§ 44. Отношения между множествами. Подмножества

Математика, 5 класс. Учебник: Абылкасымова А.Е. и др. (Мектеп, 2017). Глава 6: Множества. Страницы 64–66.

book: ru-5-matematika-abylkasymova-2017 part: 2 lesson: "44" title: "Отношения между множествами. Подмножества" pages: 64-66 kind: lesson time: 40 hook: "Все квадраты — прямоугольники, а вот наоборот не получается. Почему? Сегодня разберёмся, как множества «живут» друг внутри друга."

§ 44. Отношения между множествами. Подмножества

Чему научишься

• Понимать, что такое подмножество, и читать запись $F \subset E$.
• Различать множества, которые пересекаются, не пересекаются и равны.
• Рисовать отношения между множествами на кругах Эйлера–Венна.
• Узнавать в предложениях слова-кванторы: «все», «каждый», «некоторые», «существует».

Разминка

Это задания № 787 из прошлого урока. Ответь «верно» или «неверно».

• Любое натуральное число — составное? Неверно. Например, 1 и 7 составными не бывают.
• Любое простое число — натуральное? Верно. Простые числа 2, 3, 5, 7… — все натуральные.
• Любую обыкновенную дробь можно перевести в десятичную? Неверно. $\frac{1}{3} = 0{,}333…$ — конечной десятичной дроби не получится.
• Любую десятичную дробь можно записать обыкновенной? Верно: $0{,}7 = \frac{7}{10}$, $2{,}35 = \frac{235}{100}$.
• Любая обыкновенная дробь сократима? Неверно: $\frac{1}{2}$ или $\frac{3}{7}$ не сократишь.
• Все животные — позвоночные? Все поезда — скоростные? Все телефоны — беспроводные? Нет, нет и нет: есть червяки, медленные электрички и стационарные телефоны.
• Все млекопитающие — животные? Верно!

💡 Заметил? Слово «все» опасное. Чтобы сказать «неверно», хватит одного примера, который не подходит.

Разбираемся

Есть общие элементы или нет?

Возьми чётные числа от 1 до 10: {2, 4, 6, 8, 10}. И нечётные: {1, 3, 5, 7, 9}. Найдётся ли число, которое попало в оба списка? Нет! Такие множества не пересекаются.

А вот множество твоих одноклассников и множество тех, кто ходит на футбол, обычно имеют общих ребят. Такие множества пересекаются.

Множество внутри множества

Пусть $E$ — все ученики твоего класса, а $F$ — те, кто играет на домбре. Каждый домбрист из $F$ — точно ученик класса, то есть входит в $E$. Тогда говорят: $F$ — подмножество $E$, и пишут $F \subset E$.

📌 Если каждый элемент множества $F$ принадлежит множеству $E$, то $F$ — подмножество $E$: $F \subset E$. На рисунке круг $F$ целиком лежит внутри круга $E$.

Запись $F \subset E$ можно прочитать тремя способами: «$F$ — подмножество $E$», «$F$ включается в $E$», «$E$ содержит $F$».

⚠️ Частая ошибка. Путают, кто в ком. Запись $F \subset E$ — «маленькое внутри большого». Значок, как рот у крокодила, «открыт» в сторону большего множества.

Если же хотя бы один элемент $C$ не входит в $D$, пишут $C \not\subset D$: «$C$ не является подмножеством $D$».

Два хитрых подмножества

У любого множества $E$ всегда есть два подмножества:

• пустое $\varnothing \subset E$ — в пустом множестве нет ни одного элемента, который «не влез» бы в $E$;
• само $E$: $E \subset E$ — каждый элемент $E$, конечно, лежит в $E$.

Когда множества равны

Пусть $M$ — делители числа 6, а $K$ = {1, 2, 3, 6}. Каждый элемент $M$ есть в $K$, и каждый элемент $K$ есть в $M$. Значит, $M \subset K$ и $K \subset M$. Такие множества равны: $M = K$. На рисунке их круги совпадают.

Слова-кванторы

В математике часто звучат слова «все», «каждый», «любой», «всякий». Это квантор всеобщности — утверждение про всех без исключения.

А «найдётся», «хотя бы один», «существует», «некоторые» — квантор существования. Тут хватит одного примера.

💡 «Каждое простое число нечётное» — неверно, потому что есть 2. «Существует чётное простое число» — верно, и это тоже 2. Одно число решает всё!

👨‍👩‍👧 Родителю. Поиграйте в «да или нет»: «Все кошки — животные?», «Все животные — кошки?». Ребёнок быстро почувствует, что подмножество работает только в одну сторону.

