§ 35. Умножение десятичной дроби на натуральное число

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 30–32.

Чему научишься

• Умножать десятичную дробь на натуральное число столбиком.
• Ставить запятую в ответе без ошибок.
• Дописывать нули впереди, когда цифр не хватает.
• Решать задачи про цену, площадь, путь и периметр с десятичными числами.

Разминка

Это задания № 649 и 650 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Сколько метров в 25 дм? В 1 м 10 дм, значит, 25 дм = 2,5 м.
• 146 см — это сколько метров? В 1 м 100 см: 146 см = 1,46 м.
• 59 мм — это сколько метров? В 1 м 1000 мм: 59 мм = 0,059 м.
• А 803 см? 8,03 м.
• $9 \text{ см} \cdot 16 \text{ см}$ — сколько квадратных дециметров? 144 см². В 1 дм² 100 см², значит, 1,44 дм².
• $21 \text{ см} \cdot 7 \text{ см}$; $19 \text{ см} \cdot 31 \text{ см}$; $15 \text{ см} \cdot 42 \text{ см}$ — в дм²? 147 см² = 1,47 дм²; 589 см² = 5,89 дм²; 630 см² = 6,3 дм².

💡 Заметил? Сначала считаем в маленьких единицах — получается натуральное число. Потом переводим в крупные — и появляется запятая. Именно этот трюк сегодня и пригодится.

Разбираемся

Фокус с сантиметрами

У тебя кусок ткани длиной 9,07 м. Нужно 11 таких кусков. Сколько это метров?

Переведём в сантиметры: 9,07 м = 907 см. Теперь умножаем как обычно: $907 \cdot 11 = 9977$ см. Обратно в метры: 9977 см = 99,77 м.

Сравни: $9{,}07 \cdot 11 = 99{,}77$. У множителя две цифры после запятой — и у ответа тоже две!

Правило в два шага

📌 Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число:

1. умножь, как будто запятой нет;
2. в ответе отсчитай справа столько цифр, сколько их было после запятой в дроби, и поставь запятую.

Пример: $3{,}993 \cdot 272$. Без запятой: $3993 \cdot 272 = 1,086,096$. В дроби три цифры после запятой — отсчитываем три справа: 1086,096.

Когда цифр не хватает

Посмотри пошагово, как умножить $0{,}0013 \cdot 67$.

⚠️ Частая ошибка. Пишут $0{,}0013 \cdot 67 = 0{,}871$ — забывают дописать нуль. Проверь: сколько цифр после запятой было в дроби? Столько же должно быть и в ответе.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка прикинуть ответ заранее: $3{,}993 \cdot 272$ — это примерно $4 \cdot 272 \approx 1100$. Если вышло 108,6 или 10 860 — запятая стоит не там.

А нули в конце?

$0{,}25 \cdot 4$: без запятой $25 \cdot 4 = 100$. Отсчитываем две цифры: 1,00. Нули в конце дроби можно отбросить: 1. Так что 4 бутылки по 0,25 л — ровно литр.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как умножить десятичную дробь на натуральное число? Умножаем, не глядя на запятую. Потом в ответе отделяем запятой справа столько цифр, сколько их после запятой в дроби.
• Дробь имеет три цифры после запятой. Сколько их будет в произведении с натуральным числом? Тоже три (если в конце получились нули, их можно потом отбросить).
• Известно, что $27 \cdot 19 = 513$. Чему равны $0{,}027 \cdot 19$; $27 \cdot 0{,}0019$; $0{,}000,027 \cdot 19$? 0,513; 0,0513; 0,000 513.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 651

Перемножь: 1) $20 \cdot 6{,}8$; 2) $31 \cdot 4{,}8$; 3) $19 \cdot 5{,}6$; 4) $123 \cdot 0{,}15$; 5) $425 \cdot 1{,}62$; 6) $520 \cdot 8{,}34$; 7) $18{,}016 \cdot 26$; 8) $0{,}925 \cdot 48$; 9) $1{,}278 \cdot 35$; 10) $3{,}46 \cdot 150$; 11) $92{,}05 \cdot 280$; 12) $160 \cdot 8{,}95$.

Как думать. Умножаем без запятой, потом отсчитываем цифры справа. Если в конце нули — отбрасываем их. Если множитель кончается нулём (150, 280), удобно сначала умножить на 15 или 28, а нуль приписать потом.

Решение.

