§ 37. Деление десятичной дроби на натуральное число

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 36–39.

Чему научишься

• Делить десятичную дробь на натуральное число уголком.
• Понимать, в какой момент ставить запятую в частном.
• Дописывать нули в делимом, чтобы деление закончилось.
• Превращать обыкновенную дробь в десятичную делением.
• Узнавать бесконечные десятичные дроби вроде 0,666…

Разминка

Это задания № 683–685 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Глины на 3 кувшина хватает на 7 чаш. Сколько чаш выйдет из глины на 12 кувшинов? 12 — это 4 раза по 3, значит, $7 \cdot 4 =$ 28 чаш.
• Запиши 7 дробью со знаменателем 10. $7 = \frac{70}{10}$.
• А 13 и 17? $\frac{130}{10}$ и $\frac{170}{10}$.
• Сколько десятых в 3 единицах? $3 = \frac{30}{10}$ — 30 десятых.
• Сколько будет $486 : 9$? 54. Запомни этот ответ — он сейчас пригодится.

💡 Последние два вопроса — ключ к уроку. Целое число всегда можно «разменять» на десятые: 3 единицы = 30 десятых. Как купюру в 1000 тенге — на десять сотенных.

Разбираемся

Делим ленту

Ленту длиной 48,6 дм режем на 9 равных кусков. Какой длины каждый кусок?

В сантиметрах это 486 см, а $486 : 9 = 54$ см $= 5{,}4$ дм. Значит, $48{,}6 : 9 = 5{,}4$. Цифры те же, что у натуральных чисел, — вопрос только в том, где поставить запятую.

Делим уголком

📌 Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число:

1. раздели целую часть и поставь запятую в частном, как только целая часть закончилась;
2. дели дальше как обычно; если цифры кончились, а остаток есть, дописывай в делимом нули после запятой.

Если целая часть меньше делителя

$1{,}43 : 11$. Целая часть 1 на 11 не делится — пишем в частном 0 и ставим запятую. Дальше: $14 : 11 = 1$, остаток 3; $33 : 11 = 3$. Ответ: 0,13.

Так же $99{,}90 : 135 = 0{,}74$: целых 99 меньше 135, поэтому частное начинается с «0,».

⚠️ Частая ошибка. Пишут $1{,}43 : 11 = 13$ или $1{,}3$ — забывают нуль целых. Проверь умножением: $0{,}13 \cdot 11 = 1{,}43$ ✓.

Обыкновенная дробь → десятичная

Черта дроби — это знак деления: $\frac{5}{16} = 5 : 16$. А к 5 можно дописать запятую и сколько угодно нулей: $5 = 5{,}0000$. Делим!

📌 Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, раздели числитель на знаменатель.

Деление, которое не кончается

Попробуй $\frac{2}{3} = 2 : 3$. Получаем 0,6, остаток 2. Снова 20 : 3 = 6, остаток 2. И снова… Остаток всё время 2, и шестёрки идут без конца: $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots$

Такую дробь называют бесконечной десятичной дробью. Многоточие значит: «цифры идут дальше».

🌟 Знаменитое число $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ Поэтому 100 тенге нельзя разделить на троих поровну до копейки — кому-то всегда достанется чуть больше.

👨‍👩‍👧 Родителю. Предложите ребёнку проверять каждое деление умножением: частное · делитель = делимое. Это занимает полминуты и ловит почти все ошибки с запятой.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как разделить десятичную дробь на натуральное число? Делим целую часть, ставим запятую в частном и продолжаем делить. Если нужно — дописываем нули после запятой в делимом.
• Как перевести обыкновенную дробь в десятичную? Разделить числитель на знаменатель.
• Какие десятичные дроби могут получиться при таком переводе? Конечные (деление закончилось, как $\frac{5}{16} = 0{,}3125$) или бесконечные (цифры повторяются без конца, как $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots$).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 686

Вычисли: 1) $1{,}4 : 7$; 2) $2{,}5 : 5$; 3) $2{,}7 : 9$; 4) $4{,}2 : 7$; 5) $0{,}15 : 3$; 6) $0{,}24 : 8$; 7) $0{,}36 : 4$; 8) $0{,}48 : 6$; 9) $0{,}63 : 9$; 10) $10{,}2 : 2$; 11) $33{,}3 : 3$; 12) $44{,}8 : 2$; 13) $18{,}45 : 15$; 14) $8{,}715 : 21$; 15) $67{,}52 : 32$; 16) $5{,}424 : 452$; 17) $4{,}238 : 326$; 18) $8{,}652 : 721$.

