§ 38. Деление десятичных дробей

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 40–42.

Чему научишься

• Делить десятичную дробь на десятичную.
• Переносить запятые в делимом и делителе так, чтобы делитель стал натуральным.
• Дописывать нули, когда цифр для переноса запятой не хватает.
• Решать уравнения и задачи, где нужно делить на десятичную дробь.

Разминка

Это задания № 699–701 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• На что умножить 17,8, чтобы получилось натуральное число? На 10: $17{,}8 \cdot 10 = 178$.
• А 0,328? На 1000: получится 328. Сколько цифр после запятой, столько нулей у множителя.
• Как записать $15{,}79 : 1{,}9$ обыкновенной дробью с натуральным знаменателем? Умножим числитель и знаменатель на 10: $\frac{157{,}9}{19}$, а ещё на 10 — $\frac{1579}{190}$.
• Проволоку 9,6 м разрезали на 6 равных частей. Какая длина у части? $9{,}6 : 6 = 1{,}6$ м.

💡 Заметил? Если делимое и делитель умножить на одно и то же число, частное не изменится. Это и есть ключ к сегодняшнему уроку.

Разбираемся

Как избавиться от запятой в делителе

Представь: 8 тенге делят между 2 друзьями — каждому по 4. А если 80 тенге поделить на 20 друзей? Опять по 4! Частное не меняется, когда делимое и делитель увеличили в одно и то же число раз.

Этим и пользуемся. Пусть надо найти $3{,}792 : 7{,}9$. Умножим оба числа на 10:

$3{,}792 : 7{,}9 = 37{,}92 : 79$.

А делить десятичную дробь на натуральное число ты уже умеешь!

📌 Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную: 1) перенеси запятую в делимом и делителе вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе; 2) раздели на получившееся натуральное число.

Когда цифр не хватает

Найдём $60 : 0{,}25$. В делителе две цифры после запятой, а у 60 запятой будто и нет. Не беда: $60 = 60{,}00$. Переносим запятую на 2 цифры: $6000 : 25 = 240$.

Ещё пример: $129{,}47 : 2{,}354$. В делителе три знака после запятой, в делимом только два. Припишем нуль: $129{,}470 : 2{,}354 = 129,470 : 2354 = 55$.

⚠️ Частая ошибка. Переносят запятую только в делителе и забывают про делимое. Тогда ответ выходит в 10, 100 или 1000 раз меньше. Запятая «едет» в обоих числах на одно и то же число шагов.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка проверить деление умножением: $0{,}48 \cdot 7{,}9 = 3{,}792$. Это быстро ловит ошибки с запятой.

Почему частное может быть больше делимого

$1{,}96 : 0{,}04 = 49$. Ответ больше, чем делимое! Так и должно быть: в 1,96 «помещается» много маленьких кусочков по 0,04. Если делишь на число меньше 1, частное получается больше делимого.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как разделить десятичную дробь на десятичную? Перенести запятые в делимом и делителе вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе. Если в делимом цифр не хватает — дописать нули. Потом разделить на натуральное число.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 702

Раздели: 1) $3{,}6 : 0{,}4$; 2) $5{,}5 : 0{,}5$; 3) $8{,}4 : 1{,}2$; 4) $2{,}46 : 0{,}6$; 5) $4{,}68 : 0{,}9$; 6) $1{,}96 : 0{,}04$; 7) $0{,}522 : 0{,}3$; 8) $1{,}414 : 0{,}07$; 9) $0{,}275 : 0{,}5$.

Как думать. Смотри на делитель: одна цифра после запятой — запятые сдвигаем на 1, две — на 2.

Решение.

1. $36 : 4 = 9$
2. $55 : 5 = 11$
3. $84 : 12 = 7$
4. $24{,}6 : 6 = 4{,}1$
5. $46{,}8 : 9 = 5{,}2$
6. $196 : 4 = 49$
7. $5{,}22 : 3 = 1{,}74$
8. $141{,}4 : 7 = 20{,}2$
9. $2{,}75 : 5 = 0{,}55$

Ответ: 9; 11; 7; 4,1; 5,2; 49; 1,74; 20,2; 0,55.