Проверь, как понял

Проверь себя

• Что означает запись $C \not\subset D$? $C$ не является подмножеством $D$. Можно сказать: «$C$ не включается в $D$» или «$D$ не содержит $C$». Значит, в $C$ есть элемент, которого нет в $D$.
• Почему пустое множество и само множество — его подмножества? В пустом множестве нет ни одного «лишнего» элемента. А каждый элемент множества $E$ лежит в $E$.
• Почему квадраты — подмножество прямоугольников, а кубы — подмножество прямоугольных параллелепипедов? Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами. Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
• Почему множество натуральных чисел включает простые числа? Каждое простое число (2, 3, 5, 7…) — натуральное.
• Что значит слово «квантор»? От латинского quantum — «сколько». Кванторы показывают, про скольких идёт речь: про всех или хотя бы про одного.

Решаем упражнения

Уровень A

№ 788

1. Назови подмножества множества натуральных, составных и простых чисел. 2. Назови по два подмножества множества чисел, кратных 6; кратных 24; двузначных чисел.

Как думать. Подмножество — это «часть» множества, отобранная по какому-то признаку. Проверяй: каждый ли элемент части лежит в целом?

Решение.

1. Натуральные числа: чётные числа; простые числа; однозначные числа {1, 2, …, 9}.
2. Составные числа: чётные составные {4, 6, 8, …}; числа, кратные 10 {10, 20, 30, …}.
3. Простые числа: однозначные простые {2, 3, 5, 7}; двузначные простые {11, 13, …, 97}.
4. Кратные 6: кратные 12 {12, 24, 36, …}; {6, 12, 18}.
5. Кратные 24: кратные 48 {48, 96, …}; {24, 72}.
6. Двузначные числа: круглые десятки {10, 20, …, 90}; двузначные чётные числа.

Ответ: например, как выше; подмножеств много, у каждого может быть свой пример.

№ 789

Назови три подмножества множества школьных принадлежностей и множества учебных заведений.

Решение.

1. Школьные принадлежности: ручки; тетради; линейки.
2. Учебные заведения: школы; колледжи; университеты.

Ответ: например, ручки, тетради, линейки; школы, колледжи, университеты.

№ 790

Назови несколько подмножеств множества животных, квартир, вагонов, языков.

Решение.

1. Животные: птицы, рыбы, млекопитающие, насекомые.
2. Квартиры: однокомнатные, двухкомнатные, квартиры твоего дома.
3. Вагоны: пассажирские, грузовые, купейные, вагоны метро в Алматы.
4. Языки: тюркские (казахский, турецкий), славянские (русский, украинский), языки, которые учат в твоей школе.

Ответ: например, как выше.

№ 791

Рисунок 61: 1) круги $A$ и $B$ частично перекрываются; 2) круг $B$ целиком внутри $A$. Подбери второе множество, если 1) $A$ — однозначные простые числа; 2) $B$ — числа, кратные 5.

Как думать. Для рисунка 1 нужно множество, у которого с данным есть общие элементы, но есть и «свои». Для рисунка 2 — одно множество должно целиком лежать в другом.

Решение.

1. $A$ = {2, 3, 5, 7}.
   • Рис. 61.1: $B$ — нечётные однозначные числа {1, 3, 5, 7, 9}. Общие 3, 5, 7; у $A$ своё — 2, у $B$ — 1 и 9.
   • Рис. 61.2: $B$ — нечётные однозначные простые {3, 5, 7}. Все они лежат в $A$: $B \subset A$.
2. $B$ — числа, кратные 5.
   • Рис. 61.1: $A$ — чётные числа. Общие — 10, 20, 30…; у $A$ свои 2, 4…, у $B$ — 5, 15…
   • Рис. 61.2: $A$ — натуральные числа. Каждое кратное 5 — натуральное: $B \subset A$.

Ответ: например, 1) $B$ — нечётные однозначные (рис. 1) или {3, 5, 7} (рис. 2); 2) $A$ — чётные числа (рис. 1) или натуральные числа (рис. 2).

Уровень B

№ 792

Нарисуй на кругах Эйлера–Венна: 1) $A$ — натуральные, $B$ — простые; 2) $A$ — натуральные, $B$ — составные; 3) $A$ — составные, $B$ — простые; 4) $A$ — простые, $B$ — чётные.

Как думать. Для каждой пары спроси себя: все ли элементы одного лежат в другом? Есть ли общие элементы?

Решение.

