§ 34. Сложение и вычитание десятичных дробей — Математика 5 класс, Абылкасымова: разбор и ответы
ААқыл · разбор уроков

Разберём любой номер вместе!

§ 34. Сложение и вычитание десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 26–29.

Чему научишься

  • Складывать и вычитать десятичные дроби столбиком.
  • Ставить запятую под запятой и уравнивать «хвосты» нулями.
  • Решать уравнения и задачи с десятичными дробями.
  • Считать удобным способом, переставляя и группируя слагаемые.

Разминка

Это задания № 631–633 из прошлого урока.

  • $\frac{9}{100}$ м — это сколько сантиметров? 9 см.
  • $\frac{327}{1000}$ кг — сколько граммов? 327 г.
  • Запиши 25 мм в сантиметрах. 2,5 см.
  • Вырази 4821 кг в тоннах. 4,821 т.
  • 25 см + 57 см — сколько дециметров? 82 см = 8,2 дм.
  • 8 дм 2 см – 43 см — сколько метров? 82 – 43 = 39 см = 0,39 м.

💡 Заметил? Мы перевели в мелкие единицы, посчитали как обычно, а потом вернулись к крупным. Именно так и устроено сложение десятичных дробей.

Разбираемся

Метры в сантиметры — и обратно

Две ленты: 2,81 м и 6,17 м. Сколько вместе? Переведём в сантиметры: 281 см и 617 см. Сложим: $281 + 617 = 898$ см. Обратно в метры: 8,98 м.

  281        2,81
+ 617      + 6,17
  ---        ----
  898        8,98

Видишь? Цифры складываются так же, а запятая просто стоит под запятой.

Когда «хвосты» разной длины

Сложим 71,3 и 9,173. После запятой одна цифра и три. Допишем нули — дробь от этого не меняется (помнишь прошлый урок?):

  71,300
+  9,173
  ------
  80,473

С вычитанием так же: $236{,}8 - 219{,}674$ — приписываем к 236,8 два нуля.

  236,800
- 219,674
  -------
   17,126

📌 Как складывать и вычитать десятичные дроби:

  1. уравняй число цифр после запятой (допиши нули);
  2. запиши столбиком: запятая под запятой;
  3. считай, как с натуральными числами;
  4. в ответе поставь запятую под запятыми.

Если в конце ответа вышли нули, их можно убрать: $17{,}965 - 9{,}785 = 8{,}180 = 8{,}18$.

⚠️ Частая ошибка. Выравнивать по правому краю, как натуральные числа: $3{,}8 + 62{,}176$ записать так, чтобы 8 оказалась под 6. Получится ерунда! Выравниваем по запятой: десятые под десятыми, сотые под сотыми.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка сначала прикинуть ответ в целых: «62 + 4 — около 66». Если в столбике вышло 100,0 или 6,6 — запятая стоит не там. Такая прикидка ловит почти все ошибки.

Разрядные слагаемые и свойства

Десятичную дробь тоже можно разложить на «кирпичики»: $527{,}0346 = 5 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 7 + 0 \cdot \frac{1}{10} + 3 \cdot \frac{1}{100} + 4 \cdot \frac{1}{1000} + 6 \cdot \frac{1}{10,000}$.

Все знакомые свойства работают: слагаемые можно переставлять и группировать. Например, $1{,}3 + 4{,}5 + 0{,}7 = (1{,}3 + 0{,}7) + 4{,}5 = 2 + 4{,}5 = 6{,}5$.

Проверь, как понял

Проверь себя

  • Как сложить две десятичные дроби? Уравнять число цифр после запятой, записать столбиком запятая под запятой, сложить как натуральные числа и поставить запятую под запятыми.
  • Как вычесть одну десятичную дробь из другой? Точно так же: уравнять хвосты нулями, запятая под запятой, вычесть, запятую в ответе — под запятыми.
  • Примеры переместительного и сочетательного свойств? $2{,}3 + 5{,}1 = 5{,}1 + 2{,}3$. $(1{,}25 + 3{,}4) + 0{,}6 = 1{,}25 + (3{,}4 + 0{,}6) = 1{,}25 + 4 = 5{,}25$ — удобно сгруппировать, чтобы вышло круглое число.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 634

Сложи столбиком: 32,38 + 25,49; 6,702 + 1,18; 9,418 + 2,051; 62,176 + 3,8.

