорок девять тысячных»). Слово «тысячных» само подскажет знаменатель — это надёжнее, чем считать нули.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как записать десятичную дробь обыкновенной или смешанным числом? Целую часть оставляем. Цифры после запятой пишем в числитель, а в знаменатель — единицу и столько нулей, сколько цифр после запятой. Потом сокращаем, если получится.
• Всегда ли цифр в числителе столько же, сколько нулей в знаменателе? Нет. Например, $0{,}038 = \frac{38}{1000}$: в числителе 2 цифры, а нулей 3. Нули сразу после запятой в числитель не попадают.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 608

Прочитай и запиши обыкновенной дробью: 0,33; 0,186; 0,9345; 0,07; 0,022; 0,001; 0,304; 0,202; 0,00 804.

Как думать. Читаем вслух: последнее слово («сотых», «тысячных») — это и есть знаменатель.

Решение.

1. 0,33 — тридцать три сотых: $\frac{33}{100}$;
2. 0,186 — сто восемьдесят шесть тысячных: $\frac{186}{1000}$;
3. 0,9345 — девять тысяч триста сорок пять десятитысячных: $\frac{9345}{10,000}$;
4. 0,07 — семь сотых: $\frac{7}{100}$;
5. 0,022 — двадцать две тысячных: $\frac{22}{1000}$;
6. 0,001 — одна тысячная: $\frac{1}{1000}$;
7. 0,304 — триста четыре тысячных: $\frac{304}{1000}$;
8. 0,202 — двести две тысячных: $\frac{202}{1000}$;
9. 0,00 804 — восемьсот четыре стотысячных: $\frac{804}{100,000}$.

Ответ: $\frac{33}{100}$; $\frac{186}{1000}$; $\frac{9345}{10,000}$; $\frac{7}{100}$; $\frac{22}{1000}$; $\frac{1}{1000}$; $\frac{304}{1000}$; $\frac{202}{1000}$; $\frac{804}{100,000}$. (Сокращать здесь не просят, но, например, $\frac{22}{1000} = \frac{11}{500}$.)

№ 609

Запиши смешанным числом: 5,3; 0,07; 15,9; 101,01; 237,071; 89,005; 18,0404; 901,0901; 1000,0001.

Как думать. Число до запятой — целая часть. Остальное — по правилу.

Решение.

1. $5{,}3 = 5\frac{3}{10}$;
2. $0{,}07 = \frac{7}{100}$ — целая часть 0, поэтому получается просто дробь;
3. $15{,}9 = 15\frac{9}{10}$;
4. $101{,}01 = 101\frac{1}{100}$;
5. $237{,}071 = 237\frac{71}{1000}$;
6. $89{,}005 = 89\frac{5}{1000}$;
7. $18{,}0404 = 18\frac{404}{10,000}$;
8. $901{,}0901 = 901\frac{901}{10,000}$;
9. $1000{,}0001 = 1000\frac{1}{10,000}$.

Ответ: в решении.

№ 610

Выпиши верные равенства: $0{,}81 = \frac{81}{100}$; $1{,}013 = 1\frac{13}{100}$; $16{,}29 = 16\frac{29}{100}$; $200{,}257 = 200\frac{257}{1000}$.

Как думать. Проверяем знаменатель: сколько цифр после запятой, столько и нулей.

Решение. В 1,013 после запятой три цифры, значит, нужен знаменатель 1000: $1{,}013 = 1\frac{13}{1000}$. Остальные три равенства верны.

Ответ: 1), 3), 4).

Уровень B

№ 611

Запиши обыкновенной дробью и сократи: 0,398; 0,26; 0,375; 0,0056.

Как думать. Сначала переводим, потом ищем общий делитель числителя и знаменателя.

Решение.

1. $0{,}398 = \frac{398}{1000} = \frac{199}{500}$ (делим на 2);
2. $0{,}26 = \frac{26}{100} = \frac{13}{50}$ (на 2);
3. $0{,}375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$ (на 125);
4. $0{,}0056 = \frac{56}{10,000} = \frac{7}{1250}$ (на 8).

Ответ: $\frac{199}{500}$; $\frac{13}{50}$; $\frac{3}{8}$; $\frac{7}{1250}$.

💡 0,375 = $\frac{3}{8}$ стоит запомнить. Как и 0,5 = $\frac{1}{2}$, 0,25 = $\frac{1}{4}$, 0,75 = $\frac{3}{4}$, 0,2 = $\frac{1}{5}$. Эти пары встречаются постоянно.

№ 612

Переведи в смешанные числа и сократи дробную часть: 27,16; 61,094; 103,908; 378,378.

Решение.

1. $27{,}16 = 27\frac{16}{100} = 27\frac{4}{25}$ (на 4);
2. $61{,}094 = 61\frac{94}{1000} = 61\frac{47}{500}$ (на 2);
3. $103{,}908 = 103\frac{908}{1000} = 103\frac{227}{250}$ (на 4);
4. $378{,}378 = 378\frac{378}{1000} = 378\frac{189}{500}$ (на 2).