Как думать. Первые девять — устно, через таблицу умножения: $1{,}4 : 7$ — это 14 десятых : 7 = 2 десятых. Остальные — уголком. Проверяй умножением.

Решение.

Ответ: 1) 0,2; 2) 0,5; 3) 0,3; 4) 0,6; 5) 0,05; 6) 0,03; 7) 0,09; 8) 0,08; 9) 0,07; 10) 5,1; 11) 11,1; 12) 22,4; 13) 1,23; 14) 0,415; 15) 2,11; 16) 0,012; 17) 0,013; 18) 0,012.

⚠️ Частая ошибка. В $5{,}424 : 452$ пишут 0,12. Смотри: 5 : 452 — 0 целых; 54 : 452 — 0 десятых; 542 : 452 = 1 сотая. Нули в частном терять нельзя: 0,012.

№ 687

Переведи в десятичную дробь: 1) $\frac{41}{20}$; 2) $\frac{63}{40}$; 3) $\frac{23}{25}$; 4) $\frac{101}{100}$; 5) $\frac{17}{50}$; 6) $\frac{31}{50}$; 7) $3\frac{2}{5}$; 8) $5\frac{3}{8}$; 9) $6\frac{1}{4}$; 10) $11\frac{4}{25}$.

Как думать. Делим числитель на знаменатель. У смешанного числа целая часть остаётся целой, переводим только дробь. Иногда быстрее домножить знаменатель до 10, 100 или 1000: $\frac{23}{25} = \frac{92}{100}$.

Решение.

1. $41 : 20 = 2{,}05$.
2. $63 : 40 = 1{,}575$.
3. $\frac{23}{25} = \frac{92}{100} = 0{,}92$.
4. $\frac{101}{100} = 1{,}01$.
5. $\frac{17}{50} = \frac{34}{100} = 0{,}34$.
6. $\frac{31}{50} = \frac{62}{100} = 0{,}62$.
7. $\frac{2}{5} = 0{,}4$, значит, $3\frac{2}{5} = 3{,}4$.
8. $3 : 8 = 0{,}375$, значит, $5\frac{3}{8} = 5{,}375$.
9. $\frac{1}{4} = 0{,}25$, значит, $6\frac{1}{4} = 6{,}25$.
10. $\frac{4}{25} = \frac{16}{100} = 0{,}16$, значит, $11\frac{4}{25} = 11{,}16$.

Ответ: 1) 2,05; 2) 1,575; 3) 0,92; 4) 1,01; 5) 0,34; 6) 0,62; 7) 3,4; 8) 5,375; 9) 6,25; 10) 11,16.

№ 688

Марат уменьшил задуманное число на 79,29, потом увеличил результат в 4 раза и получил 6,84. Какое число он задумал?

Как думать. Распутываем с конца. Каждое действие заменяем обратным: «увеличил в 4 раза» → делим на 4, «уменьшил на 79,29» → прибавляем 79,29.

Решение.

1. $6{,}84 : 4 = 1{,}71$.
2. $1{,}71 + 79{,}29 = 81$.

Проверка: $(81 - 79{,}29) \cdot 4 = 1{,}71 \cdot 4 = 6{,}84$ ✓.

Ответ: 81.

№ 689

Реши уравнения: 1) $68x = 39{,}44$; 2) $71x = 3{,}266$; 3) $26x = 31{,}98$; 4) $18x = 813{,}6$.

Как думать. $x$ — неизвестный множитель. Делим произведение на известный множитель.

Решение.

1. $x = 39{,}44 : 68 = 0{,}58$.
2. $x = 3{,}266 : 71 = 0{,}046$.
3. $x = 31{,}98 : 26 = 1{,}23$.
4. $x = 813{,}6 : 18 = 45{,}2$.

Ответ: 1) 0,58; 2) 0,046; 3) 1,23; 4) 45,2.

№ 690

Найди значения: 1) $80{,}16 + 10{,}5 : 25$; 2) $200{,}2 - 5{,}04 : 36$; 3) $119{,}6 : 13 - 5{,}82$; 4) $30{,}34 : 37 + 18{,}18$.

