§ 36. Умножение десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 33–35.

Чему научишься

• Умножать одну десятичную дробь на другую.
• Считать, сколько цифр отделить запятой в ответе.
• Дописывать нули впереди, если цифр мало.
• Видеть на клетках, почему $0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12$.
• Возводить десятичные дроби в квадрат и куб.

Разминка

Это задания № 666–669 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• 53 мм — это сколько сантиметров? А 7 мм? 5,3 см и 0,7 см (в 1 см 10 мм).
• 300 см² — сколько квадратных дециметров? В 1 дм² 100 см², поэтому 3 дм².
• 40 см² и 8 см² — в дм²? 0,4 дм² и 0,08 дм².
• Метр ткани стоит 880 тг. Сколько стоят $\frac{2}{5}$ м? $880 : 5 \cdot 2 =$ 352 тг.
• Сколько будет $2{,}4 \cdot 3$? $24 \cdot 3 = 72$, ответ 7,2 — это прошлый урок.

💡 Запомни: 1 дм² — это квадрат 10 на 10 см, в нём ровно 100 маленьких квадратиков по 1 см². Сегодня этот квадрат объяснит нам всё.

Разбираемся

Задача про коврик

Коврик в форме прямоугольника: длина 9,1 дм, ширина 1,9 дм. Какая у него площадь?

Переведём в сантиметры: 9,1 дм = 91 см, 1,9 дм = 19 см. Площадь: $91 \cdot 19 = 1729$ см². В 1 дм² 100 см², значит, $1729$ см² $= 17{,}29$ дм².

Получилось: $9{,}1 \cdot 1{,}9 = 17{,}29$. В множителях по одной цифре после запятой, вместе две. И в ответе две!

Смотрим на клетки

Большой квадрат ниже — это 1 дм². Его сторона — 1 дм, она разбита на 10 частей по 0,1 дм. Каждая клеточка — это $0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01$ дм².

В закрашенной части $4 \cdot 3 = 12$ клеток. Всего клеток 100. Значит, площадь — $\frac{12}{100} = 0{,}12$ дм². Отсюда $0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12$ — меньше обоих множителей!

💡 Умножить на 0,3 — значит взять 3 десятых части числа. Поэтому при умножении на дробь меньше 1 результат уменьшается.

Правило

📌 Чтобы перемножить десятичные дроби:

1. умножь их как натуральные числа, не глядя на запятые;
2. посчитай, сколько цифр после запятой в обоих множителях вместе, и столько отдели запятой справа.

Пример: $10{,}49 \cdot 4{,}09$. Без запятых: $1049 \cdot 409 = 429,041$. Цифр после запятой: $2 + 2 = 4$. Ответ: 42,9041.

Если цифр не хватает

$4{,}19 \cdot 0{,}0106$. Без запятых: $419 \cdot 106 = 44,414$ — пять цифр. А отделить надо $2 + 4 = 6$. Дописываем нуль слева: 0,044414.

⚠️ Частая ошибка. Ставят запятую «как при сложении» — под запятой. При умножении запятые не выравнивают: числа пишут столбиком по правому краю, а запятую ставят только в конце, по счёту цифр.

👨‍👩‍👧 Родителю. Хорошая проверка — прикидка. $10{,}49 \cdot 4{,}09$ — это примерно $10 \cdot 4 = 40$. Значит, ответ 42,9041, а не 4,29 и не 429.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как умножить десятичные дроби? Перемножить как натуральные, не замечая запятых. Потом справа отделить запятой столько цифр, сколько их после запятой в обоих множителях вместе.
• Что делать, если в произведении цифр меньше, чем нужно отделить? Дописать слева нужное число нулей. Например, $0{,}02 \cdot 0{,}3$: $2 \cdot 3 = 6$, отделить 3 цифры — 0,006.
• Зная $31 \cdot 13 = 403$, найди $3{,}1 \cdot 1{,}3$ и $0{,}31 \cdot 0{,}13$. $3{,}1 \cdot 1{,}3 = 4{,}03$ (две цифры); $0{,}31 \cdot 0{,}13 = 0{,}0403$ (четыре цифры).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 670