Решение.

  1. $32{,}38 + 25{,}49 = 57{,}87$;
  2. $6{,}702 + 1{,}180 = 7{,}882$;
  3. $9{,}418 + 2{,}051 = 11{,}469$;
  4. $62{,}176 + 3{,}800 = 65{,}976$.

Ответ: 57,87; 7,882; 11,469; 65,976.

№ 635

Вычти столбиком: 22,895 − 5,678; 6,07 − 3,4; 20,02 − 9,253; 7,1 − 0,1234.

Решение.

  1. $22{,}895 - 5{,}678 = 17{,}217$;
  2. $6{,}07 - 3{,}40 = 2{,}67$;
  3. $20{,}020 - 9{,}253 = 10{,}767$;
  4. $7{,}1000 - 0{,}1234 = 6{,}9766$.

Ответ: 17,217; 2,67; 10,767; 6,9766.

№ 636

Вычисли: $8{,}9 + 3{,}14$; $3{,}2 - 1{,}84$; $7{,}94 + 16{,}6$; $9{,}8 - 6{,}42$; $11{,}1 + 5{,}432$; $16{,}7 - 8{,}765$; $3{,}78 + 13{,}89$; $14{,}3 - 6{,}181$; $8{,}6 + 7{,}345$; $5{,}03 - 1{,}47$; $9{,}08 + 12{,}9$; $25{,}1 - 8{,}68$.

Как думать. В каждом примере сначала уравниваем хвосты.

Решение.

  1. $8{,}90 + 3{,}14 = 12{,}04$;
  2. $3{,}20 - 1{,}84 = 1{,}36$;
  3. $7{,}94 + 16{,}60 = 24{,}54$;
  4. $9{,}80 - 6{,}42 = 3{,}38$;
  5. $11{,}100 + 5{,}432 = 16{,}532$;
  6. $16{,}700 - 8{,}765 = 7{,}935$;
  7. $3{,}78 + 13{,}89 = 17{,}67$;
  8. $14{,}300 - 6{,}181 = 8{,}119$;
  9. $8{,}600 + 7{,}345 = 15{,}945$;
  10. $5{,}03 - 1{,}47 = 3{,}56$;
  11. $9{,}08 + 12{,}90 = 21{,}98$;
  12. $25{,}10 - 8{,}68 = 16{,}42$.

Ответ: 12,04; 1,36; 24,54; 3,38; 16,532; 7,935; 17,67; 8,119; 15,945; 3,56; 21,98; 16,42.

№ 637

Второй искусственный спутник Земли весил 508,6 кг, первый — на 424,7 кг меньше, третий — на 818,7 кг больше второго. Придумай вопрос и реши задачу.

Как думать. Вопрос может быть такой: «Какова масса первого и третьего спутников и всех трёх вместе?»

Решение.

  1. Первый: $508{,}6 - 424{,}7 = 83{,}9$ кг.
  2. Третий: $508{,}6 + 818{,}7 = 1327{,}3$ кг.
  3. Все три: $83{,}9 + 508{,}6 + 1327{,}3 = 1919{,}8$ кг.

Ответ: первый — 83,9 кг, третий — 1327,3 кг, вместе — 1919,8 кг.

🌟 Первый спутник запустили 4 октября 1957 года с Байконура — космодрома в Казахстане. Он весил меньше, чем ты с родителями вместе!

№ 638

Слон весит 4,5 т, бегемот — на 0,9 т меньше слона, медведь — на 2,9 т меньше бегемота. Найди массу медведя.

Решение.

  1. Бегемот: $4{,}5 - 0{,}9 = 3{,}6$ т.
  2. Медведь: $3{,}6 - 2{,}9 = 0{,}7$ т.

Ответ: 0,7 т (это 700 кг).

№ 639

По таблицам 30–31 (§ 33) найди общую численность населения: 1) республики (областей); 2) областных центров.

Как думать. Складываем все числа таблицы. Удобно группировать по нескольку слагаемых.

Решение.

