§ 41. Округление чисел

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 51–54.

Чему научишься

• Понимать, что такое приближённое значение числа «с недостатком» и «с избытком».
• Читать и писать знак $\approx$ («приближённо равно»).
• Округлять числа до десятков, сотен, тысяч — и до целых, десятых, сотых.
• Прикидывать ответ в уме, не считая точно.

Разминка

Это задания № 755–757 из прошлого урока — заодно разомнём руки на дробях.

• Сколько будет $5\frac{11}{20} \cdot 8 + 6\frac{3}{10}$? $5,55 \cdot 8 = 44,4$; $44,4 + 6,3 = $ 50,7.
• 1 г нефти растекается по воде пятном $4\frac{1}{14}$ м на $2\frac{1}{3}$ м. Какую площадь закроют 15 г? Одно пятно: $\frac{57}{14} \cdot \frac{7}{3} = 9,5$ м². Пятнадцать: $9,5 \cdot 15 = $ 142,5 м².
• Лошадь делает 12 вдохов в минуту, а весной — на треть больше. Сколько весной? Треть от 12 — это 4. $12 + 4 = $ 16.
• А канарейка: 108 вдохов, весной на треть больше? $108 : 3 = 36$, $108 + 36 = $ 144.

💡 Человек дышит 12–20 раз в минуту, а весной — от 16 до $26\frac{2}{3}$ раза. Две трети вдоха не бывает! Тут и нужно округление: говорят «примерно 27».

Разбираемся

Точно или примерно?

Ты измерил отрезок линейкой: 3,4 см. Если спросят «сколько сантиметров?», ты скажешь «около трёх». Это приближённое значение. В жизни так почти всегда: цены, расстояния, рост, время в пути — всё примерно.

Число 3,4 лежит между 3 и 4. Тогда:

• 3 — приближённое значение с недостатком (меньше, чем на самом деле);
• 4 — приближённое значение с избытком (больше, чем на самом деле).

📌 Если $a < x < b$, то $a$ — приближённое значение $x$ с недостатком, а $b$ — с избытком.

К какому краю ближе?

Посмотри на луч: между 3 и 4 десять маленьких шагов по 0,1. Нажми на точку A и посчитай, сколько шагов до каждого края.

Раз ближе к 3, пишут $3,4 \approx 3$ и читают: «три целых четыре десятых приближённо равно трём». Это и есть округление до целых.

Теперь сам. Площадка — 58,7 м. Поставь точку на 58,7 и реши, кто из мальчиков ближе к правде.

👨‍👩‍👧 Родителю. Округление — это не «отбросить хвост», а «найти ближайшее круглое». Если ребёнок путается, нарисуйте отрезок между двумя круглыми числами и спросите: «Куда ближе?»

Три правила округления

📌 1) Выбираем разряд. Все цифры после него заменяем нулями, а если они стоят после запятой — просто отбрасываем. 2) Смотрим на первую убранную цифру. Если она 0, 1, 2, 3 или 4 — цифру разряда оставляем как есть. 3) Если она 5, 6, 7, 8 или 9 — цифру разряда увеличиваем на 1.

Почему именно пятёрка? Потому что 5 — ровно середина: от 0 до 10 шаг вниз и шаг вверх одинаковые. Договорились в этом случае идти вверх.

Попробуем на числе 12 845

• До сотен. В разряде сотен — 8. Дальше идут 4 и 5. Первая убранная — 4, это меньше 5. Восьмёрку не трогаем: $12,845 \approx 12,800$.
• До тысяч. В разряде тысяч — 2. Первая убранная — 8, это больше 5. Двойка становится тройкой: $12,845 \approx 13,000$.

А теперь дробь 138,264

Удобно ставить черту после нужного разряда и смотреть на первую цифру за чертой:

• до целых: $138,|264 \approx 138$ (за чертой 2);
• до десятых: $138,2|64 \approx 138,3$ (за чертой 6);
• до сотых: $138,26|4 \approx 138,26$ (за чертой 4).

⚠️ Частая ошибка. Округляют 12 845 до тысяч «цепочкой»: сначала 12 850, потом 12 900, потом 13 000. Здесь ответ случайно совпал, но с числом 1449 получится беда: 1450 → 1500, хотя 1449 ближе к 1400! Смотри только на первую убранную цифру.

⚠️ Частая ошибка. При округлении целого числа цифры не «отбрасывают», а заменяют нулями. $12,845 \approx 13$ — это неправда, правильно $13,000$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Приведи пример приближённого значения с недостатком и с избытком. Рост 1 м 47 см лежит между 1 м 40 см и 1 м 50 см. 140 см — с недостатком, 150 см — с избытком. Или: $2 < 2,7 < 3$, тогда 2 — с недостатком, 3 — с избытком.
• Приведи пример округления до целых, сотен, сотых. Какие правила ты использовал? $16,7 \approx 17$ (за чертой 7 ≥ 5, увеличили); $4,238 \approx 4,200$ (за разрядом сотен 3 < 5, оставили, остальное — нули); $0,583 \approx 0,58$ (за чертой 3 < 5, оставили, хвост отбросили).