Известно произведение $629 \cdot 51 = 32,079$. Найди: 1) $62{,}9 \cdot 31$; 2) $629 \cdot 3{,}1$; 3) $62{,}9 \cdot 3{,}1$; 4) $6{,}29 \cdot 3{,}1$; 5) $62{,}9 \cdot 0{,}31$; 6) $6{,}29 \cdot 0{,}031$; 7) $0{,}629 \cdot 0{,}31$; 8) $6{,}29 \cdot 0{,}0031$; 9) $0{,}629 \cdot 0{,}0031$.

Как думать. Тут спрятана опечатка! Во всех примерах второй множитель — 31, 3,1, 0,31… а не 51. Поэтому нам нужно $629 \cdot 31 = 19,499$. (Если бы было 51, ответы получились бы из 32 079 тем же способом.) Дальше только считаем цифры после запятой.

Решение.

Ответ: 1) 1949,9; 2) 1949,9; 3) 194,99; 4) 19,499; 5) 19,499; 6) 0,19499; 7) 0,19499; 8) 0,019499; 9) 0,0019499.

№ 671

Перемножь: 1) $1{,}3 \cdot 1{,}2$; 2) $2{,}7 \cdot 5{,}3$; 3) $1{,}28 \cdot 4{,}9$; 4) $0{,}467 \cdot 2{,}4$; 5) $18{,}2 \cdot 6{,}1$; 6) $9{,}05 \cdot 2{,}3$; 7) $11{,}07 \cdot 0{,}63$; 8) $29{,}1 \cdot 4{,}5$; 9) $0{,}782 \cdot 1{,}4$.

Решение.

Ответ: 1) 1,56; 2) 14,31; 3) 6,272; 4) 1,1208; 5) 111,02; 6) 20,815; 7) 6,9741; 8) 130,95; 9) 1,0948.

№ 672

Вычисли: 1) $5{,}13 \cdot 0{,}007$; 2) $0{,}016 \cdot 0{,}25$; 3) $0{,}008 \cdot 2{,}2$; 4) $0{,}019 \cdot 6{,}2$; 5) $7{,}5 \cdot 0{,}0204$; 6) $0{,}07 \cdot 0{,}61$; 7) $10{,}2 \cdot 0{,}055$; 8) $4{,}3 \cdot 0{,}062$; 9) $7{,}04 \cdot 0{,}009$.

Как думать. Здесь почти везде придётся дописывать нули слева. Считай цифры внимательно.

Решение.

1. $513 \cdot 7 = 3591$, отделяем 5 цифр: 0,03591.
2. $16 \cdot 25 = 400$, отделяем 5: 0,00400 = 0,004.
3. $8 \cdot 22 = 176$, отделяем 4: 0,0176.
4. $19 \cdot 62 = 1178$, отделяем 4: 0,1178.
5. $75 \cdot 204 = 15,300$, отделяем 5: 0,15300 = 0,153.
6. $7 \cdot 61 = 427$, отделяем 4: 0,0427.
7. $102 \cdot 55 = 5610$, отделяем 4: 0,5610 = 0,561.
8. $43 \cdot 62 = 2666$, отделяем 4: 0,2666.
9. $704 \cdot 9 = 6336$, отделяем 5: 0,06336.

Ответ: 1) 0,03591; 2) 0,004; 3) 0,0176; 4) 0,1178; 5) 0,153; 6) 0,0427; 7) 0,561; 8) 0,2666; 9) 0,06336.

№ 673

Реши уравнения: 1) $x : 5{,}8 = 365$; 2) $x : 8{,}4 = 2{,}3$; 3) $x : 8{,}1 = 0{,}15$; 4) $x : 0{,}22 = 4{,}9$.

Как думать. $x$ — неизвестное делимое. Чтобы его найти, умножаем частное на делитель.

Решение.