Ответ: 1) 136; 2) 148,8; 3) 106,4; 4) 18,45; 5) 688,5; 6) 4336,8; 7) 468,416; 8) 44,4; 9) 44,73; 10) 519; 11) 25 774; 12) 1432.

№ 652

Прямоугольник: длина 8,8 см, ширина 7 см. Найди площадь.

Как думать. Площадь — длина, умноженная на ширину.

Решение. $S = 8{,}8 \cdot 7 = 61{,}6$ (см²), ведь $88 \cdot 7 = 616$.

Ответ: 61,6 см².

№ 653

Прямоугольный параллелепипед: длина 11 см, ширина 5,7 см, высота 3 см. Найди объём.

Как думать. Объём — произведение трёх измерений. Порядок не важен, выбираем удобный.

Решение.

1. $11 \cdot 3 = 33$.
2. $5{,}7 \cdot 33 = 188{,}1$ (ведь $57 \cdot 33 = 1881$).

Ответ: 188,1 см³.

№ 654

Метр ткани стоит 450 тг. Сколько стоят 6,5 м?

Решение. $450 \cdot 6{,}5 = 2925$ (тг), так как $65 \cdot 450 = 29,250$, а после запятой одна цифра: 2925,0.

Ответ: 2925 тг.

№ 655

В рулоне 11,5 м обоев. Сколько метров в 20 рулонах?

Решение. $11{,}5 \cdot 20 = 230$ (м). Удобно: $11{,}5 \cdot 2 = 23$, а потом ещё в 10 раз больше.

Ответ: 230 м.

№ 656

С каждого гектара собрали по 11 ц зерна. Сколько собрали с 6,8 га?

Решение. $6{,}8 \cdot 11 = 74{,}8$ (ц), так как $68 \cdot 11 = 748$.

Ответ: 74,8 ц.

№ 657

Ехали 2,5 ч со скоростью 85 км/ч. Какой путь пройден?

Решение. $s = v \cdot t = 85 \cdot 2{,}5 = 212{,}5$ (км), ведь $85 \cdot 25 = 2125$.

Ответ: 212,5 км.

№ 658

В коробке 5,5 кг конфет. Сколько килограммов в 9 коробках?

Решение. $5{,}5 \cdot 9 = 49{,}5$ (кг).

Ответ: 49,5 кг.

№ 659

Найди периметр квадрата со стороной: 1) 4,6 см; 2) 6,5 см; 3) 7,9 см; 4) 13,7 см.

Как думать. У квадрата 4 равные стороны: $P = 4a$.

Решение. 1) $4{,}6 \cdot 4 = 18{,}4$; 2) $6{,}5 \cdot 4 = 26$; 3) $7{,}9 \cdot 4 = 31{,}6$; 4) $13{,}7 \cdot 4 = 54{,}8$.

Ответ: 18,4 см; 26 см; 31,6 см; 54,8 см.

№ 660

1) На пол одной комнаты ушло 3,25 л краски. Сколько нужно на 7 таких комнат? 2) В машину погрузили 27 ящиков яблок по 25,5 кг. Какова их масса?

Решение.

1. $3{,}25 \cdot 7 = 22{,}75$ (л), ведь $325 \cdot 7 = 2275$.
2. $25{,}5 \cdot 27 = 688{,}5$ (кг), ведь $255 \cdot 27 = 6885$.

Ответ: 1) 22,75 л; 2) 688,5 кг.

Уровень B

№ 661

Найди значения: 1) $(13{,}8 + 14{,}9) \cdot 11$; 2) $(27{,}2 - 18{,}7) \cdot 13$; 3) $(104{,}5 - 96{,}5) \cdot 23{,}1$; 4) $(0{,}175 + 4{,}825) \cdot 61{,}2$; 5) $(83{,}3 + 6{,}7) \cdot (17{,}1 - 16{,}134)$; 6) $(200{,}15 - 189{,}15) \cdot (0{,}405 + 1{,}265)$.

Как думать. Сначала скобки. Часто в скобках выходит круглое число — тогда умножать совсем легко.

Решение.

1. $28{,}7 \cdot 11 = 315{,}7$.
2. $8{,}5 \cdot 13 = 110{,}5$.
3. $8 \cdot 23{,}1 = 184{,}8$.
4. $5 \cdot 61{,}2 = 306$.
5. $90 \cdot 0{,}966 = 86{,}94$.
6. $11 \cdot 1{,}67 = 18{,}37$.