  1. Сумма по 14 областям (тыс. чел.): $735{,}6 + 808{,}9 + 1984{,}5 + 567{,}9 + 1394{,}0 + 1084{,}5 + 623{,}9 = 7199{,}3$; $1369{,}7 + 880{,}8 + 739{,}8 + 587{,}4 + 752{,}8 + 575{,}8 + 2733{,}3 = 7639{,}6$; всего $7199{,}3 + 7639{,}6 = 14,838{,}9$ тыс.
  2. Сумма по 14 центрам: $885{,}8 + 159{,}8 + 397{,}6 + 140{,}7 + 226{,}1 + 321{,}5 + 363{,}0 = 2494{,}5$; $232{,}5 + 497{,}8 + 231{,}9 + 227{,}5 + 183{,}2 + 335{,}2 + 215{,}3 = 1923{,}4$; всего $2494{,}5 + 1923{,}4 = 4417{,}9$ тыс.

Ответ: 1) 14 838,9 тыс. человек; 2) 4417,9 тыс. человек.

💡 В таблице 30 нет Астаны и Алматы — это города республиканского значения. С ними население страны в 2014 году было больше 17 млн человек.

№ 640

По таблицам 30–31 найди, на сколько больше людей жило: 1) в Южно-Казахстанской области, чем в Северо-, Восточно- и Западно-Казахстанской; 2) в Караганде, чем в Шымкенте, Актобе, Кызылорде; 3) в Усть-Каменогорске, чем в Уральске, Петропавловске, Талдыкоргане.

Как думать. «На сколько больше» — вычитаем из большего меньшее.

Решение. (в тыс. человек)

  1. а) $2733{,}3 - 575{,}8 = 2157{,}5$; б) $2733{,}3 - 1394{,}0 = 1339{,}3$; в) $2733{,}3 - 623{,}9 = 2109{,}4$.
  2. а) Внимание: в Караганде (497,8) жило меньше, чем в Шымкенте (885,8), на $885{,}8 - 497{,}8 = 388$; б) $497{,}8 - 397{,}6 = 100{,}2$; в) $497{,}8 - 227{,}5 = 270{,}3$.
  3. а) $321{,}5 - 232{,}5 = 89$; б) $321{,}5 - 215{,}3 = 106{,}2$; в) $321{,}5 - 140{,}7 = 180{,}8$.

Ответ: 1) на 2157,5; 1339,3; 2109,4 тыс.; 2) в Караганде на 388 тыс. меньше, чем в Шымкенте; больше, чем в Актобе, на 100,2 тыс., чем в Кызылорде, — на 270,3 тыс.; 3) на 89; 106,2; 180,8 тыс.

№ 641

В Северо-Казахстанской области на жителя приходится 0,61 га леса — это на 0,03 га больше, чем в среднем по Казахстану. Сколько в среднем по стране? Составь и реши обратные задачи.

Решение. $0{,}61 - 0{,}03 = 0{,}58$ га.

Обратные задачи.

  1. В среднем по Казахстану на жителя 0,58 га леса, а в СКО — на 0,03 га больше. Сколько в СКО? $0{,}58 + 0{,}03 = 0{,}61$ га.
  2. В СКО 0,61 га, в среднем по стране 0,58 га. На сколько больше в СКО? $0{,}61 - 0{,}58 = 0{,}03$ га.

Ответ: 0,58 га.

№ 642

Запас древесины на жителя СКО — 54,9 м³, это на 34,1 м³ больше, чем в среднем по Казахстану. Сколько в среднем по стране? Составь и реши обратные задачи.

Решение. $54{,}9 - 34{,}1 = 20{,}8$ м³.

Обратные задачи.

  1. В среднем по стране 20,8 м³, в СКО на 34,1 м³ больше. Сколько в СКО? $20{,}8 + 34{,}1 = 54{,}9$ м³.
  2. В СКО 54,9 м³, в среднем 20,8 м³. На сколько больше в СКО? $54{,}9 - 20{,}8 = 34{,}1$ м³.

Ответ: 20,8 м³.

№ 643

Найди корни: $18{,}08 - x = 10{,}7$; $x + 2{,}39 = 12{,}5$; $16{,}68 + y = 26{,}5$; $3{,}55 + x = 5{,}6$.

Как думать. Неизвестное слагаемое: сумма минус другое слагаемое. Неизвестное вычитаемое: уменьшаемое минус разность.

Решение.

  1. $x = 18{,}08 - 10{,}7 = 7{,}38$;
  2. $x = 12{,}5 - 2{,}39 = 10{,}11$;
  3. $y = 26{,}5 - 16{,}68 = 9{,}82$;
  4. $x = 5{,}6 - 3{,}55 = 2{,}05$.

