§ 5. Числовые и буквенные выражения. Упрощение выражений

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 1: Натуральные числа и нуль. Страницы 26–30.

Чему научишься

• Считать рационально — то есть самым коротким и удобным путём.
• Выносить общий множитель за скобки и раскрывать скобки.
• Упрощать буквенные выражения вроде $44x + 16x$.
• Находить значение выражения при заданном значении буквы.

Разминка

Это задания № 58–60 из прошлого урока.

• Пример числового выражения? $(100 - 36) : 8$. Его значение находим действиями по порядку: $64 : 8 = 8$.
• Пример буквенного выражения? $a + 5$. Чтобы найти значение, подставляем число: при $a = 10$ получаем 15.
• Равны ли $875 + 328 + 451$ и $451 + 328 + 875$? Да, слагаемые те же, только переставлены.
• Равны ли $(736 + 487) \cdot 236$ и $736 \cdot 236 + 487 \cdot 236$? Да! Это распределительное свойство.
• Сколько будет $638 \cdot 87 + 362 \cdot 87$? $(638 + 362) \cdot 87 = 1000 \cdot 87 = 87,000$.

💡 В последнем вопросе ты уже упростил выражение: вместо двух умножений сделал одно. Сегодня научимся делать это и с буквами.

Разбираемся

Рациональный способ — это короткая дорога

Сравни: $(273 + 184) + (727 + 816)$ и $(273 + 727) + (184 + 816)$. Слагаемые одни и те же. Но во втором сразу видно: $1000 + 1000 = 2000$!

Когда мы переставляем и группируем числа так, чтобы считать было легче, это называется рациональным способом вычисления. Вот ещё примеры:

• $4 \cdot (25 \cdot 789) = (4 \cdot 25) \cdot 789 = 78,900$ — сгруппировали множители;
• $128 \cdot 67 - 28 \cdot 67 = (128 - 28) \cdot 67 = 6700$ — разность превратили в произведение;
• $(500 + 25) \cdot 4 = 2000 + 100 = 2100$ — произведение превратили в сумму.

Буквы складываются как яблоки

Представь: у Айгерим 44 пакета по $x$ конфет, а у Тимура 16 таких же пакетов. Сколько всего? $44 \cdot x + 16 \cdot x$. Но ведь это просто $44 + 16 = 60$ пакетов!

$44 \cdot x + 16 \cdot x = (44 + 16) \cdot x = 60 \cdot x$.

Одинаковый множитель $x$ оказался за скобками. Говорят: вынесли общий множитель за скобки. А сумма превратилась в произведение.

📌 Знак умножения между числом и буквой (или между буквами) обычно не пишут: вместо $60 \cdot x$ пишут $60x$, вместо $a \cdot b$ — $ab$.

Раскрываем скобки

Если в сумме есть скобки, их можно убрать — ведь слагаемые складывают в любом порядке:

$8y + (3y + 6) + (y + 1) = 8y + 3y + 6 + y + 1$.

Это называется раскрыть скобки. Дальше собираем «буквенные» слагаемые с буквенными, а числа — с числами. Посмотри, как упростить $14c + 18 + 5c + 10$:

⚠️ Частая ошибка. $19c + 28$ — это не $47c$! Буквенное слагаемое и число складывать нельзя, как нельзя сложить 19 яблок и 28 тенге в «47 яблоко-тенге».

👨‍👩‍👧 Родителю. Если ребёнок путается, предложите подставить вместо буквы маленькое число, например $c = 1$, и посчитать обе части. Если ответы разные — упрощение неверное.

Ещё пара примеров

• $5a \cdot (7 \cdot 4) = 5 \cdot 7 \cdot 4 \cdot a = 140a$;
• $(15b - 7b) \cdot 3 = 8b \cdot 3 = 24b$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Рационально ли вынести 6 за скобки в $93 \cdot 6 + 7 \cdot 6$? Да: $(93 + 7) \cdot 6 = 100 \cdot 6 = 600$.
• Рационально ли раскрыть скобки в $4 \cdot (25 \cdot 78)$? Да: $4 \cdot 25 \cdot 78 = 100 \cdot 78 = 7800$.
• Рационально ли записать $93 \cdot 6 - 3 \cdot 6$ как произведение? Да: $(93 - 3) \cdot 6 = 90 \cdot 6 = 540$.
• Рационально ли записать сумму $93 \cdot 6 + 7 \cdot 6$ как произведение? Да, получится $100 \cdot 6 = 600$.
• Рационально ли записать $(100 - 25) \cdot 4$ как разность? Да: $400 - 100 = 300$.
• Рационально ли записать $(100 + 25) \cdot 4$ как сумму? Да: $400 + 100 = 500$. Во всех случаях получаются круглые числа, поэтому счёт короче.
• Каким свойством выносят общий множитель за скобки и записывают сумму (разность) в виде произведения? Распределительным: $ac + bc = (a + b)c$, $ac - bc = (a - b)c$.
• Каким свойством раскрывают скобки и записывают произведение в виде суммы (разности)? Тоже распределительным, только в обратную сторону: $(a + b)c = ac + bc$, $(a - b)c = ac - bc$. А скобки в сумме или в произведении убирают по сочетательному свойству.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 61