№ 703

Вычисли: 1) $2{,}7 : 0{,}09$; 2) $4{,}2 : 0{,}21$; 3) $5{,}72 : 0{,}052$; 4) $60 : 0{,}25$; 5) $18 : 0{,}005$; 6) $12{,}6 : 0{,}042$; 7) $3{,}24 : 0{,}18$; 8) $62{,}5 : 0{,}0025$; 9) $0{,}0869 : 0{,}011$.

Как думать. Тут часто не хватает цифр в делимом — дописываем нули.

Решение.

1. $270 : 9 = 30$
2. $420 : 21 = 20$
3. $5720 : 52 = 110$
4. $6000 : 25 = 240$
5. $18,000 : 5 = 3600$
6. $12,600 : 42 = 300$
7. $324 : 18 = 18$
8. $625,000 : 25 = 25,000$
9. $86{,}9 : 11 = 7{,}9$

Ответ: 30; 20; 110; 240; 3600; 300; 18; 25 000; 7,9.

№ 704

Сравни: 1) $1{,}8 : 0{,}05$ и $1{,}48 : 0{,}04$; 2) $3 : 1{,}25$ и $3{,}3 : 1{,}32$.

Как думать. Считаем оба частных и сравниваем числа.

Решение.

1. $1{,}8 : 0{,}05 = 180 : 5 = 36$; $1{,}48 : 0{,}04 = 148 : 4 = 37$. $36 < 37$.
2. $3 : 1{,}25 = 300 : 125 = 2{,}4$; $3{,}3 : 1{,}32 = 330 : 132 = 2{,}5$. $2{,}4 < 2{,}5$.

Ответ: 1) $1{,}8 : 0{,}05 < 1{,}48 : 0{,}04$; 2) $3 : 1{,}25 < 3{,}3 : 1{,}32$.

№ 705

Площадь прямоугольника 1,17 см², длина 1,3 см. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Вопрос сам напрашивается: какая ширина? А можно ещё спросить про периметр.

Решение.

1. Вопрос: какова ширина прямоугольника? $1{,}17 : 1{,}3 = 11{,}7 : 13 = 0{,}9$ см.
2. Ещё вопрос: каков периметр? $2 \cdot (1{,}3 + 0{,}9) = 2 \cdot 2{,}2 = 4{,}4$ см.

Ответ: ширина 0,9 см; периметр 4,4 см.

№ 706

Арбуз весит 8,5 кг — это в 1,7 раза больше дыни. Придумай вопрос и реши.

Как думать. «Больше в 1,7 раза» значит, что дыня в 1,7 раза легче. Делим.

Решение.

1. Вопрос: сколько весит дыня? $8{,}5 : 1{,}7 = 85 : 17 = 5$ кг.
2. Ещё вопрос: сколько весят они вместе? $8{,}5 + 5 = 13{,}5$ кг.

Ответ: дыня 5 кг; вместе 13,5 кг.

№ 707

В первом ящике 27 кг овощей, во втором — в 1,2 раза меньше. Придумай вопрос и реши.

Решение.

1. Вопрос: сколько овощей во втором ящике? $27 : 1{,}2 = 270 : 12 = 22{,}5$ кг.
2. Ещё вопрос: сколько в двух ящиках вместе? $27 + 22{,}5 = 49{,}5$ кг.

Ответ: 22,5 кг; вместе 49,5 кг.

№ 708

Реши уравнения: 1) $0{,}21x = 6{,}3$; 2) $0{,}04x = 2$; 3) $2{,}7x = 2{,}727$; 4) $0{,}132x = 132$; 5) $0{,}6x = 4{,}2$; 6) $17{,}5x = 0{,}63$; 7) $13{,}5x = 1{,}08$; 8) $0{,}34x = 10{,}54$; 9) $0{,}09x = 94{,}5$; 10) $0{,}32x = 16{,}48$; 11) $0{,}35x = 2597$; 12) $1{,}2x = 4{,}02$.

Как думать. $x$ — неизвестный множитель. Делим произведение на известный множитель.

Решение.

