§ 43. Множество. Элементы множества. Изображение множеств

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 6: Множества. Страницы 60–63.

Чему научишься

• Понимать, что такое множество и его элементы.
• Отличать конечное, бесконечное и пустое множество.
• Задавать множество двумя способами: списком и правилом.
• Пользоваться значками $\in$, $\notin$, $\varnothing$.
• Рисовать множества кругами Эйлера–Венна.

Разминка

Это задание № 779 из прошлого урока: мы раскладывали 12 слов по группам.

• Какие группы получились «по смыслу»? Школьные вещи (тетрадь, ручка, дневник, карандаш), фрукты (яблоко, груша), животные (тигр, заяц, кенгуру), транспорт (автомобиль, самолёт, катер).
• Сколько слов в группе «животные»? 3.
• В какую группу попадёт слово «тигр», если делить по числу букв? В группу «4 буквы» — вместе с «заяц».
• Может ли одно слово попасть в две группы одного деления? Нет: у слова одно число букв. А в группы разных делений — да: «тигр» и в «животных», и в «4 буквах».

💡 Каждая такая группа — это и есть множество. Сегодня дадим ему научное имя.

Разбираемся

Множество — это «набор» с общим признаком

Стадо — это много овец. Табун — много лошадей. Коллекция — много марок. Труппа — много артистов. Математик скажет про каждую группу одно слово: множество.

То, из чего состоит множество, называют его элементами. Овца — элемент множества овец. Цифра 7 — элемент множества цифр.

📌 Множество — это набор объектов, собранных вместе. Эти объекты — элементы множества.

Конечное, бесконечное и пустое

• В множестве цифр ${0, 1, 2, \ldots, 9}$ ровно 10 элементов. Его можно пересчитать — оно конечное.
• Натуральных чисел 1, 2, 3, … не пересчитать никогда: к любому можно прибавить 1. Это бесконечное множество. Его обозначают буквой $N$.
• А сколько в классе учеников ростом 3 метра? Ни одного! Множество без элементов называют пустым и обозначают $\varnothing$.

🌟 Значок $\varnothing$ — это перечёркнутый круг, «нуль, который ничего не держит». Не путай его с греческой буквой $\varphi$ или цифрой 0.

Как задать множество

Есть два способа.

1. Перечислить все элементы в фигурных скобках: $A = {1, 2, 3, 4}$.
2. Назвать правило (характеристическое свойство): «$A$ — натуральные числа меньше 5».

Это одно и то же множество! Второй способ спасает, когда элементов много: «все чётные числа» в скобки не выпишешь.

Множества обозначают большими латинскими буквами $A$, $B$, $C$, а их элементы — маленькими $a$, $b$, $c$.

Принадлежит или нет?

Если $a$ — элемент множества $A$, пишут $a \in A$ («$a$ принадлежит $A$»). Если нет — $b \notin A$ («$b$ не принадлежит $A$»).

Например, $5 \in N$ — пятёрка натуральное число. А $0 \notin N$ — нуль натуральным не считается.

📌 Как ещё читать $a \in N$: «$a$ — элемент множества $N$»; «множество $N$ содержит $a$»; «$a$ принадлежит $N$»; «$a$ — натуральное число». А $0 \notin N$: «нуль не является элементом $N$», «$N$ не содержит нуль», «нуль — не натуральное число».

Рисуем множества кругами

Множество удобно рисовать кругом или овалом, а элементы — точками внутри. Кто внутри круга — тот принадлежит множеству, кто снаружи — нет. Такие рисунки называют кругами (диаграммами) Эйлера–Венна.

Вот множество чётных цифр $A$ и нечётных цифр $B$. Нажми на кнопки.

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте: вы называете предмет, ребёнок отвечает «принадлежит» или «не принадлежит» множеству (например, «фрукты»). Помидор — хороший спорный пример для разговора.

Теперь сам: найди все элементы множества простых чисел.