Ответ: 7,38; 10,11; 9,82; 2,05.

Уровень B

№ 644

Упрости и найди значение: 1) $20{,}1 + a + (5{,}38 + 4{,}38)$ при $a = 0{,}098$; 2) $b + 42{,}7 + (39{,}825 - 2{,}74)$ при $b = 16{,}61$; 3) $50{,}56 - (24{,}16 + 19{,}8) + c$ при $c = 0{,}808$; 4) $d + 60{,}19 - (68{,}7 - 9{,}1)$ при $d = 21{,}021$.

Как думать. Сначала считаем все числа без буквы — выражение превращается в «буква + число». Потом подставляем.

Решение.

  1. $20{,}1 + 9{,}76 = 29{,}86$; выражение $a + 29{,}86$; при $a = 0{,}098$: $29{,}958$.
  2. $42{,}7 + 37{,}085 = 79{,}785$; выражение $b + 79{,}785$; при $b = 16{,}61$: $96{,}395$.
  3. $50{,}56 - 43{,}96 = 6{,}6$; выражение $6{,}6 + c$; при $c = 0{,}808$: $7{,}408$.
  4. $60{,}19 - 59{,}6 = 0{,}59$; выражение $d + 0{,}59$; при $d = 21{,}021$: $21{,}611$.

Ответ: 29,958; 96,395; 7,408; 21,611.

№ 645

Реши уравнения: $80 - (35{,}6 + x) = 11{,}5$; $(62{,}4 + y) - 13{,}4 = 91$; $9{,}15 + (x - 8{,}5) = 21{,}77$; $0{,}175 - (0{,}03 - x) = 0{,}15$; $(50 - x) + 7{,}16 = 8{,}132$; $100{,}3 - (9{,}2 - x) = 97{,}64$.

Как думать. Скобку считаем одним «неизвестным» и находим её, потом уже x.

Решение.

  1. $35{,}6 + x = 80 - 11{,}5 = 68{,}5$; $x = 68{,}5 - 35{,}6 = 32{,}9$.
  2. $62{,}4 + y = 91 + 13{,}4 = 104{,}4$; $y = 104{,}4 - 62{,}4 = 42$.
  3. $x - 8{,}5 = 21{,}77 - 9{,}15 = 12{,}62$; $x = 12{,}62 + 8{,}5 = 21{,}12$.
  4. $0{,}03 - x = 0{,}025$; $x = 0{,}005$.
  5. $50 - x = 8{,}132 - 7{,}16 = 0{,}972$; $x = 50 - 0{,}972 = 49{,}028$.
  6. $9{,}2 - x = 100{,}3 - 97{,}64 = 2{,}66$; $x = 9{,}2 - 2{,}66 = 6{,}54$.

Ответ: 32,9; 42; 21,12; 0,005; 49,028; 6,54.

№ 646

Вычисли удобным способом 8 выражений и назови свойства, которые помогли.

Как думать. Ищем пары, которые дают круглое число: 1,1 и 1,9; 9,8 и 4,2; хвосты 0,715 и 0,285.

Решение.

  1. $(1{,}1 + 1{,}9) + (1{,}3 + 1{,}7) = 3 + 3 = 6$;
  2. $(5{,}781 - 4{,}781) + 9{,}37 = 1 + 9{,}37 = 10{,}37$;
  3. $(4{,}2 + 9{,}8) + (5{,}5 + 32{,}5) = 14 + 38 = 52$;
  4. $(3{,}23 + 8{,}77) + 8{,}596 = 12 + 8{,}596 = 20{,}596$;
  5. $(11{,}101 - 0{,}101) - 5{,}4 = 11 - 5{,}4 = 5{,}6$;
  6. $(8{,}123 - 2{,}123) - 1{,}8 = 6 - 1{,}8 = 4{,}2$;
  7. $(9{,}5 + 0{,}5) + (1{,}39 + 0{,}61) + (1{,}8 + 5{,}2) = 10 + 2 + 7 = 19$;
  8. $(0{,}715 + 4{,}285) + (2{,}83 + 0{,}17) = 5 + 3 = 8$.

Свойства: переместительное и сочетательное свойства сложения; вычитание числа из суммы (№ 2); вычитание суммы из числа (№ 5, 6).