Ответ: $27\frac{4}{25}$; $61\frac{47}{500}$; $103\frac{227}{250}$; $378\frac{189}{500}$.

№ 613

Запиши 5,6; 5,18; 5,61; 5,181 обыкновенными дробями и расставь их по убыванию.

Как думать. Целые части одинаковые (5). Чтобы сравнить дробные части, приведём их к знаменателю 1000.

Решение.

1. $5{,}6 = 5\frac{6}{10} = 5\frac{3}{5}$; $5{,}18 = 5\frac{18}{100} = 5\frac{9}{50}$; $5{,}61 = 5\frac{61}{100}$; $5{,}181 = 5\frac{181}{1000}$.
2. В тысячных: $\frac{600}{1000}$, $\frac{180}{1000}$, $\frac{610}{1000}$, $\frac{181}{1000}$.
3. По убыванию числителей: 610, 600, 181, 180.

Ответ: $5\frac{61}{100}$; $5\frac{3}{5}$; $5\frac{181}{1000}$; $5\frac{9}{50}$.

Уровень C

№ 614

Запиши 23,25 и 23,125 обыкновенными дробями. Найди их сумму, разность, произведение и частное и расставь результаты по возрастанию.

Как думать. $0{,}25 = \frac{1}{4}$, $0{,}125 = \frac{1}{8}$ — это удобно. Для умножения и деления переводим смешанные числа в неправильные дроби.

Решение. См. шаги выше. Для сложения и вычитания приводим к знаменателю 8: $\frac{93}{4} = \frac{186}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8} < 1\frac{1}{185} < 46\frac{3}{8} < 537\frac{21}{32}$ (разность, частное, сумма, произведение).

Готовимся к следующей теме

№ 615

Построй координатный луч с единичным отрезком 2 см и отметь точки A(2), B(4), C(7).

Как думать. Каждая единица — это 2 см. Значит, точка с координатой $n$ стоит на расстоянии $2 \cdot n$ см от начала.

Решение. A: $2 \cdot 2 = 4$ см от O; B: $2 \cdot 4 = 8$ см; C: $2 \cdot 7 = 14$ см. Луч начерти длиной не меньше 15 см.

Ответ: OA = 4 см, OB = 8 см, OC = 14 см.

№ 616

На пяти лучах отмечена одна точка с числом (3, 7, 4, 6, 9). Найди и отметь единичный отрезок.

Как думать. Отрезок от 0 до числа $n$ состоит из $n$ единичных отрезков. Значит, его надо разделить на $n$ равных частей — одна часть и есть единичный отрезок.

Решение. Считаем мелкие деления от 0 до отмеченной точки и делим на число:

1. до 3 — 16 делений; единичный отрезок — третья часть этого отрезка ($16 : 3 = 5\frac{1}{3}$ деления);
2. до 7 — 20 делений; единичный отрезок — седьмая часть ($2\frac{6}{7}$ деления);
3. до 4 — 16 делений; единичный отрезок — 4 деления;
4. до 6 — 18 делений; единичный отрезок — 3 деления;
5. до 9 — 17 делений; единичный отрезок — девятая часть ($1\frac{8}{9}$ деления).

Где деления не делятся нацело, отрезок от 0 до точки делим на нужное число частей линейкой (измерь длину и раздели).

Ответ: 3) 4 деления; 4) 3 деления; в 1), 2), 5) — отрезок от 0 до точки, разделённый на 3, 7 и 9 частей.

№ 617

Найди координаты точек A, B, C, D, E на пяти лучах (рис. 50).

Как думать. Сначала узнаём цену одного деления: подписанное число делим на количество делений до него. Потом умножаем цену на номер деления точки.

Решение.

1. 100 стоит на 5-м делении: цена $100 : 5 = 20$. A = 100, B = $7 \cdot 20 = 140$, C = $11 \cdot 20 = 220$, D = $17 \cdot 20 = 340$, E = $19 \cdot 20 = 380$.
2. 180 на 6-м делении: цена 30. A = 120, B = 270, C = 450, D = 510, E = 690.
3. 300 на 6-м делении: цена 50. A = 50, B = 300, C = 450, D = 800, E = 900.
4. 100 на 10-м делении: цена 10. A = 10, B = 50, C = 80, D = 100, E = 160.
5. 45 на 3-м делении: цена 15. A = 45, B = 90, C = 180, D = 270, E = 330.

Ответ: 1) 100, 140, 220, 340, 380; 2) 120, 270, 450, 510, 690; 3) 50, 300, 450, 800, 900; 4) 10, 50, 80, 100, 160; 5) 45, 90, 180, 270, 330.

Шпаргалка

• Целая часть остаётся целой частью.
• Цифры после запятой → числитель (без нулей впереди).
• Знаменатель: 1 цифра — 10, 2 цифры — 100, 3 цифры — 1000…
• Читай дробь вслух — последнее слово подскажет знаменатель.
• Не забудь сократить.

Мини-тест