Как думать. Деление выполняем раньше сложения и вычитания.

Решение.

1. $10{,}5 : 25 = 0{,}42$; $80{,}16 + 0{,}42 = 80{,}58$.
2. $5{,}04 : 36 = 0{,}14$; $200{,}2 - 0{,}14 = 200{,}06$.
3. $119{,}6 : 13 = 9{,}2$; $9{,}2 - 5{,}82 = 3{,}38$.
4. $30{,}34 : 37 = 0{,}82$; $0{,}82 + 18{,}18 = 19$.

Ответ: 1) 80,58; 2) 200,06; 3) 3,38; 4) 19.

№ 691

Сравни: 1) $14{,}7 : 35$ и $36{,}55 : 85$; 2) $25{,}41 : 21$ и $65{,}49 : 59$; 3) $125{,}475 : 15$ и $91{,}205 : 17$; 4) $556{,}92 : 42$ и $456{,}32 : 32$.

Как думать. Считаем оба частных и сравниваем десятичные дроби поразрядно.

Решение.

1. $0{,}42$ и $0{,}43$: $0{,}42 < 0{,}43$.
2. $1{,}21$ и $1{,}11$: $1{,}21 > 1{,}11$.
3. $8{,}365$ и $5{,}365$: $8{,}365 > 5{,}365$.
4. $13{,}26$ и $14{,}26$: $13{,}26 < 14{,}26$.

Ответ: 1) <; 2) >; 3) >; 4) <.

Уровень B

№ 692

Найди значения: 1) $0{,}36 : 9 + 2{,}55 \cdot 16 - 32{,}16 : 402$; 2) $27{,}027 : 27 + 88 \cdot 9{,}1 + 1{,}8 : 12$; 3) $6{,}16 : 28 + 100{,}2 : 3 - 5{,}2 \cdot 0{,}6$; 4) $232{,}323 : 23 - 40{,}4 : 8 + 0{,}16 \cdot 125$.

Как думать. Сначала все умножения и деления, потом сложение и вычитание слева направо.

Решение.

1. $0{,}04 + 40{,}8 - 0{,}08 = 40{,}76$.
2. $1{,}001 + 800{,}8 + 0{,}15 = 801{,}951$.
3. $0{,}22 + 33{,}4 - 3{,}12 = 30{,}5$.
4. $10{,}101 - 5{,}05 + 20 = 25{,}051$.

Ответ: 1) 40,76; 2) 801,951; 3) 30,5; 4) 25,051.

№ 693

Реши уравнения: 1) $8x + 42{,}15 = 44{,}75$; 2) $31{,}14 - 5x = 0{,}52$; 3) $10x - 133{,}2 = 11{,}6$; 4) $0{,}874 + 4x = 21{,}374$.

Как думать. Сначала находим всё произведение ($8x$, $5x$…) как неизвестное слагаемое, вычитаемое или уменьшаемое. Потом делим.

Решение.

1. $8x = 44{,}75 - 42{,}15 = 2{,}6$; $x = 2{,}6 : 8 = 0{,}325$.
2. $5x = 31{,}14 - 0{,}52 = 30{,}62$; $x = 30{,}62 : 5 = 6{,}124$.
3. $10x = 11{,}6 + 133{,}2 = 144{,}8$; $x = 14{,}48$.
4. $4x = 21{,}374 - 0{,}874 = 20{,}5$; $x = 20{,}5 : 4 = 5{,}125$.

Ответ: 1) 0,325; 2) 6,124; 3) 14,48; 4) 5,125.

№ 694

Переведи в десятичную дробь: 1) $\frac{19}{101}$; 2) $\frac{29}{55}$; 3) $\frac{31}{36}$; 4) $\frac{611}{4950}$.

Как думать. Делим числитель на знаменатель. Как только остаток повторился — цифры частного тоже начнут повторяться. Это бесконечная дробь, ставим многоточие.

Решение.

1. $19 : 101 = 0{,}18811881\ldots$ (повторяется 1881).
2. $29 : 55 = 0{,}52727\ldots$ (повторяется 27).
3. $31 : 36 = 0{,}86111\ldots$ (повторяется 1).
4. $611 : 4950 = 0{,}1234343\ldots$ (повторяется 34).

