§ 39. Умножение и деление десятичных дробей на 10, 100, 1000, … и на 0,1, 0,01, 0,001, …

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 43–46.

Чему научишься

• Умножать и делить десятичную дробь на 10, 100, 1000 в одно движение — сдвигом запятой.
• Умножать и делить на 0,1; 0,01; 0,001 так же быстро.
• Понимать, почему умножить на 0,1 — то же самое, что разделить на 10.
• Переводить единицы: метры в сантиметры, килограммы в тонны, гектары в квадратные километры.

Разминка

Это задания № 718–720 из прошлого урока. Ответь в уме, потом открой ответ.

• Какая цифра стоит в разряде десятых у 0,235? А в разряде тысячных? Десятые — 2, тысячные — 5.
• Сколько всего десятков в числе 1234? 123 десятка (отбрасываем единицы).
• Какие цифры можно поставить вместо , чтобы $26{,}7 \le 26{,}75$? От 0 до 5.
• Сколько стоит 10 конфет по 23 тенге? 230 тенге — к числу просто приписали нуль.

💡 Каждый разряд в 10 раз больше соседа справа. Поэтому при умножении на 10 все цифры «переезжают» на один разряд влево. А запятая как будто сдвигается вправо.

Разбираемся

Запятая едет вправо

Возьмём 7,654 и умножим на 10, 100, 1000:

• $7{,}654 \cdot 10 = 76{,}54$
• $7{,}654 \cdot 100 = 765{,}4$
• $7{,}654 \cdot 1000 = 7654$

Видишь закономерность? Сколько нулей у множителя, на столько цифр запятая сдвинулась вправо.

📌 Умножаешь на 10, 100, 1000… — переноси запятую вправо на 1, 2, 3… цифры. Цифр не хватает — дописывай нули справа: $0{,}58 \cdot 1000 = 580$.

Запятая едет влево

Деление — обратное действие, значит, и запятая поедет в обратную сторону, влево:

• $12{,}34 : 10 = 1{,}234$
• $12{,}34 : 100 = 0{,}1234$
• $12{,}34 : 1000 = 0{,}01234$

Если цифр слева не хватает, дописываем нули: в последнем примере появился нуль после запятой.

⚠️ Частая ошибка. Путают направление. Запомни так: умножаем на 10 — число растёт, значит, запятая уходит вправо и «целая часть» становится длиннее. Делим — число уменьшается, запятая уходит влево.

Почему 0,1 и 10 — «братья»

Умножить на 0,1 — значит взять одну десятую часть числа. А это то же самое, что разделить на 10! Так же $\cdot, 0{,}01$ — это $: 100$, а $\cdot, 0{,}001$ — это $: 1000$.

И наоборот: разделить на 0,1 — значит узнать, сколько десятых долей в числе. В одном целом их 10, поэтому $: 0{,}1$ — это $\cdot, 10$.

• $1234{,}56 \cdot 0{,}01 = 12{,}3456$ (как $: 100$)
• $1234{,}56 : 0{,}01 = 123,456$ (как $\cdot, 100$)

📌 Умножаешь на 0,1; 0,01; 0,001 — запятая влево на столько цифр, сколько их после запятой во множителе. Делишь — вправо на столько же.

👨‍👩‍👧 Родителю. Проверьте здравым смыслом: «Ты умножил 35,4 на 0,1 — ответ должен стать больше или меньше?» Если ребёнок понимает, что меньше (одна десятая часть), он не ошибётся с направлением.

Отметь сам

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000…? Перенести запятую вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.
• Как разделить на 10, 100, 1000…? Перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей в делителе. Не хватает цифр — дописать нули слева.
• Как умножить и разделить на 0,1; 0,01; 0,001…? При умножении запятая уходит влево, при делении — вправо, на столько цифр, сколько их после запятой в 0,1 / 0,01 / 0,001.
• Как связаны умножение на 10, 100… и деление на 0,1, 0,01…? Это одно и то же: $a \cdot 10 = a : 0{,}1$, $a \cdot 100 = a : 0{,}01$.
• Как связаны деление на 10, 100… и умножение на 0,1, 0,01…? Тоже одно и то же: $a : 10 = a \cdot 0{,}1$, $a : 100 = a \cdot 0{,}01$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 721

а) Запятую сдвинули вправо на 2; 4; 5 разрядов. Во сколько раз выросла дробь? б) Сдвинули влево на 2; 4; 6 разрядов. Во сколько раз уменьшилась?

Как думать. Сдвиг на один разряд — в 10 раз. На два — в 100 раз и так далее: единица и столько нулей, на сколько разрядов сдвинули.