1. $x = 6{,}3 : 0{,}21 = 630 : 21 = 30$
2. $x = 2 : 0{,}04 = 200 : 4 = 50$
3. $x = 2{,}727 : 2{,}7 = 27{,}27 : 27 = 1{,}01$
4. $x = 132 : 0{,}132 = 132,000 : 132 = 1000$
5. $x = 4{,}2 : 0{,}6 = 42 : 6 = 7$
6. $x = 0{,}63 : 17{,}5 = 6{,}3 : 175 = 0{,}036$
7. $x = 1{,}08 : 13{,}5 = 10{,}8 : 135 = 0{,}08$
8. $x = 10{,}54 : 0{,}34 = 1054 : 34 = 31$
9. $x = 94{,}5 : 0{,}09 = 9450 : 9 = 1050$
10. $x = 16{,}48 : 0{,}32 = 1648 : 32 = 51{,}5$
11. $x = 2597 : 0{,}35 = 259,700 : 35 = 7420$
12. $x = 4{,}02 : 1{,}2 = 40{,}2 : 12 = 3{,}35$

Ответ: 30; 50; 1,01; 1000; 7; 0,036; 0,08; 31; 1050; 51,5; 7420; 3,35.

№ 709

Выполни действия: 1) $4{,}37 : 1{,}9 + 8{,}78$; 2) $7{,}91 - 6{,}72 : 1{,}2$; 3) $6{,}88 : 1{,}6 - 3{,}99$; 4) $10{,}05 + 7{,}31 : 1{,}7$; 5) $85{,}8 : 0{,}33 - 258{,}1$; 6) $1{,}968 : 0{,}41 + 28{,}2$.

Как думать. Сначала деление, потом сложение или вычитание.

Решение.

1. $4{,}37 : 1{,}9 = 2{,}3$; $2{,}3 + 8{,}78 = 11{,}08$
2. $6{,}72 : 1{,}2 = 5{,}6$; $7{,}91 - 5{,}6 = 2{,}31$
3. $6{,}88 : 1{,}6 = 4{,}3$; $4{,}3 - 3{,}99 = 0{,}31$
4. $7{,}31 : 1{,}7 = 4{,}3$; $10{,}05 + 4{,}3 = 14{,}35$
5. $85{,}8 : 0{,}33 = 8580 : 33 = 260$; $260 - 258{,}1 = 1{,}9$
6. $1{,}968 : 0{,}41 = 196{,}8 : 41 = 4{,}8$; $4{,}8 + 28{,}2 = 33$

Ответ: 11,08; 2,31; 0,31; 14,35; 1,9; 33.

Уровень B

№ 710

Вычисли: 1) $2{,}093 : 9{,}1 + 0{,}2166 : 0{,}38$; 2) $0{,}004 : 0{,}25 - 0{,}2 : 16$; 3) $0{,}5415 : 0{,}57 - 0{,}003 : 0{,}024$; 4) $28{,}29 : 12{,}3 + 269{,}44 : 0{,}064$.

Как думать. В каждом примере два деления — делаем их по очереди, потом последнее действие.

Решение.

1. $2{,}093 : 9{,}1 = 20{,}93 : 91 = 0{,}23$; $0{,}2166 : 0{,}38 = 21{,}66 : 38 = 0{,}57$; $0{,}23 + 0{,}57 = 0{,}8$.
2. $0{,}004 : 0{,}25 = 0{,}4 : 25 = 0{,}016$; $0{,}2 : 16 = 0{,}0125$; $0{,}016 - 0{,}0125 = 0{,}0035$.
3. $0{,}5415 : 0{,}57 = 54{,}15 : 57 = 0{,}95$; $0{,}003 : 0{,}024 = 3 : 24 = 0{,}125$; $0{,}95 - 0{,}125 = 0{,}825$.
4. $28{,}29 : 12{,}3 = 282{,}9 : 123 = 2{,}3$; $269{,}44 : 0{,}064 = 269,440 : 64 = 4210$; $2{,}3 + 4210 = 4212{,}3$.

Ответ: 0,8; 0,0035; 0,825; 4212,3.