Найди значения: 1) $10,000 - b$ при $b = 8276$; 2) $a + 8729$ при $a = 1271$; 3) $5566 : c$ при $c = 506$; 4) $308 \cdot d$ при $d = 74$.

Как думать. Подставляем число вместо буквы и считаем.

Решение.

1. $10,000 - 8276 = 1724$;
2. $1271 + 8729 = 10,000$;
3. $5566 : 506 = 11$;
4. $308 \cdot 74 = 22,200 + 592 = 22,792$.

Ответ: 1724; 10 000; 11; 22 792.

№ 62

Найди значения: 1) $(38 \cdot 201 + 4242 : 21) - 7829$; 2) $(514 \cdot 15 + 4498) : 218$; 3) $40,084 : 911 \cdot 405 - 8820$; 4) $5702 + 16,885 : 55 \cdot 14$.

Решение.

1. $38 \cdot 201 = 7638$; $4242 : 21 = 202$; $7638 + 202 = 7840$; $7840 - 7829 = 11$;
2. $514 \cdot 15 = 7710$; $7710 + 4498 = 12,208$; $12,208 : 218 = 56$;
3. $40,084 : 911 = 44$; $44 \cdot 405 = 17,820$; $17,820 - 8820 = 9000$;
4. $16,885 : 55 = 307$; $307 \cdot 14 = 4298$; $5702 + 4298 = 10,000$.

Ответ: 11; 56; 9000; 10 000.

№ 63

Вынеси общий множитель за скобки: 1) $19 \cdot 6 + 14 \cdot 6$; 2) $9 \cdot 7 + 7 \cdot 3$; 3) $8 \cdot 13 + 8 \cdot 9$; 4) $10 \cdot 5 + 5 \cdot 9$; 5) $6 \cdot 32 - 6 \cdot 23$; 6) $15 \cdot 10 - 8 \cdot 10$; 7) $27 \cdot 7 - 7 \cdot 19$; 8) $91 \cdot 17 - 17 \cdot 18$.

Как думать. Ищем число, которое есть в обоих произведениях, и ставим его за скобки. Заодно можно посчитать.

Решение.

1. $(19 + 14) \cdot 6 = 33 \cdot 6 = 198$;
2. $(9 + 3) \cdot 7 = 12 \cdot 7 = 84$;
3. $8 \cdot (13 + 9) = 8 \cdot 22 = 176$;
4. $(10 + 9) \cdot 5 = 19 \cdot 5 = 95$;
5. $6 \cdot (32 - 23) = 6 \cdot 9 = 54$;
6. $(15 - 8) \cdot 10 = 7 \cdot 10 = 70$;
7. $(27 - 19) \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56$;
8. $(91 - 18) \cdot 17 = 73 \cdot 17 = 1241$.

Ответ: 1) $(19 + 14) \cdot 6 = 198$; 2) $(9 + 3) \cdot 7 = 84$; 3) $8 \cdot (13 + 9) = 176$; 4) $(10 + 9) \cdot 5 = 95$; 5) $6 \cdot (32 - 23) = 54$; 6) $(15 - 8) \cdot 10 = 70$; 7) $(27 - 19) \cdot 7 = 56$; 8) $(91 - 18) \cdot 17 = 1241$.

№ 64

Запиши произведение в виде разности: 1) $9 \cdot (21 - 8)$; 2) $31 \cdot (25 - 9)$; 3) $(40 - 29) \cdot 12$; 4) $(51 - 15) \cdot 19$; 5) $8 \cdot (19 - 3)$; 6) $(62 - 3) \cdot 6$.

