§ 42. Решение текстовых задач

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 5: Десятичные дроби и действия над ними. Страницы 55–59.

Чему научишься

• Решать задачи на покупки, движение и совместную работу с десятичными и обыкновенными дробями.
• Составлять обратные задачи и проверять ими ответ.
• Находить скорость течения и собственную скорость лодки.
• Разгадывать закономерности в последовательностях из дробей.

Разминка

Первый вопрос — это задание № 765 из прошлого урока, остальные — быстрая проверка формул.

• Мяса было 250 г, стало 1,5 кг. Во сколько раз больше? $1500 : 250 = $ 6. Значит, айрана нужно не 3, а 18 стаканов.
• Скорость 60 км/ч, время 2,5 ч. Какой путь? $s = v \cdot t = 60 \cdot 2,5 = $ 150 км.
• Лодка плывёт 10 км/ч, течение 2 км/ч. Скорость по течению и против? По течению $10 + 2 = $ 12 км/ч, против $10 - 2 = $ 8 км/ч.
• Сколько часов в 2 ч 30 мин? 30 мин — это половина часа, значит, 2,5 ч.
• Труба наполняет бак за 5 мин. Какую часть бака она наполнит за 1 мин? $\frac{1}{5}$ бака.

Разбираемся

Задача — это история, которую надо перевести на язык чисел

Каждая текстовая задача похожа на мини-рассказ. Чтобы её решить, нужно понять, кто что делает и какие величины связаны. Хорошая новость: типов задач немного, и у каждого есть своя «формула-ключ».

Как решать — план из четырёх шагов

1. Прочитай задачу дважды. Выпиши, что известно и что нужно найти.
2. Определи тип задачи и вспомни «ключ».
3. Переведи всё в одинаковые единицы: минуты → часы, дм → м, смешанные дроби → десятичные (если получается).
4. Реши по действиям и сделай проверку: подходит ли ответ к условию? Не получилась ли улитка быстрее самолёта?

⚠️ Частая ошибка. «2 ч 30 мин» пишут как 2,30 ч. Нет! В часе 60 минут, а не 100. 30 мин — это $\frac{30}{60} = 0,5$ ч, значит, 2 ч 30 мин $= 2,5$ ч. А 20 мин $= \frac{1}{3}$ ч.

Посмотрим на путь машины

Машина ехала 2 ч 30 мин со скоростью 35,2 км/ч, потом 3 ч 20 мин со скоростью 56,4 км/ч. На графике видно: на втором участке линия круче — машина ехала быстрее. Нажми на точки.

За первый участок: $35,2 \cdot 2,5 = 88$ км. За второй: $56,4 \cdot 3\frac{1}{3} = 188$ км. Всего $88 + 188 = 276$ км. Это задача № 769 (3) — мы её ещё встретим.

👨‍👩‍👧 Родителю. Попросите ребёнка перед решением сказать вслух: «Это задача на …, ключ — …». Если тип назван правильно, половина работы сделана.

Последовательности: найди правило

Иногда числа стоят в ряд по какому-то правилу. Как его найти? Сравни соседей: на сколько больше? Во сколько раз? Может, каждое число — сумма двух предыдущих?

• 0,2; 0,02; 0,002 — каждое следующее в 10 раз меньше.
• 1,5; 1,6; 3,1; 4,7 — каждое — сумма двух предыдущих: $1,5 + 1,6 = 3,1$.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Как найти скорость течения, если известны скорости по течению и против? Вычесть из большей меньшую и разделить пополам.
• А собственную скорость лодки? Сложить скорости по течению и против и разделить пополам.
• Как решить задачу на совместную работу? Всю работу принять за 1. Найти, какую часть делает каждый за единицу времени, сложить эти части, а потом разделить 1 на сумму.
• Что такое обратная задача? Та, в которой искомое становится известным, а одно из данных — неизвестным. Её ответ должен совпасть с данным из исходной задачи.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 766

Купили 2,5 кг конфет по 660 тг/кг и 1,5 кг по 580 тг/кг. Сколько стоит вся покупка? Составь и реши обратные задачи.