№ 711

Найди значение $6{,}57 : (x + 0{,}2) + 7{,}56 : (x - 0{,}2)$ при $x$ = 0,3; 0,7; 1,8.

Как думать. Подставляем $x$, считаем скобки, потом два деления и сумму.

Решение.

1. $x = 0{,}3$: $6{,}57 : 0{,}5 + 7{,}56 : 0{,}1 = 13{,}14 + 75{,}6 = 88{,}74$.
2. $x = 0{,}7$: $6{,}57 : 0{,}9 + 7{,}56 : 0{,}5 = 7{,}3 + 15{,}12 = 22{,}42$.
3. $x = 1{,}8$: $6{,}57 : 2 + 7{,}56 : 1{,}6 = 3{,}285 + 4{,}725 = 8{,}01$.

Ответ: 88,74; 22,42; 8,01.

№ 712

Семя сосны весит 0,099 г. За 25 лет из него выросло дерево. Семя составляет 0,0000011 массы дерева. Найди массу дерева.

Как думать. Известна часть (масса семени) и какую долю она составляет. Целое находим делением.

Решение.

1. $0{,}099 : 0{,}0000011 = 990,000 : 11 = 90,000$ г.
2. $90,000$ г $= 90$ кг.

Ответ: 90 кг.

🌟 Из крупинки в одну десятую грамма — дерево тяжелее взрослого человека! Почти всю массу сосна берёт из воздуха (углекислый газ) и воды.

№ 713

Найди корни: 1) $(12 - x) \cdot 6{,}5 = 23{,}4$; 2) $(y - 3{,}3) : 5{,}3 = 0{,}07$; 3) $153 + 0{,}625y = 215{,}5$; 4) $0{,}32x + 0{,}47 = 12{,}8$.

Как думать. Сначала находим всю скобку (или всё слагаемое с буквой), потом саму букву.

Решение.

1. $12 - x = 23{,}4 : 6{,}5 = 3{,}6$; $x = 12 - 3{,}6 = 8{,}4$.
2. $y - 3{,}3 = 0{,}07 \cdot 5{,}3 = 0{,}371$; $y = 3{,}671$.
3. $0{,}625y = 215{,}5 - 153 = 62{,}5$; $y = 62{,}5 : 0{,}625 = 100$.
4. $0{,}32x = 12{,}8 - 0{,}47 = 12{,}33$; $x = 12{,}33 : 0{,}32 = 38{,}53125$.

Ответ: 8,4; 3,671; 100; 38,53125.

№ 714

Вырази в часах десятичной дробью: 8 мин; 36 мин; 2 ч 12 мин; 2 ч 15 мин; 3 ч 48 мин.

Как думать. 1 мин — это $\frac{1}{60}$ ч. Минуты делим на 60.

Решение.

1. $8 : 60 = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ ч. Конечной десятичной дробью это не записать: $0{,}1333…$, примерно 0,13 ч.
2. $36 : 60 = 0{,}6$ ч.
3. $12 : 60 = 0{,}2$, значит, 2,2 ч.
4. $15 : 60 = 0{,}25$, значит, 2,25 ч.
5. $48 : 60 = 0{,}8$, значит, 3,8 ч.

Ответ: ≈ 0,13 ч ($\frac{2}{15}$ ч); 0,6 ч; 2,2 ч; 2,25 ч; 3,8 ч.

№ 715

Найди высоту прямоугольного параллелепипеда: длина 4,8 см, ширина 1,5 см, объём 18,72 см³. Реши уравнением, составь обратные задачи.

Как думать. $V = a \cdot b \cdot h$. Высота — неизвестный множитель.

Решение.

1. Пусть высота $h$ см. Тогда $4{,}8 \cdot 1{,}5 \cdot h = 18{,}72$.
2. $7{,}2h = 18{,}72$; $h = 18{,}72 : 7{,}2 = 187{,}2 : 72 = 2{,}6$.