Ответ: 6; 10,37; 52; 20,596; 5,6; 4,2; 19; 8.

Уровень C

№ 647

Составь выражение и найди значение: 1) из суммы 5,69 и 1,606 вычти 1,29; 2) к разности 3,7 и 2,388 прибавь 0,76; 3) из суммы 8,59 и 2,31 вычти их разность; 4) из 54,002 вычти разность 28,7 и 5,001.

Решение.

  1. $(5{,}69 + 1{,}606) - 1{,}29 = 7{,}296 - 1{,}29 = 6{,}006$;
  2. $(3{,}7 - 2{,}388) + 0{,}76 = 1{,}312 + 0{,}76 = 2{,}072$;
  3. $(8{,}59 + 2{,}31) - (8{,}59 - 2{,}31) = 10{,}9 - 6{,}28 = 4{,}62$;
  4. $54{,}002 - (28{,}7 - 5{,}001) = 54{,}002 - 23{,}699 = 30{,}303$.

Ответ: 6,006; 2,072; 4,62; 30,303.

💡 В № 647 (3) есть хитрость: сумма минус разность двух чисел — это всегда удвоенное меньшее число. $2 \cdot 2{,}31 = 4{,}62$. Проверь на своих числах!

№ 648

Квадрат 3×3: в первой строке 0,5 и две пустые клетки; во второй — две пустые и 3,2; в третьей — пустая, 2,4 и 0,7. Заполни пустые клетки так, чтобы сумма в каждой строке и каждом столбце была 5.

Как думать. Начинаем с той строки или столбца, где не хватает одного числа.

Решение.

  1. Третий столбец: $5 - 3{,}2 - 0{,}7 = 1{,}1$ — это верхняя правая клетка.
  2. Первая строка: $5 - 0{,}5 - 1{,}1 = 3{,}4$ — верхняя средняя клетка.
  3. Средний столбец: сверху уже 3,4, снизу 2,4. Вместе $3{,}4 + 2{,}4 = 5{,}8$ — это больше 5! Центральной клетке остаётся «на 0,8 меньше нуля», а таких чисел мы пока не знаем.

Значит, с этими числами квадрат заполнить нельзя. Если бы в центре разрешили такое число, дальше всё сходится: третья строка $5 - 2{,}4 - 0{,}7 = 1{,}9$, первый столбец $5 - 0{,}5 - 1{,}9 = 2{,}6$, вторая строка $2{,}6 + 3{,}2 = 5{,}8$ — тоже больше 5.

Ответ: верхняя строка: 0,5; 3,4; 1,1; нижняя левая — 1,9; средняя левая — 2,6; для центральной клетки подходящего числа (не меньше нуля) нет — задача с такими числами не решается.

Готовимся к следующей теме

№ 649

Вырази в метрах: 25 дм; 146 см; 59 мм; 803 см.

Решение. 1 дм = 0,1 м, 1 см = 0,01 м, 1 мм = 0,001 м. 25 дм = 2,5 м; 146 см = 1,46 м; 59 мм = 0,059 м; 803 см = 8,03 м.

Ответ: 2,5 м; 1,46 м; 0,059 м; 8,03 м.

№ 650

Вырази в квадратных дециметрах: 9 см · 16 см; 21 см · 7 см; 19 см · 31 см; 15 см · 42 см.

Как думать. 1 дм² = 10 см · 10 см = 100 см². Считаем в см², потом делим на 100.

Решение.

  1. $9 \cdot 16 = 144$ см² = 1,44 дм²;
  2. $21 \cdot 7 = 147$ см² = 1,47 дм²;
  3. $19 \cdot 31 = 589$ см² = 5,89 дм²;
  4. $15 \cdot 42 = 630$ см² = 6,3 дм².

Ответ: 1,44; 1,47; 5,89; 6,3 дм².

Шпаргалка

  • Выравниваем по запятой, а не по правому краю.
  • Целое число — тоже десятичная дробь: 10 = 10,0.
  • Переставлять и группировать слагаемые можно — ищи круглые суммы.
  • Всегда делай прикидку в целых.

Мини-тест

← § 33. Изображение десятичных дробей на координатном луче. Сравнение десятичных дробей · § 35. Умножение десятичной дроби на натуральное число →