Как думать. Стоимость = цена · количество. Считаем каждый сорт отдельно.

Решение.

1. Первый сорт: $660 \cdot 2,5 = 1650$ тг.
2. Второй сорт: $580 \cdot 1,5 = 870$ тг.
3. Всего: $1650 + 870 = 2520$ тг.

Обратные задачи:

• Купили 2,5 кг конфет по 660 тг/кг и 1,5 кг других; вся покупка стоила 2520 тг. Сколько стоит 1 кг вторых? $(2520 - 1650) : 1,5 = 870 : 1,5 = 580$ тг.
• Купили 2,5 кг конфет и 1,5 кг по 580 тг/кг; заплатили 2520 тг. Почём первые? $(2520 - 870) : 2,5 = 1650 : 2,5 = 660$ тг.
• Купили конфеты по 660 тг/кг и 1,5 кг по 580 тг/кг, всего на 2520 тг. Сколько килограммов первых? $1650 : 660 = 2,5$ кг.

Ответы обратных задач совпали с данными — значит, исходная решена верно.

Ответ: 2520 тг.

№ 767

Объём прямоугольного параллелепипеда $12\frac{4}{33}$ см³, длина $2\frac{3}{11}$ см, высота 4 см. Найди ширину.

Как думать. $V = a \cdot b \cdot c$. Ширина $= V : (\text{длина} \cdot \text{высота})$.

Решение.

1. Площадь «боковой» грани: $2\frac{3}{11} \cdot 4 = \frac{25}{11} \cdot 4 = \frac{100}{11}$ см².
2. Ширина: $12\frac{4}{33} : \frac{100}{11} = \frac{400}{33} \cdot \frac{11}{100} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ см.

Ответ: $1\frac{1}{3}$ см.

№ 768

1) Первое число $40\frac{13}{30}$, второе на $21\frac{3}{10}$ меньше. Найди их разность. 2) Первое число $54\frac{4}{5}$, второе на $39\frac{2}{15}$ меньше. Найди их сумму.

Как думать. В первой части есть ловушка: если второе меньше на $21\frac{3}{10}$, то разность и есть $21\frac{3}{10}$! Но второе число всё равно найдём — для проверки.

Решение.

1. Второе: $40\frac{13}{30} - 21\frac{9}{30} = 19\frac{4}{30} = 19\frac{2}{15}$. Разность: $40\frac{13}{30} - 19\frac{4}{30} = 21\frac{9}{30} = 21\frac{3}{10}$.
2. Второе: $54\frac{12}{15} - 39\frac{2}{15} = 15\frac{10}{15} = 15\frac{2}{3}$. Сумма: $54\frac{12}{15} + 15\frac{10}{15} = 69\frac{22}{15} = 70\frac{7}{15}$.

Ответ: 1) $21\frac{3}{10}$; 2) $70\frac{7}{15}$.

№ 769

1) Улитка ползёт 5 дм/мин. Сколько метров она проползёт за $6\frac{1}{4}$ ч? 2) Поезд идёт 84,5 км/ч. Какой путь за 3,5 ч? 3) Машина ехала 2 ч 30 мин со скоростью 35,2 км/ч и 3 ч 20 мин — со скоростью 56,4 км/ч. Какой путь всего? 4) Лодка по течению идёт $49\frac{5}{12}$ км/ч, против — $42\frac{7}{12}$ км/ч. Найди скорость течения и собственную скорость лодки.

Как думать. В 1) единицы разные: дм и минуты, а ответ — в метрах и за часы. Переводим всё заранее. В 4) разница скоростей по и против течения — это два течения.

Решение.

1. 5 дм/мин $= 0,5$ м/мин; $6\frac{1}{4}$ ч $= 6,25 \cdot 60 = 375$ мин. Путь: $0,5 \cdot 375 = 187,5$ м.
2. $84,5 \cdot 3,5 = 295,75$ км.
3. $35,2 \cdot 2,5 = 88$ км; $56,4 \cdot 3\frac{1}{3} = 56,4 \cdot \frac{10}{3} = 188$ км; всего $88 + 188 = 276$ км.
4. Разность: $49\frac{5}{12} - 42\frac{7}{12} = 6\frac{10}{12}$ км/ч — это двойная скорость течения. Течение: $6\frac{10}{12} : 2 = 3\frac{5}{12}$ км/ч. Лодка: $42\frac{7}{12} + 3\frac{5}{12} = 46$ км/ч.