1. $x = 365 \cdot 5{,}8 = 2117$.
2. $x = 2{,}3 \cdot 8{,}4 = 19{,}32$.
3. $x = 0{,}15 \cdot 8{,}1 = 1{,}215$.
4. $x = 4{,}9 \cdot 0{,}22 = 1{,}078$.

Ответ: 1) 2117; 2) 19,32; 3) 1,215; 4) 1,078.

№ 674

Комната: длина 11,75 м, ширина 9,5 м. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Есть длина и ширина — просится вопрос: какова площадь комнаты? (Можно спросить и про периметр — сколько нужно плинтуса.)

Решение. $S = 11{,}75 \cdot 9{,}5$. Без запятых: $1175 \cdot 95 = 111,625$. Отделяем $2 + 1 = 3$ цифры: 111,625 м².

Ответ: площадь комнаты 111,625 м².

№ 675

Узнай, сколько стоит отопление 1 м² жилья в месяц. Сколько хозяин квартиры площадью 95,6 м² заплатит за отопление за год?

Как думать. Тариф разный в разных городах и меняется каждый год — посмотри его в квитанции за коммунальные услуги или спроси у родителей. Потом площадь умножаем на тариф, а результат — на число месяцев.

Решение. Пример: пусть тариф 180 тг за 1 м² в месяц (проверь по своей квитанции).

1. За месяц: $95{,}6 \cdot 180 = 17,208$ (тг).
2. За год: $17,208 \cdot 12 = 206,496$ (тг).

Во многих городах за отопление платят только в отопительный сезон, примерно 7 месяцев. Тогда $17,208 \cdot 7 = 120,456$ тг.

Ответ: зависит от тарифа; при 180 тг/м² — 206 496 тг за 12 месяцев.

🌟 Математика в жизни. Найди дома квитанцию за отопление. Раздели сумму на площадь квартиры — узнаешь ваш тариф за 1 м².

Уровень B

№ 676

Вычисли: 1) $85{,}6 \cdot (20{,}2 - 18{,}51) + 13{,}136$; 2) $(11{,}12 + 32{,}68) \cdot 17{,}9 - 95{,}02$.

Решение.

1. $20{,}2 - 18{,}51 = 1{,}69$; $85{,}6 \cdot 1{,}69 = 144{,}664$; $144{,}664 + 13{,}136 = 157{,}8$.
2. $11{,}12 + 32{,}68 = 43{,}8$; $43{,}8 \cdot 17{,}9 = 784{,}02$; $784{,}02 - 95{,}02 = 689$.

Ответ: 1) 157,8; 2) 689.

№ 677

Найди значения: 1) $600 \cdot (8{,}671 - 2{,}271) \cdot 2{,}05 + 7{,}68$; 2) $500 - 5{,}32 - 3{,}05 \cdot (9{,}438 - 5{,}238)$.

Решение.

1. См. шаги выше: 7879,68.
2. $9{,}438 - 5{,}238 = 4{,}2$; $3{,}05 \cdot 4{,}2 = 12{,}81$; $500 - 5{,}32 = 494{,}68$; $494{,}68 - 12{,}81 = 481{,}87$.

Ответ: 1) 7879,68; 2) 481,87.

№ 678

Вычисли: 1) $0{,}5^2$; 2) $0{,}3^3$; 3) $0{,}08^2$; 4) $0{,}011^2$.

Как думать. Степень — это умножение числа на себя. Цифры после запятой складываются: у квадрата их вдвое больше, у куба — втрое.

Решение.

1. $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$.
2. $0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027$.
3. $0{,}08 \cdot 0{,}08 = 0{,}0064$.
4. $0{,}011 \cdot 0{,}011 = 0{,}000121$.

Ответ: 1) 0,25; 2) 0,027; 3) 0,0064; 4) 0,000121.

⚠️ Частая ошибка. $0{,}5^2 = 0{,}10$? Нет! Это не «умножить на 2», а «умножить само на себя». $0{,}5^2 = 0{,}25$.

№ 679

Ширина прямоугольника 3,8 см, длина в 2,5 раза больше. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Вопрос: какова площадь прямоугольника? Сначала найдём длину.

Решение.