Решение.

• а) в 100 раз; в 10 000 раз; в 100 000 раз.
• б) в 100 раз; в 10 000 раз; в 1 000 000 раз.

Ответ: а) 100; 10 000; 100 000; б) 100; 10 000; 1 000 000.

№ 722

Найди: 1) $2{,}3 \cdot 10$; 2) $9{,}468 \cdot 100$; 3) $0{,}625 \cdot 1000$; 4) $0{,}58 \cdot 10$; 5) $31{,}17 \cdot 10,000$; 6) $0{,}39 \cdot 100$; 7) $7{,}3 : 10$; 8) $0{,}074 : 1000$; 9) $7819{,}2 : 1000$; 10) $4{,}25 : 10$; 11) $560{,}9 : 10,000$; 12) $50{,}6 : 100$.

Как думать. Умножение — вправо, деление — влево. Считаем нули.

Решение.

Ответ: 23; 946,8; 625; 5,8; 311 700; 39; 0,73; 0,000074; 7,8192; 0,425; 0,05609; 0,506.

№ 723

Вычисли: 1) $35{,}4 \cdot 0{,}1$; 2) $6{,}25 \cdot 0{,}1$; 3) $0{,}0091 : 0{,}001$; 4) $4{,}9 \cdot 0{,}001$; 5) $3{,}18 : 0{,}001$; 6) $1{,}614 \cdot 0{,}1$; 7) $0{,}2 \cdot 0{,}01$; 8) $0{,}296 : 0{,}01$; 9) $4{,}87 : 0{,}0001$; 10) $78 \cdot 0{,}1$; 11) $53 \cdot 0{,}1$; 12) $5 \cdot 0{,}01$.

Как думать. $\cdot, 0{,}1$ — то же, что $: 10$ (запятая влево). $: 0{,}01$ — то же, что $\cdot, 100$ (запятая вправо).

Решение.

1. $35{,}4 \cdot 0{,}1 = 3{,}54$
2. $6{,}25 \cdot 0{,}1 = 0{,}625$
3. $0{,}0091 : 0{,}001 = 9{,}1$
4. $4{,}9 \cdot 0{,}001 = 0{,}0049$
5. $3{,}18 : 0{,}001 = 3180$
6. $1{,}614 \cdot 0{,}1 = 0{,}1614$
7. $0{,}2 \cdot 0{,}01 = 0{,}002$
8. $0{,}296 : 0{,}01 = 29{,}6$
9. $4{,}87 : 0{,}0001 = 48,700$
10. $78 \cdot 0{,}1 = 7{,}8$
11. $53 \cdot 0{,}1 = 5{,}3$
12. $5 \cdot 0{,}01 = 0{,}05$

Ответ: 3,54; 0,625; 9,1; 0,0049; 3180; 0,1614; 0,002; 29,6; 48 700; 7,8; 5,3; 0,05.

№ 724

В 1 м³ воды — 1 т, молока — 1030 кг, нефти — от 720 до 850 кг. Сколько в среднем весит 1 л каждого вещества?

Как думать. В 1 м³ помещается 1000 л. Значит, массу 1 м³ делим на 1000.

Решение.

1. Вода: 1 т = 1000 кг; $1000 : 1000 = 1$ кг.
2. Молоко: $1030 : 1000 = 1{,}03$ кг.
3. Нефть: $720 : 1000 = 0{,}72$ кг, $850 : 1000 = 0{,}85$ кг.

Ответ: вода 1 кг; молоко 1,03 кг; нефть от 0,72 до 0,85 кг.

🌟 Литр нефти легче литра воды. Поэтому пятно нефти не тонет, а растекается по поверхности моря.

№ 725

В 1 м³: картофеля 650 кг, свёклы 630 кг, ячменя 690 кг, овса 430 кг, гороха 700 кг. Найди массу 1 дм³.

Как думать. $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$. Делим каждое число на 1000.

Решение. Картофель $650 : 1000 = 0{,}65$ кг; свёкла 0,63 кг; ячмень 0,69 кг; овёс 0,43 кг; горох 0,7 кг.

Ответ: 0,65 кг; 0,63 кг; 0,69 кг; 0,43 кг; 0,7 кг.

№ 726

Волосы растут на 0,35–0,4 мм в сутки. На сколько сантиметров и дециметров они вырастут за 4 года без стрижки?

Как думать. Сначала считаем дни, потом миллиметры. 10 мм = 1 см, 100 мм = 1 дм — значит, делим на 10 и на 100.

Решение.

