§ 33. Изображение десятичных дробей на координатном луче. Сравнение десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 20–25.

Чему научишься

• Отмечать десятичные дроби на координатном луче и находить координаты точек.
• Понимать, почему 0,3 = 0,30 = 0,300.
• Сравнивать десятичные дроби по разрядам — быстро и без ошибок.
• Расставлять дроби по возрастанию и убыванию.

Разминка

Это задания № 615–617 из прошлого урока.

• Единичный отрезок 2 см. На каком расстоянии от начала точка C(7)? $7 \cdot 2 = 14$ см.
• Число 100 стоит на 5-м делении. Сколько стоит одно деление? $100 : 5 = 20$.
• Тогда какая координата у точки на 11-м делении? $11 \cdot 20 = 220$.
• Число 4 — на 16-м делении. Сколько делений в единичном отрезке? $16 : 4 = 4$.
• Что больше: $\frac{3}{10}$ или $\frac{30}{100}$? Они равны: $\frac{30}{100}$ сокращается до $\frac{3}{10}$.

💡 Главный приём луча: узнай, сколько «стоит» одно деление. Сегодня деления будут стоить 0,1 и 0,01.

Разбираемся

Режем единицу на 10 частей

Чтобы отметить 0,3, делим единичный отрезок на 10 равных частей. Каждая часть — одна десятая, 0,1. Отсчитай от нуля три деления — это и есть 0,3.

А если нужны сотые, например 1,23? Тогда каждую десятую режем ещё на 10 частей — получаем сотые. От единицы отсчитываем 2 десятых и ещё 3 сотых.

Нули в хвосте ничего не меняют

$0{,}3 = \frac{3}{10}$, $0{,}30 = \frac{30}{100}$, $0{,}300 = \frac{300}{1000}$. Сократи — везде получится $\frac{3}{10}$. Значит, на луче это одна и та же точка.

📌 Приписал нули справа к десятичной дроби — дробь не изменилась. Отбросил нули в конце — тоже не изменилась.

Как в магазине: 5,50 тенге и 5,5 тенге — одна и та же цена.

⚠️ Частая ошибка. Нули можно приписывать и стирать только в конце дробной части. 0,3 и 0,03 — это разные числа! Нуль сразу после запятой сдвигает цифру в другой разряд.

Кто правее, тот и больше

На луче 0,7 лежит правее, чем 0,35. Значит, $0{,}7 > 0{,}35$. Правило то же, что для натуральных чисел: правее — больше, левее — меньше.

Сравниваем по разрядам

Без луча сравниваем так, как сравнивают числа в спортивных результатах — с самого старшего разряда:

1. Целые части разные? Больше то число, у которого целая часть больше: $12{,}1 > 6{,}987$, потому что $12 > 6$.
2. Целые части равны? Идём по разрядам после запятой слева направо до первой разницы: $2{,}74 < 2{,}81$, потому что в десятых $7 < 8$.
3. Цифр после запятой разное число? Допиши нули, чтобы стало поровну: $3{,}297 = 3{,}2970$, а $3{,}2970 < 3{,}2974$.

⚠️ Частая ошибка. «В 0,35 больше цифр, значит, оно больше 0,7». Нет! Допиши нуль: 0,70 и 0,35. Теперь видно: 70 сотых больше 35 сотых.

👨‍👩‍👧 Родителю. Хороший приём — «уравнять хвосты». Пусть ребёнок дописывает нули, пока у обеих дробей не станет одинаково цифр после запятой. Тогда сравнение сводится к натуральным числам: 0,70 и 0,35 → 70 и 35.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Изменится ли десятичная дробь, если справа приписать нули? Нет: 0,3 = 0,30 = 0,300. Это одна точка на луче.
• Как сравнить десятичные дроби? По лучу (правее — больше) или по разрядам: сначала целые части, потом десятые, сотые и так далее до первой разницы.
• Верно ли, что дробь с бо́льшим числом разрядов всегда больше? Нет. Например, 0,35 имеет больше цифр, чем 0,7, но $0{,}35 < 0{,}7$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 618

На четырёх кусочках луча подписаны три числа, между ними по 10 делений. Найди координаты точек A–F (рис. 55).

Как думать. Между соседними подписями 10 делений. Значит, деление стоит в 10 раз меньше разницы подписей: на луче 1) это 0,1, на 2) и 3) — 0,01, на 4) — 0,001.