Решаем упражнения

Уровень A

№ 758

Прочитай равенства и скажи, до какого разряда округлено число. 1) $356,082$: $\approx 356,080$; $\approx 356,100$; $\approx 356,000$; $\approx 360,000$; $\approx 400,000$. 2) $75,0395$: $\approx 80$; $\approx 75$; $\approx 75,0$; $\approx 75,04$; $\approx 75,040$.

Как думать. Смотрим, где кончаются «живые» цифры. Последняя значащая цифра перед нулями (или последняя цифра после запятой) и показывает разряд.

Решение.

1. Читаем «приближённо равно». $356,080$ — до десятков; $356,100$ — до сотен; $356,000$ — до тысяч; $360,000$ — до десятков тысяч; $400,000$ — до сотен тысяч.
2. $80$ — до десятков; $75$ — до целых (единиц); $75,0$ — до десятых; $75,04$ — до сотых; $75,040$ — до тысячных.

Ответ: 1) десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч; 2) десятки, единицы, десятые, сотые, тысячные.

💡 Заметил? $75,0$ и $75$ — одно и то же число, но запись разная. Нуль после запятой говорит: «округлили до десятых». А $75,040$ — до тысячных: там и третья цифра после запятой честно посчитана.

№ 759

Округли числа: 1) 75; 34; 816; 42; 1859; 6394 — до десятков; 2) 612; 871; 1304; 1950 — до сотен; 3) 5402; 2 783 430 456; 84 609 — до тысяч; 4) 6 009 842; 15 624 035; 34 567 — до десятков тысяч; 5) 77,57; 124,1; 16,027; 421,87; 3,94 — до целых; 6) 657,239; 0,512; 57,429; 99,98 — до десятых; 7) 0,07612; 8,571; 13,042; 1,9507 — до сотых; 8) 8,32715; 49,0562; 748,0998 — до тысячных.

Как думать. Ставь черту после нужного разряда и смотри на первую цифру за чертой. Будь осторожен с девятками: $9 + 1 = 10$, и единица «перепрыгивает» в соседний разряд.

Решение.

Разберём трудные места:

• $1950$ до сотен: за разрядом сотен стоит 5, значит, 9 → 10. Получается $2000$.
• $6,009,842$ до десятков тысяч: $600|9,842$, за чертой 9, значит, 0 → 1: $6,010,000$.
• $748,0998$ до тысячных: $748,099|8$, за чертой 8. Тогда $099 + 1 = 100$, и получается $748,100$. Нули в конце не теряем: они показывают точность.

Ответ: в таблице.

⚠️ Частая ошибка. $99,98$ до десятых пишут как $99,10$ или $99,9$. Правильно $100,0$: девять десятых плюс одна — это целая единица, а $99 + 1 = 100$.

№ 760

В столовую ложку входит 25 г муки, в стакан — 130 г. Сколько примерно ложек муки в стакане?

Как думать. Делим массу стакана на массу ложки. Пол-ложки никто отмерять не будет — округляем до целых.

Решение. $130 : 25 = 5,2 \approx 5$ (за запятой 2 < 5).

Ответ: примерно 5 столовых ложек.

№ 761

В ложку входит 30 г соли, в стакан — 220 г. Сколько примерно ложек соли нужно, чтобы отмерить стакан?

Решение. $220 : 30 = 7,33... \approx 7$ (за запятой 3 < 5).

Ответ: примерно 7 столовых ложек.

🌟 Соль тяжелее муки: в одной ложке её 30 г против 25 г. Поэтому один и тот же стакан вмещает 130 г муки, но целых 220 г соли.

Уровень B

№ 762

Из чисел 9,38; 41; 5,9; 74,9; 0,99; 99,4; 50,4; 29,2 выбери подходящее для каждого равенства: 1) $2,38 \cdot * \approx 120$; 2) $3,04 \cdot * \approx 18$; 3) $ \cdot 5,12 \approx 150$; 4) $* \cdot 0,64 \approx 6$; 5) $4,02 \cdot * \approx 400$; 6) $* \cdot 1,95 \approx 80$; 7) $* \cdot 30,6 \approx 30$; 8) $2,8 \cdot * \approx 210$.*

Как думать. Сначала округляем известный множитель до «круглого», делим в уме — и ищем в списке похожее число. Потом проверяем умножением.

Решение.