Обратные задачи:

• Длина 4,8 см, ширина 1,5 см, высота 2,6 см. Найди объём: $4{,}8 \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}6 = 18{,}72$ см³.
• Объём 18,72 см³, ширина 1,5 см, высота 2,6 см. Найди длину: $18{,}72 : (1{,}5 \cdot 2{,}6) = 18{,}72 : 3{,}9 = 4{,}8$ см.
• Объём 18,72 см³, длина 4,8 см, высота 2,6 см. Найди ширину: $18{,}72 : (4{,}8 \cdot 2{,}6) = 18{,}72 : 12{,}48 = 1{,}5$ см.

Ответ: 2,6 см.

Уровень C

№ 716

Сравни корни уравнений $89{,}89 : x + 6{,}16 : 0{,}56 = 100$ и $0{,}824 : (x - 0{,}61) = 2{,}06$.

Как думать. Задача повышенной трудности. Решаем каждое уравнение по шагам — сначала то, что можно посчитать сразу.

Решение. Первое: $89{,}89 : x = 100 - 11 = 89$, $x = 1{,}01$. Второе: $x - 0{,}61 = 0{,}4$, $x = 1{,}01$.

Ответ: корни равны (1,01).

№ 717

Верно ли, что $12{,}6 : 5{,}6 : 0{,}3 : 0{,}75$ — наименьшее двузначное число?

Как думать. Делим слева направо по очереди. Наименьшее двузначное число — 10.

Решение.

1. $12{,}6 : 5{,}6 = 126 : 56 = 2{,}25$
2. $2{,}25 : 0{,}3 = 22{,}5 : 3 = 7{,}5$
3. $7{,}5 : 0{,}75 = 750 : 75 = 10$

Ответ: верно, получается 10.

Готовимся к следующей теме

№ 718

Назови цифры разрядов и сколько всего единиц, десятков, сотен… в числах 200; 1234; 501 284; 19 200 346.

Как думать. «Какая цифра в разряде» — смотрим одну цифру. «Сколько всего десятков» — отбрасываем цифры справа от этого разряда.

Решение.

1. 200: единицы 0, десятки 0, сотни 2. Всего 200 единиц, 20 десятков, 2 сотни.
2. 1234: единицы 4, десятки 3, сотни 2, тысячи 1. Всего 1234 единицы, 123 десятка, 12 сотен, 1 тысяча.
3. 501 284: в разряде сотен 2, десятков тысяч 0. Всего 50 128 десятков, 501 тысяча, 50 десятков тысяч.
4. 19 200 346: сотни тысяч 2, единицы миллионов 9, десятки миллионов 1. Всего 19 200 тысяч, 19 миллионов, 1 десяток миллионов.

Ответ: см. решение.

№ 719

Какие цифры в разрядах: 1) десятых, сотых, тысячных у 0,235; 2) десятых, стотысячных, десятитысячных у 0,67235; 3) десятков и десятых, сотен и сотых, тысяч и тысячных у 612,809?

Решение.

1. 0,235: десятые 2, сотые 3, тысячные 5.
2. 0,67235: десятые 6, десятитысячные 3, стотысячные 5.
3. 612,809: десятки 1 и десятые 8; сотни 6 и сотые 0; тысяч нет (0), тысячные 9.

Ответ: 2, 3, 5; 6, 5, 3; 1 и 8, 6 и 0, 0 и 9.

№ 720

Вставь цифры вместо : 1) $26{,}7 \le 26{,}75$; 2) $120{,}7 \ge 120{,}74$; 3) $708{,}26 \le 7058{,}26$.

Как думать. Всё совпадает, кроме одной цифры. Значит, сравниваем только её.

Решение.

1. $* \le 5$: подходят 0, 1, 2, 3, 4, 5.
2. $* \ge 4$: подходят 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3. $* \le 5$: подходят 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1) 0–5; 2) 4–9; 3) 0–5.

Шпаргалка

• $3{,}792 : 7{,}9 = 37{,}92 : 79 = 0{,}48$.
• Запятую переносим вправо в делимом и делителе на одно и то же число цифр.
• Ориентир — делитель: он должен стать натуральным.
• Если цифр не хватает, приписываем нули.
• Делишь на число меньше 1 — ответ вырастет.

Мини-тест