Ответ: 1) 187,5 м; 2) 295,75 км; 3) 276 км; 4) течение $3\frac{5}{12}$ км/ч, лодка 46 км/ч.

🌟 Почти 190 метров за шесть с лишним часов — это улитка-рекордсменка! Обычные садовые улитки ползут медленнее: около 1 м за 3–5 минут.

№ 770

Бак наполняется через первую трубу за 14 мин, через вторую — за 21 мин. За сколько минут его наполнят обе трубы вместе? Реши так же для пар: 1) 16 и 24 мин; 2) 18 и 36 мин; 3) 22 и 33 мин; 4) 26 и 39 мин.

Как думать. Весь бак — 1. За минуту первая труба наполняет $\frac{1}{14}$ бака, вторая — $\frac{1}{21}$. Складываем, а потом делим 1 на сумму.

Решение.

• 14 и 21: $\frac{1}{14} + \frac{1}{21} = \frac{3}{42} + \frac{2}{42} = \frac{5}{42}$; $1 : \frac{5}{42} = 8,4$ мин.
• 1. 16 и 24: $\frac{3}{48} + \frac{2}{48} = \frac{5}{48}$; $48 : 5 = 9,6$ мин.
• 2. 18 и 36: $\frac{2}{36} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$; 12 мин.
• 3. 22 и 33: $\frac{3}{66} + \frac{2}{66} = \frac{5}{66}$; $66 : 5 = 13,2$ мин.
• 4. 26 и 39: $\frac{3}{78} + \frac{2}{78} = \frac{5}{78}$; $78 : 5 = 15,6$ мин.

Ответ: 8,4 мин; 1) 9,6 мин; 2) 12 мин; 3) 13,2 мин; 4) 15,6 мин.

⚠️ Частая ошибка. Складывают время: $14 + 21 = 35$ мин. Но вдвоём быстрее, чем одной трубой! Ответ всегда меньше самого быстрого времени.

№ 771

1) По какому правилу составлены ряды: а) 0,2; 0,02; 0,002; …; б) $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{5}$; $\frac{1}{7}$; …? 2) Найди пропущенные числа: а) 6,3; …; 4,9; …; 3,5; …; б) $\frac{2}{5}$; $\frac{4}{15}$; …; $\frac{8}{25}$; …; $\frac{12}{35}$. 3) Запиши дроби, у которых числители — нечётные однозначные числа, а знаменатели на 4 больше числителей. Сколько их и почему?

Как думать. Сравни соседей. Для дробей смотри отдельно на числители и на знаменатели.

Решение.

1. а) Каждое следующее в 10 раз меньше; дальше 0,0002. б) В знаменателях стоят простые числа подряд: 2, 3, 5, 7; дальше $\frac{1}{11}$, $\frac{1}{13}$.
2. а) Шаг: от 6,3 до 4,9 два шага, $6,3 - 4,9 = 1,4$, один шаг — 0,7. Ряд: 6,3; 5,6; 4,9; 4,2; 3,5; 2,8. б) Числители идут через 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Знаменатели 15, 25, 35 растут на 5 за шаг: 15, 20, 25, 30, 35. Пропуски: $\frac{6}{20}$ и $\frac{10}{30}$.
3. Нечётные однозначные: 1, 3, 5, 7, 9. Ряд: $\frac{1}{5}$; $\frac{3}{7}$; $\frac{5}{9}$; $\frac{7}{11}$; $\frac{9}{13}$. Чисел 5, потому что нечётных однозначных чисел всего пять.

Ответ: 1) а) делим на 10; б) единица, делённая на простые числа; 2) а) 5,6; 4,2; 2,8; б) $\frac{6}{20}$; $\frac{10}{30}$; 3) 5 дробей.