Как думать. Умножаем на число каждое число в скобках: $a \cdot (b - c) = ab - ac$.

Решение.

1. $9 \cdot 21 - 9 \cdot 8 = 189 - 72 = 117$;
2. $31 \cdot 25 - 31 \cdot 9 = 775 - 279 = 496$;
3. $40 \cdot 12 - 29 \cdot 12 = 480 - 348 = 132$;
4. $51 \cdot 19 - 15 \cdot 19 = 969 - 285 = 684$;
5. $8 \cdot 19 - 8 \cdot 3 = 152 - 24 = 128$;
6. $62 \cdot 6 - 3 \cdot 6 = 372 - 18 = 354$.

Ответ: 117; 496; 132; 684; 128; 354.

№ 65

Вычисли и узнай, сколько видов животных живёт в Казахстане: 1) $(902 \cdot 56 + 9488) : 300 - 22$ — видов млекопитающих; 2) $64,676 : 74 - (26 \cdot 201 - 4364)$ — видов земноводных.

Решение.

1. $902 \cdot 56 = 50,512$; $50,512 + 9488 = 60,000$; $60,000 : 300 = 200$; $200 - 22 = 178$;
2. $64,676 : 74 = 874$; $26 \cdot 201 = 5226$; $5226 - 4364 = 862$; $874 - 862 = 12$.

Ответ: 178 видов млекопитающих; 12 видов земноводных.

🌟 Среди млекопитающих Казахстана есть настоящие редкости: снежный барс, сайгак, архар. Снежный барс даже изображён на гербе Алматы.

Уровень B

№ 66

Упрости: 1) $103x - (44x + 18x)$; 2) $276m - (172m + 14m)$; 3) $326x + (17x - 14x)$; 4) $26z + (13z - 5z) + z$; 5) $35a + 18 + 15a + 11$; 6) $42x + 45 + 8x + 45$; 7) $12y + y + 52 + 8y + 3$; 8) $204b + 30b + 6b + 56$.

Как думать. Сначала считаем то, что в скобках. Буквенные слагаемые складываем с буквенными, числа — с числами. Помни: $y$ — это $1y$.

Решение.

1. $44x + 18x = 62x$; $103x - 62x = 41x$;
2. $172m + 14m = 186m$; $276m - 186m = 90m$;
3. $17x - 14x = 3x$; $326x + 3x = 329x$;
4. $13z - 5z = 8z$; $26z + 8z + z = 35z$;
5. $(35a + 15a) + (18 + 11) = 50a + 29$;
6. $(42x + 8x) + (45 + 45) = 50x + 90$;
7. $(12y + y + 8y) + (52 + 3) = 21y + 55$;
8. $(204b + 30b + 6b) + 56 = 240b + 56$.

Ответ: $41x$; $90m$; $329x$; $35z$; $50a + 29$; $50x + 90$; $21y + 55$; $240b + 56$.

№ 67

1) Найди $(302x + 546x) - (848x - 18x)$ при $x = 27$ — столько видов птиц живёт в Казахстане. 2) Найди $1000x + (444x - 399x) - (685x + 353x)$ при $x = 7$ — столько видов пресмыкающихся.

Как думать. Сначала упростим — тогда подставлять придётся в короткое выражение.

Решение.

1. $302x + 546x = 848x$; $848x - 18x = 830x$; $848x - 830x = 18x$. При $x = 27$: $18 \cdot 27 = 486$.
2. $444x - 399x = 45x$; $685x + 353x = 1038x$; $1000x + 45x - 1038x = 7x$. При $x = 7$: $7 \cdot 7 = 49$.

Ответ: 486 видов птиц; 49 видов пресмыкающихся.

№ 68

Найди значения: 1) $13y + 244 + 24y - 67$ при $y = 25$; 2) $48m - 13m + 876$ при $m = 17$; 3) $19x + 457 + 39x - 278$ при $x = 23$; 4) $75 + 36m + 27 + 64m$ при $m = 421$; 5) $35x + 204 + 66x - 199$ при $x = 73$; 6) $26a + 421 + 74a - 241$ при $a = 39$.

Как думать. Сначала упрощаем, потом подставляем. В пунктах 4–6 выходят «круглые» множители 100 и 101 — считать одно удовольствие.

Решение.