Ответ: 1) 0,18811881…; 2) 0,52727…; 3) 0,86111…; 4) 0,1234343…

№ 695

Длина прямоугольника 7,2 см, ширина в 6 раз меньше. Найди периметр.

Решение.

1. Ширина: $7{,}2 : 6 = 1{,}2$ (см).
2. Периметр: $(7{,}2 + 1{,}2) \cdot 2 = 16{,}8$ (см).

Ответ: 16,8 см.

Уровень C

№ 696

Гриб за трое суток вырос на 51,84 мм. На сколько миллиметров он вырастает за сутки?

Решение. $51{,}84 : 3 = 17{,}28$ (мм).

Ответ: на 17,28 мм.

🌟 Некоторые грибы — например, весёлка — вырастают на несколько миллиметров за минуту! После дождя за ними можно буквально наблюдать.

№ 697

Правда ли, что $0{,}3542 : 23 : 7 : 11 + 1{,}9998$ равно наименьшему простому числу?

Как думать. Наименьшее простое число — 2. Делим по очереди слева направо.

Решение.

1. $0{,}3542 : 23 = 0{,}0154$.
2. $0{,}0154 : 7 = 0{,}0022$.
3. $0{,}0022 : 11 = 0{,}0002$.
4. $0{,}0002 + 1{,}9998 = 2$.

Ответ: да, верно: значение равно 2.

№ 698

Проверь, что $(91{,}125 : 45 : 25 + 1{,}519) : 4 = 0{,}4$.

Решение.

1. $91{,}125 : 45 = 2{,}025$.
2. $2{,}025 : 25 = 0{,}081$.
3. $0{,}081 + 1{,}519 = 1{,}6$.
4. $1{,}6 : 4 = 0{,}4$ ✓.

Ответ: верно, значение равно 0,4.

Готовимся к следующей теме

№ 699

На какое число умножить а) 17,8; б) 3,45; в) 0,328; г) 425,36; д) 74,006, чтобы вышло натуральное число?

Как думать. Умножение на 10, 100, 1000 сдвигает запятую вправо на 1, 2, 3 знака. Сколько цифр после запятой — столько нулей и нужно.

Решение.

• а) $17{,}8 \cdot 10 = 178$;
• б) $3{,}45 \cdot 100 = 345$;
• в) $0{,}328 \cdot 1000 = 328$;
• г) $425{,}36 \cdot 100 = 42,536$;
• д) $74{,}006 \cdot 1000 = 74,006$.

Подойдёт и любое число, кратное этим (например, 20 или 200).

Ответ: а) на 10; б) на 100; в) на 1000; г) на 100; д) на 1000.

№ 700

Запиши частное обыкновенной дробью с натуральным знаменателем: 1) $15{,}79 : 1{,}9$; 2) $3{,}258 : 3{,}74$; 3) $74{,}0013 : 0{,}13$; 4) $473{,}37 : 4{,}7$.

Как думать. Частное можно записать дробью. Если делимое и делитель умножить на одно и то же число, частное не изменится. Умножаем на 10, 100… так, чтобы оба стали натуральными.

Решение.

1. $\frac{15{,}79}{1{,}9} = \frac{1579}{190}$ (умножили на 100).
2. $\frac{3{,}258}{3{,}74} = \frac{3258}{3740}$ (умножили на 1000).
3. $\frac{74{,}0013}{0{,}13} = \frac{740,013}{1300}$ (умножили на 10 000).
4. $\frac{473{,}37}{4{,}7} = \frac{47,337}{470}$ (умножили на 100).

Ответ: $\frac{1579}{190}$; $\frac{3258}{3740}$ (можно сократить до $\frac{1629}{1870}$); $\frac{740,013}{1300}$; $\frac{47,337}{470}$.

№ 701

Проволоку длиной 9,6 м разрезали на 6 равных кусков. Какой длины один кусок?

Решение. $9{,}6 : 6 = 1{,}6$ (м).

Ответ: 1,6 м.

Шпаргалка

• Делим целую часть → ставим запятую → делим дальше.
• Нули в частном (0,012) не теряем.
• В делимое после запятой можно дописывать нули.
• Обыкновенная дробь = числитель : знаменатель.
• Если остаток повторяется — дробь бесконечная, пишем «…».

Мини-тест