Уровень B

№ 772

Привезли груши — $12\frac{3}{4}$ кг, это на $1\frac{2}{5}$ кг больше, чем слив; апельсинов — столько, сколько груш и слив вместе. Продали 11,9 кг груш, 10,7 кг слив и 23,1 кг апельсинов. Сколько килограммов фруктов ещё осталось?

Как думать. Дроби удобно сделать десятичными: $\frac{3}{4} = 0,75$, $\frac{2}{5} = 0,4$. Сначала узнаём, сколько всего привезли, потом — сколько продали.

Решение.

1. Сливы: $12,75 - 1,4 = 11,35$ кг.
2. Апельсины: $12,75 + 11,35 = 24,1$ кг.
3. Привезли: $12,75 + 11,35 + 24,1 = 48,2$ кг.
4. Продали: $11,9 + 10,7 + 23,1 = 45,7$ кг.
5. Осталось: $48,2 - 45,7 = 2,5$ кг.

Ответ: 2,5 кг.

№ 773

1) Задуманное число увеличили в 1,5 раза, вычли 91,5, результат уменьшили в 3 раза — вышло 9,5. Какое число задумано? 2) 39 разделили на задуманное число, прибавили 13,2, сумму умножили на 0,7 — вышло 14,7. Какое число задумано?

Как думать. Распутываем с конца, делая обратные действия: вместо «уменьшить в 3 раза» — умножить на 3, вместо «вычесть» — прибавить.

Решение.

1. $9,5 \cdot 3 = 28,5$; $28,5 + 91,5 = 120$; $120 : 1,5 = 80$. Проверка: $80 \cdot 1,5 = 120$; $120 - 91,5 = 28,5$; $28,5 : 3 = 9,5$ ✓.
2. $14,7 : 0,7 = 21$; $21 - 13,2 = 7,8$; $39 : 7,8 = 5$. Проверка: $39 : 5 = 7,8$; $7,8 + 13,2 = 21$; $21 \cdot 0,7 = 14,7$ ✓.

Ответ: 1) 80; 2) 5.

№ 774

1) Течение 1,5 км/ч — это $\frac{1}{7}$ скорости катера в стоячей воде. Сколько километров пройдёт катер за 2 ч 15 мин против течения и за 3 ч 25 мин по течению? 2) Два пешехода вышли одновременно из одного места со скоростями $4\frac{2}{3}$ км/ч и $4\frac{3}{4}$ км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч 24 мин? 3) Лёгкий ветер — 3,3 м/с. Это $\frac{3}{11}$ скорости сильного ветра, $\frac{1}{7}$ — шторма, $\frac{1}{123}$ — урагана. Найди эти скорости.

Как думать. Если $\frac{1}{7}$ числа — это 1,5, то всё число в 7 раз больше. В 2) не сказано, куда пошли пешеходы. Обычно в таких задачах они идут в разные стороны — тогда расстояния складываются.

Решение.

1. См. шаги выше: против течения 20,25 км, по течению 41 км, всего 61,25 км.
2. 2 ч 24 мин $= 2\frac{24}{60} = 2,4$ ч. Первый: $4\frac{2}{3} \cdot 2,4 = \frac{14}{3} \cdot 2,4 = 11,2$ км. Второй: $4,75 \cdot 2,4 = 11,4$ км. В разные стороны: $11,2 + 11,4 = 22,6$ км. (Если бы шли в одну сторону: $11,4 - 11,2 = 0,2$ км.)
3. Сильный ветер: $3,3 : \frac{3}{11} = 3,3 \cdot \frac{11}{3} = 12,1$ м/с. Шторм: $3,3 \cdot 7 = 23,1$ м/с. Ураган: $3,3 \cdot 123 = 405,9$ м/с.

Ответ: 1) 61,25 км; 2) 22,6 км (в разные стороны); 3) 12,1 м/с; 23,1 м/с; 405,9 м/с.

💡 405,9 м/с — это быстрее звука! Такого ветра на Земле не бывает. Настоящий ураган — от 33 м/с, рекорды — около 100 м/с. Похоже, в условии опечатка в дроби $\frac{1}{123}$. Проверка здравым смыслом — тоже часть решения.