1. Длина: $3{,}8 \cdot 2{,}5 = 9{,}5$ (см).
2. Площадь: $9{,}5 \cdot 3{,}8 = 36{,}1$ (см²).

Ответ: площадь 36,1 см².

Уровень C

№ 680

Из двух посёлков навстречу друг другу одновременно выехали велосипедисты со скоростями 16,2 км/ч и 17 км/ч. Встретились через 1,5 ч. Каково расстояние между посёлками?

Как думать. Едут навстречу — каждый час расстояние сокращается на сумму скоростей.

Решение.

1. Скорость сближения: $16{,}2 + 17 = 33{,}2$ (км/ч).
2. Расстояние: $33{,}2 \cdot 1{,}5 = 49{,}8$ (км).

Ответ: 49,8 км.

№ 681

Надо проехать 325 км. В первый день проехали 0,4 пути, во второй — 0,2 пути. Сколько осталось?

Как думать. «0,4 от пути» — значит, умножить путь на 0,4.

Решение.

1. Первый день: $325 \cdot 0{,}4 = 130$ (км).
2. Второй день: $325 \cdot 0{,}2 = 65$ (км).
3. Осталось: $325 - 130 - 65 = 130$ (км).

Ответ: 130 км.

№ 682

Скворец летит со скоростью 19,5 м/с, стриж — в 1,4 раза быстрее. На сколько метров меньше пролетит скворец: 1) за 1 с; 2) за 1 мин?

Решение.

1. Скорость стрижа: $19{,}5 \cdot 1{,}4 = 27{,}3$ (м/с).
2. За 1 с разница: $27{,}3 - 19{,}5 = 7{,}8$ (м).
3. За 1 мин = 60 с: $7{,}8 \cdot 60 = 468$ (м).

Ответ: 1) на 7,8 м; 2) на 468 м.

🌟 Стриж — один из самых быстрых летунов. Он может месяцами не садиться на землю: даже спит в полёте.

Готовимся к следующей теме

№ 683

Усуни делали кувшины и чаши. Глины на 3 кувшина хватало на 7 чаш. Сколько чаш можно слепить из глины на 12 кувшинов?

Как думать. 12 кувшинов — это 4 раза по 3 кувшина.

Решение. $12 : 3 = 4$; $7 \cdot 4 = 28$ (чаш).

Ответ: 28 чаш.

№ 684

Бурых медведей в Казахстане $\frac{2}{3}$, а в Таджикистане $\frac{13}{30}$ от числа медведей в Кыргызстане. В Казахстане на 350 медведей больше, чем в Таджикистане. Сколько медведей во всех трёх странах?

Как думать. Всё сравнивается с Кыргызстаном. Найдём, какую часть составляет разница 350.

Решение.

1. $\frac{2}{3} = \frac{20}{30}$; разница долей: $\frac{20}{30} - \frac{13}{30} = \frac{7}{30}$.
2. $\frac{7}{30}$ — это 350 медведей, значит, в Кыргызстане $350 : 7 \cdot 30 = 1500$.
3. Казахстан: $1500 : 3 \cdot 2 = 1000$. Таджикистан: $1500 : 30 \cdot 13 = 650$.
4. Всего: $1500 + 1000 + 650 = 3150$.

Ответ: 3150 медведей (Кыргызстан — 1500, Казахстан — 1000, Таджикистан — 650).

№ 685

Запиши дробью со знаменателем 10 числа 7; 9; 13; 17.

Решение. $7 = \frac{70}{10}$; $9 = \frac{90}{10}$; $13 = \frac{130}{10}$; $17 = \frac{170}{10}$.

Ответ: $\frac{70}{10}$; $\frac{90}{10}$; $\frac{130}{10}$; $\frac{170}{10}$.

Шпаргалка

• Запятые в столбике не выравниваем — пишем по правому краю.
• Цифр после запятой в ответе = сумма цифр после запятой у множителей.
• Не хватает цифр — дописываем нули слева.
• Умножение на число меньше 1 уменьшает результат.
• Прикидка: округли множители и проверь порядок ответа.

Мини-тест