1. Каждое простое число натуральное: круг $B$ рисуем внутри круга $A$.
2. Каждое составное число натуральное: круг $B$ снова внутри круга $A$.
3. Число не бывает одновременно простым и составным: круги не пересекаются, рисуем их отдельно.
4. Общий элемент один — число 2. Круги пересекаются, в общей части — 2.

Ответ: 1) и 2) $B \subset A$; 3) не пересекаются; 4) пересекаются, общий элемент 2.

⚠️ Частая ошибка. В пункте 3 кажется, что простые и составные вместе дают все натуральные. Но число 1 не простое и не составное! Оно остаётся вне обоих кругов.

№ 793

Нарисуй на кругах: 1) углы, прямые углы, тупые углы; 2) треугольники и прямоугольники; 3) квадраты и прямоугольники; 4) квадраты, многоугольники, кубы; 5) отрезки, прямые, лучи.

Как думать. Снова ищем «кто внутри кого» и «есть ли общее».

Решение.

1. Прямые и тупые углы — это углы: круги $B$ и $C$ внутри $A$. Угол не может быть сразу прямым и тупым, поэтому $B$ и $C$ не пересекаются.
2. Треугольник не бывает прямоугольником: круги $A$ и $B$ не пересекаются.
3. Каждый квадрат — прямоугольник: $A$ внутри $B$.
4. Квадраты — многоугольники: $A$ внутри $B$. Куб — объёмное тело, а не плоская фигура: круг $C$ отдельно, ни с кем не пересекается.
5. Отрезок, прямая и луч — разные фигуры: у отрезка два конца, у луча один, у прямой ни одного. Три круга отдельно друг от друга.

Ответ: 1) $B \subset A$, $C \subset A$, $B$ и $C$ не пересекаются; 2) не пересекаются; 3) $A \subset B$; 4) $A \subset B$, $C$ отдельно; 5) три непересекающихся круга.

Уровень C

№ 794

1. Верно или неверно: 1) некоторые ученики нашего класса играют на музыкальных инструментах; 2) любое простое число чётное; 3) среди однозначных чисел найдётся число, которое делится и на 2, и на 3. 2. Составь свои верные и неверные предложения с кванторами.

Как думать. «Любое» — проверяем, нет ли исключения. «Найдётся», «некоторые» — ищем хотя бы один пример.

Решение.

1. Зависит от класса. Обычно хоть кто-то играет на домбре или пианино, поэтому чаще всего верно.
2. Неверно: 3, 5, 7 — простые и нечётные.
3. Верно: число 6 делится и на 2, и на 3.

Свои предложения, например:

• «Каждое число, кратное 10, делится на 5» — верно.
• «Все дети любят манную кашу» — неверно.
• «Существует квадрат, который является прямоугольником» — верно (любой квадрат такой).
• «Хотя бы одно двузначное число больше 100» — неверно.
• «Некоторые города Казахстана стоят на берегу моря» — верно (Актау на Каспии).

Ответ: 1) обычно верно; 2) неверно; 3) верно (6); свои предложения — как в примерах.

Готовимся к следующей теме

№ 795

1) Есть ли число одновременно: а) чётное и простое; б) нечётное и составное; в) чётное и нечётное? 2) Бывают ли фигуры одновременно: а) острыми и прямыми углами; б) ломаными и многоугольниками; в) треугольниками и многоугольниками? 3) Верно ли, что хотя бы одно: а) выражение — равенство; б) равенство — уравнение; в) уравнение — неравенство?

Как думать. Это вопрос про общую часть двух множеств. Если найдёшь хотя бы один пример — общая часть есть.

Решение.

1. а) Да, число 2. б) Да, например 9 (нечётное, делится на 3). в) Нет: число либо делится на 2, либо нет.
2. а) Нет: острый угол меньше $90°$, а прямой равен $90°$. б) Да: граница многоугольника — замкнутая ломаная, многоугольник можно считать замкнутой ломаной. в) Да: любой треугольник — многоугольник.
3. а) Нет: равенство — это два выражения со знаком «=» между ними, само выражение знака «=» не содержит. б) Да: $x + 2 = 5$ — равенство с неизвестным, то есть уравнение. в) Нет: в уравнении стоит «=», а в неравенстве «<» или «>».

Ответ: 1) да; да; нет. 2) нет; да; да. 3) нет; да; нет.

Шпаргалка

• Подмножество — круг внутри круга: $F \subset E$.
• Пересекаются — есть общие элементы; не пересекаются — общих нет.
• Равные множества состоят из одних и тех же элементов.
• $\varnothing \subset E$ и $E \subset E$ для любого $E$.
• Чтобы опровергнуть «все…», хватит одного примера.

Мини-тест