№ 775

1) По какому правилу составлены ряды: а) 1,5; 1,6; 3,1; 4,7; …; б) $\frac{7}{8}$; $\frac{21}{32}$; $\frac{63}{128}$; …? 2) Найди пропущенные числа: а) 4,4; 8,8; 13,2; …; 30,8; …; б) $\frac{3}{64}$; $\frac{9}{32}$; …; $\frac{21}{8}$; …; $\frac{33}{2}$. 3) Запиши дроби, у которых знаменатели — чётные двузначные числа меньше 21, а числители вдвое больше знаменателей. Сколько их и почему?

Как думать. В 1а) разности соседей разные (0,1; 1,5; 1,6) — значит, правило другое. Попробуй сложить два соседних числа.

Решение.

1. а) Каждое число — сумма двух предыдущих: $1,5 + 1,6 = 3,1$; $1,6 + 3,1 = 4,7$. Дальше 7,8; 12,5. б) Числитель каждый раз умножается на 3, знаменатель — на 4, то есть дробь умножается на $\frac{3}{4}$. Дальше $\frac{189}{512}$.
2. а) Это числа, кратные 4,4: $4,4 \cdot 1$, $4,4 \cdot 2$, … Пропущены 17,6; 22; 26,4, а после 30,8 идёт 35,2. б) Числители растут на 6: 3, 9, 15, 21, 27, 33. Знаменатели уменьшаются вдвое: 64, 32, 16, 8, 4, 2. Пропуски: $\frac{15}{16}$ и $\frac{27}{4}$.
3. Знаменатели: 10, 12, 14, 16, 18, 20. Дроби: $\frac{20}{10}$; $\frac{24}{12}$; $\frac{28}{14}$; $\frac{32}{16}$; $\frac{36}{18}$; $\frac{40}{20}$. Их 6: чётных двузначных чисел меньше 21 всего шесть. Забавно, что каждая дробь равна 2!

Ответ: 1) а) сумма двух предыдущих; б) умножение на $\frac{3}{4}$; 2) а) 17,6; 22; 26,4; 35,2; б) $\frac{15}{16}$; $\frac{27}{4}$; 3) 6 дробей.

Уровень C

№ 776

1) Одна сторона прямоугольника — простое число сантиметров, другая — составное, а площадь такая же, как у квадрата со стороной 8 см. Найди стороны. 2) Путь от A до B — 13,8 км. Пешеход вышел из A со скоростью 4,6 км/ч, через 2 ч по тому же пути выехал велосипедист и прибыл в B вместе с пешеходом. Найди скорость велосипедиста.

Как думать. В 1) площадь 64 см² надо разложить на простое и составное число. В 2) сначала найдём время пешехода — велосипедист был в пути на 2 ч меньше.

Решение.

1. Площадь квадрата: $8 \cdot 8 = 64$ см². Делители 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Простой среди них только 2. Тогда вторая сторона $64 : 2 = 32$ см — составное число ✓.
2. Пешеход в пути: $13,8 : 4,6 = 3$ ч. Велосипедист: $3 - 2 = 1$ ч. Скорость: $13,8 : 1 = 13,8$ км/ч.

Ответ: 1) 2 см и 32 см; 2) 13,8 км/ч.

№ 777

В каждом круге четыре числа: сверху, слева, справа и снизу. Все круги на рисунке (три серии по три круга) подчиняются правилу. Найди правило и заполни круг в). Серия 1: а) 4,6 / 2,3 / 9,2 / 3,22; б) 6,4 / 3,2 / 12,8 / 4,48; в) слева 5,1. Серия 2: а) 2,7 / 8,1 / 0,9 / 23,4; б) 2,1 / 6,3 / 0,7 / 18,2; в) слева 15,3. Серия 3: а) 8 / 20 / 3,2 / 3,12; б) 2 / 5 / 0,8 / 0,78; в) слева 25. (Порядок: верх / лево / право / низ.)

Как думать. Задача на смекалку. Сравни левое и правое число с верхним: во сколько раз они больше или меньше? А нижнее попробуй связать с суммой трёх остальных.