1. 4 года ≈ $4 \cdot 365 = 1460$ суток.
2. Меньше всего: $0{,}35 \cdot 1460 = 511$ мм. Больше всего: $0{,}4 \cdot 1460 = 584$ мм.
3. В сантиметрах: $511 : 10 = 51{,}1$ см; $584 : 10 = 58{,}4$ см.
4. В дециметрах: $511 : 100 = 5{,}11$ дм; $584 : 100 = 5{,}84$ дм.

Ответ: 1) от 51,1 до 58,4 см; 2) от 5,11 до 5,84 дм. (Если учесть високосный год — 1461 сутки, — результат почти не изменится.)

Уровень B

№ 727

Найди значения: 1) $14{,}25a + 0{,}025b + 0{,}795c$ при $a = 10$, $b = 100$, $c = 1000$; 2) $34{,}9x + 1856y + 0{,}5z$ при $x = 0{,}1$, $y = 0{,}01$, $z = 0{,}001$.

Как думать. Каждое произведение — это просто сдвиг запятой.

Решение.

1. $142{,}5 + 2{,}5 + 795 = 940$.
2. $3{,}49 + 18{,}56 + 0{,}0005 = 22{,}0505$.

Ответ: 1) 940; 2) 22,0505.

№ 728

Выполни действия: 1) $(0{,}38 : 0{,}1 - 295 : 100 + 0{,}00164 \cdot 10,000) \cdot 0{,}1 + 7{,}5 \cdot 0{,}01$; 2) $0{,}84 \cdot 100 \cdot 0{,}1 + 595{,}9 \cdot 0{,}01 - (9{,}115 : 0{,}01 - 8{,}56 : 0{,}1) : 100$.

Как думать. Длинно, но каждое действие — сдвиг запятой. Сначала скобки, потом остальное.

Решение.

1. Скобки: $3{,}8 - 2{,}95 + 16{,}4 = 17{,}25$; $17{,}25 \cdot 0{,}1 = 1{,}725$; $1{,}725 + 0{,}075 = 1{,}8$.
2. $0{,}84 \cdot 100 \cdot 0{,}1 = 8{,}4$; $595{,}9 \cdot 0{,}01 = 5{,}959$; скобки: $911{,}5 - 85{,}6 = 825{,}9$; $825{,}9 : 100 = 8{,}259$; итог $8{,}4 + 5{,}959 - 8{,}259 = 6{,}1$.

Ответ: 1) 1,8; 2) 6,1.

№ 729

Под развлекательный центр «Думан» в Астане отвели 110 000 м². Сколько это гектаров и квадратных километров?

Как думать. 1 га = 10 000 м², 1 км² = 1 000 000 м².

Решение.

1. $110,000 : 10,000 = 11$ га.
2. $110,000 : 1,000,000 = 0{,}11$ км².

Ответ: 1) 11 га; 2) 0,11 км².

🌟 «Думан» — это океанариум и развлекательный центр в Астане. 11 га — примерно 15 футбольных полей.

Уровень C

№ 730

Заполни пропуски: 1) 5,3 м = … см; 2) 5,2 кг = … г; 3) 34 м² = … дм²; 4) 0,18 м = … дм; 5) 6,315 т = … ц; 6) 15,2 га = … а; 7) 12,7 дм = … мм; 8) 92,03 т = … кг; 9) 0,06 дм² = … мм²; 10) 0,04 км = … м; 11) 0,74 ц = … кг; 12) 0,95 км² = … м².

Как думать. Из крупной единицы в мелкую — умножаем, запятая вправо. Главное — знать, во сколько раз отличаются единицы. С квадратными будь осторожен: 1 м² = 100 дм², а не 10.

Решение.

1. 1 м = 100 см: 530 см.
2. 1 кг = 1000 г: 5200 г.
3. 1 м² = 100 дм²: 3400 дм².
4. 1 м = 10 дм: 1,8 дм.
5. 1 т = 10 ц: 63,15 ц.
6. 1 га = 100 а: 1520 а.
7. 1 дм = 100 мм: 1270 мм.
8. 1 т = 1000 кг: 92 030 кг.
9. 1 дм² = 10 000 мм²: 600 мм².
10. 1 км = 1000 м: 40 м.
11. 1 ц = 100 кг: 74 кг.
12. 1 км² = 1 000 000 м²: 950 000 м².

Ответ: 530; 5200; 3400; 1,8; 63,15; 1520; 1270; 92 030; 600; 40; 74; 950 000.