Решение. Прибавляем к первой подписи (число делений) × (цена деления):

1. от 7, шаг 0,1: A = 7,2; B = 7,7; C = 8,4; D = 8,9; E = 9,1; F = 9,6;
2. от 0,6, шаг 0,01: A = 0,66; B = 0,72; C = 0,75; D = 0,77; E = 0,84; F = 0,87;
3. от 5,1, шаг 0,01: A = 5,12; B = 5,19; C = 5,24; D = 5,26; E = 5,31; F = 5,35;
4. от 9,76, шаг 0,001: A = 9,764; B = 9,766; C = 9,778; D = 9,781; E = 9,784; F = 9,787.

Ответ: в решении.

№ 619

Начерти луч с единичным отрезком 5 см и отметь A(0,3), B(0,7), C(1,4), D(1,9), E(2,2), F(2,6).

Как думать. Единица — 5 см = 50 мм. Тогда одна десятая — 5 мм. Удобно мерить в миллиметрах.

Решение. Расстояние от начала = координата × 5 см: A: 1,5 см; B: 3,5 см; C: 7 см; D: 9,5 см; E: 11 см; F: 13 см.

Ответ: OA = 1,5 см, OB = 3,5 см, OC = 7 см, OD = 9,5 см, OE = 11 см, OF = 13 см.

№ 620

Сравни: 2,4 и 2,5; 13,13 и 13,12; 8,7 и 9,7; 16,375 и 16,374; 100,05 и 99,05; 81,09 и 81,9; 0,4253 и 0,4235; 46,4646 и 46,4664.

Как думать. Сначала целые части, потом разряды после запятой слева направо.

Решение.

1. $2{,}4 < 2{,}5$ — десятые: 4 < 5;
2. $13{,}13 > 13{,}12$ — сотые: 3 > 2;
3. $8{,}7 < 9{,}7$ — целые: 8 < 9;
4. $16{,}375 > 16{,}374$ — тысячные: 5 > 4;
5. $100{,}05 > 99{,}05$ — целые: 100 > 99;
6. $81{,}09 < 81{,}9$ — десятые: 0 < 9;
7. $0{,}4253 > 0{,}4235$ — тысячные: 5 > 3;
8. $46{,}4646 < 46{,}4664$ — тысячные: 4 < 6.

Ответ: <; >; <; >; >; <; >; <.

№ 621

Расставь: 1) 3,4; 3,43; 3,34; 3,3 — по убыванию; 2) 6,21; 6,12; 6,2; 6,1; 6,02 — по возрастанию.

Как думать. Уравняй хвосты: допиши нули до двух знаков после запятой.

Решение.

1. 3,40; 3,43; 3,34; 3,30 → по убыванию: 3,43; 3,40; 3,34; 3,30.
2. 6,21; 6,12; 6,20; 6,10; 6,02 → по возрастанию: 6,02; 6,10; 6,12; 6,20; 6,21.

Ответ: 1) 3,43; 3,4; 3,34; 3,3. 2) 6,02; 6,1; 6,12; 6,2; 6,21.

№ 622

По таблице численности населения областей в 2014 году (в тыс. человек) найди самую большую и самую маленькую область, а также области, где жило больше 1 млн и больше 700 тыс. человек.

Как думать. 1 млн = 1000 тыс. Сравниваем числа из таблицы с 1000 и с 700.

Решение.

1. Самая большая — Южно-Казахстанская (2733,3 тыс.).
2. Самая маленькая — Атырауская (567,9 тыс.).
3. Больше 1000 тыс.: Южно-Казахстанская, Алматинская, Восточно-Казахстанская, Карагандинская, Жамбылская.
4. Больше 700 тыс.: те же пять и ещё Костанайская, Актюбинская, Павлодарская, Кызылординская, Акмолинская.

Ответ: самая большая — Южно-Казахстанская, самая маленькая — Атырауская; больше 1 млн — 5 областей, больше 700 тыс. — 10 областей (перечислены выше).

🌟 С 2018 года Южно-Казахстанская область называется Туркестанской, а в 2022 году появились новые области. Данные в таблице — на 2014 год.

№ 623

По таблице численности населения областных центров на 1 января 2016 года (в тыс. человек) найди самый большой и самый маленький город, а также города с населением от 100 до 200 тыс. и от 300 до 400 тыс.

Решение.