Ответ: 1) 315,7; 2) 110,5; 3) 184,8; 4) 306; 5) 86,94; 6) 18,37.

№ 662

Детскому саду купили 28 пачек печенья по 3,35 кг и 36 пачек вафель по 0,25 кг. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Есть масса каждой пачки и число пачек. Естественный вопрос: какова масса всей покупки? (Можно спросить и «На сколько печенья больше, чем вафель?».)

Решение.

1. Печенье: $3{,}35 \cdot 28 = 93{,}8$ (кг).
2. Вафли: $0{,}25 \cdot 36 = 9$ (кг).
3. Всего: $93{,}8 + 9 = 102{,}8$ (кг).

Ответ: вся покупка весит 102,8 кг.

№ 663

Древние саки мерили путь «стрелами»: 1 «стрела» = 90 шагов. Охотники уходили от стоянки на 120,5 «стрелы». Какой это путь, если шаг 70 см?

🌟 Саки — древние кочевники, жившие на земле Казахстана больше 2500 лет назад. Знаменитый «Золотой человек» из кургана Иссык — сакский воин.

Как думать. Переводим по цепочке: «стрелы» → шаги → сантиметры → метры.

Решение. $120{,}5 \cdot 90 = 10,845$ шагов; $10,845 \cdot 70 = 759,150$ см $= 7591{,}5$ м.

Ответ: 7591,5 м (около 7,6 км).

Уровень C

№ 664

Значение выражения $325{,}125 \cdot 8 - (1957 + 4{,}025 \cdot 160)$ увеличили в 100 раз. Что получилось?

Как думать. Задача с сюрпризом. Считаем по порядку и смотрим, что выйдет.

Решение.

1. $325{,}125 \cdot 8 = 2601$.
2. $4{,}025 \cdot 160 = 644$.
3. $1957 + 644 = 2601$.
4. $2601 - 2601 = 0$.
5. $0 \cdot 100 = 0$.

Ответ: 0.

№ 665

Правда ли, что $(89 \cdot 0{,}45 + 5{,}8 \cdot 97 + 522{,}35) : 9$ равно кубу числа 5?

Решение.

1. $89 \cdot 0{,}45 = 40{,}05$.
2. $5{,}8 \cdot 97 = 562{,}6$.
3. $40{,}05 + 562{,}6 + 522{,}35 = 1125$.
4. $1125 : 9 = 125$.
5. $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Ответ: да, верно: значение равно $125 = 5^3$.

Готовимся к следующей теме

№ 666

Пастбища в мире занимают 3396 млн га, а в Казахстане — $\frac{31}{566}$ от них. Сколько гектаров пастбищ в Казахстане?

Как думать. Дробь от числа: делим на знаменатель, умножаем на числитель.

Решение. $3396 : 566 = 6$; $6 \cdot 31 = 186$ (млн га).

Ответ: 186 млн га.

🌟 Это огромная площадь: больше, чем вся Германия и Франция вместе. Поэтому в Казахстане так давно и хорошо развито скотоводство.

№ 667

Метр ткани стоит 880 тг. Сколько стоят 1) $\frac{2}{5}$ м; 2) $3\frac{1}{8}$ м?

Решение.

1. $880 : 5 \cdot 2 = 352$ (тг).
2. $3\frac{1}{8} = \frac{25}{8}$; $880 : 8 \cdot 25 = 110 \cdot 25 = 2750$ (тг).

Ответ: 1) 352 тг; 2) 2750 тг.

№ 668

Вырази в сантиметрах: 53 мм; 91 мм; 7 мм.

Решение. В 1 см 10 мм: 5,3 см; 9,1 см; 0,7 см.

Ответ: 5,3 см; 9,1 см; 0,7 см.

№ 669

Вырази в квадратных дециметрах: 300 см²; 40 см²; 8 см².

Как думать. В 1 дм² — $10 \cdot 10 = 100$ см².

Решение. 3 дм²; 0,4 дм²; 0,08 дм².

Ответ: 3 дм²; 0,4 дм²; 0,08 дм².

Шпаргалка

• Умножаем без запятой, потом возвращаем запятую.
• Цифр после запятой в ответе столько же, сколько в дроби.
• Не хватает цифр — дописываем нули слева.
• Нули в конце дробной части можно зачеркнуть.
• Прикидка спасает от запятой «не там».

Мини-тест