1. $37y + 177$; $37 \cdot 25 + 177 = 925 + 177 = 1102$;
2. $35m + 876$; $35 \cdot 17 + 876 = 595 + 876 = 1471$;
3. $58x + 179$; $58 \cdot 23 + 179 = 1334 + 179 = 1513$;
4. $100m + 102$; $42,100 + 102 = 42,202$;
5. $101x + 5$; $101 \cdot 73 + 5 = 7373 + 5 = 7378$;
6. $100a + 180$; $3900 + 180 = 4080$.

Ответ: 1102; 1471; 1513; 42 202; 7378; 4080.

Математика в бизнесе

№ 69

Аренда автостоянки стоит 150 000 тг в месяц. Каждый день на стоянке $a$ машин, плата 200 тг в сутки. Найди прибыль за ноябрь при $a = 30$, 34, 37.

Как думать. Прибыль = доход − затраты. В ноябре 30 дней.

Решение.

1. Доход за ноябрь: $200 \cdot a \cdot 30 = 6000a$ тг.
2. Прибыль: $6000a - 150,000$ тг.
3. При $a = 30$: $180,000 - 150,000 = 30,000$ тг.
4. При $a = 34$: $204,000 - 150,000 = 54,000$ тг.
5. При $a = 37$: $222,000 - 150,000 = 72,000$ тг.

Ответ: $6000a - 150,000$ тг; 30 000 тг, 54 000 тг, 72 000 тг.

№ 70

Заполни таблицу: найди $10s - 3t + m$ для трёх наборов: $s = 33$, $t = 90$, $m = 111$; $s = 50$, $t = 133$, $m = 88$; $s = 300$, $t = 350$, $m = 400$.

Решение.

Ответ: 171; 189; 2350.

№ 71

Найди высоту монумента «Байтерек» в Астане — $(8 \cdot 91 + 34 \cdot 8 - 301 \cdot 3)$ м, и стелы монумента «Қазақ елі» — $(4 \cdot 31 \cdot 25 - 3009)$ м.

Как думать. В первом выражении вынесем 8 за скобки, во втором сгруппируем $4 \cdot 25$.

Решение.

1. $8 \cdot (91 + 34) - 903 = 8 \cdot 125 - 903 = 1000 - 903 = 97$ м;
2. $(4 \cdot 25) \cdot 31 - 3009 = 3100 - 3009 = 91$ м.

Ответ: «Байтерек» — 97 м, стела «Қазақ елі» — 91 м.

🌟 Высота «Байтерека» 97 м выбрана не случайно: в 1997 году столица переехала в Астану.

№ 72

Запиши выражение и упрости, если можно: 1) сумма чисел 75, 4 и частного 36 и $a$; 2) разность частного 300 и $b$ и суммы 56 и 27.

Решение.

1. $75 + 4 + 36 : a = 79 + 36 : a$;
2. $300 : b - (56 + 27) = 300 : b - 83$.

Ответ: $79 + 36 : a$; $300 : b - 83$.

№ 73

Расставь скобки в $120 : 24 + 29 \cdot 3 - 80$, чтобы получилось: 1) 12; 2) 22.

Как думать. Сначала посчитаем без скобок: $5 + 87 - 80 = 12$. Значит, для 12 скобки не меняют порядок. Для 22 пробуем разные места.

Решение.

1. Например, $(120 : 24) + 29 \cdot 3 - 80 = 12$ или $120 : 24 + (29 \cdot 3 - 80) = 5 + 7 = 12$;
2. $(120 : 24 + 29) \cdot 3 - 80 = 22$.

Ответ: 1) $120 : 24 + (29 \cdot 3 - 80) = 12$; 2) $(120 : 24 + 29) \cdot 3 - 80 = 22$.

№ 74

1) Между сёлами по шоссе $a$ км. Из них одновременно выехали два велосипедиста: 12 км/ч и 11 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 ч? 2) В первый день привезли 300 кг муки, во второй — на $a$ кг больше, в третий — на 60 кг меньше, чем во второй. Сколько всего за три дня?

Как думать. В 1) направление не сказано — рассмотрим все случаи. За 1 ч первый проедет 12 км, второй — 11 км.

Решение.

1. Навстречу друг другу: расстояние уменьшится на $12 + 11 = 23$ км, будет $(a - 23)$ км. В противоположные стороны: увеличится на 23 км, будет $(a + 23)$ км. В одну сторону: за час расстояние изменится на $12 - 11 = 1$ км. Если догоняет быстрый, будет $(a - 1)$ км, если впереди быстрый — $(a + 1)$ км.
2. Второй день: $300 + a$; третий: $300 + a - 60 = 240 + a$. Всего: $300 + (300 + a) + (240 + a) = 840 + 2a$ кг.