1. Самый большой — Шымкент (885,8 тыс.).
2. Самый маленький — Талдыкорган (140,7 тыс.).
3. Больше 100 тыс., но меньше 200 тыс.: Кокшетау (159,8), Талдыкорган (140,7), Актау (183,2).
4. Больше 300 тыс., но меньше 400 тыс.: Актобе (397,6), Усть-Каменогорск (321,5), Тараз (363,0), Павлодар (335,2).

Ответ: 1) Шымкент; 2) Талдыкорган; 3) Кокшетау, Талдыкорган, Актау; 4) Актобе, Усть-Каменогорск, Тараз, Павлодар.

Уровень B

№ 624

Запиши все натуральные числа между: 1) 4,45 и 13,01 — по убыванию; 2) 2,003 и 9,1 — по возрастанию.

Как думать. Первое натуральное после 4,45 — это 5, последнее перед 13,01 — это 13.

Решение.

1. 13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5.
2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ответ: 1) 13; 12; 11; 10; 9; 8; 7; 6; 5. 2) 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

№ 625

Между какими соседними натуральными числами лежит: 5,6; 11,01; 25,091; 101,99?

Как думать. Берём целую часть и следующее за ней число.

Решение. $5 < 5{,}6 < 6$; $11 < 11{,}01 < 12$; $25 < 25{,}091 < 26$; $101 < 101{,}99 < 102$.

Ответ: 5 и 6; 11 и 12; 25 и 26; 101 и 102.

№ 626

Вставь десятичную дробь так, чтобы неравенство было верным: $1{,}2 < ... < 1{,}4$; $35{,}127 < ... < 35{,}327$; $8{,}29 < ... < 8{,}78$; $11{,}1 < ... < 12{,}9$; $42{,}925 < ... < 44{,}971$; $90{,}05 < ... < 91{,}05$.

Как думать. Вариантов много — подойдёт любое число между границами. Удобно взять «круглое» посередине.

Решение (один из вариантов).

1. $1{,}2 < 1{,}3 < 1{,}4$;
2. $35{,}127 < 35{,}2 < 35{,}327$;
3. $8{,}29 < 8{,}5 < 8{,}78$;
4. $11{,}1 < 12{,}5 < 12{,}9$;
5. $42{,}925 < 43{,}5 < 44{,}971$;
6. $90{,}05 < 90{,}5 < 91{,}05$.

Ответ: например, 1,3; 35,2; 8,5; 12,5; 43,5; 90,5.

№ 627

Какие из чисел больше 7, но меньше 9: 6,9; 9,1; 8,8; 7,2; 7,5; 8; 7,82; 8,99; 7,3? Какие больше 0,9, но меньше 1: 0,99; 1,01; 0,93; 1,073; 1,02; 0,87; 0,98; 1,1; 0,93?

Решение.

1. Не подходят 6,9 (меньше 7) и 9,1 (больше 9). Остальные подходят.
2. Числа с целой частью 1 больше 1 — не подходят. 0,87 меньше 0,90 — тоже нет. Подходят 0,99; 0,93; 0,98 (число 0,93 в списке встречается дважды).

Ответ: 1) 8,8; 7,2; 7,5; 8; 7,82; 8,99; 7,3. 2) 0,99; 0,93; 0,98.

№ 628

Вставь цифру вместо звёздочки, чтобы неравенство было верным (12 неравенств).

Как думать. Находим разряд со звёздочкой и сравниваем только его (остальные цифры слева совпадают). Если звёздочка — в «лишнем» разряде, допиши к другому числу нуль.

Решение.

1. $1{,}*8 > 1{,}68$: при * = 6 будет равенство, значит, * = 7, 8 или 9;
2. $5{,}*3 < 5{,}42$: * = 0, 1, 2, 3 (5,43 уже больше);
3. $0{,}1*8 < 0{,}148$: * = 0, 1, 2, 3;
4. $5{,}3* > 5{,}30$: * — любая от 1 до 9;
5. $2{,}180 < 2{,}18*$: * — от 1 до 9;
6. $9{,}67* < 9{,}680$: подходит любая цифра 0–9;
7. $13{,}*6 > 13{,}38$: * = 4, 5, 6, 7, 8, 9 (13,36 меньше);
8. $4{,}*9 < 4{,}42$: * = 0, 1, 2, 3;
9. $9{,}*57 < 9{,}345$: * = 0, 1, 2 (9,357 уже больше);
10. $8{,}2* > 8{,}125$: любая цифра 0–9 (десятые 2 > 1);
11. $6{,}30 < 6{,}3*$: * — от 1 до 9;
12. $36{,}7* < 36{,}78$: * = 0–7.