№ 731

Заполни пропуски: 1) 7,8 мм = … см; 2) 29 кг = … т; 3) 1,5 мм² = … см²; 4) 43,6 см = … м; 5) 17,5 ц = … т; 6) 140 см² = … м²; 7) 15 м = … км; 8) 8,4 кг = … ц; 9) 56,1 а = … га; 10) 1920 дм = … км; 11) 250 г = … кг; 12) 60 000 м² = … км².

Как думать. Теперь наоборот: из мелкой единицы в крупную — делим, запятая влево.

Решение.

1. $7{,}8 : 10 = 0{,}78$ см.
2. $29 : 1000 = 0{,}029$ т.
3. 1 см² = 100 мм²: $1{,}5 : 100 = 0{,}015$ см².
4. $43{,}6 : 100 = 0{,}436$ м.
5. $17{,}5 : 10 = 1{,}75$ т.
6. 1 м² = 10 000 см²: $140 : 10,000 = 0{,}014$ м².
7. $15 : 1000 = 0{,}015$ км.
8. $8{,}4 : 100 = 0{,}084$ ц.
9. $56{,}1 : 100 = 0{,}561$ га.
10. 1 км = 10 000 дм: $1920 : 10,000 = 0{,}192$ км.
11. $250 : 1000 = 0{,}25$ кг.
12. $60,000 : 1,000,000 = 0{,}06$ км².

Ответ: 0,78; 0,029; 0,015; 0,436; 1,75; 0,014; 0,015; 0,084; 0,561; 0,192; 0,25; 0,06.

⚠️ Частая ошибка. «140 см² = 1,4 м²» — неверно! В квадратном метре не 100, а 10 000 квадратных сантиметров ($100 \cdot 100$).

Математика и здоровье

№ 732

В 100 г чёрной смородины около 250 мг витамина C (1 мг = 0,001 г). Сколько граммов витамина в 1 кг ягод? Сколько это суточных доз, если доза для взрослого — 0,05 г?

Как думать. 1 кг = 1000 г — это 10 раз по 100 г.

Решение.

1. В 1 кг: $250 \cdot 10 = 2500$ мг.
2. В граммах: $2500 \cdot 0{,}001 = 2{,}5$ г.
3. Доз: $2{,}5 : 0{,}05 = 250 : 5 = 50$.

Ответ: 2,5 г; 50 суточных доз.

💡 Горсть смородины в 20 г уже покрывает дневную норму витамина C. Можешь проверить расчётом: $0{,}05$ г = 50 мг, а это 20 г ягод.

Готовимся к следующей теме

№ 733

На завод привезли 6440 кг огурцов, засолили $\frac{3}{4}$ из них по 3 кг в банку. Сколько банок понадобилось?

Решение.

1. Засолили: $6440 : 4 \cdot 3 = 4830$ кг.
2. Банок: $4830 : 3 = 1610$.

Ответ: 1610 банок.

№ 734

Запиши двумя способами равенством: 1) $x$ в 9 раз меньше $y$; 2) $a$ на 15 больше $b$; 3) $m$ в 2 раза больше $n$; 4) $c$ на 4 меньше $d$.

Как думать. «Меньше в 9 раз» — делим большее, или умножаем меньшее. «На 15 больше» — прибавляем, или находим разность.

Решение.

1. $x = y : 9$; $y = 9x$.
2. $a = b + 15$; $a - b = 15$.
3. $m = 2n$; $n = m : 2$.
4. $c = d - 4$; $d - c = 4$.

Ответ: см. решение.

№ 735

Найди объём куба с ребром $1\frac{2}{3}$ дм.

Решение. $V = \left(1\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{125}{27} = 4\frac{17}{27}$ дм³.

Ответ: $4\frac{17}{27}$ дм³.

№ 736

Товарный поезд прошёл 315 км за 9 ч, пассажирский — за 7 ч. Придумай вопрос и реши.

Как думать. Хороший вопрос: на сколько скорость пассажирского больше?

Решение.

1. Товарный: $315 : 9 = 35$ км/ч.
2. Пассажирский: $315 : 7 = 45$ км/ч.
3. Разница: $45 - 35 = 10$ км/ч.

Ответ: скорость пассажирского на 10 км/ч больше.

Шпаргалка

• Умножение на 10, 100… — запятая вправо; деление — влево.
• Умножение на 0,1; 0,01… — запятая влево; деление — вправо.
• $a \cdot 0{,}1 = a : 10$, $a : 0{,}1 = a \cdot 10$.
• Число сдвигов = число нулей (или цифр после запятой у 0,01…).
• Квадратные единицы: шаг не 10, а 100.

Мини-тест