Ответ: 1) $(a - 23)$ км, $(a + 23)$ км или $(a \pm 1)$ км; 2) $(840 + 2a)$ кг.

Уровень C

Математика в жизни моей семьи

№ 75

Узнай, сколько стоит проезд в автобусе твоего города для взрослого и для школьника. Сколько заплатят $a$ взрослых и $b$ школьников? Посчитай при $a = 2$, $b = 3$ и при $a = 3$, $b = 5$.

Как думать. Цены разные в разных городах — уточни у родителей. Возьмём для примера 200 тг для взрослого и 100 тг для школьника.

Решение.

1. Стоимость: $200a + 100b$ тг.
2. При $a = 2$, $b = 3$: $400 + 300 = 700$ тг.
3. При $a = 3$, $b = 5$: $600 + 500 = 1100$ тг.

Ответ: для цен 200 тг и 100 тг: $200a + 100b$; 700 тг; 1100 тг. Со своими ценами посчитай так же.

Подготовь сообщение

№ 76

Расскажи о Никколо Тарталье и Готфриде Лейбнице, которые впервые стали использовать скобки.

Решение. Пример сообщения (даты проверь по источнику):

«Раньше вместо скобок математики подчёркивали или надчёркивали часть выражения. Итальянец Никколо Тарталья (1499–1557) одним из первых стал писать круглые скобки, примерно в 1556 году. Его настоящее имя — Фонтана, а Тарталья — прозвище, „заика“. Готфрид Лейбниц (1646–1716) много писал о математических знаках, и благодаря ему скобки стали привычными для всех учёных».

Ответ: пример сообщения выше.

Готовимся к следующей теме

№ 77

Найди среди записей уравнения и реши их: 1) $28 + x$; 2) $y + 195 = 300$; 3) $920 - z = 587$; 4) $x - 261$; 5) $11y = 187$; 6) $z \cdot 101 > 404$; 7) $x : 19 < 48$; 8) $324 : y = 36$.

Как думать. Уравнение — это равенство с неизвестным. Без знака «=» — просто выражение, а со знаками «>» и «<» — неравенство.

Решение. Уравнения — 2), 3), 5), 8). 2) $y = 300 - 195 = 105$; 3) $z = 920 - 587 = 333$; 5) $y = 187 : 11 = 17$; 8) $y = 324 : 36 = 9$.

Ответ: уравнения 2), 3), 5), 8); корни 105; 333; 17; 9.

№ 78

Найди корни: 1) $4994 + x = 6001$; 2) $x - 2197 = 3934$; 3) $y + 2332 = 4010$; 4) $5304 - y = 4999$; 5) $28z = 2856$; 6) $z \cdot 43 = 4429$; 7) $y : 19 = 19,076$; 8) $2592 : y = 24$.

Решение.

1. $x = 6001 - 4994 = 1007$;
2. $x = 3934 + 2197 = 6131$;
3. $y = 4010 - 2332 = 1678$;
4. $y = 5304 - 4999 = 305$;
5. $z = 2856 : 28 = 102$;
6. $z = 4429 : 43 = 103$;
7. $y = 19,076 \cdot 19 = 362,444$;
8. $y = 2592 : 24 = 108$.

Ответ: 1007; 6131; 1678; 305; 102; 103; 362 444; 108.

№ 79

Для каких уравнений число 102 — корень? 1) $x \cdot 34 = 863 + 2605$; 2) $2134 + x = 2982 - 746$; 3) $884 - 7 \cdot x = 714$; 4) $3876 : x = 38$.

Как думать. Подставим 102 и проверим, получится ли верное равенство.

Решение.

1. $102 \cdot 34 = 3468$; $863 + 2605 = 3468$ — верно;
2. $2134 + 102 = 2236$; $2982 - 746 = 2236$ — верно;
3. $884 - 714 = 170$, а $7 \cdot 102 = 714$ — верно;
4. $3876 : 102 = 38$ — верно.

Ответ: все четыре уравнения.

Шпаргалка

• Упростить выражение — записать его короче, не меняя значения.
• Общий множитель выносят за скобки: $ac + bc = (a + b)c$.
• Буквенные слагаемые складывают с буквенными, числа — с числами.
• Перед подстановкой числа выражение выгодно сначала упростить.

Мини-тест