Ответ: 1) 7–9; 2) 0–3; 3) 0–3; 4) 1–9; 5) 1–9; 6) 0–9; 7) 4–9; 8) 0–3; 9) 0–2; 10) 0–9; 11) 1–9; 12) 0–7.

Уровень C

№ 629

*Какие цифры вставить вместо *, а вместо x — какую обыкновенную дробь, чтобы $12{,}*3 < x < 12{,}3$ было верно?

Как думать. Звёздочки могут быть разными цифрами. Левое число должно быть меньше правого — значит, первая цифра меньше второй. А x — любая дробь между ними.

Решение. Пусть первая звёздочка 1, вторая 2: $12{,}13 < x < 12{,}23$. Возьмём $x = 12{,}2 = 12\frac{1}{5}$. Проверка: $12{,}13 < 12{,}20 < 12{,}23$ ✓. Подойдёт любая пара цифр, где первая меньше второй (0 и 1, 3 и 7, 8 и 9…). Например, $12{,}03 < 12\frac{1}{10} < 12{,}13$.

Ответ: например, $12{,}13 < 12\frac{1}{5} < 12{,}23$ (первая цифра должна быть меньше второй).

№ 630

Сколькими способами можно расставить 56,8; 56,1; 56,8 по убыванию так, чтобы первая дробь (56,8) оказалась на третьем месте?

Как думать. Если 56,8* на третьем (последнем) месте, то она самая маленькая. Остаётся выяснить, в каком порядке могут стоять две другие.

Решение. См. шаги. Важно, что цифры можно подобрать для обоих вариантов.

Ответ: 2 способа: 56,91; 56,88; 56,80 или 56,98; 56,81; 56,80.

Готовимся к следующей теме

№ 631

Дополни запись: $\frac{1}{10}$ см = … мм; $\frac{9}{100}$ м = … см; $\frac{61}{1000}$ км = … м; $\frac{3}{10}$ дм = … см; $\frac{11}{100}$ т = … ц; $\frac{327}{1000}$ кг = … г; $\frac{7}{10}$ м = … дм; $\frac{37}{100}$ га = … а; $\frac{577}{1000}$ т = … кг.

Как думать. Вспоминаем, сколько мелких единиц в крупной: 1 см = 10 мм, 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м, 1 т = 10 ц = 1000 кг, 1 га = 100 а.

Решение.

1. 1 мм; 2) 9 см; 3) 61 м; 4) 3 см; 5) $\frac{11}{100}$ т = 110 кг = 1 ц 10 кг (или 1,1 ц); 6) 327 г; 7) 7 дм; 8) 37 а; 9) 577 кг.

Ответ: 1; 9; 61; 3; 1,1 (1 ц 10 кг); 327; 7; 37; 577.

№ 632

1) Запиши в сантиметрах: 25 мм; 39 мм; 51 мм; 9 мм. 2) Вырази в тоннах: 4821 кг; 5077 кг; 981 кг; 36 кг.

Решение.

1. 1 мм = 0,1 см: 2,5 см; 3,9 см; 5,1 см; 0,9 см.
2. 1 кг = 0,001 т: 4,821 т; 5,077 т; 0,981 т; 0,036 т.

Ответ: 2,5; 3,9; 5,1; 0,9 см. 4,821; 5,077; 0,981; 0,036 т.

№ 633

1) Вырази в дециметрах: 25 см + 57 см; 83 см + 16 см. 2) Вырази в метрах: 5 дм – 14 см; 8 дм 2 см – 43 см.

Решение.

1. а) $25 + 57 = 82$ см = 8,2 дм; б) $83 + 16 = 99$ см = 9,9 дм.
2. а) 5 дм = 50 см, $50 - 14 = 36$ см = 0,36 м; б) 8 дм 2 см = 82 см, $82 - 43 = 39$ см = 0,39 м.

Ответ: 8,2 дм; 9,9 дм; 0,36 м; 0,39 м.

Шпаргалка

• Единичный отрезок делим на 10 частей — десятые, ещё на 10 — сотые.
• Равные дроби — одна точка на луче.
• Больше цифр после запятой ≠ больше число.
• Сравниваем: целые части → десятые → сотые → тысячные…

Мини-тест