1. $2,38 \approx 2,4$; $120 : 2,4 = 50$ → берём 50,4. Проверка: $2,38 \cdot 50,4 = 119,952 \approx 120$.
2. $3,04 \approx 3$; $18 : 3 = 6$ → 5,9. Проверка: $3,04 \cdot 5,9 = 17,936 \approx 18$.
3. $5,12 \approx 5$; $150 : 5 = 30$ → 29,2. Проверка: $29,2 \cdot 5,12 = 149,504 \approx 150$.
4. $0,64 \cdot 10 = 6,4$, нужно чуть меньше 10 → 9,38. Проверка: $9,38 \cdot 0,64 = 6,0032 \approx 6$.
5. $4,02 \approx 4$; $400 : 4 = 100$ → 99,4. Проверка: $4,02 \cdot 99,4 = 399,588 \approx 400$.
6. $1,95 \approx 2$; $80 : 2 = 40$ → 41. Проверка: $41 \cdot 1,95 = 79,95 \approx 80$.
7. $30,6 \approx 30$; $30 : 30 = 1$ → 0,99. Проверка: $0,99 \cdot 30,6 = 30,294 \approx 30$.
8. $210 : 2,8 = 75$ → 74,9. Проверка: $2,8 \cdot 74,9 = 209,72 \approx 210$.

Ответ: 1) 50,4; 2) 5,9; 3) 29,2; 4) 9,38; 5) 99,4; 6) 41; 7) 0,99; 8) 74,9.

№ 763

1) Округли численность населения из таблиц 30–31 (области и областные центры, в тыс. человек) до целых и до сотен. 2) Округлив до целых, найди, во сколько раз в Кокшетау меньше жителей, чем в Акмолинской области. То же — для Актау и Мангистауской области.

Как думать. Числа в таблицах — в тысячах человек. «До целых» — до целой тысячи, «до сотен» — до сотни тысяч. Обрати внимание на числа вида 1984,5: за запятой ровно 5, значит, округляем вверх.

Решение.

1. Области (2014 год, тыс. чел.):

Областные центры (2016 год, тыс. чел.):

2. Кокшетау и Акмолинская область: $736 : 160 = 4,6$. Актау и Мангистауская область: $587 : 183 = 3,20... \approx 3,2$.

Ответ: 1) в таблицах; 2) примерно в 4,6 раза; примерно в 3,2 раза.

💡 Подсказка «до сотен» здесь хорошо видна: числа становятся грубее, зато сравнивать их в уме проще. Алматинская область — «около двух миллионов», а Южно-Казахстанская — «около 2,7 миллиона».

Уровень C

№ 764

Переведи в десятичные дроби и округли до десятых: 1) $\frac{4}{3}$; 2) $\frac{7}{9}$; 3) $\frac{16}{15}$; 4) $\frac{5}{11}$; 5) $\frac{19}{12}$; 6) $\frac{59}{21}$; 7) $\frac{45}{7}$.

Как думать. Делим числитель на знаменатель уголком. Точно разделить не получится — деление бесконечное. Но нам хватит двух знаков после запятой: вторая цифра подскажет, как округлить первую.

Решение.

1. $4 : 3 = 1,33... \approx 1,3$
2. $7 : 9 = 0,77... \approx 0,8$
3. $16 : 15 = 1,06... \approx 1,1$
4. $5 : 11 = 0,45... \approx 0,5$
5. $19 : 12 = 1,58... \approx 1,6$
6. $59 : 21 = 2,80... \approx 2,8$
7. $45 : 7 = 6,42... \approx 6,4$

Ответ: 1) 1,3; 2) 0,8; 3) 1,1; 4) 0,5; 5) 1,6; 6) 2,8; 7) 6,4.

Готовимся к следующей теме

№ 765

Наурыз-коже на 250 г мяса: айран — 3 стакана, курт — полстакана, пшеница или рис — полстакана, сливочное масло — 100 г, соль — по вкусу, вода — 7 стаканов. Пересчитай продукты на 1,5 кг мяса.

Как думать. Переводим 1,5 кг в граммы и узнаём, во сколько раз мяса больше. Во столько же раз увеличиваем всё остальное.

Решение.

1. $1,5$ кг $= 1500$ г; $1500 : 250 = 6$ — мяса в 6 раз больше.
2. Айран: $3 \cdot 6 = 18$ стаканов.
3. Курт: $\frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ стакана. Пшеница или рис — тоже 3 стакана.
4. Масло: $100 \cdot 6 = 600$ г.
5. Вода: $7 \cdot 6 = 42$ стакана. Соль — по вкусу.

Ответ: айран 18 стаканов, курт 3 стакана, пшеница (рис) 3 стакана, масло 600 г, вода 42 стакана, соль по вкусу.

🌟 Наурыз-коже варят из семи продуктов — по числу «семи благ». Семь — счастливое число в казахской традиции. Посчитай вместе с родителями, какие семь продуктов кладут в коже у вас дома.

Шпаргалка

• Округлить — заменить число ближайшим «круглым».
• Ставь черту после нужного разряда и смотри на первую цифру за чертой.
• 0, 1, 2, 3, 4 — оставляем; 5, 6, 7, 8, 9 — прибавляем 1.
• В целом числе хвост → нули, в дроби после запятой хвост → отбрасываем.
• Девятка + 1 = 10: единица переходит в следующий разряд ($99,98 \approx 100,0$).

Мини-тест