⚠️ Частая ошибка. Считают 1 простым числом. Нет: у простого числа ровно два делителя, а у единицы — один. Поэтому $1 \notin$ множеству простых чисел.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Назови элементы множеств на фото. Отдельные овцы, лошади, марки, артисты балета.
• Назови элемент множества многоугольников, римских цифр, арабских цифр. Треугольник; V; 7.
• Запиши все арабские и все римские цифры. Арабские: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (10 элементов). Римские: I, V, X, L, C, D, M (7 элементов).
• Перечисли чётные и нечётные цифры. Чётные: 0, 2, 4, 6, 8. Нечётные: 1, 3, 5, 7, 9. В каждом множестве по 5 элементов — они конечные.
• Пустые ли множества: нечётных чисел, делящихся на 2; натуральных чисел меньше 1; четырёхугольников с тремя сторонами? Да, все три пустые.
• Приведи пример конечного, бесконечного и пустого множества. Конечное — дни недели. Бесконечное — натуральные числа. Пустое — круглые квадраты.
• Какими фигурами рисуют диаграммы Эйлера–Венна? Любыми замкнутыми: кругами, овалами, прямоугольниками.
• Соотнеси множества и элементы: 1) уравнения; 2) выражения; 3) неравенства; 4) тождества; 5) числовые равенства. 1) B: $x + 2 = 2$; 2) D: $x + 2$; 3) C: $x + 2 \ne 2$; 4) A: $x + 2 = 2 + x$ (верно при любом $x$); 5) E: $3 + 2 = \frac{1}{2}$ (числовое равенство, хоть и неверное).
• $A$ — простые числа. Что верно: $0 \in A$, $1 \in A$, $2 \in A$, $2 \notin A$, $3 \notin A$? Верно только 3): $2 \in A$.
• $A$ — составные числа. Что верно: $0 \in A$, $1 \in A$, $4 \in A$, $11 \in A$, $100 \notin A$? Верно только 3): $4 \in A$.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 780

1. Назови элементы множества чётных цифр и нечётных цифр. 2. Перечисли несколько элементов множеств: простых чисел; составных чисел; чисел ни простых, ни составных; чисел, кратных 10; делителей 37.

Как думать. Цифр всего десять, поэтому чётные и нечётные цифры можно перечислить целиком. Простых и составных чисел бесконечно много — назовём несколько.

Решение.

1. Чётные цифры: 0, 2, 4, 6, 8. Нечётные: 1, 3, 5, 7, 9.
2. Простые: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, … Ни простые, ни составные: только 1 (а если брать и нуль — 0 и 1). Кратные 10: 10, 20, 30, 40, … Делители 37: 1 и 37 — других нет.

Ответ: 1) {0, 2, 4, 6, 8}; {1, 3, 5, 7, 9}; 2) например, 2, 3, 5; 4, 6, 8; 1; 10, 20, 30; 1 и 37.

№ 781

Назови несколько элементов множеств: единиц длины, массы, площади, объёма.

Решение.

1. Длина: мм, см, дм, м, км.
2. Масса: г, кг, ц, т.
3. Площадь: мм², см², дм², м², км², ар (сотка), гектар.
4. Объём: мм³, см³, дм³, м³, литр.

Ответ: примеры выше.

№ 782

Назови несколько элементов множеств: транспорта, мебели, профессий, населённых пунктов.

Решение.

1. Транспорт: автобус, поезд, самолёт, метро, велосипед.
2. Мебель: стол, стул, шкаф, диван, кровать.
3. Профессии: учитель, врач, повар, инженер, программист.
4. Населённые пункты: Астана, Алматы, Шымкент, Туркестан, твоё село или город.

Ответ: примеры выше.

№ 783

Выбери правильный ответ. 1) Кратно 3: 111 111 111; 11 111 111; 1 111 111; 11 111; 1111. 2) Кратно 9: 11 111 111 111; 1 111 111 111; 111 111 111; 11 111 111; 1 111 111. 3) Остатки от деления на 4 — это только: 1) 3, 2, 1, 0; 2) 2, 1, 0; 3) 1, 0; 4) 1.

Как думать. Вспоминаем признаки делимости: на 3 (на 9) делится число, у которого сумма цифр делится на 3 (на 9). У числа из одних единиц сумма цифр равна числу единиц.

Решение.

1. Единиц: 9, 8, 7, 5, 4. На 3 делится только 9 — это первое число, 111 111 111.
2. Единиц: 11, 10, 9, 8, 7. На 9 делится только 9 — третье число, 111 111 111.
3. При делении на 4 остаток меньше 4: может быть 0, 1, 2 или 3. Это вариант 1.

Ответ: 1) 1; 2) 3; 3) 1.

Уровень B

№ 784

Какие из чисел 3; 7; 9; 11; 15 — элементы множества натуральных чисел, меньших 14, которые при делении на 4 дают остаток 3?