Решение.

1. Серия 1: слева — половина верхнего, справа — верхнее, умноженное на 2. Низ — сумма трёх чисел, умноженная на 0,2: $(4,6 + 2,3 + 9,2) \cdot 0,2 = 16,1 \cdot 0,2 = 3,22$ ✓; $(6,4 + 3,2 + 12,8) \cdot 0,2 = 4,48$ ✓. Для в): верх $5,1 \cdot 2 = 10,2$; право $10,2 \cdot 2 = 20,4$; низ $(10,2 + 5,1 + 20,4) \cdot 0,2 = 35,7 \cdot 0,2 = 7,14$.
2. Серия 2: слева — верхнее · 3, справа — верхнее : 3. Низ — сумма трёх чисел · 2: $(2,7 + 8,1 + 0,9) \cdot 2 = 23,4$ ✓; $(2,1 + 6,3 + 0,7) \cdot 2 = 18,2$ ✓. Для в): верх $15,3 : 3 = 5,1$; право $5,1 : 3 = 1,7$; низ $(5,1 + 15,3 + 1,7) \cdot 2 = 44,2$.
3. Серия 3: слева — верхнее · 2,5, справа — верхнее · 0,4. Низ — сумма трёх чисел : 10: $(8 + 20 + 3,2) : 10 = 3,12$ ✓; $(2 + 5 + 0,8) : 10 = 0,78$ ✓. Для в): верх $25 : 2,5 = 10$; право $10 \cdot 0,4 = 4$; низ $(10 + 25 + 4) : 10 = 3,9$.

Ответ: серия 1: 10,2; 20,4; 7,14. Серия 2: 5,1; 1,7; 44,2. Серия 3: 10; 4; 3,9. (Верх, право, низ.)

№ 778

В двух сосудах вода. Из первого перелили $\frac{1}{4}$ воды во второй, потом из второго $\frac{1}{3}$ воды — в первый. Воды стало поровну. Каким было отношение воды в сосудах вначале?

Как думать. Сложная задача. Удобно взять количество воды в первом сосуде за 4 части и проследить все переливания.

Решение. Проверим на числах: было 4 л и 8 л. Из первого 1 л во второй: 3 л и 9 л. Из второго $\frac{1}{3}$, то есть 3 л, в первый: 6 л и 6 л ✓.

Ответ: 1 : 2.

Готовимся к следующей теме

№ 779

Слова: тетрадь, ручка, яблоко, тигр, автомобиль, самолёт, груша, дневник, заяц, катер, карандаш, кенгуру. 1) Разбей их на группы по смыслу и назови группы. 2) Разбей по количеству букв. 3) Как ещё можно разбить?

Как думать. Группа — это набор предметов с общим свойством. Как раз про это будет следующая тема: «множества».

Решение.

1. По смыслу:
   • школьные принадлежности: тетрадь, ручка, дневник, карандаш — 4 слова;
   • фрукты: яблоко, груша — 2;
   • животные: тигр, заяц, кенгуру — 3;
   • транспорт: автомобиль, самолёт, катер — 3.
2. По числу букв:
   • 4 буквы: тигр, заяц — 2;
   • 5 букв: ручка, груша, катер — 3;
   • 6 букв: яблоко — 1;
   • 7 букв: тетрадь, самолёт, дневник, кенгуру — 4;
   • 8 букв: карандаш — 1;
   • 10 букв: автомобиль — 1.
3. Например, по первой букве: на «к» — катер, карандаш, кенгуру; на «т» — тетрадь, тигр; остальные — по одному. Или «живое / неживое»: живые — тигр, заяц, кенгуру; остальные неживые. Можно и «что едят / что не едят».

Ответ: примеры групп выше; разбить можно по любому общему признаку.

Шпаргалка

• Определи тип задачи и вспомни «ключ».
• Переведи всё в одни единицы: мин → ч, дм → м.
• Вместе работают быстрее, чем любой поодиночке.
• В последовательности сравни соседей: разность, частное, сумма двух предыдущих.
• Проверь ответ здравым смыслом и обратной задачей.

Мини-тест