Как думать. Проверяем два условия: число меньше 14 и остаток от деления на 4 равен 3.

Решение.

1. 15 больше 14 — сразу отбрасываем.
2. $3 : 4 = 0$ (ост. 3) — подходит.
3. $7 : 4 = 1$ (ост. 3) — подходит.
4. $9 : 4 = 2$ (ост. 1) — нет.
5. $11 : 4 = 2$ (ост. 3) — подходит.

Ответ: 3; 7; 11.

💡 Число 3 меньше 4, поэтому при делении на 4 оно «целиком уходит в остаток»: неполное частное 0, остаток 3. Если учитель считает иначе, ответ будет 7 и 11.

№ 785

Какие из чисел 0; 5; 9; 15; 20 — элементы множества натуральных чисел, не больших 15 и делящихся на 5 без остатка?

Как думать. Три условия: число натуральное, не больше 15 (то есть может быть равно 15), делится на 5.

Решение.

1. 0 — не натуральное число, не подходит.
2. 5 — натуральное, $\le 15$, делится на 5 — подходит.
3. 9 — на 5 не делится.
4. 15 — «не превосходит 15», значит, подходит; делится на 5.
5. 20 больше 15 — не подходит.

Ответ: 5; 15.

Уровень C

№ 786

Подготовь сообщение: 1) о Георге Канторе, одном из создателей теории множеств; 2) о Леонарде Эйлере и Джоне Венне, в честь которых назвали диаграммы.

Как думать. Короткое сообщение — 5–7 предложений: кто, когда жил, чем знаменит, интересный факт. Ниже — пример. Даты и факты сверь с энциклопедией.

Решение. Пример сообщения:

🌟 Георг Кантор (1845–1918) — немецкий математик, родился в Санкт-Петербурге. Он придумал теорию множеств — основу почти всей современной математики. Кантор доказал удивительную вещь: бесконечности бывают разные, и одна может быть «больше» другой. Сначала многие учёные над ним смеялись, но позже его идеи признали великими.

🌟 Леонард Эйлер (1707–1783) — швейцарский математик, много лет работал в Петербурге и Берлине. Он написал больше 800 научных работ — по математике, механике, физике, астрономии. Даже потеряв зрение, Эйлер продолжал диктовать свои открытия. Круги для рассуждений о множествах он использовал в письмах к немецкой принцессе, объясняя ей логику.

🌟 Джон Венн (1834–1923) — английский логик. В 1880 году он сделал из кругов строгий инструмент: рисовал все возможные пересечения множеств. С тех пор такие картинки называют диаграммами Эйлера–Венна. В Кембридже, где он работал, в его честь есть витраж с кругами.

Ответ: пример сообщения выше.

Готовимся к следующей теме

№ 787

1) Верно ли, что: а) любое натуральное число составное; б) любое простое число натуральное; в) любую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную; г) любую десятичную дробь можно записать обыкновенной; д) любая обыкновенная дробь сократима? 2) Верно ли, что: а) все животные — позвоночные; б) все поезда — скоростные; в) все телефоны — беспроводные; г) все млекопитающие — животные?

Как думать. Слово «любой» («все») проверяется так: достаточно найти один пример, где это не так, — и утверждение неверно.

Решение.

1. а) Неверно: 2, 3, 5 — простые, а 1 — ни простое, ни составное. б) Верно. в) Неверно: $\frac{1}{3} = 0,333\ldots$ — конечной десятичной дробью не записать. г) Верно: $0,25 = \frac{25}{100}$. д) Неверно: $\frac{1}{2}$ не сокращается.
2. а) Неверно: червяк, бабочка, улитка — беспозвоночные. б) Неверно: бывают обычные пригородные поезда. в) Неверно: есть телефоны с проводом. г) Верно.

Ответ: 1) верны б) и г); 2) верно только г).

💡 «Все простые числа — натуральные» значит, что множество простых чисел целиком лежит внутри множества натуральных. Это и будет темой следующего урока — подмножества.

Шпаргалка

• Множество задают списком ${1, 2, 3, 4}$ или правилом «натуральные числа меньше 5».
• Конечное — можно пересчитать; бесконечное — нельзя; пустое — нечего считать.
• Множества — большие латинские буквы, элементы — маленькие.
• $0 \notin N$, $1 \in N$.

Мини-тест